模型12 “中位线”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型12 “中位线”模型
模型展现
结论：
证明：如图，延长DE 至点 F，使 ,连接CF,∵点 E是AC的中点,
在 和 中
∴ 四边形 BCFD是平行四边形，.
模型解题三步法
例1 如图，在 中，点D在BC边上， 垂足为E，F 为AB的中点， 三线合一，点E 是AD 的中点 则EF的长为 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
例2如图，在 中，点D为AC的中点，连接DB，点E为BD的中点，连接 CE,若 ,则AB的长为 .
中小学教育资源及组卷应用平台
题以类解
1. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E,F,G分别是边 BC,AC,AD 的中点.若∠EFG=130°,则∠EGF 的度数为 ( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
2. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是边 AB,BC,CA 的中点.若△ABC 的周长为 a,则△DEF的周长为 .
3.如图,在等边△ABC中,点 D在AB边上，点E在CB 的延长线上，且AD=EB,连接 CD,AE,点 F 为 CD 的中点,连接AF.若AE=10,则AF的长为 .
4. 如图,在菱形ABCD中,点 E,F分别是边 BC,CD 的中点,连接AE,AF,EF.若△AEF的面积为 ,则菱形 ABCD 的面积为 .
5. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点 D 是斜边 AC 上一点，以AD 为直径的⊙O恰好与BC边相切，切点为E，⊙O 与 AB 相交于点 F.若 则 的长为 .
6.问题探究
如图①,在△ABC中,AF,BE分别是 BC,AC边上的中线,且相交于点 P,记AB=c,BC=a,AC=b.
(1)求证:AP=2PF,BP=2PE;
(2)如图②,若AF⊥BE于点 P,试探究a,b,c之间的数量关系；
拓展延伸
如图③,在 ABCD 中,点E,F,G分别是边 AD,BC,CD 的中点,BE⊥EG,AD =4 ,AB=6,求AF的长.
模型解题三步法
例1 C 【解析】∵AC=CD,∴BD=BC-CD=10-6=4,∵AC=CD,CE⊥AD,∴点 E 是AD的中点(等腰三角形三线合一)，又∵ 点 F是AB的中点，根据“中位线”模型可得：EF=
例2 4 【解析】如解图，过点 B 作 BF∥CE交AC 的延长线于点 F，根据“中位线”模型可得：BF =2CE=4,CD=CF,∵AB=3CD,AD=CD=CF,∴AF=3CD,∴AB=AF,∵∠A=60°,∴△ABF为等边三角形,∴AB=BF=4(等边三角形的性质).
题以类解
1. B 【解析】找模型：是否存在中点：点E，F，G.是否存在中点所在的连线：线段 GF，EF，抽离模型：如解图，用模型：根据“中位线”模型可得： ∴ EF = FG,∵ ∠EFG = 130°,∴ ∠EGF =
2 a 【解析】找模型：是否存在中点：点D，E，F.是否存在中点所在的连线：线段 EF，DE，DF，抽离模型：如解图，用模型：根据“中位线”模型得： 的周长为a,∴AB+BC+AC=a,∴△DEF 的周长为
3. 5 【解析】如解图,过点 C 作 CG∥AF 交 BA的延长线于点 G，∵点 F 是 CD的中点，∴点A是DG的中点,∴ AF 是△DCG 的中位线, (“中位线”模型),∵AD=BE,∴AG=BE,∵ △ABC是等边三角形,∴AB=CA,∠BAC=∠ABC=60°,∴∠CAG=∠ABE=120°,∴△CAG≌△ABE(SAS),∴CG=AE=10,∴AF=5.
4. 12 【解析】如解图,连接AC,BD交于点O,AC 交 EF 于点 G,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴AO=CO.∵点 E,F 分别是边 BC,CD 的中点， (“中位线”模型)，∴AC⊥EF,AG=3CG,设AC=a,BD=b,则 解得
【解析】如解图,连接OE,OF,设OE与DF 相交于点 G. ∵ AD 是⊙O 的直径,∴∠AFD = 90°,又∵ BC 是⊙O 的切线,∴∠OEB=90°,∵ ∠B=90°,∴ 四边形 BEGF 为矩形,∴ ∠EGF = 90°,BF=GE,
∵OE 为⊙O的半径,∴DG=GF,∵OD=AO,∴OG为△ADF的中位线,∴AF=2OG(“中位线”模型)， 在Rt△OGF中,
6. (1)证明:如解图①,取 PA 的中点 M,PB 的中点 N,连接 EM,MN,FN,EF.∵AE=EC,CF=FB,
∴EF=MN,EF∥MN,
∴四边形EFNM 是平行四边形(有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形)，
∴PF=PM,EP=PN,
∴ PA=2PF,PB=2PE;
(2)解:结论:(
理由：如解图②，连接EF.
∵AF⊥BE 于点 P,
∴∠APE=∠APB=∠BPF=∠EPF=90°,
(3)解:如解图③,取AB的中点 M,连接FM,AC,EF,设AF交BE 于点 P.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AE=BF,且AE∥BF,
∴四边形ABFE 是平行四边形,∴AP=PF,
∵AM=BM,BF=CF,
∴FM是△ABC的中位线,
∴ FM∥AC.
∵DE=AE,DG=GC,
∴EG是△ACD的中位线,
∴EG∥AC,
∴FM∥EG,
∵BE⊥EG,∴FM⊥BP,
结合第(2)问结论可得，
解得AF=8(负值已舍去).