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小题精练05 万有引力与航天问题
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
二、天体质量、密度的计算
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m G＝mr M＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝
密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝
三、地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
物理量 推导依据 表达式 最大值或最小值
线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值
周期 G＝m2r T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min
向心 加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g
轨道 平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合
共性：距地面越高，轨道半径大，运动越慢，周期越长——高轨低速（线速度、角速度 加速度）长周期
四、卫星变轨的基本原理
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。如图所示。
(1)当卫星的速度增加时，G(2)当卫星的速度减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ 可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。
难度：★★★☆ 建议时间：30分钟 正确率： /20
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D C D B D A C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C D A D A A C D C D
1．（2025 浙江模拟）神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400km（高于近地轨道高度）的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36000km处，则该组合体（ ）
A．运行速度大于7.9km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期
B．运行速度大于7.9km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期
C．运行速度小于7.9km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期
D．运行速度小于7.9km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期
【解答】解：根据万有引力提供向心力有
可得
组合体的轨道半径大于地球半径，可知组合体的运行速度小于7.9km/s；组合体轨道半径小于同步卫星的轨道半径，可知组合体的运行周期小于地球同步卫星的周期。
故C正确，ABD错误；
故选：C。
2．（2025 镇海区校级模拟）经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的、国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，“樊锦诗星”绕日运行的椭圆轨道面与地球绕日运行的圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心的距离为4.86天文单位。则（ ）
A．“樊锦诗星”绕太阳一圈大约需要2.15年
B．“樊锦诗星”在远、近日点的速度大小之比为
C．“樊锦诗星”在远日点的速度大于地球的公转速度
D．“樊锦诗星”在近日点的加速度大小与地球的加速度大小之比为
【解答】解：A．轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），根据开普勒第三定律有
解得T樊＝5.67年，故A错误；
B．对于“樊锦诗星”在远日点和近日点附近很小一段时间Δt内的运动，近日点到太阳中心的距离为（2×3.18﹣4.86）天文单位＝1.5天文单位
根据开普勒第二定律有
解得“樊锦诗星”在远、近日点的速度大小之比为，故B正确；
C．过“樊锦诗星”的远日点构建一以日心为圆心的圆轨道，绕太阳做圆周运动的物体，根据万有引力提供向心力有
可得
则轨道半径越大，卫星的线速度越小，在构建圆轨道上运动的卫星的线速度小于地球的线速度，“樊锦诗星”在远日点要想运动到该构建圆轨道上，需要加速，则“樊锦诗星”在远日点的速度小于构建圆轨道上卫星的线速度，综上，“樊锦诗星”在远日点的速度小于地球的公转速度，故C错误；
D．远日点到太阳中心距离为4.86天文单位，轨道半长轴为3.18天文单位，则近日点到太阳中心距离为1.5天文单位，根据万有引力提供向心力有
则“樊锦诗星”在近日点的加速度大小与地球的加速度大小之比为，故D错误。
故选：B。
3．（2025 杭州一模）空间站在圆轨道上运行，轨道距地面高度为400～450千米。如图所示，航天员进行舱外巡检任务，此时航天员与空间站相对静止，下列说法正确的是（ ）
A．此时航天员所受合外力为零
B．空间站运行速度约为3km/s
C．空间站绕地球运转的周期大于24h
D．与空间站同轨同向运行的卫星不会与空间站相撞
【解答】解：A、航天员围绕地球做圆周运动，合外力是地球的万有引力，不为零，且由合外力提供向心力，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力，得
在地球表面万有引力等于重力，有
地球半径R＝6400km＝6.4×106m，联立解得
v≈7.8×103m/s＝7.8km/s，故B错误；
C、根据万有引力提供向心力，得
解得
因空间站的轨道半径比地球同步卫星的轨道半径小，所以空间站绕地球运转的周期小于地球同步卫星的运行周期24h，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力，得
解得
由此可知，空间站与同轨同向运行的卫星速度大小相等，则知空间站与空间站同轨同向运行的卫星不会与空间站相撞，故D正确。
故选：D。
4．（2025 宁波校级模拟）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星与通信系统，如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中在赤道平面内的一颗卫星，其对地张角为2θ＝60°，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星，两卫星都沿逆时针方向转动。已知地球的半径为R，万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g，根据题中条件，可求出（ ）
A．由题中所给数据不能求得地球密度
B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的周期之比为1：2
C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的动能之比为1：2
D．卫星Ⅱ可以持续直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号的最长时间为
【解答】解：A、设地球的质量为M。在地球表面上，根据万有引力等于重力，得
Gmg
又有M＝ρ
联立解得地球的密度为ρ，g、G、R均已知，所以可以求出地球密度ρ，故A错误；
B、设卫星Ⅰ的轨道半径为r，由几何关系有
rsinθ＝R
解得r＝2R
可得卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的周期之比为
，故B错误；
C、因动能不仅与速率有关，还与质量有关，而两卫星质量关系未知，故无法求出动能之比，故C错误；
D、对于卫星Ⅱ，根据重力提供向心力得
mg＝mR
解得卫星Ⅱ的周期为T2＝2π
则卫星Ⅰ的周期为T1＝2T2＝22π4π
设卫星Ⅱ可以持续直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号的最长时间为t。
根据题意得
（）t＝π 2θ
解得t，故D正确。
故选：D。
5．（2025 宁波一模）如图所示，A为置于地球赤道上待发射的卫星，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C为地球同步卫星。已知C的线速度大小为v，运行周期为T，轨道半径为地球半径的X倍，B的轨道半长轴为地球半径的Y倍。下列说法正确的是（ ）
A．A的线速度大小为Xv
B．B的运行周期为
C．B经过轨道上Q点时的加速度大小为
D．欲使A进入地球同步轨道，其发射速度至少为11.2km/s
【解答】解：A、地球同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，可知C与A的角速度相同，设地球的半径为R，地球自转角速度为ω，则C的线速度大小为v＝ω XR，故待发射卫星A的线速度为，故A错误；
B、由开普勒第三定律得，解得B的运行周期为，故B错误；
C、B经过轨道上Q点时的加速度大小等于C的向心加速度，故有，故C正确；
D、11.2 km/s是卫星脱离地球引力的最小发射速度，而地球同步卫星没有脱离地球的引力，所以A的发射速度小于11.2km/s，故D错误。
故选：C。
6．（2024 浙江一模）如图所示，地球的公转轨道接近圆，彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。哈雷彗星最近一次出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。已知太阳质量为M，太阳与地球的距离为r，万有引力常量为G，P点为地球轨道与哈雷彗星轨道的一个交点，地球对彗星的影响可忽略不计。下列说法中正确的是（ ）
A．哈雷彗星在P点的加速度大于地球在P点的加速度
B．哈雷彗星在近日点受太阳的引力比地球受太阳的引力大
C．哈雷彗星飞近太阳过程中速度将变小
D．哈雷彗星的半长轴约为
【解答】解：A、在P点时，根据牛顿第二定律有
可得
可知哈雷彗星在P点的加速度等于地球在P点的加速度，故A错误；
B、因彗星和地球质量未知，所以无法比较哈雷彗星在近日点受太阳的引力与地球受太阳的引力大小关系，故B错误；
C、哈雷彗星飞近太阳过程中，太阳对其的万有引力做正功，哈雷彗星速度将变大，故C错误；
D、根据题意，哈雷彗星的公转周期
T＝2061年﹣1986年＝75年
地球的公转周期T地＝1年
将哈雷彗星与地球比较，根据开普勒第三定律有
可得哈雷彗星公转的半长轴约为，故D正确。
故选：D。
7．（2025 宁波校级一模）2024年4月26日凌晨，神舟十八号载人飞船成功对接空间站，题中的照片拍摄于航天员叶光富、李聪、李广苏进入天和核心舱的瞬间，我们可以看到：一个大质量的包裹悬浮在核心舱中，针对这一情景，下列同学的观点中正确的是（ ）
A．悬浮的包裹受到地球的吸引力相对于地表可以忽略
B．若推动包裹，航天员所需的推力几乎为零
C．天宫号空间站的加速度比北斗系列同步卫星的加速度小
D．只记录空间站的运行周期可估算地球的密度
【解答】解：A、依题意，空间站的高度与地球半径相比相差较大，根据万有引力定律有
，
可知悬浮的包裹受到地球的吸引力相对于地表不可以忽略，故A错误；
B、包裹随空间站做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可知，若推动包裹，使包裹具有加速度，航天员所需的推力几乎为零，故B正确；
C、根据牛顿第二定律得
解得
因天宫号空间站的轨道半径比北斗系列同步卫星的小，所以加速度较大，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力有
又地球的密度为
联立解得
可知只记录空间站的运行周期不能估算地球的密度，故D错误。
故选：B。
8．（2024 浙江二模）2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船成功发射，最后对接于空间站天和核心舱径向端口，形成了三舱三船组合体。神舟十六号发射后会在停泊轨道Ⅰ上进行数据确认，在P点瞬间加速后进入转移轨道（椭圆轨转移轨道）Ⅱ，最后在Q点瞬间加速后进入空间站轨道，完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化为如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，飞船和空间站均视为质点，则（ ）
A．飞船在转移轨道Ⅱ上各点的速度均小于7.9km/s
B．不考虑变轨瞬间，飞船在转移轨道Ⅱ上运行时航天员对椅子有压力作用
C．飞船在停泊轨道Ⅰ与组合体在空间站轨道Ⅲ上的速率之比为
D．飞船在转移轨道Ⅱ上正常运行的周期为
【解答】解：A、在停泊轨道Ⅰ运行时，其速度接近于7.9km/s。从轨道Ⅰ进入转移轨道Ⅱ在P点必须加速，所以转移轨道Ⅱ上有的位置速度大于7.9km/s，故A错误；
B、飞船在转移轨道Ⅱ上运行时均处于完全失重状态，航天员对椅子无压力作用，故B错误；
C、飞船绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有
解得
可得飞船在停泊轨道Ⅰ与组合体在空间站轨道Ⅲ上的速率之比为，故C错误；
D、对飞船在停泊轨道Ⅰ与转移轨道Ⅱ上的运动，由开普勒第三定律得
解得飞船在转移轨道Ⅱ上正常运行的周期为
，故D正确。
故选：D。
9．（2024 金华二模）在2023年9月21日的“天宫课堂”上，同学们与航天员进行互动交流，航天员给同学们解答了与太空垃圾相关的问题。所谓太空垃圾是指在宇宙空间中的各种人造废弃物及其衍生物。假设在空间站观察到如图所示的太空垃圾P、Q、M、N（P、Q、M、N均无动力运行，轨道空间存在稀薄气体），假设空间站和这些太空垃圾均绕地球近似做顺时针方向的圆周运动，则最可能对空间站造成损害的是（ ）
A．P B．Q C．M D．N
【解答】解：太空垃圾无动力运行，由于轨道空间存在稀薄气体，所以太空垃圾的轨道会逐渐减低，Q、M的轨道降低，不会对空间站造成损害；
对于N和P，根据万有引力提供向心力可得：
解得太空垃圾的周期：
所以太空垃圾P、N的周期大于空间站，在轨道降低过程中，P最有可能对空间站造成损害，N会在空间站的后方，故A正确、BCD错误。
故选：A。
10．（2024 金华模拟）2023年8月27日发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，土星约29.5年绕太阳一周。则（ ）
A．土星的运行速度比地球的运行速度大
B．根据题目中的数据可知土星表面重力加速度的数值比地球表面的大
C．下一次出现土星冲日现象是在2024年
D．在相同时间内，土星—太阳中心连线扫过的面积与地球—太阳中心连线扫过的面积相等
【解答】解：A.根据牛顿第二定律，解得，土星的公转半径较大，所以土星的运行速度比地球的运行速度小，故A错误；
B.根据星球表面黄金代换式有，解得，题中土星和地球的质量、半径均未知，无法分析重力加速度，故B错误；
C.设每隔Δt时间出现一次土星冲日现象，则有，解得Δt≈1.04年，下一次出现土星冲日现象是在2024年，故C正确；
D.根据开普勒第二定律可知，同一个行星在相同的时间内和太阳中心连线扫过的面积相等，故D错误；
故选：C。
11．（2024 东阳市三模）随着航天技术的不断发展，人类终将冲出太阳系，对遥远深空进行探索。如图，a星与b星可以看作双星系统，它们均绕连线上的O（未画）点转动，a星质量是b星的81倍，假设人类发射了两个探测器L1、L2刚好处在该系统的两个拉格朗日点，位于这两个点的探测器能在a星和b星的共同引力作用下绕O点做匀速圆周运动，并保持与a星、b星相对位置不变，探测器L1与a星球心、b星球心的连线构成一个等边三角形，探测器L2在a星、b星连线的延长线上。则（ ）
A．a星和b星的第一宇宙速度之比为9：1
B．a星球心和b星球心到O点的距离之比为81：1
C．探测器L1绕O点运行的加速度比b星的加速度大
D．探测器L1绕O点运行的周期比探测器L2大
【解答】解：A、根据万有引力提供向心力得
Gm
可得第一宇宙速度为
由于a星和b星的半径关系未知，所以无法比较第一宇宙速度，故A错误；
B、设a星球心和b星球心到O点的距离分别为r1，r2，a星和b星的角速度相等，根据相互间的万有引力提供向心力可知，两星的向心力大小相等，则有
m1r1ω2＝m2r2ω2
解得a星球心和b星球心到O点的距离之比为r1：r2＝1：81，故B错误；
C、探测器L1与a星球心、b星球心的连线构成一个等边三角形，并保持与a星、b星相对位置不变，可知探测器L1绕O点运行和b星围绕O点转动的角速度相同，根据a＝rω2，探测器L1绕O点的距离较大，则探测器L1绕O点运行的加速度比b星的加速度大，故C正确；
D、根据题意，探测器L1、L2这两个点与b星相对位置不变，所以探测器L1绕O点运行的周期与探测器L2的相同，故D错误。
故选：C。
12．（2024 浙江二模）近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则（ ）
A．近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为
B．近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为
C．地球表面的重力加速度大小近似为
D．地球的平均密度近似为
【解答】解：A、由向心加速度公式可知，近地卫星绕地球运动的向心加速度大小an＝Rω2＝R（）2，故A错误；
B、近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，则有，解得v，故B错误；
C、地球表面的重力等于万有引力，故有mg，解得g，故C错误；
D、近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，则有m，解得M，地球的平均密度近似为ρ，故D正确。
故选：D。
13．（2024 镇海区校级模拟）秋分这天太阳光几乎直射赤道。现有一人造卫星在赤道上空距离地面高度为R处绕地球做圆周运动。已知地球的半径为R，地球的质量为M，引力常量为G。则秋分这天在卫星运动的一个周期内，卫星的太阳能电池板接收不到太阳光的时间为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如下图所示，人造卫星（设其质量为m）在AB劣弧轨道运行过程中，卫星的太阳能电池板接收不到太阳光。
sinθ，则θ＝30°
由几何关系可知，α＝2θ＝2×30°＝60°
人造卫星由地球的万有引力提供向心力，则有：Gm（R+R）
卫星的太阳能电池板接收不到太阳光的时间为：tT
联立方程，代入数据解得：t
故A正确，BCD错误。
故选：A。
14．（2024 温州一模）2024年5月，“嫦娥六号”月球探测器开启主发动机实施制动，进入周期为12h的椭圆环月轨道，近月点A距月心2.0×103km，远月点C距月心1.0×104km，BD为椭圆轨道的短轴。已知引力常量G，下列说法正确的是（ ）
A．根据信息可以求出月球的密度
B．“嫦娥六号”的发射速度大于11.2km/s
C．“嫦娥六号”从B经C到D的运动时间为6h
D．“嫦娥六号”在A点和C点速度之比为5：1
【解答】解：A、根据万有引力提供向心力得
由于“嫦娥六号”围绕月球做椭圆运动，不能求出月球的质量，据题中信息也不能求出月球的体积，所以不能求出月球的密度，故A错误；
B、“嫦娥六号”环绕月球运动，并未脱离地球的束缚，所以其发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故B错误；
C、“嫦娥六号”围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→B→C做减速运动，从C→D→A做加速运动，在A点的速度最大，在C的速度最小，则从B→C→D的运动时间大于半个周期，即大于6h，故C错误；
D、取极短时间Δt，由开普勒第二定律得
vAΔt rA＝vCΔt rC
则“嫦娥六号”在A点和C点速度之比为，故D正确。
故选：D。
15．（2024 浙江模拟）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（ ）
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
【解答】解：A.根据万有引力定律
得
由于空间站变轨前、后在P点到地球中心的距离相等，因此空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；
B.根据开普勒第三定律
变轨后的半长轴r2＞r1
联立得
空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；
C.空间站变轨前后的运动情况如图所示：
根据运动的合成与分解，空间站在P点变轨前的速度小于变轨后的速度，即v1p＜v2p，故C错误；
D.空间站从2轨道进入3轨道做向心运动，因此v2Q＞v3Q
空间站在1、3轨道做匀速圆周运动，根据线速度与轨道半径的关系
由于r1＞r3，因此v3＞v1，即v3Q＞v1P
综合分析得v2Q＞v3Q＞v1P
空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。
故选：A。
16．（2024 浙江二模）为了粗略测量月球的直径，小月同学在满月的夜晚取来一枚硬币并放置在合适的位置，使之恰好垂直于视线且刚刚遮住整个月亮，然后测得此时硬币到眼睛的距离为x，硬币的直径为d，若已知月球的公转周期为T，地表的重力加速度g和地球半径R，以这种方法测得的月球直径为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由月球的公转周期为T，地表的重力加速度g和地球半径R，
在地球表面不考虑自转时有：
月球绕地球公转时，所受的万有引力提供向心力，可得：
可得月球公转的轨道半径为：
根据题意可作出视线刚刚遮住整个月亮的光路如图所示
则AB＝d，OE＝x，月球的直径为d1＝CD，而OF为地球到月球的距离约等于月球公转的轨道半径r，由两直角三角形相似，RT△OEA∽RT△OFC，可知：
联立各式可解得月球直径为：，故BCD错误，A正确。
故选：A。
17．（2024 温州三模）2024年3月20日，我国“鹊桥二号”卫星发射成功，多次调整后进入周期为24h的环月椭圆轨道运行，并与在月球上开展探测任务的“嫦娥四号”进行通讯测试。已知月球自转周期27.3天，下列说法正确的是（ ）
A．月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的中心位置
B．“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小相同
C．“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度
D．“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等
【解答】解：A.由开普勒第一定律可知，月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；
B.“鹊桥二号”在近月点距离月球最近，受到的万有引力最大，加速度最大；在远月点距离月球最远，受到的万有引力最小，加速度最小，故“鹊桥二 号”在近月点和远月点的加速度大小不相同，故B错误；
C.“鹊桥二号”在远月点的速度小于轨道与远月点相切的卫星的线速度，轨道与远月点相切的卫星的线速度小于第一宇宙速度，故“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度，故C正确；
D.由开普勒第二定律可知，同一颗卫星与月球的连线在相同时间扫过的面积相等，但是“鹊桥二 号”与“嫦娥四号”是两颗轨道不同的卫星，相同时间扫过的面积不相等，故D错误。
故选：C。
18．（2024 镇海区模拟）为简化“天问一号”探测器在火星软着陆的问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示。以火星为参考系，质量为M1的探测器沿1号轨道到达B点时速度为v1，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为M2、速度变为与v1垂直的v2。已知地球的公转周期为T1，火星的公转周期为T2，地球公转轨道半径为r1，以下说法正确的是（ ）
A．火星公转轨道半径r2为
B．喷出气体速度u的大小为
C．假设实现“侧手翻”的能量全部来源于化学能，化学能向动能转化比例为k（k＜1），此次“侧手翻”消耗的化学能
D．考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，则在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔Δt为
【解答】解：A、根据开普勒第三定律有：，可得：，故A错误；
D、在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔Δt内，地球比火星多转一周，则有：
代入数据解得：，故D正确；
B、根据动量守恒定律，在v1方向上有：M1v1＝（M1﹣M2）u1
在与v1垂直的方向上有：M2v2＝（M1﹣M2）u2
联立解得：
喷出气体速度u的大小为：，故B错误；
C、以探测器和喷出气体组成的系统为研究对象，喷气前的总动能为：
喷气后的总动能为：
可得消耗的化学能为：，故C错误；
故选：D。
19．（2024 镇海区模拟）如图所示，位于教室中央的光源发出一个闪光，闪光照到了教室的前壁和后壁。教室的长度为10m。在平行于教室高速运动的太空飞船上的观察者（ ）
A．测得照到前壁的光速度小于c
B．观测到飞船上的时间进程比教室慢
C．测得教室的长度小于10m
D．观察到光同时到达前、后壁
【解答】解：AD．根据光速不变原理，不论光源与观察者之间做怎样的相对运动，光速都是一样的等于c，教室相对于飞船向左运动，则光到前壁的路程变短，光先到达前壁，故AD错误；
BC．根据爱因斯坦的时间相对论公式Δt，可知飞太空飞船上的观察者认为看到教室中的时钟变慢，即观测到飞船上的时间进程比教室快，
根据长度相对论公式l，l＝l0教室的长度变短小于10m，故B错误，C正确。
故选：C。
20．（2024 浙江二模）“中国空间站”在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。则下列说法中正确的是（ ）
A．“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的周期大于地球同步卫星的周期
B．“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的向心加速度大小稍大于g
C．“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的线速度大小稍大于地球的第一宇宙速度
D．“中国空间站”修正轨道时，发动机应“向后喷火”使空间站加速，但进入目标轨道正常运行后的速度小于修正之前在较低轨道上的运行速度
【解答】解：A．“中国空间站”在轨道上做匀速圆周运动的周期，万有引力提供向心力，则有
得
，解得T＝1.4h＜24h
故A错误；
B．“中国空间站”在轨道上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有
物体绕地球表面运行，根据牛顿第二定律有
联立解得“中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的向心加速度大小为
故向心加速度稍小于g，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力，则有
“中国空间站”正常在轨道上做圆周运动的线速度大小为
故C错误；
D．空间站由低轨向高轨修正时需要离心运动，故需要发动机点火使空间站加速，但进入目标轨道后的速度比修正之前低轨的速度小。故D正确；
故选：D。
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小题精练05 万有引力与航天问题
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
二、天体质量、密度的计算
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m G＝mr M＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝
密度的计算 利用运行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝
三、地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
物理量 推导依据 表达式 最大值或最小值
线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值
周期 G＝m2r T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min
向心 加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g
轨道 平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合
共性：距地面越高，轨道半径大，运动越慢，周期越长——高轨低速（线速度、角速度 加速度）长周期
四、卫星变轨的基本原理
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。如图所示。
(1)当卫星的速度增加时，G(2)当卫星的速度减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ 可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。
难度：★★★☆ 建议时间：30分钟 正确率： /20
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1．（2025 浙江模拟）神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400km（高于近地轨道高度）的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36000km处，则该组合体（ ）
A．运行速度大于7.9km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期
B．运行速度大于7.9km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期
C．运行速度小于7.9km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期
D．运行速度小于7.9km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期
2．（2025 镇海区校级模拟）经国际天文学联合会小行星命名委员会批准，中国科学院紫金山天文台发现的、国际编号为381323号的小行星被命名为“樊锦诗星”。如图所示，“樊锦诗星”绕日运行的椭圆轨道面与地球绕日运行的圆轨道面间的夹角为20.11度，轨道半长轴为3.18天文单位（日地距离为1天文单位），远日点到太阳中心的距离为4.86天文单位。则（ ）
A．“樊锦诗星”绕太阳一圈大约需要2.15年
B．“樊锦诗星”在远、近日点的速度大小之比为
C．“樊锦诗星”在远日点的速度大于地球的公转速度
D．“樊锦诗星”在近日点的加速度大小与地球的加速度大小之比为
3．（2025 杭州一模）空间站在圆轨道上运行，轨道距地面高度为400～450千米。如图所示，航天员进行舱外巡检任务，此时航天员与空间站相对静止，下列说法正确的是（ ）
A．此时航天员所受合外力为零
B．空间站运行速度约为3km/s
C．空间站绕地球运转的周期大于24h
D．与空间站同轨同向运行的卫星不会与空间站相撞
4．（2025 宁波校级模拟）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星与通信系统，如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中在赤道平面内的一颗卫星，其对地张角为2θ＝60°，Ⅱ为地球赤道上方的近地卫星，两卫星都沿逆时针方向转动。已知地球的半径为R，万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g，根据题中条件，可求出（ ）
A．由题中所给数据不能求得地球密度
B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的周期之比为1：2
C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的动能之比为1：2
D．卫星Ⅱ可以持续直接接收到卫星Ⅰ发出的电磁波信号的最长时间为
5．（2025 宁波一模）如图所示，A为置于地球赤道上待发射的卫星，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C为地球同步卫星。已知C的线速度大小为v，运行周期为T，轨道半径为地球半径的X倍，B的轨道半长轴为地球半径的Y倍。下列说法正确的是（ ）
A．A的线速度大小为Xv
B．B的运行周期为
C．B经过轨道上Q点时的加速度大小为
D．欲使A进入地球同步轨道，其发射速度至少为11.2km/s
6．（2024 浙江一模）如图所示，地球的公转轨道接近圆，彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。哈雷彗星最近一次出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。已知太阳质量为M，太阳与地球的距离为r，万有引力常量为G，P点为地球轨道与哈雷彗星轨道的一个交点，地球对彗星的影响可忽略不计。下列说法中正确的是（ ）
A．哈雷彗星在P点的加速度大于地球在P点的加速度
B．哈雷彗星在近日点受太阳的引力比地球受太阳的引力大
C．哈雷彗星飞近太阳过程中速度将变小
D．哈雷彗星的半长轴约为
7．（2025 宁波校级一模）2024年4月26日凌晨，神舟十八号载人飞船成功对接空间站，题中的照片拍摄于航天员叶光富、李聪、李广苏进入天和核心舱的瞬间，我们可以看到：一个大质量的包裹悬浮在核心舱中，针对这一情景，下列同学的观点中正确的是（ ）
A．悬浮的包裹受到地球的吸引力相对于地表可以忽略
B．若推动包裹，航天员所需的推力几乎为零
C．天宫号空间站的加速度比北斗系列同步卫星的加速度小
D．只记录空间站的运行周期可估算地球的密度
8．（2024 浙江二模）2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船成功发射，最后对接于空间站天和核心舱径向端口，形成了三舱三船组合体。神舟十六号发射后会在停泊轨道Ⅰ上进行数据确认，在P点瞬间加速后进入转移轨道（椭圆轨转移轨道）Ⅱ，最后在Q点瞬间加速后进入空间站轨道，完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化为如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，飞船和空间站均视为质点，则（ ）
A．飞船在转移轨道Ⅱ上各点的速度均小于7.9km/s
B．不考虑变轨瞬间，飞船在转移轨道Ⅱ上运行时航天员对椅子有压力作用
C．飞船在停泊轨道Ⅰ与组合体在空间站轨道Ⅲ上的速率之比为
D．飞船在转移轨道Ⅱ上正常运行的周期为
9．（2024 金华二模）在2023年9月21日的“天宫课堂”上，同学们与航天员进行互动交流，航天员给同学们解答了与太空垃圾相关的问题。所谓太空垃圾是指在宇宙空间中的各种人造废弃物及其衍生物。假设在空间站观察到如图所示的太空垃圾P、Q、M、N（P、Q、M、N均无动力运行，轨道空间存在稀薄气体），假设空间站和这些太空垃圾均绕地球近似做顺时针方向的圆周运动，则最可能对空间站造成损害的是（ ）
A．P B．Q C．M D．N
10．（2024 金华模拟）2023年8月27日发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，土星约29.5年绕太阳一周。则（ ）
A．土星的运行速度比地球的运行速度大
B．根据题目中的数据可知土星表面重力加速度的数值比地球表面的大
C．下一次出现土星冲日现象是在2024年
D．在相同时间内，土星—太阳中心连线扫过的面积与地球—太阳中心连线扫过的面积相等
11．（2024 东阳市三模）随着航天技术的不断发展，人类终将冲出太阳系，对遥远深空进行探索。如图，a星与b星可以看作双星系统，它们均绕连线上的O（未画）点转动，a星质量是b星的81倍，假设人类发射了两个探测器L1、L2刚好处在该系统的两个拉格朗日点，位于这两个点的探测器能在a星和b星的共同引力作用下绕O点做匀速圆周运动，并保持与a星、b星相对位置不变，探测器L1与a星球心、b星球心的连线构成一个等边三角形，探测器L2在a星、b星连线的延长线上。则（ ）
A．a星和b星的第一宇宙速度之比为9：1
B．a星球心和b星球心到O点的距离之比为81：1
C．探测器L1绕O点运行的加速度比b星的加速度大
D．探测器L1绕O点运行的周期比探测器L2大
12．（2024 浙江二模）近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则（ ）
A．近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为
B．近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为
C．地球表面的重力加速度大小近似为
D．地球的平均密度近似为
13．（2024 镇海区校级模拟）秋分这天太阳光几乎直射赤道。现有一人造卫星在赤道上空距离地面高度为R处绕地球做圆周运动。已知地球的半径为R，地球的质量为M，引力常量为G。则秋分这天在卫星运动的一个周期内，卫星的太阳能电池板接收不到太阳光的时间为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024 温州一模）2024年5月，“嫦娥六号”月球探测器开启主发动机实施制动，进入周期为12h的椭圆环月轨道，近月点A距月心2.0×103km，远月点C距月心1.0×104km，BD为椭圆轨道的短轴。已知引力常量G，下列说法正确的是（ ）
A．根据信息可以求出月球的密度
B．“嫦娥六号”的发射速度大于11.2km/s
C．“嫦娥六号”从B经C到D的运动时间为6h
D．“嫦娥六号”在A点和C点速度之比为5：1
15．（2024 浙江模拟）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（ ）
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
16．（2024 浙江二模）为了粗略测量月球的直径，小月同学在满月的夜晚取来一枚硬币并放置在合适的位置，使之恰好垂直于视线且刚刚遮住整个月亮，然后测得此时硬币到眼睛的距离为x，硬币的直径为d，若已知月球的公转周期为T，地表的重力加速度g和地球半径R，以这种方法测得的月球直径为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024 温州三模）2024年3月20日，我国“鹊桥二号”卫星发射成功，多次调整后进入周期为24h的环月椭圆轨道运行，并与在月球上开展探测任务的“嫦娥四号”进行通讯测试。已知月球自转周期27.3天，下列说法正确的是（ ）
A．月球处于“鹊桥二号”椭圆轨道的中心位置
B．“鹊桥二号”在近月点和远月点的加速度大小相同
C．“鹊桥二号”在远月点的运行速度小于月球第一宇宙速度
D．“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等
18．（2024 镇海区模拟）为简化“天问一号”探测器在火星软着陆的问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示。以火星为参考系，质量为M1的探测器沿1号轨道到达B点时速度为v1，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为M2、速度变为与v1垂直的v2。已知地球的公转周期为T1，火星的公转周期为T2，地球公转轨道半径为r1，以下说法正确的是（ ）
A．火星公转轨道半径r2为
B．喷出气体速度u的大小为
C．假设实现“侧手翻”的能量全部来源于化学能，化学能向动能转化比例为k（k＜1），此次“侧手翻”消耗的化学能
D．考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，则在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔Δt为
19．（2024 镇海区模拟）如图所示，位于教室中央的光源发出一个闪光，闪光照到了教室的前壁和后壁。教室的长度为10m。在平行于教室高速运动的太空飞船上的观察者（ ）
A．测得照到前壁的光速度小于c
B．观测到飞船上的时间进程比教室慢
C．测得教室的长度小于10m
D．观察到光同时到达前、后壁
20．（2024 浙江二模）“中国空间站”在距地面高400km左右的轨道上做匀速圆周运动，在此高度上有非常稀薄的大气，因气体阻力的影响，轨道高度1个月大概下降2km，空间站安装有发动机，可对轨道进行周期性修正。则下列说法中正确的是（ ）
A．“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的周期大于地球同步卫星的周期
B．“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的向心加速度大小稍大于g
C．“中国空间站”在正常轨道上做圆周运动的线速度大小稍大于地球的第一宇宙速度
D．“中国空间站”修正轨道时，发动机应“向后喷火”使空间站加速，但进入目标轨道正常运行后的速度小于修正之前在较低轨道上的运行速度
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