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同步探究学案
课题 8.2 立方根（第二课时） 单元 第八章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1.理解互为相反数的两个数的立方根之间的关系； 2.会用开立方运算求一个数的立方根； 3.会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值，知道立方根的小数点移动规律。
重点 会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值，知道立方根的小数点移动规律。
难点 理解“互为相反数的两个数的立方根之间的关系”。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的_________或__________. 即：x3＝a，那么x叫做a的_________或__________。 2.一个数a的立方根，记作：_____读作：“__________”，其中，a是被开方数，3是________。 3.求一个数的立方根的运算，叫做_______．开立方与立方也互为_______．根据这种互逆关系，可以求一个数的_______。 4.立方根的性质：正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______. 想一想：立方根还有其他性质吗？
新知探究 本节课来研究： 互为相反数的两个数的立方根的关系及用计算器求一个数的立方根（或立方根的近似值）。 探究1：计算和，它们有什么关系？ 和呢？你能从中发现什么规律？ =_____， =_____， _____ =____， =____， ____ 归纳：一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为________。 即：= 也就是说：负号可从“根号内”直接移到“根号______”. 探究2：(1)求 ， ， ，，的值. 对于任意数a， 等于多少 (2) 求， ， ， ， 的值. 对于任意数a， 等于多少 归纳：对于任意数a，，. 例1：求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) . 阅读：实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如 等都是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们。 一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根 （或其近似值）． 有些计算器需要调用备用功能求一个数的立方根，具体操作参见计算器的使用说明． 例2：用计算器求下列各式的值： (1)； (2)（结果保留小数点后三位）． 解：(1) 依次按键_________________， 显示：13． 所． (2) 依次按键_________________， 显示：1.442249570． ∴≈_________． 注意：计算器上显示的1.442249570是的______值。 探究3：（1）用计算器计算， ， ， ，…，你能发现什么规律？（2）用计算器计算（精确到0.001），并利用你发现的规律求， ， 近似值。 规律：可以发现被开方数的小数点向右或向左移动_____位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动_____位． 例3：下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ ；
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．求下列各式的值 ： （1）； （2）； （3） . 2．已知，，则的值为（ ） A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528 3．小明在作业本上做了4道计算题： ①＝；②＝4；③＝6；④ ＝ . 其中他做对了的题目有（ ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 选做题： 4．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)． 【综合拓展类练习】 5．比较下列各组数的大小。 （1）和2.5 ；（2）和
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 2．对于说法错误的是（ ） A．表示的立方根 B．结果等于 C．与的结果相等 D．没有意义 3．求下列各式的值 ： （1）；（2）；（3）. 选做题： 4．若 ，则 x的值为 . 【综合拓展类作业】 5．【发现】 ①； ②； ③； ④； ……； (1)根据上述等式反映的规律,请再写出一个等式： ____________________________________________________________． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若，则； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： (2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
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分课时教学设计
第五课时《8.2 立方根（第二课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要探究互为相反数的两个数的立方根也互为相反数、化简立方根及用计算器求一个数的立方根并探究立方根小数点移动规律。在前面的学习中，学习了立方根的定义，会表示一个数的立方根，理解立方根的性质，并会求一个数的立方根，这些知识为这节课奠定了方法基础和知识基础。用计算器求立方根是对开方运算的深化与拓展，完善了数的开方知识结构。在工程设计、物理计算、建筑测量等实际问题中，常需精确计算立方根，学会使用计算器求解，能让学生更高效地解决实际问题，提升数学应用能力，增强数学与生活的联系.通过探究被开方数与立方根之间的变化规律，利用计算器计算不同倍数关系的被开方数的立方根，让学生观察分析，总结规律，深化对立方根概念的理解，提升学生自主探究能力.
学习者分析 在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全立方数，学生会用计算器计算非负数的平方根的近似值，和被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律. 类比之前学习，学生容易掌握用计算器求立方根的值和探讨出被开方数和其立方根近似值的小数点的移动规律，而对于立方根的化简学生归纳和运用有一定难度，虽然沿袭平方根和算术平方根的探究方法，但是结论较多，较散，应给予时间让学生充分理解。
教学目标 1.理解“互为相反数的两个数的立方根的关系”，渗透由一般到特殊的思想方法； 2.会用开立方运算求一个数的立方根； 3.学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值，知道立方根的小数点移动规律，锻炼数感，发展应用意识和实践能力； 4.通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值.
教学重点 会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值，知道立方根的小数点移动规律。
教学难点 理解“互为相反数的两个数的立方根之间的关系”。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.理解互为相反数的两个数的立方根之间的关系； 2.会用开立方运算求一个数的立方根； 3.会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值，知道立方根的小数点移动规律。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的_________或__________. 即：x3＝a，那么x叫做a的_________或__________。 答案：立方根，三次方根；立方根，三次方根 2.一个数a的立方根，记作：_____读作：“__________”，其中，a是被开方数，3是________。 答案：，三次根号a，根指数 3.求一个数的立方根的运算，叫做_______．开立方与立方也互为_______．根据这种互逆关系，可以求一个数的_______。 答案：开立方，逆运算，立方根 4.立方根的性质：正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______. 答案：正数，负数，0 引言：立方根还有其他性质吗？下面，我们探究互为相反数的两个数的立方根的关系．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫.环节三：新知讲解教师活动3： 探究1：计算和，它们有什么关系？ 和呢？你能从中发现什么规律？ =_____， =_____， _____ =____， =____， ____ 预设：2，-2，=；3，-3，= 归纳：一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数 即：= 也就是说：负号可从“根号内”直接移到“根号外”. 探究2：(1)求 ， ， ，，的值. 对于任意数a， 等于多少 解：(1)； ； ； ； . 归纳：对于任意数a，. 探究2：(2) 求， ， ， ， 的值. 对于任意数a， 等于多少 解：(2)； ； ； ； . 归纳：对于任意数a，. 例1：求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) ==8 (2) = = 0.1 (3) = = 4 介绍：实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如 等都是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们。 一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根 （或其近似值）． 有些计算器需要调用备用功能求一个数的立方根，具体操作参见计算器的使用说明． 例2：用计算器求下列各式的值： (1)； (2)（结果保留小数点后三位）． 解：(1) 依次按键， 显示：13． 所． (2) 依次按键， 显示：1.442249570． ∴≈1.442． 指出：计算器上显示的1.442249570是的近似值。 探究3：（1）用计算器计算…， ， ， ， ，…，你能发现什么规律？ 解：=0.06 =0.6 =6 =60 预设：可以发现被开方数的小数点向右或向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位． 探究3：（2）用计算器计算（精确到0.001），并利用你发现的规律求， ， 近似值。 解：≈4.642 ≈0.4642 ≈0.04642 ≈46.42 归纳：被开方数与立方根小数点的移动规律 求一个数的立方根时，被开方数的小数点每移动三位，其立方根的小数点就会向相应的方向移动一位．也就是说，当被开方数的小数点每向左或向右移动 3n 位时，其立方根的小数点向左或向右移动 n 位，反之，也成立． 例3：下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ ； 解：（1）因为33=27，43=64，即，，所以 （2）因为（4）3=64,（5）3=125, 即， ， 所以学生活动3： 学生独立思考、作答，然后小组讨论，选代表回答问题，然后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过计算，比较得出互为相反数的两个数，立方根也互为相反数. 理解并掌握公式= 、、，并运用所学对立方根进行化简；学会如何使用计算器计算立方根，感受计算器的便捷;观察计算结果，认识到一个数的立方根可能是无限不循环小数，并发现规律，培养学生分析问题、解决问题以及归纳问题的能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：8.2 立方根（第二课时）一、立方根的其它性质 二、用计算器求立方根 （规律）教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．求下列各式的值 ： （1）； （2）； （3） . 解：（1）=4； （2）=；（3） = . 2．已知，，则的值为（ ） A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528 答案：C 3．小明在作业本上做了4道计算题： ①＝；②＝4；③＝6；④ ＝ . 其中他做对了的题目有（ ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 答案：B 选做题： 4．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)． 解：(1)； (2)； (3)． 【综合拓展类练习】 5．比较下列各组数的大小。 （1）和2.5 ；（2）和 解：(1)因为= 9， 2.53 = 15.625 又因为9 < 15.625 所以< 2.5 (2)因为= 4，()3 = 又因为4> 所以>
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 答案：D 2．对于说法错误的是（ ） A．表示的立方根 B．结果等于 C．与的结果相等 D．没有意义 答案：D 3．求下列各式的值 ： （1）；（2）；（3）. 解：（1）= 0.4； （2）=； （3） = =. 选做题： 4．若 ，则 x的值为 . 分析：因为 ， 所以， 因为或或. 解得 ，或 ，或 . 答案：0或1或 【综合拓展类作业】 5．【发现】 ①； ②； ③； ④； ……； (1)根据上述等式反映的规律,请再写出一个等式： ____________________________________________________________． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若，则； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： (2)若与的值互为相反数，且，求a的值． 解：（1） （2）∵与的值互为相反数， ∴+=0， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴．
教学反思 在本节课的教学实践中，坚定不移地将学生置于主体地位，采用启发式教学法，积极激励学生开展自主探索与合作交流活动。精心构建了一系列富有梯度的问题链，以互动学习为纽带，促使学生深入研讨。在探究进程中，学生自主参与热情高涨。教学伊始，引导学生从具体数字着手，进行立方根的计算，随后启发学生观察计算结果，尝试总结其中蕴含的规律。课堂上，小组讨论氛围异常热烈，学生们各抒己见，思维的火花激烈碰撞，经过层层深入的思考，逐步归纳出 “互为相反数的两个数，其立方根同样互为相反数” 这一重要结论。在操作教学环节，多数学生能够严格按照既定流程，精准计算出简单数的立方根。当借助计算器展开进一步计算时，学生们敏锐捕捉到被开方数与立方根之间的变化规律。在小组合作期间，学生们交流频繁，彼此分享思路，主动指出并纠正对方的错误，合作氛围浓郁和谐。这种教学模式淋漓尽致地发挥了学生的主体能动性，卓有成效地培养了学生归纳总结以及灵活运用知识的能力 。
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第八章 实数
8.2 立方根（第二课时）
1.理解互为相反数的两个数的立方根之间的关系；
2.会用开立方运算求一个数的立方根；
3.会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值，知道立方根的小数点移动规律。
1.一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的_________或__________.
即：x3＝a，那么x叫做a的_________或__________。
2.一个数a的立方根，记作：_____读作：“__________”，其中，a是被开方数，3是________。
3.求一个数的立方根的运算，叫做_______．开立方与立方也互为_______．根据这种互逆关系，可以求一个数的_______。
4.立方根的性质：正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
立方根
三次方根
立方根
三次方根
三次根号a
根指数
开立方
逆运算
立方根
正数
负数
0
探究1：计算和，它们有什么关系？ 和呢？你能从中发现什么规律？
=_____， =_____， _____
=____， =____， ____
2
-2
3
-3
互为相反数
=
=
=
一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数
也就是说：负号可从“根号内”直接移到“根号外”.
探究2：(1)求 ， ， ，，的值. 对于任意数a， 等于多少
解：(1)；
；
；
；
.
对于任意数a，
.
探究2：(2) 求， ， ， ， 的值. 对于任意数a， 等于多少
解：(2)；
；
；
；
.
对于任意数a，
.
例1：求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：(1) ==8
(2) = = 0.1
(3) = = 4
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如 等都是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们。
一些计算器设有 键，用它可以求出一个数的立方根 （或其近似值）．
有些计算器需要调用备用功能 求一个数的立方根，具体操作参见计算器的使用说明．
例2：用计算器求下列各式的值：
(1)； (2)（结果保留小数点后三位）．
解：(1) 依次按键 ，
显示：13．
所．
(2) 依次按键 ，
显示：1.442249570．
∴≈1.442．
计算器上显示的1.442249570是的近似值。
探究3：（1）用计算器计算…， ， ， ， ，…，你能发现什么规律？
解：=0.06
=0.6
=6
=60
可以发现被开方数的小数点向右或向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位．
探究3：（2）用计算器计算（精确到0.001），并利用你发现的规律求， ， 近似值。
解：≈4.642
≈0.4642
≈0.04642
≈46.42
被开方数与立方根小数点的移动规律
求一个数的立方根时，被开方数的小数点每移动三位，其立方根的小数点就会向相应的方向移动一位．也就是说，当被开方数的小数点每向左或向右移动 3n 位时，其立方根的小数点向左或向右移动 n 位，反之，也成立．
例3：下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
；
解：（1）因为33=27，43=64，即，，
所以
（2）因为（4）3=64,（5）3=125,
即， ，
所以
【知识技能类练习】必做题：
1．求下列各式的值 ：
（1）； （2）； （3） .
解：（1）=4； （2）=；（3） = .
【知识技能类练习】必做题：
2．已知，，则的值为（ ）
A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528
C
【知识技能类练习】必做题：
3．小明在作业本上做了4道计算题：
①＝；②＝4；③＝6；④ ＝ .
其中他做对了的题目有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
B
【知识技能类练习】选做题：
4．求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
解：(1)；
(2)；
(3)．
【综合拓展类练习】
5．比较下列各组数的大小。
（1）和2.5 ； （2）和
解：(1)因为= 9，
2.53 = 15.625
又因为9 < 15.625
所以< 2.5
(2)因为= 4，()3 =
又因为4>
所以>
立方根
用计算器
求算术平方根
其它性质
计算中的规律
=
.
【知识技能类作业】必做题：
1．下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．对于说法错误的是（ ）
A．表示的立方根 B．结果等于
C．与的结果相等 D．没有意义
D
【知识技能类作业】必做题：
3．求下列各式的值 ：
（1）； （2）； （3） .
解：（1）= 0.4；
（2）= ；
（3） = = .
【知识技能类作业】选做题：
4．若 ，则 x的值为 .
分析：因为 ，
所以，
因为或或.
解得 ，或 ，或 .
0或1或
【综合拓展类作业】
5．【发现】
①；②；
③；④；
……；
(1)根据上述等式反映的规律,请再写出一个等式：
____________________________________________________________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【综合拓展类作业】
（2）∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，
∴．
