第2节 气体的等温变化
[学习目标]
1．理解一定质量的气体，在温度不变的情况下压强与体积的关系。
2．学会通过实验的方法研究问题，探究物理规律，学习用电子表格与图像对实验数据进行处理与分析，体验科学探究过程。
3．理解气体等温变化的p－V图像的物理意义。
4．学会用玻意耳定律计算有关问题。
INCLUDEPICTURE "知识梳理.TIF"
知识点1 等温变化
一定质量的气体，在温度不变的条件下，其压强与体积变化时的关系。
知识点2 实验：探究气体等温变化的规律
1．实验器材
如图所示，有铁架台、带压力表的注射器、铁夹等。
2．研究对象
注射器内被封闭的一段空气柱。
3．数据收集
空气柱的压强p由上方的压力表读出， 体积V用刻度尺上读出的空气柱的长度l乘以空气柱的横截面积S计算。
用手把柱塞缓慢地向下或向上拉，读出体积与压强的几组数据。
4．数据处理
以压强p为纵坐标，以__体积的倒数为横坐标作出p－图像。
5．实验结论
若p－图像是一条过原点的直线。说明压强跟体积的倒数成正比，即压强与体积成反比。
知识点3 玻意耳定律
1．内容
一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比。
2．公式
pV＝C，式中C为常量，或p1V1＝p2V2，其中p1、V1和p2、V2分别表示气体在不同状态下的压强和体积。
3．适用条件
气体的质量一定，温度不变。
[判一判]
1．(1)在探究气体的等温变化实验中空气柱体积变化的快慢对实验没有影响。( )
(2)玻意耳定律是英国科学家玻意耳和法国科学家马略特各自通过实验发现的。( )
(3)公式pV＝C中的C是常量，指当p、V变化时C的值不变。( )
(4)对于温度不同、质量不同、种类不同的气体，C值是相同的。( )
提示：(1)× (2)√ (3)× (4)×
知识点4 气体等温变化的p－V图像
为了直观地描述压强p跟体积V的关系，通常建立p－V坐标系，如图所示。图线的形状为双曲线。由于它描述的是温度不变时的p－V关系，因此称它为等温线。
一定质量的气体，不同温度下的等温线是不同的。
[判一判]
2．(1)气体等温变化的p－V图像是一条倾斜的直线。( )
(2)一定质量的某种气体，在温度保持不变的情况下，压强p与体积V成正比。( )
提示：(1)× (2)×
INCLUDEPICTURE "基础自测.TIF"
1．(封闭气体压强的计算)如图所示，U形管封闭端内有一部分气体被水银封住。已知大气压强为p0，封闭部分气体的压强p(以汞柱为单位)为( )
A．p0＋ph2
B．p0－ph1
C．p0－(ph1＋ph2)
D．p0＋(ph2－ph1)
答案：B
2．(气体等温变化的图像)(多选)一定质量的气体在不同温度下的两条p－图线如图所示。由图可知( )
A．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成正比
B．一定质量的气体在发生等温变化时，其p－图线的延长线是经过坐标原点的
C．T1＞T2
D．T1解析：选BD。这是一定质量的气体在发生等温变化时的p－图线，由图线知p∝，所以p与V应成反比，A错误；由题图可以看出，p－图线的延长线是过坐标原点的，B正确；根据一定质量的气体同体积下温度越高压强越大，可知C错误，D正确。
3．(玻意耳定律的应用)一定质量的气体在温度保持不变时，压强增大到原来的4倍，则气体的体积变为原来的( )
A．4 B．2
C． D．
解析：选D。根据玻意耳定律得温度一定时，气体的压强与体积成反比，所以体积变为原来的。
探究一 探究气体等温变化的规律
INCLUDEPICTURE "重难整合.TIF"
1．实验思路
在保证密闭注射器中气体的质量和温度不变的条件下，通过改变密闭注射器中气体的体积，由压力表读出对应的气体的压强值，进而研究在恒温条件下气体的压强与体积的关系。
2．实验器材
带铁夹的铁架台、注射器、柱塞、压力表、橡胶套、刻度尺。
3．物理量的测量
(1)如图1所示组装实验器材。
(2)利用注射器选取一段空气柱为研究对象，注射器下端的开口有橡胶套，它和柱塞一起把一段空气柱封闭。
(3)把柱塞缓慢地向下压或向上拉，读取空气柱的长度与压强的几组数据。空气柱的长度l可以通过刻度尺读取，空气柱的长度l与横截面积S的乘积就是它的体积V。空气柱的压强p可以从与注射器内空气柱相连的压力表读取。
4．数据分析
(1)作p－V图像
以压强p为纵坐标，以体积V为横坐标，用采集的各组数据在坐标纸上描点，绘出等温曲线，如图2所示，观察p－V 图像的特点看能否得出p、V的定量关系。
(2)作p－图像
以压强p为纵坐标，以为横坐标，在坐标纸上描点。如果p－图像中的各点位于过原点的同一条直线上，如图3所示，就说明压强p跟成正比，即压强与体积成反比。如果不在同一条直线上，我们再尝试其他关系。
(3)实验结论：一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，其压强与体积的倒数成正比。
5．注意事项
(1)改变气体体积时，要缓慢进行。
(2)实验过程中，不要用手接触注射器的外壁。
(3)实验前要在柱塞上涂抹润滑油。
(4)读数时视线要与柱塞底面平行。
(5)作p－图像时，应使尽可能多的点落在直线上，不在直线上的点应均匀分布于直线两侧，偏离太大的点应舍弃掉。
INCLUDEPICTURE "典例引领.TIF"
【例1】 某实验小组用如图所示的装置探究气体做等温变化的规律。已知压力表通过细管与注射器内的空气柱相连，细管隐藏在柱塞内部未在图中标明。压力表中读取空气柱的压强，从注射器旁的刻度尺中读取空气柱的长度。
(1)为了保持封闭气体的质量不变，实验中采取的主要措施是
__________________________________________________________________
________________________________________________________________；
(2)实验过程中，下列说法正确的是________；
A．推拉柱塞时，动作要快，以免气体进入或漏出
B．推拉柱塞时，手不可以握住整个注射器
C．柱塞移至某位置时，应迅速记录此时注射器内气柱的长度和压力表的示数
(3)某同学测出了注射器内封闭气体的几组压强p和体积V的值后，以p为纵轴、为横轴，画出图像如图所示，则产生的可能原因是________。
A．实验过程中有漏气现象
B．实验过程中气体温度降低
C．实验过程中气体温度升高
[解析] (1)为了保持封闭气体的质量不变，实验中采取的主要措施是给柱塞涂上润滑油防止漏气。
(2)若急速推拉柱塞，则有可能造成等温条件不满足的现象，所以应缓慢推拉柱塞，故A错误；手握注射器会使温度变化，故B正确；应等状态稳定后，记录此时注射器内气柱的长度和压力表的示数，故C错误。
(3)图像发生了弯曲，说明在实验中温度发生了变化，因图像向上弯曲，故温度升高了。
[答案] (1)柱塞上涂上润滑油(保证封闭气体质量不变的措施都可以) (2)B (3)C
[针对训练1] (2024·浙江湖州期末)在“探究气体等温变化的规律”实验中，实验装置如图甲所示。用注射器封闭一定质量的空气，连接到气体压强传感器上，用传感器测量封闭气体的压强，用注射器刻度读出气体体积。
(1)多次改变封闭气体的体积，测量出不同体积时气体的压强，用电脑记录下来，并生成p－V图像如图乙所示，由图可猜测p与V可能____________(选填“成正比”“成反比”或“不成比例”)。
(2)实验完成后，某同学作出的图像如图丙所示(其中实线为实验所得，虚线为参考双曲线的一支)，造成这一现象的原因可能是________________________________________________________________________。
A．操作实验时用手握住了注射器
B．实验时环境温度降低了
C．注射器内气体向外泄漏
D．有气体进入注射器内
解析：(1)根据图线进行猜测，p与V可能成反比。
(2)实线与虚线进行比较，当体积V一定时，实验中气体压强偏小，结合pV＝C可知，气体温度降低，即实验时环境温度降低；当压强一定时，实验中气体体积偏小，说明注射器内气体可能向外泄露。
答案：(1)成反比 (2)BC
探究二 封闭气体压强的计算
INCLUDEPICTURE "重难整合.TIF"
1．静止或匀速运动系统中压强的计算方法
(1)参考液片法：选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象，分析液片两侧受力情况，建立受力平衡方程消去面积，得到液片两侧压强相等，进而求得气体压强。
例如，图中粗细均匀的U形管中封闭了一定质量的气体A，在其最低处取一液片B，由其两侧受力平衡可知
(pA＋ph0)S＝(p0＋ph＋ph0)S，即pA＝p0＋ph。
(2)力平衡法：选取与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析，由F合＝0列式求气体压强。
(3)连通器原理：在连通器中，同一种液体(中间液体不间断)的同一水平液面上的压强相等，如图中同一液面C、D处压强相等，pA＝p0＋ph。
2．容器加速运动时封闭气体压强的计算
当容器加速运动时，通常选与气体相关联的液柱、汽缸或活塞为研究对象，并对其进行受力分析，然后根据牛顿第二定律列方程，求出封闭气体的压强。
如图，当竖直放置的玻璃管向上加速运动时，对液柱受力分析有：
pS－p0S－mg＝ma
得p＝p0＋。
INCLUDEPICTURE "典例引领.TIF"
【例2】 如图所示，内壁光滑的汽缸竖直放置在水平地面上，T形活塞的质量为M，下底面积为S，上底面积为4S。若大气压强为p0，重力加速度为g，则被封闭气体的压强p等于( )
A．4p0＋
B．3p0＋
C．p0＋
D．条件不够，无法判断
[解析] 以活塞为研究对象，活塞受重力、大气压力和封闭气体的支持力，根据受力平衡得Mg＋4p0S＝3p0S＋pS，解得p＝p0＋，C正确。
[答案] C
【例3】 如图所示，两端开口的弯折的玻璃管竖直放置，三段竖直管内各有一段水银柱，两段空气封闭在三段水银柱之间，若左、右两管内水银柱长度分别为h1、h2，且水银柱均静止，则中间管内水银柱的长度为( )
A．h1－h2 B．h1＋h2
C． D．
[解析] 设大气压强为p0，中间管内水银柱的长度为h，左边封闭空气的压强p左＝p0－ph1，右边封闭空气的压强p右＝p0＋ph2＝p左＋ph，则h＝h1＋h2，故B正确。
[答案] B
[针对训练2] 有一段12 cm长的汞柱，在均匀玻璃管中封住一定质量的气体，若开口向上将玻璃管放置在倾角为30°的光滑斜面上，在玻璃管下滑过程中被封气体的压强为(大气压强p0＝76 cmHg) ( )
A．76 cmHg B．82 cmHg
C．88 cmHg D．70 cmHg
解析：选A。水银柱所处的状态不是平衡状态，因此不能用平衡条件来处理。水银柱的受力分析如图所示，因玻璃管和水银柱组成的系统的加速度a＝g sin θ，所以对水银柱由牛顿第二定律得：
p0S＋mg sin θ－pS＝ma，
故p＝p0＝76 cmHg。
[针对训练3] (2024·河南周口阶段练)用质量为m的光滑活塞将导热汽缸内的气体与外界隔离开，汽缸的质量为2m，若用细绳连接活塞，把该整体悬挂起来(如图1所示)，活塞距缸底的高度为H，若用细绳连接汽缸缸底，也把该整体悬挂起来(如图2所示)，活塞距缸底的高度为h。设环境温度不变，大气压强为p，且＝p，S为活塞的横截面积，g为重力加速度，则H与h之比为( )
A．3∶4 B．3∶2
C．7∶4 D．5∶4
解析：选B。题图1中，设封闭气体的压强为p1，对汽缸分析，由平衡条件有pS＝p1S＋2mg，解得p1＝p－＝p，气体的体积V1＝HS，题图2中，设封闭气体的压强为p2，对活塞分析，由平衡条件有pS＝p2S＋mg，解得p2＝p－＝p，气体的体积V2＝hS，由玻意耳定律有p1V1＝p2V2，解得＝＝＝。
探究三 玻意耳定律的应用
INCLUDEPICTURE "重难整合.TIF"
1．成立条件：玻意耳定律p1V1＝p2V2是实验定律，只有在气体质量一定、温度不变的条件下才成立。
2．思路和方法
(1)确定研究对象，并判断其是否满足玻意耳定律成立的条件。
(2)确定始、末状态及状态参量(p1、V1、p2、V2)。
(3)根据玻意耳定律列方程p1V1＝p2V2，代入数值求解(注意各状态参量要统一单位)。
(4)有时要检验结果是否符合实际，对不符合实际的结果要舍去。
INCLUDEPICTURE "典例引领.TIF"
【例4】 如图为气压式保温瓶的原理图，保温瓶内水面与出水口的高度差为h，瓶内密封空气体积为V，设水的密度为ρ，大气压强为p0，已知重力加速度为g，欲使水从出水口流出，瓶内空气压缩量ΔV至少为多少？(设瓶内弯曲管的体积不计，压前水面以上管内无水，温度保持不变，各物理量的单位均为国际单位)
[解析] 压水前：气体压强p1＝p0，体积V1＝V
压水后水刚流出时：气体压强p2＝p0＋ρgh
体积V2＝V－ΔV，由玻意耳定律
p1V1＝p2V2得：
p0V＝(p0＋ρgh)(V－ΔV)
解得ΔV＝。
[答案]
【例5】 如图所示，一导热良好、足够长的汽缸竖直放置在水平地面上。汽缸质量m＝5 kg，汽缸内一质量M＝10 kg、面积S＝20 cm2的活塞与汽缸壁光滑密接。当活塞静止时，活塞到汽缸底部的距离L0＝10 cm。已知大气压强p0＝1.0×105 Pa，重力加速度g取10 m/s2。现用一竖直向上的拉力F作用在活塞上，求：
(1)当F＝50 N时，活塞到汽缸底部的距离；
(2)当F缓慢增大到使汽缸恰好离开地面时，活塞到汽缸底部的距离。
[解析] (1)不加外力时，气体的压强p1＝p0＋
解得p1＝1.5×105 Pa
当拉力F＝50 N时，气体压强
p2＝p0＋
解得p2＝1.25×105 Pa
根据玻意耳定律可得p1L0S＝p2L1S
解得L1＝12 cm。
(2)汽缸离开地面时，汽缸受力平衡，有
mg＋p3S＝p0S
解得此时气体的压强p3＝0.75×105 Pa
根据玻意耳定律有p1L0S＝p3L2S
解得L2＝20 cm。
[答案] (1)12 cm (2)20 cm
[针对训练4] 如图甲所示，一端开口、长L＝45 cm的玻璃管放在水平地面上，一段长为5 cm的水银柱恰好处在管口，保持环境温度不变，现将玻璃管逆时针缓慢转至竖直，稳定后如图乙所示。已知当地大气压p0＝75 cmHg，试求玻璃管竖直稳定后水银柱上端到管口的距离。
解析：设玻璃管竖直稳定后水银柱上端到管口的距离为x，玻璃管的横截面积为S，在题图甲位置时有
V1＝40S，p1＝p0＝75 cmHg
在题图乙位置时有
V2＝(40－x)S，p2＝(75＋5) cmHg＝80 cmHg
据玻意耳定律可得p1V1＝p2V2
代入数据解得x＝2.5 cm。
答案：2.5 cm
INCLUDEPICTURE"分层演练素养达标LLL.TIF"[A级——基础达标练]
1．(多选)关于“探究气体等温变化的规律”实验，下列说法正确的是( )
A．实验过程中应保持被封闭气体的质量和温度不发生变化
B．实验中为找到体积与压强的关系，一定要测量空气柱的横截面积
C．为了减小实验误差，可以在柱塞上涂润滑油，以减小摩擦
D．处理数据时采用p－ 图像，是因为p－ 图像比p－ V 图像更直观
解析：选AD。本实验探究采用的方法是控制变量法，所以要保持被封闭气体的质量和温度不变，A正确；由于注射器是圆柱形的，横截面积不变，所以只需测出空气柱的长度即可，B错误；涂润滑油的主要目的是防止漏气，使被封闭气体的质量不发生变化，不仅是为了减小摩擦，C错误；当p与V成反比时，p－ 图像是一条过原点的直线，而p－V 图像是双曲线，所以p－ 图像更直观，D正确。
2．在“探究气体等温变化的规律”实验中，下列四个因素中对实验的准确性影响最小的是( )
A．针筒封口处漏气
B．采用横截面积较大的针筒
C．针筒壁与活塞之间存在摩擦
D．实验过程中用手去握针筒
解析：选B。“探究气体等温变化的规律”实验前提是气体的质量和温度不变，针筒封口处漏气，则气体质量变小，用手握针筒，则气体温度升高，A、D错误；针筒的横截面积大，会使封闭的气体的体积大，结果更精确，B正确；活塞与筒壁的摩擦影响活塞对气体的压强，影响实验的准确性，C错误。
3．如图所示，一个横截面积为S的圆筒形容器竖直放置，容器上端放一金属圆板，金属圆板的上表面是水平的，下表面是倾斜的，下表面与水平面的夹角为θ，圆板的质量为M，不计圆板与容器内壁的摩擦。若大气压强为p0，则被圆板封闭在容器中的气体的压强等于( )
A．
B．＋
C．p0＋
D．p0＋
答案：D
4．如图所示，汽缸倒挂在天花板上，用光滑的活塞密封一定量的气体，活塞下悬挂一个沙漏，保持温度不变。在沙缓慢漏出的过程中，气体的( )
A．压强变大，体积变大
B．压强变大，体积变小
C．压强变小，体积变大
D．压强变小，体积变小
答案：B
5．一个气泡由湖面下20 m深处缓慢上升到湖面下10 m深处，它的体积约变为原来体积的( )
A．3倍 B．2倍
C．1.5倍 D.
解析：选C。气泡缓慢上升的过程中，温度不变，气体等温变化，湖面下20 m处，水的压强约为2个标准大气压(1个标准大气压相当于10 m水产生的压强)，故p1＝3 atm，p2＝2 atm，由p1V1＝p2V2得：＝＝＝1.5，故C正确。
6．粗细均匀的U形管，右端封闭有一段空气柱，两管内水银面高度差为19 cm，封闭端空气柱长度为40 cm，如图所示。求向左管再注入多少水银可使两管水银面等高。(已知外界大气压强p0＝76 cmHg，灌入水银过程中温度保持不变)
解析：以右管中被封闭空气为研究对象。空气在初状态p1＝p0－ph＝(76－19) cmHg＝57 cmHg，V1＝L1S＝40S；末状态p2＝p0＝76 cmHg，V2＝L2S。则由玻意耳定律p1V1＝p2V2，代入数据解得：L2＝30 cm。
需加入的水银柱长度应为h＋2(L1－L2)＝39 cm。
答案：39 cm
7．有一传热性良好的圆柱形汽缸置于水平地面上，并用一光滑的质量为m的活塞密封一定质量的理想气体，活塞面积为S，开始时汽缸开口向上(如图甲)。已知外界大气压强为p0，被封气体的体积为V0。
(1)求被封气体的压强。
(2)现将汽缸倒置(如图乙)，底部气体始终与大气相通，待系统重新稳定后，求活塞移动的距离。
解析：(1)设封闭气体的压强为p，对活塞受力分析有mg＋p0S＝pS，得p＝。
(2)设将汽缸倒置后缸内气压为p1，体积为V1，对活塞受力分析有
mg＋p1S＝p0S，所以p1＝。
对封闭气体运用玻意耳定律有
pV0＝p1V1，
得V1＝
所以Δh＝＝。
答案：(1) (2)
[B级——能力增分练]
8．医院给病人输液的部分装置示意图如图所示，在输液过程中( )
A．A、B瓶中的药液同时用完
B．B瓶中的药液先用完
C．随着液面下降，A瓶内C处气体压强逐渐增大
D．随着液面下降，A瓶内C处气体压强保持不变
解析：选C。药液从B瓶中流下，封闭气体体积增大，温度不变，根据玻意耳定律知，气体压强减小，A瓶中空气将A瓶中的药液压入B瓶补充，使B瓶液面保持不变，直到A瓶液体全部流入B瓶，所以A瓶液体先用完，故A、B错误；A瓶瓶口处压强和大气压相等，但液面下降，液体产生压强减小，因此封闭气体压强增大，故C正确，D错误。
9.(2024·广东广州期中)如图所示，在一端封闭的玻璃管中，用两段水银将管内气体A、B与外界隔绝，管口向下放置，若保持温度不变，将管倾斜，待稳定后，以下关于气体A、B说法正确的是( )
A．气体A的压强不变
B．气体B的压强减小
C．气体A、B的体积都增大
D．气体A、B的体积都减小
解析：选D。被封闭气体B的压强pB＝p0－ρ水银gh2，被封闭气体A的压强pA＝pB－ρ水银gh1＝p0－ρ水银g(h1＋h2)，其中h1、h2分别为上下两端水银柱的竖直高度，故当管倾斜时水银柱竖直高度都将减小，则封闭气体压强pA和pB都增大，又由于气体是等温变化，由玻意耳定律知，气体A、B的压强都增大，体积都减小。
10.
如图所示，竖直静止放置的U形管，左端开口，右端封闭，a、b两段水银柱将A、B两段空气柱封闭在管内。已知水银柱a的长度h1为10 cm，水银柱b的两个液面间的高度差h2为5 cm，大气压强p0＝75 cmHg，则空气柱A、B的压强分别是多少？
解析：设管的横截面积为S，选a的下端面为参考液面，它受向下的压力为(pA＋ph1)S，受向上的大气压力为p0S，由于系统处于静止状态，则
(pA＋ph1)S＝p0S
所以pA＝p0－ph1＝(75－10) cmHg＝65 cmHg
再选b的左下端面为参考液面，由连通器原理知，液柱h2的上表面处的压强等于pB，则
(pB＋ph2)S＝pAS
所以pB＝pA－ph2＝(65－5) cmHg＝60 cmHg。
答案：65 cmHg 60 cmHg
11．如图，一汽缸水平固定在静止的小车上，一质量为m、面积为S的活塞将一定量的气体封闭在汽缸内，平衡时活塞与汽缸底相距L。现让小车以一较小的水平恒定加速度向右运动，稳定时发现活塞相对于汽缸移动了距离d。已知大气压强为p0，不计汽缸和活塞间的摩擦，且小车运动时，大气对活塞的压强仍可视为p0，整个过程中温度保持不变。求小车的加速度的大小。
解析：设小车加速度大小为a，稳定时汽缸内气体的压强为p1，活塞受到汽缸内外气体的压力分别为
F1＝p1S，F0＝p0S
由牛顿第二定律得：F1－F0＝ma
小车静止时，在平衡情况下，汽缸内气体的压强应为p0，设稳定时汽缸内的压强为p1，体积为V1，由玻意耳定律得：p1V1＝p0V，式中V＝SL，V1＝S(L－d)，联立解得：a＝。
答案：
12．如图所示，长为L、横截面积为S的粗细均匀的玻璃管，A端封闭，B端开口。玻璃管中有一个质量为m、厚度不计的活塞，封闭一定质量的气体。当玻璃管水平静止放置时，活塞刚好位于玻璃管的正中央。设大气压强为p0，整个过程中温度始终保持不变，活塞不漏气，且不计活塞与玻璃管之间的摩擦。当玻璃管绕过A端的竖直转动轴OO′在水平面内做匀速转动的过程中，活塞刚好位于玻璃管的B端开口处。求玻璃管转动的角速度大小。(题中物理量均为国际单位制)
解析：选玻璃管水平静止放置时，玻璃管中被封闭的气体为初状态，压强为p1，体积为V1，有
p1＝p0，V1＝S
选玻璃管匀速转动时，玻璃管中被封闭的气体为末状态，压强为p2，体积为V2，有V2＝LS
由玻意耳定律得p0·S＝p2·LS
设玻璃管转动的角速度大小为ω，对活塞，有
p0S－p2S＝mω2L
联立解得ω＝ 。
答案：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)[A级——基础达标练]
1．(多选)关于“探究气体等温变化的规律”实验，下列说法正确的是( )
A．实验过程中应保持被封闭气体的质量和温度不发生变化
B．实验中为找到体积与压强的关系，一定要测量空气柱的横截面积
C．为了减小实验误差，可以在柱塞上涂润滑油，以减小摩擦
D．处理数据时采用p－ 图像，是因为p－ 图像比p－ V 图像更直观
解析：选AD。本实验探究采用的方法是控制变量法，所以要保持被封闭气体的质量和温度不变，A正确；由于注射器是圆柱形的，横截面积不变，所以只需测出空气柱的长度即可，B错误；涂润滑油的主要目的是防止漏气，使被封闭气体的质量不发生变化，不仅是为了减小摩擦，C错误；当p与V成反比时，p－ 图像是一条过原点的直线，而p－V 图像是双曲线，所以p－ 图像更直观，D正确。
2．在“探究气体等温变化的规律”实验中，下列四个因素中对实验的准确性影响最小的是( )
A．针筒封口处漏气
B．采用横截面积较大的针筒
C．针筒壁与活塞之间存在摩擦
D．实验过程中用手去握针筒
解析：选B。“探究气体等温变化的规律”实验前提是气体的质量和温度不变，针筒封口处漏气，则气体质量变小，用手握针筒，则气体温度升高，A、D错误；针筒的横截面积大，会使封闭的气体的体积大，结果更精确，B正确；活塞与筒壁的摩擦影响活塞对气体的压强，影响实验的准确性，C错误。
3．如图所示，一个横截面积为S的圆筒形容器竖直放置，容器上端放一金属圆板，金属圆板的上表面是水平的，下表面是倾斜的，下表面与水平面的夹角为θ，圆板的质量为M，不计圆板与容器内壁的摩擦。若大气压强为p0，则被圆板封闭在容器中的气体的压强等于( )
A．
B．＋
C．p0＋
D．p0＋
答案：D
4．如图所示，汽缸倒挂在天花板上，用光滑的活塞密封一定量的气体，活塞下悬挂一个沙漏，保持温度不变。在沙缓慢漏出的过程中，气体的( )
A．压强变大，体积变大
B．压强变大，体积变小
C．压强变小，体积变大
D．压强变小，体积变小
答案：B
5．一个气泡由湖面下20 m深处缓慢上升到湖面下10 m深处，它的体积约变为原来体积的( )
A．3倍 B．2倍
C．1.5倍 D.
解析：选C。气泡缓慢上升的过程中，温度不变，气体等温变化，湖面下20 m处，水的压强约为2个标准大气压(1个标准大气压相当于10 m水产生的压强)，故p1＝3 atm，p2＝2 atm，由p1V1＝p2V2得：＝＝＝1.5，故C正确。
6．粗细均匀的U形管，右端封闭有一段空气柱，两管内水银面高度差为19 cm，封闭端空气柱长度为40 cm，如图所示。求向左管再注入多少水银可使两管水银面等高。(已知外界大气压强p0＝76 cmHg，灌入水银过程中温度保持不变)
解析：以右管中被封闭空气为研究对象。空气在初状态p1＝p0－ph＝(76－19) cmHg＝57 cmHg，V1＝L1S＝40S；末状态p2＝p0＝76 cmHg，V2＝L2S。则由玻意耳定律p1V1＝p2V2，代入数据解得：L2＝30 cm。
需加入的水银柱长度应为h＋2(L1－L2)＝39 cm。
答案：39 cm
7．有一传热性良好的圆柱形汽缸置于水平地面上，并用一光滑的质量为m的活塞密封一定质量的理想气体，活塞面积为S，开始时汽缸开口向上(如图甲)。已知外界大气压强为p0，被封气体的体积为V0。
(1)求被封气体的压强。
(2)现将汽缸倒置(如图乙)，底部气体始终与大气相通，待系统重新稳定后，求活塞移动的距离。
解析：(1)设封闭气体的压强为p，对活塞受力分析有mg＋p0S＝pS，得p＝。
(2)设将汽缸倒置后缸内气压为p1，体积为V1，对活塞受力分析有
mg＋p1S＝p0S，所以p1＝。
对封闭气体运用玻意耳定律有
pV0＝p1V1，
得V1＝
所以Δh＝＝。
答案：(1) (2)
[B级——能力增分练]
8．医院给病人输液的部分装置示意图如图所示，在输液过程中( )
A．A、B瓶中的药液同时用完
B．B瓶中的药液先用完
C．随着液面下降，A瓶内C处气体压强逐渐增大
D．随着液面下降，A瓶内C处气体压强保持不变
解析：选C。药液从B瓶中流下，封闭气体体积增大，温度不变，根据玻意耳定律知，气体压强减小，A瓶中空气将A瓶中的药液压入B瓶补充，使B瓶液面保持不变，直到A瓶液体全部流入B瓶，所以A瓶液体先用完，故A、B错误；A瓶瓶口处压强和大气压相等，但液面下降，液体产生压强减小，因此封闭气体压强增大，故C正确，D错误。
9.(2024·广东广州期中)如图所示，在一端封闭的玻璃管中，用两段水银将管内气体A、B与外界隔绝，管口向下放置，若保持温度不变，将管倾斜，待稳定后，以下关于气体A、B说法正确的是( )
A．气体A的压强不变
B．气体B的压强减小
C．气体A、B的体积都增大
D．气体A、B的体积都减小
解析：选D。被封闭气体B的压强pB＝p0－ρ水银gh2，被封闭气体A的压强pA＝pB－ρ水银gh1＝p0－ρ水银g(h1＋h2)，其中h1、h2分别为上下两端水银柱的竖直高度，故当管倾斜时水银柱竖直高度都将减小，则封闭气体压强pA和pB都增大，又由于气体是等温变化，由玻意耳定律知，气体A、B的压强都增大，体积都减小。
10.
如图所示，竖直静止放置的U形管，左端开口，右端封闭，a、b两段水银柱将A、B两段空气柱封闭在管内。已知水银柱a的长度h1为10 cm，水银柱b的两个液面间的高度差h2为5 cm，大气压强p0＝75 cmHg，则空气柱A、B的压强分别是多少？
解析：设管的横截面积为S，选a的下端面为参考液面，它受向下的压力为(pA＋ph1)S，受向上的大气压力为p0S，由于系统处于静止状态，则
(pA＋ph1)S＝p0S
所以pA＝p0－ph1＝(75－10) cmHg＝65 cmHg
再选b的左下端面为参考液面，由连通器原理知，液柱h2的上表面处的压强等于pB，则
(pB＋ph2)S＝pAS
所以pB＝pA－ph2＝(65－5) cmHg＝60 cmHg。
答案：65 cmHg 60 cmHg
11．如图，一汽缸水平固定在静止的小车上，一质量为m、面积为S的活塞将一定量的气体封闭在汽缸内，平衡时活塞与汽缸底相距L。现让小车以一较小的水平恒定加速度向右运动，稳定时发现活塞相对于汽缸移动了距离d。已知大气压强为p0，不计汽缸和活塞间的摩擦，且小车运动时，大气对活塞的压强仍可视为p0，整个过程中温度保持不变。求小车的加速度的大小。
解析：设小车加速度大小为a，稳定时汽缸内气体的压强为p1，活塞受到汽缸内外气体的压力分别为
F1＝p1S，F0＝p0S
由牛顿第二定律得：F1－F0＝ma
小车静止时，在平衡情况下，汽缸内气体的压强应为p0，设稳定时汽缸内的压强为p1，体积为V1，由玻意耳定律得：p1V1＝p0V，式中V＝SL，V1＝S(L－d)，联立解得：a＝。
答案：
12．如图所示，长为L、横截面积为S的粗细均匀的玻璃管，A端封闭，B端开口。玻璃管中有一个质量为m、厚度不计的活塞，封闭一定质量的气体。当玻璃管水平静止放置时，活塞刚好位于玻璃管的正中央。设大气压强为p0，整个过程中温度始终保持不变，活塞不漏气，且不计活塞与玻璃管之间的摩擦。当玻璃管绕过A端的竖直转动轴OO′在水平面内做匀速转动的过程中，活塞刚好位于玻璃管的B端开口处。求玻璃管转动的角速度大小。(题中物理量均为国际单位制)
解析：选玻璃管水平静止放置时，玻璃管中被封闭的气体为初状态，压强为p1，体积为V1，有
p1＝p0，V1＝S
选玻璃管匀速转动时，玻璃管中被封闭的气体为末状态，压强为p2，体积为V2，有V2＝LS
由玻意耳定律得p0·S＝p2·LS
设玻璃管转动的角速度大小为ω，对活塞，有
p0S－p2S＝mω2L
联立解得ω＝ 。
答案：
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第二章 气体、固体和液体
第2节 气体的等温变化
[学习目标]
1．理解一定质量的气体，在温度不变的情况下压强与体积的关系。
2．学会通过实验的方法研究问题，探究物理规律，学习用电子表格与图像对实验数据进行处理与分析，体验科学探究过程。
3．理解气体等温变化的p－V图像的物理意义。
4．学会用玻意耳定律计算有关问题。
知识点1 等温变化
一定质量的气体，在____________的条件下，其压强与______变化时的关系。
温度不变
体积
知识点2 实验：探究气体等温变化的规律
1．实验器材
如图所示，有铁架台、带压力表的注射器、铁夹等。
2．研究对象
注射器内___________________________。
3．数据收集
空气柱的压强p由上方的_________读出， 体积V用刻度尺上读出的空气柱的_______乘以空气柱的_____________计算。
用手把柱塞缓慢地向下或向上拉，读出体积与压强的几组数据。
被封闭的一段空气柱
压力表
长度l
横截面积S
压强p
正
反
知识点3 玻意耳定律
1．内容
一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成___比。
2．公式
__＝C，式中C为常量，或p1V1＝______，其中p1、V1和p2、V2分别表示气体在不同状态下的压强和体积。
3．适用条件
气体的质量一定，温度不变。
反
pV
p2V2
[判一判]
1．(1)在探究气体的等温变化实验中空气柱体积变化的快慢对实验没有影响。( )
(2)玻意耳定律是英国科学家玻意耳和法国科学家马略特各自通过实验发现的。( )
(3)公式pV＝C中的C是常量，指当p、V变化时C的值不变。( )
(4)对于温度不同、质量不同、种类不同的气体，C值是相同的。( )
×
√
×
×
知识点4 气体等温变化的p－V图像
为了直观地描述压强p跟体积V的关系，通常建立_____坐标系，如图所示。图线的形状为_________。由于它描述的是温度不变时的p－V关系,因此称它为等温线。
一定质量的气体，不同温度下的等温线是______的。
p－V
双曲线
不同
[判一判]
2．(1)气体等温变化的p－V图像是一条倾斜的直线。( )
(2)一定质量的某种气体，在温度保持不变的情况下，压强p与体积V成正比。( )
×
×
1．(封闭气体压强的计算)如图所示，U形管封闭端内有一部分气体被水银封住。已知大气压强为p0，封闭部分气体的压强p(以汞柱为单位)为
( )
A．p0＋ph2
B．p0－ph1
C．p0－(ph1＋ph2)
D．p0＋(ph2－ph1)
√
√
√
√
探究一 探究气体等温变化的规律
1．实验思路
在保证密闭注射器中气体的质量和温度不变的条件下，通过改变密闭注射器中气体的体积，由压力表读出对应的气体的压强值，进而研究在恒温条件下气体的压强与体积的关系。
2．实验器材
带铁夹的铁架台、注射器、柱塞、压力表、橡胶套、刻度尺。
3．物理量的测量
(1)如图1所示组装实验器材。
(2)利用注射器选取一段空气柱为研究对象，注射器下端的开口有橡胶套,它和柱塞一起把一段空气柱封闭。
(3)把柱塞缓慢地向下压或向上拉,读取空气柱的长度与压强的几组数据。空气柱的长度l可以通过刻度尺读取，空气柱的长度l与横截面积S的乘积就是它的体积V。空气柱的压强p可以从与注射器内空气柱相连的压力表读取。
4．数据分析
(1)作p－V图像
以压强p为纵坐标，以体积V为横坐标，用采集的各组数据在坐标纸上描点，绘出等温曲线，如图2所示，观察p－V 图像的特点看能否得出p、V的定量关系。
(3)实验结论：一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，其压强与体积的倒数成正比。
【例1】 某实验小组用如图所示的装置探究气体做等温变化的规律。已知压力表通过细管与注射器内的空气柱相连，细管隐藏在柱塞内部未在图中标明。压力表中读取空气柱的压强，从注射器旁的刻度尺中读取空气柱的长度。
(1)为了保持封闭气体的质量不变，实验中采取的主要措施是
_______________________________________________________________
____________________________________________________________；
(2)实验过程中，下列说法正确的是________；
A．推拉柱塞时，动作要快，以免气体进入或漏出
B．推拉柱塞时，手不可以握住整个注射器
C．柱塞移至某位置时，应迅速记录此时注射器内气柱的长度和压力表的示数
√
√
[解析] (1)为了保持封闭气体的质量不变，实验中采取的主要措施是给柱塞涂上润滑油防止漏气。
(2)若急速推拉柱塞，则有可能造成等温条件不满足的现象，所以应缓慢推拉柱塞，故A错误；手握注射器会使温度变化，故B正确；应等状态稳定后，记录此时注射器内气柱的长度和压力表的示数，故C错误。
(3)图像发生了弯曲，说明在实验中温度发生了变化，因图像向上弯曲，故温度升高了。
[针对训练1] (2024·浙江湖州期末)在“探究气体等温变化的规律”实验中，实验装置如图甲所示。用注射器封闭一定质量的空气，连接到气体压强传感器上，用传感器测量封闭气体的压强，用注射器刻度读出气体体积。
(1)多次改变封闭气体的体积，测量出不同体积时气体的压强，用电脑记录下来，并生成p－V图像如图乙所示，由图可猜测p与V可能____________(选填“成正比”“成反比”或“不成比例”)。
(2)实验完成后，某同学作出的图像如图丙所示(其中实线为实验所得，虚线为参考双曲线的一支)，造成这一现象的原因可能是________。
A．操作实验时用手握住了注射器
B．实验时环境温度降低了
C．注射器内气体向外泄漏
D．有气体进入注射器内
解析：(1)根据图线进行猜测，p与V可能成反比。
(2)实线与虚线进行比较，当体积V一定时，实验中气体压强偏小，结合pV＝C可知，气体温度降低，即实验时环境温度降低；当压强一定时，实验中气体体积偏小，说明注射器内气体可能向外泄露。
答案：(1)成反比 (2)BC
探究二 封闭气体压强的计算
1．静止或匀速运动系统中压强的计算方法
(1)参考液片法：选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象，分析液片两侧受力情况，建立受力平衡方程消去面积，得到液片两侧压强相等，进而求得气体压强。
例如，图中粗细均匀的U形管中封闭了一定质量的气体A，在其最低处取一液片B，由其两侧受力平衡可知
(pA＋ph0)S＝(p0＋ph＋ph0)S，即pA＝p0＋ph。
(2)力平衡法：选取与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析，由F合＝0列式求气体压强。
(3)连通器原理：在连通器中，同一种液体(中间液体不间断)的同一水平液面上的压强相等，如图中同一液面C、D处压强相等，pA＝p0＋ph。
√
√
[针对训练2] 有一段12 cm长的汞柱，在均匀玻璃管中封住一定质量的气体，若开口向上将玻璃管放置在倾角为30°的光滑斜面上，在玻璃管下滑过程中被封气体的压强为(大气压强p0＝76 cmHg) ( )
A．76 cmHg B．82 cmHg
C．88 cmHg D．70 cmHg
√
解析：水银柱所处的状态不是平衡状态，因此不能用平衡条件来处理。水银柱的受力分析如图所示，因玻璃管和水银柱组成的系统的加速度a＝g sin θ，所以对水银柱由牛顿第二定律得：
p0S＋mg sin θ－pS＝ma，
故p＝p0＝76 cmHg。
√
探究三 玻意耳定律的应用
1．成立条件：玻意耳定律p1V1＝p2V2是实验定律,只有在气体质量一定、温度不变的条件下才成立。
2．思路和方法
(1)确定研究对象，并判断其是否满足玻意耳定律成立的条件。
(2)确定始、末状态及状态参量(p1、V1、p2、V2)。
(3)根据玻意耳定律列方程p1V1＝p2V2，代入数值求解(注意各状态参量要统一单位)。
(4)有时要检验结果是否符合实际，对不符合实际的结果要舍去。
【例4】 如图为气压式保温瓶的原理图，保温瓶内水面与出水口的高度差为h，瓶内密封空气体积为V，设水的密度为ρ，大气压强为p0，已知重力加速度为g，欲使水从出水口流出，瓶内空气压缩量ΔV至少为多少？(设瓶内弯曲管的体积不计，压前水面以上管内无水，温度保持不变，各物理量的单位均为国际单位)
【例5】 如图所示，一导热良好、足够长的汽缸竖直放置在水平地面上。汽缸质量m＝5 kg，汽缸内一质量M＝10 kg、面积S＝20 cm2的活塞与汽缸壁光滑密接。当活塞静止时，活塞到汽缸底部的距离L0＝10 cm。已知大气压强p0＝1.0×105 Pa，重力加速度g取10 m/s2。现用一竖直向上的拉力F作用在活塞上，求：
(1)当F＝50 N时，活塞到汽缸底部的距离；
(2)当F缓慢增大到使汽缸恰好离开地面时，活塞到汽缸底部的距离。
[针对训练4] 如图甲所示，一端开口、长L＝45 cm的玻璃管放在水平地面上，一段长为5 cm的水银柱恰好处在管口，保持环境温度不变，现将玻璃管逆时针缓慢转至竖直，稳定后如图乙所示。已知当地大气压p0＝75 cmHg，试求玻璃管竖直稳定后水银柱上端到管口的距离。
解析：设玻璃管竖直稳定后水银柱上端到管口的距离为x，玻璃管的横截面积为S，在题图甲位置时有
V1＝40S，p1＝p0＝75 cmHg
在题图乙位置时有
V2＝(40－x)S，p2＝(75＋5) cmHg＝80 cmHg
据玻意耳定律可得p1V1＝p2V2
代入数据解得x＝2.5 cm。
答案：2.5 cm
