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专题2：导数中零点与求参问题---自检定时练--详解版
单选题
1.函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】对函数求导，求出函数的单调区间，再求出函数的最小值即可判断函数的零点个数.
【详解】．
令，，则，故在上单调递增．因为，，所以存在唯一的，
使得，即，即，所以，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以，
所以函数的零点个数为1．
故选：B
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，判断函数的单调性，计算端点处的函数值，结合零点存在性定理即可求解.
【详解】由于，，且中，
故，在单调递增，
因此至多一个零点，
,,，
因此的零点所在的区间是，
故选：C
3．已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为，所以令，题意转化成有两个根，分和两种情况，当时，可转化成和有两个交点，通过导数画出的图象即可求解
【详解】，
令，显然该函数单调递增，，则有两个根，
当时，等式为，不符合题意；
故，等式转化为有两个根，即和有两个交点，
设，求导得，
故当时，，故在上单调递减；
时，，单调递增；
且当时，，，
故如图所示
由图可得，的取值范围是
故选：A.
4.已知有4个不同的零点，则实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，可得，于是问题转化为函数与直线和的图象分别有两个不同的交点，然后作出函数的图象，观察图象即可得解．
【详解】令，可得，所以或，
易知不是方程的根，所以或，
令函数，则，
故当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，时，，时，，
作函数图象如下，
由图可知方程有两个不同的根，
由题意可得方程有4个不同的根，
所以方程即有两个不同的实数根，且与方程的根不重合，
即函数与直线的图象有两个不同的交点，
由图象可知，要使函数与直线的图象有两个不同的交点，
则需且，即且，
又，所以，
结合别的选项可知，实数a的取值可以为.
故选：D.
5.已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可
【详解】若有两个零点，则有两个解，
等价于有两个解，因为，，所以，
令，原式等价于有两个解，
因为，则当时，所以在上单调递增，
所以有两个大于零的解.
解，可得，令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图：
所以当时，有两个交点，即有两个零点.
故选：A
6若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，无零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，令，得到关于的不等式，解不等式即可求解.
【详解】当时，则，，
所以在上单调递增，且，，
在内存在唯一零点；
因为函数在其定义域内只有一个零点，
所以当时，无零点，
，令，则或（舍去），
在上单调递减，在上单调递增，
则，即.
故选：C
多选题
7.已知函数，为的导函数，则（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．在区间上单调递增
C．在区间上有极小值
D．在区间上有两个零点
【答案】BC
【分析】求出函数，再利用导数的几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零点个数判断D.
【详解】依题意，，
对于A，，，所求切线方程为，A错误；
对于B，当时，，在区间上单调递增，B正确；
对于C，在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，，则存在唯一，使得，
当时，；当时，，因此在处取得极小值，C正确；
对于D，由选项C知，在上有唯一零点，又，
当时，，即，，
因此在区间上有1零点，D错误.
故选：BC
8.函数的零点个数可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解.
【详解】由，，得，
求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数.
函数的导函数，当时；当时.
所以函数在上单调递增，在单调递减.
时有最大值，时，
时，，.
过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示.
所以函数的零点个数为1个或2个.
故选：AB.
填空题
9.已知函数恰有一个零点，则 .
【答案】2
【分析】先通过，确定极值点得到，再验证的充分性即可；
【详解】解：易得，且当时，，当时，，所以要使恰有一个零点，
则在左侧附近单调递减，右侧附近单调递增，
即在处取到最小值，且又，
所以，解得
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，即恒成立，
所以当且仅当时，恰有一个零点.
故答案为：
10.函数只有一个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据条件，将问题转化成与有且只有一个交点，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得出的图象，数形结合，即可求解.
【详解】因为，易知，所以不是零点，
令，即，得到，令，，
则，
易知恒成立，由，得到，
当时，，时，，时，，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
又易知，当，且时，，时，，
当时，时，，且，
当时，时，，所以的图象如图所示，
由题知与有且只有一个交点，所以，
故答案为：.
解答题
11.已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：函数只有一个零点；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）构造函数，利用导数证明恒成立，再探讨在无零点，结合即可得证明.
【详解】（1）函数，求导得，则，又，
所以在处的切线方程为，即.
（2）当时，，，则恒成立，
在上无零点；
当时，；
当时，令，则，
令，则，即在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
因此，则当，恒成立，在上无零点，
所以函数只有一个零点.
12．已知函数．
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求，计算即可得到切线方程.
（2）求，讨论的取值，确定函数的单调性，结合题目条件可求的取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以在处的切线方程为，即．
（2）由得，
设，则在上单调递增，，
当时，在区间上单调递增，
因为，所以在区间上没有零点.
当，即时，在区间上单调递减，
所以在区间上没有零点.
当时，，
存在，使得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因为，所以要使有零点，需满足，
即，综上得的取值范围是．
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专题2：导数中零点与求参问题---自检定时练--学生版
【1】知识清单
由函数零点的情况求参数.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知有4个不同的零点，则实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
5.已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
多选题
7.已知函数，为的导函数，则（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．在区间上单调递增
C．在区间上有极小值
D．在区间上有两个零点
8.函数的零点个数可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题
9.已知函数恰有一个零点，则 .
10.函数只有一个零点，则实数的取值范围是 .
解答题
11.已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：函数只有一个零点；
12．已知函数．
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D A C AB BC
9.【答案】2
10.【答案】
11.【答案】(1) (2)证明见解析
12.【答案】(1) (2)
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