中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年七年级下册数学第一次月考模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）若点在直线上，点为直线外一点，，设点到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）下列语句，说法错误的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．同角的余角相等 D．连接两点的线段，叫做这两点间的距离
7．（本题3分）已知，下列图形中，能确定的是（ ）
A．B．C． D．
8．（本题3分）已知圆的半径为，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（ ）
A．224 B．220 C．198 D．154
填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）已知的补角的度数为，则的度数为 ．
12．（本题3分）如图，在四边形中，点在的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得，则添加的条件可以是______（填出一个即可）．
13．（本题3分）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，其理由为 ．
14．（本题3分）若定义，则 ．
15．（本题3分）已知，则
16．（本题3分）如图，社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边宽度为米的平行四边形小路，其余部分种植草坪，则草坪面积为 平方米．（用含、的代数式表示）
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本题8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（本题8分）利用网格画图．
(1)过点C画的平行线：
(2)过点C画的垂线，垂足为；
(3)线段的长度是点C到直线__________的距离；
(4)连接，，在线段，，中，线段__________最短，理由：____________________．
19．（本题8分）先化简，再求值：，其中、．
20．（本题8分）已知，，求的值．
21．（本题8分）如下图，如果，那么与平行吗？与呢？请说明理由．
22．（本题10分）某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距c米．
(1)用多项式表示一个游泳池的面积；
(2)当时，求两个游泳池的总面积．
23．（本题10分）如图，直线、相交于点，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
24．（本题12分）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；
(3)试利用此公式计算：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年七年级下册数学第一次月考模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定．
【详解】解：根据平行线的定义可知①③④是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线，
所以属于平行线的有3个，
故选D．
2．（本题3分）通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：用科学记数法可表示为．
故选：D．
3．（本题3分）若点在直线上，点为直线外一点，，设点到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段最短即可得到答案．
【详解】解：根据题意由垂线段最短得，
故选： B．
4．（本题3分）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，解题关键是准确理解定义，正确判断．
【详解】解：．的两边不是的两边的反向延长线，则与不是对顶角，故该选项不符合题意；
．与没有公共顶点，不是对顶角，故该选项不符合题意；
．与是对顶角，故该选项符合题意；
．的两边不是的两边的反向延长线，则与不是对顶角，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．（本题3分）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，熟练掌握公式是解题的关键．
根据平方差公式判断解答即可．
【详解】解：A．不符合平方差公式，本选项错误；
B．不符合平方差公式，本选项错误；
C．符合平方差公式，本选项正确；
D．不符合平方差公式，本选项错误；
故选：C．
6．（本题3分）下列语句，说法错误的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．同角的余角相等 D．连接两点的线段，叫做这两点间的距离
【答案】D
【分析】本题考查了余角和补角，直线的性质，线段的性质，两点间的距离，根据余角和补角，直线的性质，线段的性质，两点间的距离，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，故A不符合题意；
B、两点确定一条直线，正确，故B不符合题意；
C、同角的余角相等，正确，故C不符合题意；
D、连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离，原说法错误，故D符合题意；
故选：D．
7．（本题3分）已知，下列图形中，能确定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都可以判定两条被截直线平行，解决本题的关键是判断和是由哪两条直线被截形成的角．
【详解】解：A选项：和是直线、被直线所截形成的同位角，当时，根据同位角相等，两直线平行可证，不能证明，故A选项不符合题意；
B选项：和是直线、被直线所截形成的内错角，当时，根据内错角相等，两直线平行可证，故B选项符合题意；
C选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故C选项不符合题意；
D选项：和不是直线、被第三条直线所截形成的角，当时，不能判断，故D选项不符合题意．
故选：B ．
8．（本题3分）已知圆的半径为，则其面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查积的乘方，正确运用运算法则运算是关键．根据圆的面积公式与积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：圆的面积，
故选：B
9．（本题3分）某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算．首先根据整式的减法法则求出原来的多项式，再根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案．
【详解】解：
，
．
故选：C．
10．（本题3分）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（ ）
A．224 B．220 C．198 D．154
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数的平方差．
设两个连续偶数为和（k为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可．
【详解】解：设两个连续偶数为和（k为正整数），
∴，
若，解得，
∵k为正整数，
∴A选项不合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴B选项符合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴C选项不合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴D选项不合题意；
故选：B．
填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）已知的补角的度数为，则的度数为 ．
【答案】
【分析】此题考查了互为补角的概念：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．根据概念进行计算．
【详解】解：根据互为补角的概念，得
的度数为：．
故答案为：．
12．（本题3分）如图，在四边形中，点在的延长线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，若使得，则添加的条件可以是______（填出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线判定定理得出结果即可．
【详解】解：，
（内错角相等，两直线平行），
∵，
（同旁内角互补，两直线平行），
∵，
（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：（答案不唯一）．
13．（本题3分）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，其理由为 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答．
【详解】∵
∴他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
14．（本题3分）若定义，则 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据题中定义列出算式，利用单项式乘多项式运算，再合并即可求解．
【详解】解：根据题意，得
．
故答案为：．
15．（本题3分）已知，则
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式的乘法，根据多项式乘法法则将括号展开后再合并，根据系数相等求出的值，最后代入计算即可．
【详解】解：
又
∴
∴，
∴，
故答案为：．
16．（本题3分）如图，社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边宽度为米的平行四边形小路，其余部分种植草坪，则草坪面积为 平方米．（用含、的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，解题关键是能正确理解题意用、表示出草坪的面积．根据题意用长方形的面积减去平行四边形的面积，表示出草坪的面积再化简即可解答．
【详解】解：（平方米），
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本题8分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，积的乘方和整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算括号内的运算，然后计算除法即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
（2）先计算积的乘方，进而利用整式的除法运算法则计算得出答案；
【详解】（1）解：
.
（2）解：
．
18．（本题8分）利用网格画图．
(1)过点C画的平行线：
(2)过点C画的垂线，垂足为；
(3)线段的长度是点C到直线__________的距离；
(4)连接，，在线段，，中，线段__________最短，理由：____________________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)；垂线段最短
【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短．
①根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可；
②根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点；
③根据点到直线的距离概念回答；
④根据垂线段最短直接回答即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）线段的长度是点到直线的距离；
故答案为：；
（4）连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
19．（本题8分）先化简，再求值：，其中、．
【答案】；
【分析】本题考查整式化简求值；先根据多项式乘以多项式法则及完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，得出最简结果，然后代入求值即可．
【详解】解：
；
当、时，原式
．
20．（本题8分）已知，，求的值．
【答案】
【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则及其逆运算是解题的关键，先利用同底数幂的乘法把变为，再利用幂的乘方把变为，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴．
21．（本题8分）如下图，如果，那么与平行吗？与呢？请说明理由．
【答案】，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，根据对顶角的性质求出，然后可根据“同旁内角互补，两直线平行”判断；根据平角定义求出，然后根据“内错角相等，两直线平行”判断即可．
【详解】解：，．
理由如下：
因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
因为，
所以
因为，
所以，
所以．
22．（本题10分）某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距c米．
(1)用多项式表示一个游泳池的面积；
(2)当时，求两个游泳池的总面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了整式乘法的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）根据图形表示出每一个游泳池的长与宽，即可表示出面积；
（2）结合（1）的结论，将带入到整式并计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意得：；
（2）两个游泳池的面积为，
将代入上式，得．
∴两个游泳池的总面积为．
23．（本题10分）如图，直线、相交于点，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，角的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确的求出角的度数．
（1）由对顶角相等得，角平分线的定义得，进而可求出答案；
（2）由角平分线的定义得，，然后角的和差关系进行计算，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵直线相交于点，，
∴
∵平分，
∴
∵，
∴
（2）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
24．（本题12分）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；
(3)试利用此公式计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据正方形、长方形的面积公式即可求解；
（2）根据题目已知，两图形面积相等即可写出公式；
（3）根据任何数（或式）乘以，仍得这个数（或式），即可将原式变形为，然后反复运用平方差公式，即可求出结果．
【详解】（1）解：依题意得，；
（2）解：依据阴影部分的面积相等，可得；
（3）解：原式，
，
，
，
，
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
