1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞--高中物理选择性必修一素养提升学案
文档属性
| 名称 | 1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞--高中物理选择性必修一素养提升学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-03-12 14:01:16 | ||
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文档简介
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高中物理选择性必修一素养提升学案
第一章 动量守恒定律
1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞
【核心素养目标】
1.物理观念
了解碰撞的分类，知道弹性碰撞和非弹性碰撞的特点。
2. 科学思维
能根据实际情况合理选取弹性碰撞或非弹性碰撞规律解决一维碰撞问题。
3. 科学探究
通过演示实验探究弹性碰撞特点和规律。
4. 科学态度与责任
感受不同碰撞类型的区别，培养学生的探究精神，体会用守恒定律分析物理问题的方法。
【知识点探究】
知识点一 弹性碰撞和非弹性碰撞
1．弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞。
2．非弹性碰撞：如果系统在碰撞后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞。
【特别提醒】 碰后两物体“合”为一体，具有共同的速度，这种碰撞动能损失最大，称为完全非弹性碰撞。
知识点二 弹性碰撞的实例分析
1．正碰：
两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。如图所示。
2．弹性正碰特点
(1)碰前两物体的质量分别为m1、m2，速度分别为v1、v2，且v1≠0，v2＝0，碰后两个物体的速度分别为v1′和v2′，则v1′＝v1，v2′＝v1。
(2)若m1＝m2的两球发生弹性正碰，v1≠0，v2＝0，则v1′＝0，v2′＝v1，即两者碰后交换速度。
(3)若m1 m2，v1≠0，v2＝0，则二者弹性正碰后，v1′＝－v1，v2′＝0。表明m1被反向以原速率弹回，而m2仍静止。
(4)若m1 m2，v1≠0，v2＝0，则二者弹性正碰后，v1′＝v1，v2′＝2v1。表明m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去。
【考点探究】
考点1 碰撞的特点和规律
如图为两钢性摆球碰撞时的情景。
(1)两球质量相等，将一球拉到某位置释放，发现碰撞后，入射球静止，被碰球上升到与入射球释放时同样的高度，说明了什么？
(2)若碰撞后两球粘在一起，发现两球上升的高度仅是入射球释放时的高度的四分之一，说明了什么？
提示：(1)两球在最低点碰撞时，满足动量守恒条件，二者组成系统动量守恒，入射球静止，被碰球上升同样的高度，说明该碰撞过程中机械能不变。
(2)碰撞中动量守恒，机械能不守恒。
【归纳总结】．碰撞过程的五个特点
(1)时间特点：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。
(2)相互作用力的特点：在相互作用过程中，相互作用力先是急剧增大，然后急剧减小，平均作用力很大。
(3)动量的特点：系统的内力远远大于外力，所以系统即使所受合外力不为零，外力也可以忽略，系统的总动量守恒。
(4)位移特点：碰撞过程时间极短，在物体发生碰撞瞬间，可忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后仍在原位置。
(5)能量特点：碰撞前总动能Ek与碰撞后总动能Ek′满足Ek≥Ek′。
考点二、碰撞的种类及遵从的规律
种类 遵从的规律
弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒
非弹性碰撞 动量守恒，机械能有损失
完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能损失最大碰后速度相等(或成为一体)
考点三、特殊的弹性碰撞——运动物体碰静止物体
遵从的规律 动量守恒m1v1＝m1v1′＋m2v2′，机械能守恒m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
碰后结果 v1′＝v1，v2′＝v1
特殊情况 若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1
若m1 m2，则v1′＝v1，v2′＝2v1
若m1 m2，则v1′＝－v1，v2′＝0
考点三 碰撞可能性的判断
质量为m1的物体，以速度v1与原来静止的物体m2发生弹性碰撞，如图所示。
设碰撞后它们的速度分别为v1′和v2′，碰撞前后的速度方向均在同一直线上。
(1)碰后若两球沿同一方向向右运动，v1′能大于v2′吗？
(2)碰后两者的动能之和能大于m1原来的动能吗？
提示：(1)不能。 (2)不能。
判断碰撞过程是否存在的依据
1．满足动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′。
2．满足动能不增加原理：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′。
3．速度要符合情景
(1)如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v后>v前，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的速度v前′≥v后′。
(2)如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。若碰后沿同向运动，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度，即v前≥v后。
碰撞合理性问题的分析思路
(1)若题目为选择题，可先根据“速度合理性原则”排除掉部分选项。
(2)对一个给定的碰撞，除了看动量是否守恒，还要看总动能是否增加，在验证动能不增加时，要灵活应用Ek＝、p＝、Ek＝pv或p＝等关系式。在满足以上两种情况下还应注意“速度合理性原则”。
【典例分析】
【典例1】 如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接，质量为m1的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为m2的小球发生碰撞，碰撞后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球m2的速度大小v2。(重力加速度为g)
[解析] 设m1碰撞前瞬间的速度为v，根据机械能守恒定律有m1gh＝m1v2，解得v＝ ①
设碰撞后m1与m2的速度分别为v1和v2，根据动量守恒定律有m1v＝m1v1＋m2v2 ②
由于碰撞过程中无机械能损失
m1v2＝m1v＋m2v ③
联立②③式解得v2＝ ④
将①代入④得v2＝。
[答案]
【典例2】 （2023辽宁大连金州高中三模）如图所示，甲和他的冰车总质量，甲推着质量的小木箱一起以速度向右滑行。乙和他的冰车总质量也为，乙以同样大小的速度迎面而来。为了避免相撞，甲将小木箱以速度v沿冰面推出，木箱滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，则小木箱的速度v可能为（ ）
A. B. C. D.
【解析】
对于甲和箱子根据动量守恒得
对于乙和箱子根据动量守恒得
当甲乙恰好不相碰，则
联立解得
若要避免碰撞，则需要满足
【答案】CD
处理碰撞问题的几个关键点
(1)选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞时，要合理选取所研究的系统。
(2)弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞。
(3)弄清碰撞过程中存在的关系：能量转化关系、几何关系、速度关系等。
【同步训练】
1．如图所示，光滑曲面下端与光滑水平面相切，一质量为m的弹性小球P沿曲面由静止开始下滑，与一质量为km（k为大于0的正整数）且静止在水平地面上的弹性小球Q发生弹性正碰。为使二者只能发生一次碰撞，下列关于k的取值可能正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】设两球碰撞前P的速度为v0，碰后P与Q的速度分别为v1与v2，取水平向右为正方向，由动量守恒定律及机械能守恒定律分别得|：
mv0＝mv1+kmv2，mv02＝mv12+kmv22，联立解得： v1＝v0，v2＝v0。
。为使二者只能发生一次碰撞，必须满足|v1|＜|v2|，又k为大于0的正整数，所以解得 0＜k≤3，即k的取值可能为1、2、3．故选项ABC正确，D错误。
2.(2020·河北邯郸期末)汽车A和汽车B静止在水平地面上，某时刻汽车A开始倒车，结果汽车A撞到了停在它正后方的汽车B，汽车B上装有智能记录仪，能够测量并记录汽车B前面的物体相对于汽车B自身的速度。在本次碰撞中，如果汽车B的智能记录仪测得碰撞前瞬间汽车A的速度大小为v0，已知汽车A的质量是汽车B质量的2倍，碰撞过程可视为弹性碰撞，则碰后瞬间汽车A相对于地面的速度大小为( )
A．v0 B．v0 C．v0 D．v0
【答案】C
【解析】两汽车发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，设碰撞后A、B的速度分别为v1、v2，以碰撞前A的速度方向为正方向，设B的质量为m，则A的质量为2m，由动量守恒定律得2mv0＝2mv1＋mv2，由机械能守恒定律得·2mv＝·2mv＋mv，解得v1＝v0，选项C正确。
3．如图甲所示，在光滑水平面上的两小球发生正碰，小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的x t(位移—时间)图像。已知m1＝0.1 kg。由此可以判断 ( )
A．碰前质量为m2的小球静止，质量为m1的小球向右运动
B．碰后质量为m2的小球和质量为m1的小球都向右运动
C．m2＝0.3 kg
D．碰撞过程中系统损失了0.4 J的机械能
【答案】AC
【解析】由题中图乙可知，质量为m1的小球碰前速度v1＝4 m/s，碰后速度为v1′＝－2 m/s，质量为m2的小球碰前速度v2＝0，碰后的速度v2′＝2 m/s，两小球组成的系统碰撞过程动量守恒，有m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，代入数据解得m2＝0.3 kg，所以选项A、C正确，选项B错误；两小球组成的系统在碰撞过程中的机械能损失为ΔE＝m1v ＋m2v －＝0，所以碰撞是弹性碰撞，选项D错误。
4. 小球1追碰小球2，碰撞前两球的动量分别为p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，正碰后小球2的动量p2′＝10 kg·m/s，两球的质量关系可能是( )
A．m2＝m1 B．m2＝2m1
C．m2＝4m1 D．m2＝6m1
【答案】C
【解析】由动量守恒定律，很容易得碰后小球1的动量p1′＝2 kg·m/s，这丝毫不能反映出两球的质量关系，这就要从题中内含的其他关系去寻找。首先，“追碰”表明碰前小球1的速度大于小球2的速度，即v1>v2，由v＝可得>，即m2>，排除了选项A的可能；按同样思路，碰后应有v1′≤v2′，≤，有m2≤5m1，排除了选项D的可能；由动能不增原则可知Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′，由动能Ek与动量p的关系Ek＝，可得＋≥＋，即有m2≥，排除了选项B；综合以上结论得≤m2≤5m1，只有选项C正确。]
4．(多选)(2020·吉林长春第七中学高二上月考)如图所示，质量相等的A、B两个球，原来在光滑水平面上沿同一直线相向做匀速直线运动，A球的速度是6 m/s，B球的速度是－2 m/s，不久后A、B两球发生了对心碰撞。对于该碰撞之后的A、B两球速度的可能值，某实验小组的同学们做了很多种猜测，下面的猜测结果可能正确的是( )
A．vA′＝－2 m/s，vB′＝6 m/s
B．vA′＝2 m/s，vB′＝2 m/s
C．vA′＝3 m/s，vB′＝1 m/s
D．vA′＝－3 m/s，vB′＝7 m/s
【答案】AB
【解析】设每个球的质量为m，碰撞前系统的总动量p＝mvA＋mvB＝6m－2m＝4m(kg·m/s)，碰撞前的总动能Ek＝mv＋mv＝20m(J)，若vA′＝－2 m/s，vB′＝6 m/s，则碰撞后的总动量p′＝mvA′＋mvB′＝4m(kg·m/s)，动量守恒，总动能Ek′＝mv′＋mv′＝20m(J)，总动能也守恒，A可能实现，故A正确；若vA′＝2 m/s，vB′＝2 m/s，碰撞后的总动量p′＝mvA′＋mvB′＝4m(kg·m/s)，总动能Ek′＝mv′＋mv′＝4m(J)，动量守恒，总动能不增加，B可能实现，故B正确；若vA′＝3 m/s，vB′＝1 m/s，碰撞后A、B向正方向运动且A的速度大于B的速度，不符合实际，C不可能实现，故C错误；若vA′＝－3 m/s，vB′＝7 m/s，碰撞后的总动量p′＝mvA′＋mvB′＝4m(kg·m/s)，总动能Ek′＝mv′＋mv′＝29m(J)，动量守恒，总动能增加，违反能量守恒定律，不可能实现，故D错误。]
5.（2023河北衡水中学一模）在光滑水平面上沿一条直线运动的滑块Ⅰ、Ⅱ发生正碰，碰后立即粘在一起运动，碰撞前滑块Ⅰ、Ⅱ及粘在一起后的速度—时间图像分别如图中的线段a、b、c所示。由图像可知（ ）
A. 碰前滑块Ⅰ的动量比滑块Ⅱ的动量小
B. 滑块Ⅰ的质量与滑块Ⅱ的质量之比为
C. 滑块Ⅰ的质量与滑块Ⅱ的质量之比为
D. 碰撞过程中，滑块Ⅰ受到的冲量比滑块Ⅱ受到的冲量大
【答案】C
【解析】
由题图可知，碰撞后总动量为正，根据动量守恒定律可知，碰撞前的总动量也为正，故碰撞前滑块I的动量较大，故A项错误；
根据动量守恒定律有
解得，故B错误，C正确；
碰撞过程中滑块I受到的冲量与滑块Ⅱ受到的冲量大小相等，方向相反，故D项错误。
6. 如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C。B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)。设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相同时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短。求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中。
(1)整个系统损失的机械能；
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
[解析] (1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得
mv0＝2mv1 ①
此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv1＝2mv2 ②
mv＝ΔE＋(2m)v ③
联立①②③式得
ΔE＝mv。 ④
(2)由②式可知v2＜v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep。
由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv0＝3mv3 ⑤
mv－ΔE＝(3m)v＋Ep ⑥
联立④⑤⑥式得
Ep＝mv。 ⑦
[答案] (1)mv (2)mv
7.（2023重庆名校教育联盟质检）如图所示，是以为圆心、半径的四分之一光滑圆轨道，水平，竖直；是光滑的水平直轨道，与相切于Q点；是以为圆心、半径的四分之一圆弧，水平。小球A的质量为，小球B的质量为，两球均视为质点。把小球B放置在轨道上，让小球A从P点由静止释放，小球A与小球B发生弹性正碰（不计空气阻力，重力加速度为g）。求：
(1)小球A运动到Q点时对Q点的压力；
(2)如果k值已知，小球A与小球B碰撞后小球B的速度大小；
(3)如果k的取值可以变化，要使小球B撞在圆弧上时速度最小，求k的取值和此速度的最小值。
【解析】．
(1)设小球A到达Q点时速度为，由机械能守恒定律有
解得，
在Q点对小球A受力分析，设轨道对小球A的弹力为，
由牛顿第二定律得解得
由牛顿第三定律得小球A运动到Q点时对Q点的压力方向竖直向下；
(2)小球A与小球B发生弹性正碰，设碰后A、B的速度分别为、，
则根据动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
(3)小球B离开点后做平抛运动，设运动时间为t，水平位移为d，下落高度为h，则
，
由几何关系可得
联立可得，
设小球B撞在圆弧上时速度为，
由机械能守恒定律得，
则，
当且仅当，即，，有最小值，
且，
将代入，，得
【课堂小结】回归本节知识，自我完成以下问题：
1．碰撞问题具有什么特点？
提示：相互作用时间短，相互作用力大，近似满足动量守恒。
2．碰撞问题可分哪些类型？
提示：弹性碰撞和非弹性碰撞。
3．弹性碰撞的两小球在什么情况下可以交换速度？
提示：质量相等的两小球。
【知识拓展】
有趣的“牛顿摇篮”
“碰撞”在物理学中表现为两粒子或物体间极短的相互作用。 碰撞前后参与物发生速度，动量或能量改变。完全弹性碰撞妙趣横生、耐人寻味，是很特殊的一类碰撞。
“牛顿摇篮”又名牛顿摆，它是由若干个悬挂在框架上的小球组成(如图所示)，小球之间要无缝隙，刚好接触。因牛顿摇篮小球碰撞后摆动的样子很像婴儿的摇篮在摆动，所以大家把这个实验道具起了一个有趣的名字叫牛顿摇篮。
牛顿摇篮
牛顿摆是由法国物理学家伊丹·马略特(Edme Mariotte)最早于1676年提出的。当摆动最右侧的球并在回摆时碰撞紧密排列的另外四个球，最左边的球将被弹出，并仅有最左边的球被弹出。
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高中物理选择性必修一素养提升学案
第一章 动量守恒定律
1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞
【核心素养目标】
1.物理观念
了解碰撞的分类，知道弹性碰撞和非弹性碰撞的特点。
2. 科学思维
能根据实际情况合理选取弹性碰撞或非弹性碰撞规律解决一维碰撞问题。
3. 科学探究
通过演示实验探究弹性碰撞特点和规律。
4. 科学态度与责任
感受不同碰撞类型的区别，培养学生的探究精神，体会用守恒定律分析物理问题的方法。
【知识点探究】
知识点一 弹性碰撞和非弹性碰撞
1．弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞。
2．非弹性碰撞：如果系统在碰撞后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞。
【特别提醒】 碰后两物体“合”为一体，具有共同的速度，这种碰撞动能损失最大，称为完全非弹性碰撞。
知识点二 弹性碰撞的实例分析
1．正碰：
两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。如图所示。
2．弹性正碰特点
(1)碰前两物体的质量分别为m1、m2，速度分别为v1、v2，且v1≠0，v2＝0，碰后两个物体的速度分别为v1′和v2′，则v1′＝v1，v2′＝v1。
(2)若m1＝m2的两球发生弹性正碰，v1≠0，v2＝0，则v1′＝0，v2′＝v1，即两者碰后交换速度。
(3)若m1 m2，v1≠0，v2＝0，则二者弹性正碰后，v1′＝－v1，v2′＝0。表明m1被反向以原速率弹回，而m2仍静止。
(4)若m1 m2，v1≠0，v2＝0，则二者弹性正碰后，v1′＝v1，v2′＝2v1。表明m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去。
【考点探究】
考点1 碰撞的特点和规律
如图为两钢性摆球碰撞时的情景。
(1)两球质量相等，将一球拉到某位置释放，发现碰撞后，入射球静止，被碰球上升到与入射球释放时同样的高度，说明了什么？
(2)若碰撞后两球粘在一起，发现两球上升的高度仅是入射球释放时的高度的四分之一，说明了什么？
提示：(1)两球在最低点碰撞时，满足动量守恒条件，二者组成系统动量守恒，入射球静止，被碰球上升同样的高度，说明该碰撞过程中机械能不变。
(2)碰撞中动量守恒，机械能不守恒。
【归纳总结】．碰撞过程的五个特点
(1)时间特点：在碰撞现象中，相互作用的时间很短。
(2)相互作用力的特点：在相互作用过程中，相互作用力先是急剧增大，然后急剧减小，平均作用力很大。
(3)动量的特点：系统的内力远远大于外力，所以系统即使所受合外力不为零，外力也可以忽略，系统的总动量守恒。
(4)位移特点：碰撞过程时间极短，在物体发生碰撞瞬间，可忽略物体的位移，认为物体在碰撞前后仍在原位置。
(5)能量特点：碰撞前总动能Ek与碰撞后总动能Ek′满足Ek≥Ek′。
考点二、碰撞的种类及遵从的规律
种类 遵从的规律
弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒
非弹性碰撞 动量守恒，机械能有损失
完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能损失最大碰后速度相等(或成为一体)
考点三、特殊的弹性碰撞——运动物体碰静止物体
遵从的规律 动量守恒m1v1＝m1v1′＋m2v2′，机械能守恒m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
碰后结果 v1′＝v1，v2′＝v1
特殊情况 若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1
若m1 m2，则v1′＝v1，v2′＝2v1
若m1 m2，则v1′＝－v1，v2′＝0
考点三 碰撞可能性的判断
质量为m1的物体，以速度v1与原来静止的物体m2发生弹性碰撞，如图所示。
设碰撞后它们的速度分别为v1′和v2′，碰撞前后的速度方向均在同一直线上。
(1)碰后若两球沿同一方向向右运动，v1′能大于v2′吗？
(2)碰后两者的动能之和能大于m1原来的动能吗？
提示：(1)不能。 (2)不能。
判断碰撞过程是否存在的依据
1．满足动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′。
2．满足动能不增加原理：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′。
3．速度要符合情景
(1)如果碰前两物体同向运动，则后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v后>v前，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体的速度大于或等于原来在后的物体的速度v前′≥v后′。
(2)如果碰前两物体是相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。若碰后沿同向运动，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度，即v前≥v后。
碰撞合理性问题的分析思路
(1)若题目为选择题，可先根据“速度合理性原则”排除掉部分选项。
(2)对一个给定的碰撞，除了看动量是否守恒，还要看总动能是否增加，在验证动能不增加时，要灵活应用Ek＝、p＝、Ek＝pv或p＝等关系式。在满足以上两种情况下还应注意“速度合理性原则”。
【典例分析】
【典例1】 如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接，质量为m1的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为m2的小球发生碰撞，碰撞后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球m2的速度大小v2。(重力加速度为g)
[解析] 设m1碰撞前瞬间的速度为v，根据机械能守恒定律有m1gh＝m1v2，解得v＝ ①
设碰撞后m1与m2的速度分别为v1和v2，根据动量守恒定律有m1v＝m1v1＋m2v2 ②
由于碰撞过程中无机械能损失
m1v2＝m1v＋m2v ③
联立②③式解得v2＝ ④
将①代入④得v2＝。
[答案]
【典例2】 （2023辽宁大连金州高中三模）如图所示，甲和他的冰车总质量，甲推着质量的小木箱一起以速度向右滑行。乙和他的冰车总质量也为，乙以同样大小的速度迎面而来。为了避免相撞，甲将小木箱以速度v沿冰面推出，木箱滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，则小木箱的速度v可能为（ ）
A. B. C. D.
【解析】
对于甲和箱子根据动量守恒得
对于乙和箱子根据动量守恒得
当甲乙恰好不相碰，则
联立解得
若要避免碰撞，则需要满足
【答案】CD
处理碰撞问题的几个关键点
(1)选取动量守恒的系统：若有三个或更多个物体参与碰撞时，要合理选取所研究的系统。
(2)弄清碰撞的类型：弹性碰撞、完全非弹性碰撞还是其他非弹性碰撞。
(3)弄清碰撞过程中存在的关系：能量转化关系、几何关系、速度关系等。
【同步训练】
1．如图所示，光滑曲面下端与光滑水平面相切，一质量为m的弹性小球P沿曲面由静止开始下滑，与一质量为km（k为大于0的正整数）且静止在水平地面上的弹性小球Q发生弹性正碰。为使二者只能发生一次碰撞，下列关于k的取值可能正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】设两球碰撞前P的速度为v0，碰后P与Q的速度分别为v1与v2，取水平向右为正方向，由动量守恒定律及机械能守恒定律分别得|：
mv0＝mv1+kmv2，mv02＝mv12+kmv22，联立解得： v1＝v0，v2＝v0。
。为使二者只能发生一次碰撞，必须满足|v1|＜|v2|，又k为大于0的正整数，所以解得 0＜k≤3，即k的取值可能为1、2、3．故选项ABC正确，D错误。
2.(2020·河北邯郸期末)汽车A和汽车B静止在水平地面上，某时刻汽车A开始倒车，结果汽车A撞到了停在它正后方的汽车B，汽车B上装有智能记录仪，能够测量并记录汽车B前面的物体相对于汽车B自身的速度。在本次碰撞中，如果汽车B的智能记录仪测得碰撞前瞬间汽车A的速度大小为v0，已知汽车A的质量是汽车B质量的2倍，碰撞过程可视为弹性碰撞，则碰后瞬间汽车A相对于地面的速度大小为( )
A．v0 B．v0 C．v0 D．v0
【答案】C
【解析】两汽车发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，设碰撞后A、B的速度分别为v1、v2，以碰撞前A的速度方向为正方向，设B的质量为m，则A的质量为2m，由动量守恒定律得2mv0＝2mv1＋mv2，由机械能守恒定律得·2mv＝·2mv＋mv，解得v1＝v0，选项C正确。
3．如图甲所示，在光滑水平面上的两小球发生正碰，小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的x t(位移—时间)图像。已知m1＝0.1 kg。由此可以判断 ( )
A．碰前质量为m2的小球静止，质量为m1的小球向右运动
B．碰后质量为m2的小球和质量为m1的小球都向右运动
C．m2＝0.3 kg
D．碰撞过程中系统损失了0.4 J的机械能
【答案】AC
【解析】由题中图乙可知，质量为m1的小球碰前速度v1＝4 m/s，碰后速度为v1′＝－2 m/s，质量为m2的小球碰前速度v2＝0，碰后的速度v2′＝2 m/s，两小球组成的系统碰撞过程动量守恒，有m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，代入数据解得m2＝0.3 kg，所以选项A、C正确，选项B错误；两小球组成的系统在碰撞过程中的机械能损失为ΔE＝m1v ＋m2v －＝0，所以碰撞是弹性碰撞，选项D错误。
4. 小球1追碰小球2，碰撞前两球的动量分别为p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，正碰后小球2的动量p2′＝10 kg·m/s，两球的质量关系可能是( )
A．m2＝m1 B．m2＝2m1
C．m2＝4m1 D．m2＝6m1
【答案】C
【解析】由动量守恒定律，很容易得碰后小球1的动量p1′＝2 kg·m/s，这丝毫不能反映出两球的质量关系，这就要从题中内含的其他关系去寻找。首先，“追碰”表明碰前小球1的速度大于小球2的速度，即v1>v2，由v＝可得>，即m2>，排除了选项A的可能；按同样思路，碰后应有v1′≤v2′，≤，有m2≤5m1，排除了选项D的可能；由动能不增原则可知Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′，由动能Ek与动量p的关系Ek＝，可得＋≥＋，即有m2≥，排除了选项B；综合以上结论得≤m2≤5m1，只有选项C正确。]
4．(多选)(2020·吉林长春第七中学高二上月考)如图所示，质量相等的A、B两个球，原来在光滑水平面上沿同一直线相向做匀速直线运动，A球的速度是6 m/s，B球的速度是－2 m/s，不久后A、B两球发生了对心碰撞。对于该碰撞之后的A、B两球速度的可能值，某实验小组的同学们做了很多种猜测，下面的猜测结果可能正确的是( )
A．vA′＝－2 m/s，vB′＝6 m/s
B．vA′＝2 m/s，vB′＝2 m/s
C．vA′＝3 m/s，vB′＝1 m/s
D．vA′＝－3 m/s，vB′＝7 m/s
【答案】AB
【解析】设每个球的质量为m，碰撞前系统的总动量p＝mvA＋mvB＝6m－2m＝4m(kg·m/s)，碰撞前的总动能Ek＝mv＋mv＝20m(J)，若vA′＝－2 m/s，vB′＝6 m/s，则碰撞后的总动量p′＝mvA′＋mvB′＝4m(kg·m/s)，动量守恒，总动能Ek′＝mv′＋mv′＝20m(J)，总动能也守恒，A可能实现，故A正确；若vA′＝2 m/s，vB′＝2 m/s，碰撞后的总动量p′＝mvA′＋mvB′＝4m(kg·m/s)，总动能Ek′＝mv′＋mv′＝4m(J)，动量守恒，总动能不增加，B可能实现，故B正确；若vA′＝3 m/s，vB′＝1 m/s，碰撞后A、B向正方向运动且A的速度大于B的速度，不符合实际，C不可能实现，故C错误；若vA′＝－3 m/s，vB′＝7 m/s，碰撞后的总动量p′＝mvA′＋mvB′＝4m(kg·m/s)，总动能Ek′＝mv′＋mv′＝29m(J)，动量守恒，总动能增加，违反能量守恒定律，不可能实现，故D错误。]
5.（2023河北衡水中学一模）在光滑水平面上沿一条直线运动的滑块Ⅰ、Ⅱ发生正碰，碰后立即粘在一起运动，碰撞前滑块Ⅰ、Ⅱ及粘在一起后的速度—时间图像分别如图中的线段a、b、c所示。由图像可知（ ）
A. 碰前滑块Ⅰ的动量比滑块Ⅱ的动量小
B. 滑块Ⅰ的质量与滑块Ⅱ的质量之比为
C. 滑块Ⅰ的质量与滑块Ⅱ的质量之比为
D. 碰撞过程中，滑块Ⅰ受到的冲量比滑块Ⅱ受到的冲量大
【答案】C
【解析】
由题图可知，碰撞后总动量为正，根据动量守恒定律可知，碰撞前的总动量也为正，故碰撞前滑块I的动量较大，故A项错误；
根据动量守恒定律有
解得，故B错误，C正确；
碰撞过程中滑块I受到的冲量与滑块Ⅱ受到的冲量大小相等，方向相反，故D项错误。
6. 如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C。B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)。设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相同时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短。求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中。
(1)整个系统损失的机械能；
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
[解析] (1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得
mv0＝2mv1 ①
此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv1＝2mv2 ②
mv＝ΔE＋(2m)v ③
联立①②③式得
ΔE＝mv。 ④
(2)由②式可知v2＜v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep。
由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv0＝3mv3 ⑤
mv－ΔE＝(3m)v＋Ep ⑥
联立④⑤⑥式得
Ep＝mv。 ⑦
[答案] (1)mv (2)mv
7.（2023重庆名校教育联盟质检）如图所示，是以为圆心、半径的四分之一光滑圆轨道，水平，竖直；是光滑的水平直轨道，与相切于Q点；是以为圆心、半径的四分之一圆弧，水平。小球A的质量为，小球B的质量为，两球均视为质点。把小球B放置在轨道上，让小球A从P点由静止释放，小球A与小球B发生弹性正碰（不计空气阻力，重力加速度为g）。求：
(1)小球A运动到Q点时对Q点的压力；
(2)如果k值已知，小球A与小球B碰撞后小球B的速度大小；
(3)如果k的取值可以变化，要使小球B撞在圆弧上时速度最小，求k的取值和此速度的最小值。
【解析】．
(1)设小球A到达Q点时速度为，由机械能守恒定律有
解得，
在Q点对小球A受力分析，设轨道对小球A的弹力为，
由牛顿第二定律得解得
由牛顿第三定律得小球A运动到Q点时对Q点的压力方向竖直向下；
(2)小球A与小球B发生弹性正碰，设碰后A、B的速度分别为、，
则根据动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
(3)小球B离开点后做平抛运动，设运动时间为t，水平位移为d，下落高度为h，则
，
由几何关系可得
联立可得，
设小球B撞在圆弧上时速度为，
由机械能守恒定律得，
则，
当且仅当，即，，有最小值，
且，
将代入，，得
【课堂小结】回归本节知识，自我完成以下问题：
1．碰撞问题具有什么特点？
提示：相互作用时间短，相互作用力大，近似满足动量守恒。
2．碰撞问题可分哪些类型？
提示：弹性碰撞和非弹性碰撞。
3．弹性碰撞的两小球在什么情况下可以交换速度？
提示：质量相等的两小球。
【知识拓展】
有趣的“牛顿摇篮”
“碰撞”在物理学中表现为两粒子或物体间极短的相互作用。 碰撞前后参与物发生速度，动量或能量改变。完全弹性碰撞妙趣横生、耐人寻味，是很特殊的一类碰撞。
“牛顿摇篮”又名牛顿摆，它是由若干个悬挂在框架上的小球组成(如图所示)，小球之间要无缝隙，刚好接触。因牛顿摇篮小球碰撞后摆动的样子很像婴儿的摇篮在摆动，所以大家把这个实验道具起了一个有趣的名字叫牛顿摇篮。
牛顿摇篮
牛顿摆是由法国物理学家伊丹·马略特(Edme Mariotte)最早于1676年提出的。当摆动最右侧的球并在回摆时碰撞紧密排列的另外四个球，最左边的球将被弹出，并仅有最左边的球被弹出。
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