专题强化1.3 弹簧模型--高中物理选择性必修一素养提升学案
文档属性
| 名称 | 专题强化1.3 弹簧模型--高中物理选择性必修一素养提升学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-03-12 14:01:16 | ||
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文档简介
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高中物理选择性必修一素养提升学案
第一章 动量守恒定律
专题强化1.3 弹簧模型
【培优目标】
1.会利用动量守恒定律和能量守恒定律分析常见弹簧模型问题。
2.培养应用动量观点和能量观点分析综合问题的能力。
【考点探究】
“含弹簧类”模型
1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒。
2．整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。
3．注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大。
【典例剖析】
【典例】 (2023湖南雅礼中学模拟)如图甲，质量分别为mA和mB的A、B两小球用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，初始时刻两小球被分别锁定，此时弹簧处于压缩状态。t=0时刻解除A球锁定，t=t1时刻解除B球锁定，A、B两球运动的a-t图像如图乙所示，S1表示0到t1时间内A的a-t图线与坐标轴所围面积大小，S2、S3分别表示t1到t2时间内A、B的a-t图线与坐标轴所围面积大小。下列说法正确的是（ ）
A. t1时刻后A、B系统的总动量大小始终为mAS1
B.
C.
D. t2时刻，弹簧伸长量大于0时刻的压缩量
【解析】
a-t图像的面积等于这段时间的速度变化量大小，t=0时刻解除A球锁定，t=t1时刻解除B球锁定，说明t1时刻只有A球具有速度，设此时A球的速度为v1，则有
t1时刻后A、B组成的系统满足动量守恒，故总动量等于t1时刻A球的动量，则有
故A正确；
由图像可知t1时刻A球的加速度为0，则此时弹簧弹力等于0，即弹簧处于原长状态，t2时刻两球的加速度都达到最大，说明此时弹簧的弹力最大，弹簧的伸长量最大，即t2时刻两球具有相同的速度，设t2时刻A、B两球的速度为v2，从t1到t2过程，A球的速度变化量大小为
B球的速度变化量大小为
从t1到t2过程，A、B组成的系统满足动量守恒，则有
可得
联立可得
故B正确；
t=0到t1时刻，A球速度变化量大小为
从t1到t2过程，A球的速度变化量大小为
从t1到t2过程，B球的速度变化量大小为
联立可得
故C错误；
从t=0到t2时刻，A、B、弹簧组成的系统满足机械能守恒，则有
说明t=0时刻弹簧的弹性势能大于t2时刻弹簧的弹性势能，即t=0时刻弹簧的压缩量大于t2时刻弹簧的伸长量，故D错误。
【答案】AB
【规律总结】
弹簧压缩最短或拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧蓄积弹性势能最大。
【针对性训练】
1. (2023湖南怀化名校联考)如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知m1=1kg，下列说法正确的是（ ）
A. 物块B的质量为2kg
B. 弹簧的最大弹性势能为1.5J
C. 弹簧第一次恢复原长时物块B的速度大小为2m/s
D. 从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A的冲量大小为
【答案】ACD
【解析】
由图像可知A物块的初速度v0=3m/s，t1时刻两物块达到共速v=1m/s，由动量守恒得
解得，故A正确；
由图像可知t1时刻弹簧的压缩量最大，此时弹性势能最大，由能量守恒得
解得，故B错误；
B速度最大时，弹簧恢复原长，由动量守恒得
由能量守恒得
解得此时A和B的速度分别为
故从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A的冲量为
大小为，故CD正确。
2．（2023湖南名校质检）如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球A和质量为m的小球B通过轻弹簧拴接并处于静止状态，弹簧处于原长；质量为m的小球C以初速度v0沿A、B连线向右匀速运动，并与小球A发生弹性碰撞。在小球B的右侧某位置固定一块弹性挡板（图中未画出），当小球B与挡板发生正碰后立刻将挡板撤走。不计所有碰撞过程中的机械能损失，弹簧始终处于弹性限度内，小球B与挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变，但方向相反。则B与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值Em可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．BC
【解析】由题，系统的初动能为，而系统的机械能守恒，则弹簧的弹性势能不可能等于，故A错误；由于小球C与小球A质量相等，发生弹性正碰，则碰撞后交换速度，若在A与B动量相等时，B与挡板碰撞，B碰撞后速度大小不变、方向相反，当两者速度同时减至零时，弹簧的弹性最大，最大值为，故B正确；当B的速度很小（约为零）时，B与挡板碰撞时，当两球速度相等弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v，则由动量守恒得，，得，最大的弹性势能为，则最大的弹性势能的范围为，故C正确，D错误。故选BC。
3. (2024湖北名校联考)如图所示，物块A、B静止于光滑水平面上，中间连接一轻弹簧，弹簧处于原长状态。B上有一物块C，两者可一起运动。三个物块A、B、C的质量相同，且均可视为质点。现给A水平向右的瞬时冲量，当弹簧的弹性势能达到最大值时，其值为Ep；当弹簧第一次恢复原长时，立即取走C，当弹簧的弹性势能再次达到最大值时，其值为。则Ep和的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设A物体受到瞬时冲量后速度变为v，则弹簧弹性势能最大时，有
能量方面有
当恢复原长时，有
能量方面有
当拿走C后，到再次弹簧弹性势能最大，有
能量方面有
解得
故选B。
4. （2024年3月江西赣州质检）如图甲所示，光滑水平地面上有A、B两物块，质量分别为2kg、6kg，B的左端拴接着一劲度系数为的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A以速度v0向静止的B方向运动，从A接触弹簧开始计时至A与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l与时间t的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），则（ ）
A. 在0~2t0内B物块先加速后减速
B. 整个过程中，A、B物块构成的系统机械能守恒
C. v0=2m/s
D. 物块A在t0时刻时速度最小
【答案】C
【解析】
在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即B受到的弹力始终向右，所以B物块始终做加速运动，故A错误；
整个过程中，A、B物块和弹簧三者构成的系统机械能守恒，故B错误；
由图可知，在t0时刻，弹簧被压缩到最短，则此时A、B共速，此时弹簧的形变量为
则根据A、B物块系统动量守恒有
根据A、B物块和弹簧三者构成的系统机械能守恒有
联立解得
故C正确；
在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即A受到弹力始终向左，所以A物块始终做减速运动，则物块A在2t0时刻时速度最小，故D错误。
5. （2024河南新郑实验高中3月质检）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1、m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑水平面上。现使A获得水平向右、大小为3m/s的瞬时速度，从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像提供的信息可得（ ）
A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于伸长状态
B.从t3到t4时刻间弹簧由压缩状态恢复到原长
C.两物体的质量之比为m1：m2=1：2
D.在t2时刻A、B两物块的动能之比为Ek1：Ek2=8：1
【答案】C
【解析】从图象可以看出，从0到t1的过程中弹簧被压缩，t1时刻两物块达到共同速度1m/s，此时弹簧处于压缩状态，A错误；
由图象可知，t3时刻速度相等，弹簧处于伸长状态，从t3到t4时间内A做加速运动，B做减速运动，弹簧由伸长状态恢复到原长，B错误；
由图象可知，t1时刻两物体速度相同，都是v1=1m/s，A、B系统动量守恒，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得m1v0=（m1+m2）v1，解得m1：m2=1：2，C正确；
由图象可知，在t2时刻，A、B的动能之比为Ek1：Ek2= =1：8，D错误。选C。
6．（15分）（无锡市2024年秋学期高三期中教学质量调研）如图甲所示，上表面光滑的固定平台上有A、B两物体，A与一轻弹簧相连，以初速度向B运动．从弹簧接触B到与B分离过程A、B的图像如图乙所示．已知从到时间内，A运动的距离为．完全分离后B滑上静止在光滑地面上与平台等高的木板C，C由水平粗糙轨道和1/4光滑圆弧轨道组成、两者相切，圆弧轨道半径，水平轨道长度．已知B、C质量均为m，A、B可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g．求：
图甲
图乙
（1）A物体质量；
（2）为使B物体能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离C，则B与C的水平轨道间的动摩擦因数μ满足的条件；
（3）A、B碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值．
【解析】．（15分）解：（1）A、B碰撞，系统动量守恒，由图乙有 （2分）
解得： （1分）
（2）从弹簧接触B到与B分离，设分离时A物体速度物体速度，有
解得： （2分）
若B物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对B与C整体由水平方向动量守恒 （1分）
由能量守恒定律（1分）
解得：
若B物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对B与C整体由水平方向动量守恒 （1分）
由能量守恒定律 （1分）
解得：
综上所述B与C的水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围为 （1分）
（3）弹簧接触B后，弹簧压缩过程中，A、B动量守恒，有 （1分）
对方程两边同时乘以时间，有 （1分）
之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得 （1分）
将代入，得 （1分）
则弹簧压缩量的最大值． （1分）
7. （2024年11月河北保定期中）如甲图所示，两个物体A、B（均可视为质点）中间用劲度系数为20 N/m的轻质弹簧连接，静置于水平地面上，物体B与P点左侧地面间动摩擦因数为0.1，与P点右侧的摩擦可忽略不计。t = 0时刻开始，物体A受水平向右的拉力F，F与物体A的位移关系如乙图所示。1 s后撤去拉力F，此时物体B刚好开始运动，整个过程中物体A、B的速度与时间关系如丙图所示。物体B质量为10 kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g = 10 m/s2。求：
（1）物体B刚开始运动时弹簧的形变量；
（2）t = 1 s时，物体A、B及弹簧系统的机械能；
（3）弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速率。
【答案】（1）x = 0.5 m
（2）E = 3.5 J
（3）1.5 m/s，0.5 m/s
【解析】
（1）物体B刚开始运动时，对B进行受力分析，弹簧弹力等于最大静摩擦力
可得弹簧的形变量
（2）由图乙可知，x = 0时，F0 = 2 N，由牛顿第二定律得
由图丙可知，0 ~ 1 s内物体A做初速度为0的匀加速直线运动，则有
解得
x = 0.5 m时
解得
由功能关系，A、B及簧系统的机械能E等于F做的功
由图像可得
则系统机械能
（3）t = 1 s时，物体A、B的速度分别为
1 s后撤去F，设弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速度分别为vA′、vB′，A、B及弹簧系统动量守恒
机械能守恒
计算得出物体A、B的速度可能的两组解
或
由丙图可知，弹簧第一次恢复原长时，物体B的速率为正值，所以舍去第二组解，故弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速率分别为1.5 m/s，0.5 m/s。
8. （2024年10月华师大附中质检）如图所示，内壁粗糙、半径的四分之一圆弧轨道AB在最低点B与足够长光滑水平轨道BC相切。质量的小球b左端连接一轻质弹簧，静止在光滑水平轨道上，另一质量的小球a自圆弧轨道顶端由静止释放，运动到圆弧轨道最低点B时，对轨道的压力为小球a重力的两倍。忽略空气阻力，重力加速度g取。
（1）求小球a由A点运动到B点的过程中，摩擦力做功。
（2）求小球a通过弹簧与小球b相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能；
（3）求小球a通过弹簧与小球b相互作用的整个过程中，弹簧对小球b的冲量I的大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）小球由A静止释放运动到最低点B的过程中，根据动能定理有
小球在最低点，根据牛顿第三定律可知，小球受到轨道的支持力
根据牛顿第二定律
联立，代入相关已知数据求得
（2）小球a与小球b通过弹簧相互作用，达到共同速度过程中，由动量守恒定律可得
由能量转化和守恒定律可得
联立代入相关已知数据求得：小球a通过弹簧与小球b相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能
（3）小球a与小球b通过弹簧相互作用的整个过程中，设a后来速度为，b后来速度为，由动量守恒定律可得
由能量转化和守恒定律有
对b，根据动量定理有
联立代入相关已知数据可得
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高中物理选择性必修一素养提升学案
第一章 动量守恒定律
专题强化1.3 弹簧模型
【培优目标】
1.会利用动量守恒定律和能量守恒定律分析常见弹簧模型问题。
2.培养应用动量观点和能量观点分析综合问题的能力。
【考点探究】
“含弹簧类”模型
1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒。
2．整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。
3．注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大。
【典例剖析】
【典例】 (2023湖南雅礼中学模拟)如图甲，质量分别为mA和mB的A、B两小球用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，初始时刻两小球被分别锁定，此时弹簧处于压缩状态。t=0时刻解除A球锁定，t=t1时刻解除B球锁定，A、B两球运动的a-t图像如图乙所示，S1表示0到t1时间内A的a-t图线与坐标轴所围面积大小，S2、S3分别表示t1到t2时间内A、B的a-t图线与坐标轴所围面积大小。下列说法正确的是（ ）
A. t1时刻后A、B系统的总动量大小始终为mAS1
B.
C.
D. t2时刻，弹簧伸长量大于0时刻的压缩量
【解析】
a-t图像的面积等于这段时间的速度变化量大小，t=0时刻解除A球锁定，t=t1时刻解除B球锁定，说明t1时刻只有A球具有速度，设此时A球的速度为v1，则有
t1时刻后A、B组成的系统满足动量守恒，故总动量等于t1时刻A球的动量，则有
故A正确；
由图像可知t1时刻A球的加速度为0，则此时弹簧弹力等于0，即弹簧处于原长状态，t2时刻两球的加速度都达到最大，说明此时弹簧的弹力最大，弹簧的伸长量最大，即t2时刻两球具有相同的速度，设t2时刻A、B两球的速度为v2，从t1到t2过程，A球的速度变化量大小为
B球的速度变化量大小为
从t1到t2过程，A、B组成的系统满足动量守恒，则有
可得
联立可得
故B正确；
t=0到t1时刻，A球速度变化量大小为
从t1到t2过程，A球的速度变化量大小为
从t1到t2过程，B球的速度变化量大小为
联立可得
故C错误；
从t=0到t2时刻，A、B、弹簧组成的系统满足机械能守恒，则有
说明t=0时刻弹簧的弹性势能大于t2时刻弹簧的弹性势能，即t=0时刻弹簧的压缩量大于t2时刻弹簧的伸长量，故D错误。
【答案】AB
【规律总结】
弹簧压缩最短或拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧蓄积弹性势能最大。
【针对性训练】
1. (2023湖南怀化名校联考)如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知m1=1kg，下列说法正确的是（ ）
A. 物块B的质量为2kg
B. 弹簧的最大弹性势能为1.5J
C. 弹簧第一次恢复原长时物块B的速度大小为2m/s
D. 从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A的冲量大小为
【答案】ACD
【解析】
由图像可知A物块的初速度v0=3m/s，t1时刻两物块达到共速v=1m/s，由动量守恒得
解得，故A正确；
由图像可知t1时刻弹簧的压缩量最大，此时弹性势能最大，由能量守恒得
解得，故B错误；
B速度最大时，弹簧恢复原长，由动量守恒得
由能量守恒得
解得此时A和B的速度分别为
故从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A的冲量为
大小为，故CD正确。
2．（2023湖南名校质检）如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球A和质量为m的小球B通过轻弹簧拴接并处于静止状态，弹簧处于原长；质量为m的小球C以初速度v0沿A、B连线向右匀速运动，并与小球A发生弹性碰撞。在小球B的右侧某位置固定一块弹性挡板（图中未画出），当小球B与挡板发生正碰后立刻将挡板撤走。不计所有碰撞过程中的机械能损失，弹簧始终处于弹性限度内，小球B与挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变，但方向相反。则B与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值Em可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．BC
【解析】由题，系统的初动能为，而系统的机械能守恒，则弹簧的弹性势能不可能等于，故A错误；由于小球C与小球A质量相等，发生弹性正碰，则碰撞后交换速度，若在A与B动量相等时，B与挡板碰撞，B碰撞后速度大小不变、方向相反，当两者速度同时减至零时，弹簧的弹性最大，最大值为，故B正确；当B的速度很小（约为零）时，B与挡板碰撞时，当两球速度相等弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v，则由动量守恒得，，得，最大的弹性势能为，则最大的弹性势能的范围为，故C正确，D错误。故选BC。
3. (2024湖北名校联考)如图所示，物块A、B静止于光滑水平面上，中间连接一轻弹簧，弹簧处于原长状态。B上有一物块C，两者可一起运动。三个物块A、B、C的质量相同，且均可视为质点。现给A水平向右的瞬时冲量，当弹簧的弹性势能达到最大值时，其值为Ep；当弹簧第一次恢复原长时，立即取走C，当弹簧的弹性势能再次达到最大值时，其值为。则Ep和的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设A物体受到瞬时冲量后速度变为v，则弹簧弹性势能最大时，有
能量方面有
当恢复原长时，有
能量方面有
当拿走C后，到再次弹簧弹性势能最大，有
能量方面有
解得
故选B。
4. （2024年3月江西赣州质检）如图甲所示，光滑水平地面上有A、B两物块，质量分别为2kg、6kg，B的左端拴接着一劲度系数为的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A以速度v0向静止的B方向运动，从A接触弹簧开始计时至A与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l与时间t的关系如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），则（ ）
A. 在0~2t0内B物块先加速后减速
B. 整个过程中，A、B物块构成的系统机械能守恒
C. v0=2m/s
D. 物块A在t0时刻时速度最小
【答案】C
【解析】
在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即B受到的弹力始终向右，所以B物块始终做加速运动，故A错误；
整个过程中，A、B物块和弹簧三者构成的系统机械能守恒，故B错误；
由图可知，在t0时刻，弹簧被压缩到最短，则此时A、B共速，此时弹簧的形变量为
则根据A、B物块系统动量守恒有
根据A、B物块和弹簧三者构成的系统机械能守恒有
联立解得
故C正确；
在0~2t0内，弹簧始终处于压缩状态，即A受到弹力始终向左，所以A物块始终做减速运动，则物块A在2t0时刻时速度最小，故D错误。
5. （2024河南新郑实验高中3月质检）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1、m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑水平面上。现使A获得水平向右、大小为3m/s的瞬时速度，从此刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像提供的信息可得（ ）
A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于伸长状态
B.从t3到t4时刻间弹簧由压缩状态恢复到原长
C.两物体的质量之比为m1：m2=1：2
D.在t2时刻A、B两物块的动能之比为Ek1：Ek2=8：1
【答案】C
【解析】从图象可以看出，从0到t1的过程中弹簧被压缩，t1时刻两物块达到共同速度1m/s，此时弹簧处于压缩状态，A错误；
由图象可知，t3时刻速度相等，弹簧处于伸长状态，从t3到t4时间内A做加速运动，B做减速运动，弹簧由伸长状态恢复到原长，B错误；
由图象可知，t1时刻两物体速度相同，都是v1=1m/s，A、B系统动量守恒，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得m1v0=（m1+m2）v1，解得m1：m2=1：2，C正确；
由图象可知，在t2时刻，A、B的动能之比为Ek1：Ek2= =1：8，D错误。选C。
6．（15分）（无锡市2024年秋学期高三期中教学质量调研）如图甲所示，上表面光滑的固定平台上有A、B两物体，A与一轻弹簧相连，以初速度向B运动．从弹簧接触B到与B分离过程A、B的图像如图乙所示．已知从到时间内，A运动的距离为．完全分离后B滑上静止在光滑地面上与平台等高的木板C，C由水平粗糙轨道和1/4光滑圆弧轨道组成、两者相切，圆弧轨道半径，水平轨道长度．已知B、C质量均为m，A、B可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g．求：
图甲
图乙
（1）A物体质量；
（2）为使B物体能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离C，则B与C的水平轨道间的动摩擦因数μ满足的条件；
（3）A、B碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值．
【解析】．（15分）解：（1）A、B碰撞，系统动量守恒，由图乙有 （2分）
解得： （1分）
（2）从弹簧接触B到与B分离，设分离时A物体速度物体速度，有
解得： （2分）
若B物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对B与C整体由水平方向动量守恒 （1分）
由能量守恒定律（1分）
解得：
若B物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对B与C整体由水平方向动量守恒 （1分）
由能量守恒定律 （1分）
解得：
综上所述B与C的水平轨道间的动摩擦因数μ的取值范围为 （1分）
（3）弹簧接触B后，弹簧压缩过程中，A、B动量守恒，有 （1分）
对方程两边同时乘以时间，有 （1分）
之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得 （1分）
将代入，得 （1分）
则弹簧压缩量的最大值． （1分）
7. （2024年11月河北保定期中）如甲图所示，两个物体A、B（均可视为质点）中间用劲度系数为20 N/m的轻质弹簧连接，静置于水平地面上，物体B与P点左侧地面间动摩擦因数为0.1，与P点右侧的摩擦可忽略不计。t = 0时刻开始，物体A受水平向右的拉力F，F与物体A的位移关系如乙图所示。1 s后撤去拉力F，此时物体B刚好开始运动，整个过程中物体A、B的速度与时间关系如丙图所示。物体B质量为10 kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g = 10 m/s2。求：
（1）物体B刚开始运动时弹簧的形变量；
（2）t = 1 s时，物体A、B及弹簧系统的机械能；
（3）弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速率。
【答案】（1）x = 0.5 m
（2）E = 3.5 J
（3）1.5 m/s，0.5 m/s
【解析】
（1）物体B刚开始运动时，对B进行受力分析，弹簧弹力等于最大静摩擦力
可得弹簧的形变量
（2）由图乙可知，x = 0时，F0 = 2 N，由牛顿第二定律得
由图丙可知，0 ~ 1 s内物体A做初速度为0的匀加速直线运动，则有
解得
x = 0.5 m时
解得
由功能关系，A、B及簧系统的机械能E等于F做的功
由图像可得
则系统机械能
（3）t = 1 s时，物体A、B的速度分别为
1 s后撤去F，设弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速度分别为vA′、vB′，A、B及弹簧系统动量守恒
机械能守恒
计算得出物体A、B的速度可能的两组解
或
由丙图可知，弹簧第一次恢复原长时，物体B的速率为正值，所以舍去第二组解，故弹簧第一次恢复原长时，物体A、B的速率分别为1.5 m/s，0.5 m/s。
8. （2024年10月华师大附中质检）如图所示，内壁粗糙、半径的四分之一圆弧轨道AB在最低点B与足够长光滑水平轨道BC相切。质量的小球b左端连接一轻质弹簧，静止在光滑水平轨道上，另一质量的小球a自圆弧轨道顶端由静止释放，运动到圆弧轨道最低点B时，对轨道的压力为小球a重力的两倍。忽略空气阻力，重力加速度g取。
（1）求小球a由A点运动到B点的过程中，摩擦力做功。
（2）求小球a通过弹簧与小球b相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能；
（3）求小球a通过弹簧与小球b相互作用的整个过程中，弹簧对小球b的冲量I的大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）小球由A静止释放运动到最低点B的过程中，根据动能定理有
小球在最低点，根据牛顿第三定律可知，小球受到轨道的支持力
根据牛顿第二定律
联立，代入相关已知数据求得
（2）小球a与小球b通过弹簧相互作用，达到共同速度过程中，由动量守恒定律可得
由能量转化和守恒定律可得
联立代入相关已知数据求得：小球a通过弹簧与小球b相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能
（3）小球a与小球b通过弹簧相互作用的整个过程中，设a后来速度为，b后来速度为，由动量守恒定律可得
由能量转化和守恒定律有
对b，根据动量定理有
联立代入相关已知数据可得
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