2.4 单摆--高中物理选择性必修一素养提升学案
文档属性
| 名称 | 2.4 单摆--高中物理选择性必修一素养提升学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-03-12 14:01:16 | ||
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文档简介
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高中物理选择性必修一素养提升学案
第二章 机械振动
2.4 单摆
【核心素养目标】
物理观念
知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。
科学思维
1.理解单摆做简谐振动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。
2.掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。
科学探究
经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。
科学态度与责任
借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
【知识点探究】
1．单摆模型
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin_θ。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置。
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动。
在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？
提示：不为零。
1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。 (×)
(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。 (√)
(3)单摆是一个理想化的模型。 (√)
知识点二 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。
(2)单摆的周期与摆球质量、振幅无关。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2π。
2：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)摆球的质量越大，周期越大。 (×)
(2)单摆的振幅越小，周期越小。 (×)
(3)单摆的摆长越长，周期越大。 (√)
3：填空
一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为________。
[答案] 2T
考点1 单摆的回复力
(1)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
(2)试分析单摆的回复力由什么力提供？
提示：(1)模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。
模型⑤是单摆。
(2)单摆的回复力是重力的切向分力，也是摆球沿运动方向的合力，即F＝mgsin θ＝mg。
1．单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
单摆回复力的理解
【典例1】 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
C [摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误。]
单摆的运动过程分析
【典例2】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不相等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
D [摆球在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆线的张力和重力的合力，故A错误；摆球经过轨迹上的同一点受力情况相同，故加速度相同，故B错误；摆球在运动过程中加速度的方向不始终指向平衡位置，因为垂直速度方向也有加速度，故C错误；摆球摆动过程中，经过平衡位置时，受重力和拉力，合力不为零，加速度不为零，故D正确。]
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。
1．(角度1)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，合力为零
B．摆球在A点和C点处，回复力为零
C．摆球在B点处，回复力最大
D．摆球在B点处，细线拉力最大
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处合力不为零，A错误；在最低点B处，细线上的拉力最大，D正确；摆球的回复力F＝mgsin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
2．(角度2)(多选)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中正确的是( )
A．在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B．在最大位移处速度最小
C．在平衡位置摆球速度最大
D．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
BCD [在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。]
考点2 单摆周期公式的理解及应用
(1)应用如图所示的装置，探究单摆周期的影响因素。
单摆的周期与摆长有什么关系？
(2)央视新闻2019年3月1日消息：“嫦娥四号”着陆器已于今天上午(3月1日)7点52分自主唤醒，中继前返向链路建立正常，平台工况正常，目前正在进行状态设置，按计划开始第三月昼后续工作。假设将一单摆随“嫦娥四号”着陆器带至月球表面，单摆在做简谐运动时其周期与在地球上相比有何变化？
提示：(1)T∝ (2)变大
1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。
2．单摆的周期公式：T＝2π。
3．对周期公式的理解：
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。
【典例3】 (2020·浙江杭州西湖高中月考)摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区( )
A．摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B．摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C．周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D．周期是4 s的单摆的摆长为4 m
D [摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝2π可知，当地的重力加速度g＝＝π2m/s2，摆长是0.5 m的单摆的周期T1＝2π＝2π× s＝1.414 s，故A、B错误；周期是1 s的单摆的摆长l2＝＝ m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长l3＝＝ m＝4 m，故C错误，D正确。]
利用单摆周期公式计算的三个核心
利用单摆的周期公式T＝2π进行有关计算，要把握三个核心。
(1)单摆的周期公式在偏角很小时成立(θ≤5°)。
(2)单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度，能求出摆球在不同的空间位置、物理环境(如带电小球在匀强电场、匀强磁场)中的等效重力加速度。
(3)单摆的摆长
①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆。
②等效摆长。
3．惠更斯利用单摆的等时性原理制成了世界上第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们常见到的一种摆钟，图乙所示为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在A地走时准确的摆钟移到B地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是 ( )
甲 乙
A．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C [由A地到B地摆钟摆动加快说明周期变小，由单摆的周期公式T＝2π，可知重力加速度变大了，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动，故C正确。]
【同步训练】
1． . (2023浙江杭州九校期中联考) 如图所示，以O点为平衡位置，单摆在A、B两点间做简谐运动，已知摆球从A点第一次运动到B点历时0.5s，则下列说法中正确的是（ ）
A. 摆球从A点经O点运动到B点即完成一次全振动
B. 单摆的摆长约为1m
C. 从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力也不断增大
D. 将单摆从地面移至山顶，摆动周期将增大
【答案】：D
【解析】：摆球从A点经O点运动到B点，然后从B点再经过O点返回A点，摆球完成一次全振动，故A错误；单摆周期为
解得 ，故B错误；
从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力不断减小，故C错误；
将单摆从地面移至山顶，由于重力加速度减小，由单摆周期公式可知，摆动周期将增大，故D正确。
2. （2023石家庄三模）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取，忽略一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 时小球位于B点 B. 时小球位于C点
C. OA之间的距离为1.5m D. OP之间的距离为1.2m
【答案】D
【解析】
由图像可知，内应该对应着摆球在CB之间的摆动；内应该对应着摆球在BA之间的摆动，因时摆线拉力最小，可知小球位于C点，时小球位于A点，选项AB错误；
摆球在AB之间摆动的周期为
T1=0.8πs
根据
可得
L1=1.6m
即OA之间的距离为1.6m，选项C错误；
摆球在BC之间摆动的周期为
T2=0.4πs
根据
可得
L2=0.4m
即PB之间的距离为0.4m，OP之间的距离为1.2m，选项D正确。
3. . （2023吉林通化梅河口五中二模）利用如图所示的装置进行单摆实验。将小球拉离平衡位置释放，摆角小于。借助传感器可知最大拉力为，最小拉力为，这两个数据出现的时间间隔为t。当地重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A. 单摆的振动周期为
B. 单摆摆长为
C. 用所给数据可以表示出最大摆角的余弦值
D. 传感器的示数增大时，小球的势能在变大
【答案】C
【解析】
由题意可得，单摆的振动周期为，A错误；
由周期公式
可得，单摆的摆长为 ，B错误；
摆球重力沿切线方向分力提供回复力，摆球在最低点时，由牛顿第二定律
从最高点到最低点的过程中，由机械能守恒定律得
在最高点时，摆线的拉力为
联立解得，最大摆角的余弦值为，C正确；
传感器的示数增大时，由牛顿第二定律及向心力公式得小球的速度在变大，则小球的势能在变小，D错误。
故选C。
4.如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】：由图乙可知，该单摆恰好摆动2.5个周期，故满足 ，单摆周期公式为 T=2联立解得该单摆的等效摆长为 L=，B正确。
5. 一物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，在地球表面走时准确的摆钟，搬到此行星表面后，秒针走一圈所经历的时间是（ ）
A.180s B.540s C.20s D.6.7s
【答案】 A
【解析】物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，所以该星球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的九分之一，即g’=g/9；根据单摆的周期公式，T=2，单摆在该星球的周期是单摆在地球表面周期的3倍，所以在地球表面走时准确的摆钟，搬到此行星表面后，秒针走一圈所经历的时间是3×60s=180s，A正确。
【课堂小结】
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ很小，θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
提示：T＝2π。
【知识拓展】
教堂里的发现——单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，活泼矫健，好奇心极强。他从不满足别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事既高雅、报酬又丰厚的医生职业，1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他却把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
伽利略(1564—1642)是一位虔诚的天主教徒，每周都坚持到教堂做礼拜。1582年的一天，伽利略到教堂做礼拜。礼拜开始不久，一位修理工人不经意触动了教堂中的大吊灯，使它来回摆动。摆动着的大吊灯映入了伽利略的眼帘，引起他的注意。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量来回摆动一次的时间，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。可是每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量使伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的。即吊灯的摆动具有等时性，这就是伽利略最初的发现。
问题
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
提示：没关系。
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
提示：吊灯的摆动具有等时性。
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高中物理选择性必修一素养提升学案
第二章 机械振动
2.4 单摆
【核心素养目标】
物理观念
知道什么是单摆，了解单摆的构成及单摆的回复力。
科学思维
1.理解单摆做简谐振动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。
2.掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。
科学探究
经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。
科学态度与责任
借助单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
【知识点探究】
1．单摆模型
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin_θ。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置。
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动。
在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？
提示：不为零。
1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。 (×)
(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。 (√)
(3)单摆是一个理想化的模型。 (√)
知识点二 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。
(2)单摆的周期与摆球质量、振幅无关。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2π。
2：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)摆球的质量越大，周期越大。 (×)
(2)单摆的振幅越小，周期越小。 (×)
(3)单摆的摆长越长，周期越大。 (√)
3：填空
一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为________。
[答案] 2T
考点1 单摆的回复力
(1)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
(2)试分析单摆的回复力由什么力提供？
提示：(1)模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。
模型⑤是单摆。
(2)单摆的回复力是重力的切向分力，也是摆球沿运动方向的合力，即F＝mgsin θ＝mg。
1．单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
单摆回复力的理解
【典例1】 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
C [摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误。]
单摆的运动过程分析
【典例2】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不相等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
D [摆球在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆线的张力和重力的合力，故A错误；摆球经过轨迹上的同一点受力情况相同，故加速度相同，故B错误；摆球在运动过程中加速度的方向不始终指向平衡位置，因为垂直速度方向也有加速度，故C错误；摆球摆动过程中，经过平衡位置时，受重力和拉力，合力不为零，加速度不为零，故D正确。]
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。
1．(角度1)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，合力为零
B．摆球在A点和C点处，回复力为零
C．摆球在B点处，回复力最大
D．摆球在B点处，细线拉力最大
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处合力不为零，A错误；在最低点B处，细线上的拉力最大，D正确；摆球的回复力F＝mgsin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
2．(角度2)(多选)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中正确的是( )
A．在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B．在最大位移处速度最小
C．在平衡位置摆球速度最大
D．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
BCD [在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。]
考点2 单摆周期公式的理解及应用
(1)应用如图所示的装置，探究单摆周期的影响因素。
单摆的周期与摆长有什么关系？
(2)央视新闻2019年3月1日消息：“嫦娥四号”着陆器已于今天上午(3月1日)7点52分自主唤醒，中继前返向链路建立正常，平台工况正常，目前正在进行状态设置，按计划开始第三月昼后续工作。假设将一单摆随“嫦娥四号”着陆器带至月球表面，单摆在做简谐运动时其周期与在地球上相比有何变化？
提示：(1)T∝ (2)变大
1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。
2．单摆的周期公式：T＝2π。
3．对周期公式的理解：
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。
【典例3】 (2020·浙江杭州西湖高中月考)摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区( )
A．摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B．摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C．周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D．周期是4 s的单摆的摆长为4 m
D [摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝2π可知，当地的重力加速度g＝＝π2m/s2，摆长是0.5 m的单摆的周期T1＝2π＝2π× s＝1.414 s，故A、B错误；周期是1 s的单摆的摆长l2＝＝ m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长l3＝＝ m＝4 m，故C错误，D正确。]
利用单摆周期公式计算的三个核心
利用单摆的周期公式T＝2π进行有关计算，要把握三个核心。
(1)单摆的周期公式在偏角很小时成立(θ≤5°)。
(2)单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度，能求出摆球在不同的空间位置、物理环境(如带电小球在匀强电场、匀强磁场)中的等效重力加速度。
(3)单摆的摆长
①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆。
②等效摆长。
3．惠更斯利用单摆的等时性原理制成了世界上第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们常见到的一种摆钟，图乙所示为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在A地走时准确的摆钟移到B地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是 ( )
甲 乙
A．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C [由A地到B地摆钟摆动加快说明周期变小，由单摆的周期公式T＝2π，可知重力加速度变大了，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动，故C正确。]
【同步训练】
1． . (2023浙江杭州九校期中联考) 如图所示，以O点为平衡位置，单摆在A、B两点间做简谐运动，已知摆球从A点第一次运动到B点历时0.5s，则下列说法中正确的是（ ）
A. 摆球从A点经O点运动到B点即完成一次全振动
B. 单摆的摆长约为1m
C. 从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力也不断增大
D. 将单摆从地面移至山顶，摆动周期将增大
【答案】：D
【解析】：摆球从A点经O点运动到B点，然后从B点再经过O点返回A点，摆球完成一次全振动，故A错误；单摆周期为
解得 ，故B错误；
从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力不断减小，故C错误；
将单摆从地面移至山顶，由于重力加速度减小，由单摆周期公式可知，摆动周期将增大，故D正确。
2. （2023石家庄三模）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取，忽略一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 时小球位于B点 B. 时小球位于C点
C. OA之间的距离为1.5m D. OP之间的距离为1.2m
【答案】D
【解析】
由图像可知，内应该对应着摆球在CB之间的摆动；内应该对应着摆球在BA之间的摆动，因时摆线拉力最小，可知小球位于C点，时小球位于A点，选项AB错误；
摆球在AB之间摆动的周期为
T1=0.8πs
根据
可得
L1=1.6m
即OA之间的距离为1.6m，选项C错误；
摆球在BC之间摆动的周期为
T2=0.4πs
根据
可得
L2=0.4m
即PB之间的距离为0.4m，OP之间的距离为1.2m，选项D正确。
3. . （2023吉林通化梅河口五中二模）利用如图所示的装置进行单摆实验。将小球拉离平衡位置释放，摆角小于。借助传感器可知最大拉力为，最小拉力为，这两个数据出现的时间间隔为t。当地重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A. 单摆的振动周期为
B. 单摆摆长为
C. 用所给数据可以表示出最大摆角的余弦值
D. 传感器的示数增大时，小球的势能在变大
【答案】C
【解析】
由题意可得，单摆的振动周期为，A错误；
由周期公式
可得，单摆的摆长为 ，B错误；
摆球重力沿切线方向分力提供回复力，摆球在最低点时，由牛顿第二定律
从最高点到最低点的过程中，由机械能守恒定律得
在最高点时，摆线的拉力为
联立解得，最大摆角的余弦值为，C正确；
传感器的示数增大时，由牛顿第二定律及向心力公式得小球的速度在变大，则小球的势能在变小，D错误。
故选C。
4.如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】：由图乙可知，该单摆恰好摆动2.5个周期，故满足 ，单摆周期公式为 T=2联立解得该单摆的等效摆长为 L=，B正确。
5. 一物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，在地球表面走时准确的摆钟，搬到此行星表面后，秒针走一圈所经历的时间是（ ）
A.180s B.540s C.20s D.6.7s
【答案】 A
【解析】物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，所以该星球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的九分之一，即g’=g/9；根据单摆的周期公式，T=2，单摆在该星球的周期是单摆在地球表面周期的3倍，所以在地球表面走时准确的摆钟，搬到此行星表面后，秒针走一圈所经历的时间是3×60s=180s，A正确。
【课堂小结】
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ很小，θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
提示：T＝2π。
【知识拓展】
教堂里的发现——单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，活泼矫健，好奇心极强。他从不满足别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事既高雅、报酬又丰厚的医生职业，1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他却把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
伽利略(1564—1642)是一位虔诚的天主教徒，每周都坚持到教堂做礼拜。1582年的一天，伽利略到教堂做礼拜。礼拜开始不久，一位修理工人不经意触动了教堂中的大吊灯，使它来回摆动。摆动着的大吊灯映入了伽利略的眼帘，引起他的注意。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量来回摆动一次的时间，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。可是每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量使伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的。即吊灯的摆动具有等时性，这就是伽利略最初的发现。
问题
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
提示：没关系。
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
提示：吊灯的摆动具有等时性。
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