2.5. 实验：用单摆测量重力加速度--高中物理选择性必修一素养提升学案
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| 名称 | 2.5. 实验：用单摆测量重力加速度--高中物理选择性必修一素养提升学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-03-12 14:01:16 | ||
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文档简介
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高中物理选择性必修一素养提升学案
第二章 机械振动
2.5. 实验：用单摆测量重力加速度
【实验目标】
1.明确用单摆测定重力加速度的原理和方法。
2.知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。
3.学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。
【知识点探究】
一、实验设计
1．实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
2．实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。
二、实验步骤
1．做单摆
取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。
2．测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值，取平均值作为测量结果。
4．改变摆长，重做几次实验。
三、数据处理
1．公式法
将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。
2．图像法
由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，g＝4π2k。
四、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2．偶然误差
主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2…在数“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
五、注意事项
1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。
4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时接下秒表，开始计时计数。
【考点探究】
考点一 实验原理与操作
【典例1】 利用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
图1 图2
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．秒表
F．时钟
G．10分度的游标卡尺
H．最小刻度为毫米的米尺
选择游标卡尺和米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前的字母)。
(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，如图2所示，读出小球直径的值为________mm。
(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为l，小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝ ______。(用l，d，n，t表示)
(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是____________________________________________________
________________________________________________________________________(写出一条即可)。
[解析] (1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m的细线，摆球选择质量大体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，故选A、C、E。
(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为0.1×6 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm。
(3)单摆的摆长L＝l＋，
单摆的周期T＝，
根据T＝2π
得：g＝＝。
(4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能是实验所在处纬度低或海拔比较高。
[答案] (1)ACE (2)17.6 (3)
(4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可)
考点二 数据处理和误差分析
【典例2】 (2020·上海交大附中期中)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是________s，单摆的摆动周期是________ s。
甲 乙
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横坐标、T2为纵坐标的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则：
丙
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________。
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s2。(结果取两位有效数字)
[解析] 由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝。
由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。
停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，所以T＝＝1.88 s。
(1)单摆做简谐运动的条件是偏角θ≤5°。
(2)连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率k＝≈4 s2/m。由g＝可知T2 l图线的斜率表示，故＝4 s2/m，可得g≈9.9 m/s2。
[答案] 0.875 0 75.2 1.88 (1)偏角小于等于5° (2)图见解析 9.9
【规律方法】用图像法处理实验数据的技巧
(1)用图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。
(2)由于T L的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用T2 L的图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。
考点三 创新实验设计
【典例3】 某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图(a)，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。
(a) (b)
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由实验数据得出图(b)所示的拟合直线，图中纵轴表示________。
(2)Ic的国际单位制单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[解析] (1)由公式T＝2π得T2r＝＋，故题图(b)中纵轴表示T2r。
(2)由公式T＝2π得Ic＝－mr2，即Ic的国际单位制单位为kg·m2，由题图(b)并结合(1)中的式子可得1.25 s2·m＝，由题图(b)知拟合直线的斜率k＝＝ s2·m－1＝ s2·m－1，解得Ic≈0.17 kg·m2。
(3)图线的斜率与质量无关，故重力加速度的测量值与质量无关，故g的测量值不变。
[答案] (1)T2r (2)kg·m2 0.17 (3)不变
【同步训练】
1. （2023长春三模）如图甲所示为某物理实验小组同学探究“利用单摆测重力加速度”的实验装置。将选好的一根长约左右的细线穿过带孔的小钢球，在细线的下端打一个比小球上的孔径稍大些的结。把细线的上端固定在铁架台上，铁架台放在实验桌边，使悬点伸到桌面以外，摆线自然下垂。
（1）将下列实验步骤补充完整：
①测量摆长：用刻度尺测出悬点到小球上端的距离为，用游标卡尺测出小球的直径如图乙所示，则小球直径_________，并计算出单摆的摆长l。
②测量周期：将单摆从平衡位置拉开一个较小的角度，然后释放小球，让小球保持竖直面内摆动。用停表记下单摆50次全振动的时间，计算出完成一次全振动的时间T。
③多次改变摆长，重复前面实验过程。
（2）根据多次改变摆线长度得到的数据作出图像，即可求出当地的重力加速度。理论上图像是一条经过坐标原点的直线，实验时某同学误把记作摆长l，绘出图像如图丙所示。请你判断用该图像_________（填“能”或“不能”）计算出当地重力加速度g。若能，计算出g的数值，（结果保留到小数点后两位）；若不能，简要说明理由：_________。
【答案】： ①. 2.030 ②. 能 ③. 9.76
【解析】：（1）①[1]游标卡尺的读数即小球直径为
（2）[2][3]根据单摆周期公式
可得
可知图像斜率
根据图像可得
解得
2．（2023湖北重点高中质检）（10分）某同学想验证单摆的周期与重力加速度的关系，他借鉴伽利略用斜面“冲淡”重力的思路，设计了这样的实验装置：在水平面上有一倾角可调的斜面，斜面上有一固定的力传感器，将钢性小球通过摆线挂在力传感器上，斜面上开有许多小孔，利用气源从小孔往里吹气，使钢性小球浮在气垫层上，并使摆线与斜面始终保持平行，因而能在斜面上做近似无阻力的单摆运动，装置模拟图如图甲．
（1）在测量过程中，下列说法合理的是______；
A．先测好摆长，再将单摆悬挂到力传感器上
B．释放单摆时，摆角尽量大些，以便观察
C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
（2）图乙为斜面倾角为时，传感器输出的细线拉力F随时间的变化曲线，由图可知，小球摆动的周期为T＝______s．
（3）仅改变平板倾角，测出倾角及在该倾角下单摆的周期T，已知当地重力加速度为．若从实验中得到所测物理量数据的图线如图丙，则作出的图像可能为_____
A． B．
C． D．
（4）另一名同学想利用此装备测量当地的重力加速度，由于要用细线系住小球，小球上方被钻孔导致单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，此时斜面的倾角为，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出图线，然后在图线，选取A，B两个点，坐标如图丁所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为______．请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心在球心处所得结果相比将_____．（填“偏大”、“偏小”或“相同”）
【答案】（1）C （2）1.6 （3）B （4） 相同（每空2分）
【解析】（1）A．先将单摆悬挂到力传感器上，然后再测摆长，A错误；
B．释放单摆时，摆角不能大于5°，B错误；
C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，C正确．
（2）根据题意，由图乙可知，小磁铁摆动的周期为
（3）根据题意可知，斜面倾角为时，等效重力加速度为
由单摆周期公式有
可得
可知，图丙中的图像为
故选B．
（4）由单摆周期公式，得
由图象可知，图象的斜率，则，
由图象可知与成正比，由于单摆摆长偏大还是偏小不影响图象的斜率，因此摆长偏小不影响重力加速度的测量值，用图线法求得的重力加速度准确，该同学得到的实验给果与摆球重心就在球心处的情况相比，将相同．
3. （2023福建南平政和一中质检） 在用单摆测定重力加速度的实验中，改变摆长多次测量得到多组周期和摆长的值。
（1）测摆长时，若正确测出悬线长和摆球直径，则摆长__________；
（2）测周期时，当摆球经过平衡位置时开始计时并计数为0次，图中秒表是摆球经过平衡位置第100次的时间，上图为放大图，则秒表示数__________，周期__________；
（3）甲同学利用所测数据计算出重力加速度的结果比真实值偏小，实验过程中可能出现的失误是__________；
A．计算摆长时没有加上摆球半径
B．选用摆球的质量偏大
C．在时间内的次全振动误记为次
D．在时间内的次全振动误记为次
（4）乙同学利用所测数据作出图线如图所示，由图线求出斜率为，则重力加速度为__________。
【答案】 ①. ②. ③. ④. AD##DA ⑤.
【解析】
（1）[1]单摆摆长为悬线长与球半径之和，故
（2）[2]秒表的示数由分针读数加上秒针读数，则秒表示数为
[3]周期等于总时间与全振动次数的比值，则周期为
（3）[4]由周期公式得，当地重力加速度为
与摆球质量无关，测量摆长偏小或周期偏大都会导致计算重力加速度的结果比真实值偏小，其中计算摆长时没有加上摆球半径导致摆长测量值偏小；在时间内的次全振动误记为次导致周期的测量值偏大。
故选AD。
（4）[5]由周期公式得
可知，图像斜率为
解得，重力加速度为
4. （2023湖南衡阳二模）（1）某同学在用单摆测量重力加速度实验时，测量摆长。用米尺测得摆线长度为，用游标卡尺测得小铁球的直径如图甲所示，则摆球的直径为___________。（结果保留两位小数）
（2）用停表测量单摆的周期。把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，当单摆稳定时，摆球到达___________（选填“最高”或“最低”）点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为___________，则单摆的周期为___________。
（3）他计算得出的重力加速度为___________，比实际测量的重力加速度要大，其原因是___________。
A．摆球太重 B．摆角太小
C．开始计时时停表过迟按下 D．实验中全振动次数记少了
【答案】 ① ②. 最低 ③. ④. ⑤. ##10.4 ⑥. C
【解析】
（1）[1]单摆的摆球直径为
（2）[2][3][4] 当单摆稳定时，摆球到达最低点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为1分37.5秒，单摆全振动次数为50次，故单摆的周期为。
（3）[5]根据单摆周期公式
解得
[6] AB．值大的原因就在于周期值比实际的要小，与摆球质量、摆角无关，故AB错误；
C．开始计时时停表过迟按下，使记录时间变小，次数不变，故周期变小，值比实际测量的重力加速度要大，故C正确；
D．实验中全振动次数计少了，记录时间不变，则周期变大，值比实际测量的重力加速度要小，故D错误。
故选C。
5. （2023福建泉州三模）某同学利用图甲实验装置测量当地的重力加速度。实验主要步骤如下：
A．按图甲将沙漏悬挂在支架上，在沙漏正下方放置一块长木板，木板与电动机的牵引绳相连，在木板上固定一张白纸；
B．测得悬挂沙漏的摆线长度为；
C．使沙漏在支架所在的竖直面内小幅度摆动，同时让细沙不断流出；
D．启动电动机，使木板以的速度水平匀速运动，运动方向与沙漏摆动平面垂直，细沙在白纸上形成一条曲线，并建立坐标如图乙所示，用该图线研究沙漏的振动规律；
E．将摆线长度视为该单摆的摆长，结合其它所得的数据和图线，可求出当地的重力加速度。
（1）该单摆的周期为__________s；
（2）取，可求得当地的重力加速度大小为__________m/s2（结果保留三位有效数字）：
（3）重力加速度的测量值与真实值相比__________（选填“偏大”或“偏小”）。
【答案】 ①. 2.0 ②. 9.66 ③. 偏小
【解析】
（1）[1]根据题意，由图乙可知，单摆摆动一个周期，木板移动的距离为，可得单摆周期为
（2）[2]根据题意，由单摆周期公式可得，当地重力加速度为
代入数据解得
（3）[3]由于计算时摆长用的摆线长，小于实际摆长，则重力加速度的测量值与真实值相比偏小。
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高中物理选择性必修一素养提升学案
第二章 机械振动
2.5. 实验：用单摆测量重力加速度
【实验目标】
1.明确用单摆测定重力加速度的原理和方法。
2.知道如何选择实验器材，能熟练地使用秒表。
3.学会用单摆测当地的重力加速度，掌握减小实验误差的方法。
【知识点探究】
一、实验设计
1．实验原理
当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
2．实验器材
带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。
二、实验步骤
1．做单摆
取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。
2．测摆长
用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值，取平均值作为测量结果。
4．改变摆长，重做几次实验。
三、数据处理
1．公式法
将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。
2．图像法
由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，g＝4π2k。
四、误差分析
1．系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2．偶然误差
主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2…在数“零”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
五、注意事项
1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。
4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时接下秒表，开始计时计数。
【考点探究】
考点一 实验原理与操作
【典例1】 利用如图1所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
图1 图2
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的均匀铁球
D．直径约5 cm的均匀木球
E．秒表
F．时钟
G．10分度的游标卡尺
H．最小刻度为毫米的米尺
选择游标卡尺和米尺后，还需要从上述器材中选择________(填写器材前的字母)。
(2)用10分度的游标卡尺测量小球的直径d，如图2所示，读出小球直径的值为________mm。
(3)将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂。用米尺测量摆线长度为l，小球在竖直平面内小角度平稳摆动后，测得小球完成n次全振动的总时间为t，请写出重力加速度的表达式g＝ ______。(用l，d，n，t表示)
(4)正确操作后，根据多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值，比较后发现：此值比北京的重力加速度值略小，则实验所在处的地理位置与北京的主要不同点可能是____________________________________________________
________________________________________________________________________(写出一条即可)。
[解析] (1)摆线的长度不能伸长，所以摆线选择长约1 m的细线，摆球选择质量大体积小的球，所以选择直径约2 cm的均匀铁球，实验中需要用秒表测量单摆摆动的时间，从而得出周期，故选A、C、E。
(2)游标卡尺的主尺读数为17 mm，游标尺读数为0.1×6 mm＝0.6 mm，则小球直径为17.6 mm。
(3)单摆的摆长L＝l＋，
单摆的周期T＝，
根据T＝2π
得：g＝＝。
(4)多次测量数据计算出实验所在处的重力加速度值比北京的重力加速度值略小，可能是实验所在处纬度低或海拔比较高。
[答案] (1)ACE (2)17.6 (3)
(4)实验所在处比北京纬度低或海拔高(其他答案合理也可)
考点二 数据处理和误差分析
【典例2】 (2020·上海交大附中期中)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是________s，单摆的摆动周期是________ s。
甲 乙
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横坐标、T2为纵坐标的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则：
丙
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________。
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s2。(结果取两位有效数字)
[解析] 由单摆的周期公式T＝2π，可得g＝。
由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。
停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，所以T＝＝1.88 s。
(1)单摆做简谐运动的条件是偏角θ≤5°。
(2)连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率k＝≈4 s2/m。由g＝可知T2 l图线的斜率表示，故＝4 s2/m，可得g≈9.9 m/s2。
[答案] 0.875 0 75.2 1.88 (1)偏角小于等于5° (2)图见解析 9.9
【规律方法】用图像法处理实验数据的技巧
(1)用图像法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。
(2)由于T L的图像不是直线，不便于进行数据处理，所以采用T2 L的图像，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。
考点三 创新实验设计
【典例3】 某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图(a)，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。
(a) (b)
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
(1)由实验数据得出图(b)所示的拟合直线，图中纵轴表示________。
(2)Ic的国际单位制单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[解析] (1)由公式T＝2π得T2r＝＋，故题图(b)中纵轴表示T2r。
(2)由公式T＝2π得Ic＝－mr2，即Ic的国际单位制单位为kg·m2，由题图(b)并结合(1)中的式子可得1.25 s2·m＝，由题图(b)知拟合直线的斜率k＝＝ s2·m－1＝ s2·m－1，解得Ic≈0.17 kg·m2。
(3)图线的斜率与质量无关，故重力加速度的测量值与质量无关，故g的测量值不变。
[答案] (1)T2r (2)kg·m2 0.17 (3)不变
【同步训练】
1. （2023长春三模）如图甲所示为某物理实验小组同学探究“利用单摆测重力加速度”的实验装置。将选好的一根长约左右的细线穿过带孔的小钢球，在细线的下端打一个比小球上的孔径稍大些的结。把细线的上端固定在铁架台上，铁架台放在实验桌边，使悬点伸到桌面以外，摆线自然下垂。
（1）将下列实验步骤补充完整：
①测量摆长：用刻度尺测出悬点到小球上端的距离为，用游标卡尺测出小球的直径如图乙所示，则小球直径_________，并计算出单摆的摆长l。
②测量周期：将单摆从平衡位置拉开一个较小的角度，然后释放小球，让小球保持竖直面内摆动。用停表记下单摆50次全振动的时间，计算出完成一次全振动的时间T。
③多次改变摆长，重复前面实验过程。
（2）根据多次改变摆线长度得到的数据作出图像，即可求出当地的重力加速度。理论上图像是一条经过坐标原点的直线，实验时某同学误把记作摆长l，绘出图像如图丙所示。请你判断用该图像_________（填“能”或“不能”）计算出当地重力加速度g。若能，计算出g的数值，（结果保留到小数点后两位）；若不能，简要说明理由：_________。
【答案】： ①. 2.030 ②. 能 ③. 9.76
【解析】：（1）①[1]游标卡尺的读数即小球直径为
（2）[2][3]根据单摆周期公式
可得
可知图像斜率
根据图像可得
解得
2．（2023湖北重点高中质检）（10分）某同学想验证单摆的周期与重力加速度的关系，他借鉴伽利略用斜面“冲淡”重力的思路，设计了这样的实验装置：在水平面上有一倾角可调的斜面，斜面上有一固定的力传感器，将钢性小球通过摆线挂在力传感器上，斜面上开有许多小孔，利用气源从小孔往里吹气，使钢性小球浮在气垫层上，并使摆线与斜面始终保持平行，因而能在斜面上做近似无阻力的单摆运动，装置模拟图如图甲．
（1）在测量过程中，下列说法合理的是______；
A．先测好摆长，再将单摆悬挂到力传感器上
B．释放单摆时，摆角尽量大些，以便观察
C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
（2）图乙为斜面倾角为时，传感器输出的细线拉力F随时间的变化曲线，由图可知，小球摆动的周期为T＝______s．
（3）仅改变平板倾角，测出倾角及在该倾角下单摆的周期T，已知当地重力加速度为．若从实验中得到所测物理量数据的图线如图丙，则作出的图像可能为_____
A． B．
C． D．
（4）另一名同学想利用此装备测量当地的重力加速度，由于要用细线系住小球，小球上方被钻孔导致单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，此时斜面的倾角为，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出图线，然后在图线，选取A，B两个点，坐标如图丁所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为______．请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心在球心处所得结果相比将_____．（填“偏大”、“偏小”或“相同”）
【答案】（1）C （2）1.6 （3）B （4） 相同（每空2分）
【解析】（1）A．先将单摆悬挂到力传感器上，然后再测摆长，A错误；
B．释放单摆时，摆角不能大于5°，B错误；
C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，C正确．
（2）根据题意，由图乙可知，小磁铁摆动的周期为
（3）根据题意可知，斜面倾角为时，等效重力加速度为
由单摆周期公式有
可得
可知，图丙中的图像为
故选B．
（4）由单摆周期公式，得
由图象可知，图象的斜率，则，
由图象可知与成正比，由于单摆摆长偏大还是偏小不影响图象的斜率，因此摆长偏小不影响重力加速度的测量值，用图线法求得的重力加速度准确，该同学得到的实验给果与摆球重心就在球心处的情况相比，将相同．
3. （2023福建南平政和一中质检） 在用单摆测定重力加速度的实验中，改变摆长多次测量得到多组周期和摆长的值。
（1）测摆长时，若正确测出悬线长和摆球直径，则摆长__________；
（2）测周期时，当摆球经过平衡位置时开始计时并计数为0次，图中秒表是摆球经过平衡位置第100次的时间，上图为放大图，则秒表示数__________，周期__________；
（3）甲同学利用所测数据计算出重力加速度的结果比真实值偏小，实验过程中可能出现的失误是__________；
A．计算摆长时没有加上摆球半径
B．选用摆球的质量偏大
C．在时间内的次全振动误记为次
D．在时间内的次全振动误记为次
（4）乙同学利用所测数据作出图线如图所示，由图线求出斜率为，则重力加速度为__________。
【答案】 ①. ②. ③. ④. AD##DA ⑤.
【解析】
（1）[1]单摆摆长为悬线长与球半径之和，故
（2）[2]秒表的示数由分针读数加上秒针读数，则秒表示数为
[3]周期等于总时间与全振动次数的比值，则周期为
（3）[4]由周期公式得，当地重力加速度为
与摆球质量无关，测量摆长偏小或周期偏大都会导致计算重力加速度的结果比真实值偏小，其中计算摆长时没有加上摆球半径导致摆长测量值偏小；在时间内的次全振动误记为次导致周期的测量值偏大。
故选AD。
（4）[5]由周期公式得
可知，图像斜率为
解得，重力加速度为
4. （2023湖南衡阳二模）（1）某同学在用单摆测量重力加速度实验时，测量摆长。用米尺测得摆线长度为，用游标卡尺测得小铁球的直径如图甲所示，则摆球的直径为___________。（结果保留两位小数）
（2）用停表测量单摆的周期。把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，当单摆稳定时，摆球到达___________（选填“最高”或“最低”）点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为___________，则单摆的周期为___________。
（3）他计算得出的重力加速度为___________，比实际测量的重力加速度要大，其原因是___________。
A．摆球太重 B．摆角太小
C．开始计时时停表过迟按下 D．实验中全振动次数记少了
【答案】 ① ②. 最低 ③. ④. ⑤. ##10.4 ⑥. C
【解析】
（1）[1]单摆的摆球直径为
（2）[2][3][4] 当单摆稳定时，摆球到达最低点时开始计时，并计数为零。单摆每经过这点时记一次数，当数到100次时，如图乙所示，所用的时间为1分37.5秒，单摆全振动次数为50次，故单摆的周期为。
（3）[5]根据单摆周期公式
解得
[6] AB．值大的原因就在于周期值比实际的要小，与摆球质量、摆角无关，故AB错误；
C．开始计时时停表过迟按下，使记录时间变小，次数不变，故周期变小，值比实际测量的重力加速度要大，故C正确；
D．实验中全振动次数计少了，记录时间不变，则周期变大，值比实际测量的重力加速度要小，故D错误。
故选C。
5. （2023福建泉州三模）某同学利用图甲实验装置测量当地的重力加速度。实验主要步骤如下：
A．按图甲将沙漏悬挂在支架上，在沙漏正下方放置一块长木板，木板与电动机的牵引绳相连，在木板上固定一张白纸；
B．测得悬挂沙漏的摆线长度为；
C．使沙漏在支架所在的竖直面内小幅度摆动，同时让细沙不断流出；
D．启动电动机，使木板以的速度水平匀速运动，运动方向与沙漏摆动平面垂直，细沙在白纸上形成一条曲线，并建立坐标如图乙所示，用该图线研究沙漏的振动规律；
E．将摆线长度视为该单摆的摆长，结合其它所得的数据和图线，可求出当地的重力加速度。
（1）该单摆的周期为__________s；
（2）取，可求得当地的重力加速度大小为__________m/s2（结果保留三位有效数字）：
（3）重力加速度的测量值与真实值相比__________（选填“偏大”或“偏小”）。
【答案】 ①. 2.0 ②. 9.66 ③. 偏小
【解析】
（1）[1]根据题意，由图乙可知，单摆摆动一个周期，木板移动的距离为，可得单摆周期为
（2）[2]根据题意，由单摆周期公式可得，当地重力加速度为
代入数据解得
（3）[3]由于计算时摆长用的摆线长，小于实际摆长，则重力加速度的测量值与真实值相比偏小。
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