山东省济南市2010届高考数学精品资料（打包19套）

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圆锥曲线与方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．了解圆锥曲线的初步应用． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点： ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容： ( http: / / www.21cnjy.com / )
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解． ( http: / / www.21cnjy.com / )
②圆锥曲线的几何性质的应用． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．椭圆的两种定义 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． ( http: / / www.21cnjy.com / )
注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．椭圆的标准方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进行讨论) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则 ，= ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(6) 椭圆的参数方程为 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．焦点三角形应注意以下关系： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 定义：r1＋r2＝2a ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝) ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3，） ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 和椭圆共准线，且离心率为． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1) 设椭圆方程，则其准线为． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
所求椭圆方程为． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) ，． ( http: / / www.21cnjy.com / )
由，得． ( http: / / www.21cnjy.com / )
所求椭圆方程为或． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 已知点P(3, 4)是椭圆＝1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2，求： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 椭圆的方程； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) △PF1F2的面积． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）法一：令F1(－C，0)，F2(C，0) ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ PF1⊥PF2，∴ ＝－1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
即，解得c＝5 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ 椭圆的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ 点P（3，4）在椭圆上，∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解得a2＝45或a2＝5 又a＞c，∴ a2＝5舍去. ( http: / / www.21cnjy.com / )
故所求椭圆的方程为. ( http: / / www.21cnjy.com / )
法二：利用△PF1F2是直角三角形，求得c＝5(以下同方法一) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）由焦半径公式： ( http: / / www.21cnjy.com / )
| PF1 |＝a＋ex＝3＋×3＝4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
| PF2 |＝a－ex＝3－×3＝2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ＝| PF1 |·| PF2 |＝×4×2＝20 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知 ( http: / / www.21cnjy.com / )
|OA|= ( http: / / www.21cnjy.com / )
故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. ( http: / / www.21cnjy.com / )
评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求椭圆的方程； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）求的最大值和最小值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）由抛物线方程，得焦点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
设椭圆的方程：． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，， ∴ ． …………2分 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴又， ( http: / / www.21cnjy.com / )
因此，，解得并推得． ( http: / / www.21cnjy.com / )
故椭圆的方程为 ． …………4分 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
圆过点O、， ( http: / / www.21cnjy.com / )
圆心M在直线上． ( http: / / www.21cnjy.com / )
设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
由得解得
所求圆的方程为…………………………8分
（3） 由
①若垂直于轴，则，
，
…………………………………………9分
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由 得
，方程有两个不等的实数根．
设，.
, ………………………………11分
=
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.
(1)求W的方程；
(2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，
求k的取值范围；
（3）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ) 设C（x, y）,
∵ , ,
∴ ,
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴ . ∴ .
∴ W: . …
(2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
整理，得. ①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或.
∴ 满足条件的k的取值范围为
（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),
由①得. ②
又 ③
因为，， 所以.………
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线.
例4. 已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.
（1）求椭圆W的方程；
（2）求证： ()；
（3）求面积的最大值.
解：（1）设椭圆W的方程为，由题意可知
解得，，，
所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分
（2）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为．
得.
由直线与椭圆W交于、两点，可知
，解得．
设点，的坐标分别为，,
则，，，．
因为，，
所以，.
又因为
，
所以． ……………………………………………………………10分
解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.
于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,
则点的坐标为，，．
由椭圆的第二定义可得
,
所以，，三点共线，即．…………………………………10分
(3)由题意知
，
当且仅当时“=”成立，
所以面积的最大值为．
变式训练4：设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）易知
设P（x，y），则
，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4
（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时，设交点C，CD的中点为R，
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．
2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．
3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是．
4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．
5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．
第2课时 双 曲 线
1．双曲线的两种定义
(1) 平面内与两定点F1，F2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．
注：①当2a＝|F1F2|时，p点的轨迹是 ．
②2a＞|F1F2|时，p点轨迹不存在．
(2) 平面内动点P到一个定点F和一条定直线l (F不在上)的距离的比是常数e，当 时动点P的轨迹是双曲线．
设P到的对应准线的距离为，到对应的准线的距离为，则
2．双曲线的标准方程
(1) 标准方程：，焦点在 轴上；，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0， ．
(2) 双曲线的标准方程的统一形式：
3．双曲线的几何性质(对进行讨论)
(1) 范围： ， ．
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．
(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．
(4) 离心率= ，且 ，越大，双曲线开口越 ，越小，双曲线开口越 ，焦准距P＝ ．
(5) 焦半径公式，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线右支上任意一点， ， ，若是双曲线左支上任意一点， ， ．
(6) 具有相同渐近线的双曲线系方程为
(7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．
(8) 的共轭双曲线方程为 ．
例1．根据下列条件，写出双曲线的标准方程
(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．
(2) 与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
解：(1)∵顶点为(0，6)，设所求双曲线方程为 ∴
又∵ ∴
故所求的双曲线方程为
(2) 令与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线为x2－2y2＝k
∵ 双曲线过M（2，－2）
∴ 4－2×4＝k 得k＝－4
∴ x2－2y2＝－4即
变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点（，2）.
解：法一：（1）双曲线的渐近线为
令x=-3，y=±4，因，故点（-3，）在射线（x≤0）及x轴负半轴之间，
∴ 双曲线焦点在x轴上
设双曲线方程为，（a>0，b>0）
解之得：
∴ 双曲线方程为
（2）设双曲线方程为（a>0，b>0）
则
解之得：
∴ 双曲线方程为
法二：（1）设双曲线方程为（λ≠0）
∴
∴
∴ 双曲线方程为
（1） 设双曲线方程为
∴
解之得：k=4
∴ 双曲线方程为
评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为（a2+k>0，b2-k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。
例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且=13×2 (m)，=25×2 (m).设双曲线的方程为 （a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以
解方程组由方程（2）得 （负值舍去）.代入方程（1）得化简得 19b2+275b－18150=0 （3）
解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为：
变式训练2：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.
解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.
（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为（x,y），则
即2a=680,a=340.又∴2c=800,c=400,b2=c2－a2=44400.
∵∴x>0.所求双曲线的方程为： (x>0).
例3. 中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．
解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为，所以B()，．利用正弦定理，从条件得，即．由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为()．
变式训练3：已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.
（1）解：依题意有：
可得双曲线方程为
（2）解：设
所以
例4. 设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。
解：（1）由题，得，设
则
由 …………①
又在双曲线上，则 …………②
联立①、②，解得
由题意，
∴点T的坐标为（2，0） …………3分
（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）
由A1、P、M三点共线，得
…………③ …………1分
由A2、Q、M三点共线，得
…………④ …………1分
联立③、④，解得 …………1分
∵在双曲线上，
∴
∴轨迹E的方程为 …………1分
（3）容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为 中，得
设
则由根与系数的关系，得 ……⑤
……⑥ …………2分
∵ ∴有
将⑤式平方除以⑥式，得
…………1分
由
…………1分
∵
又
故
令 ∴，即
∴
而 ， ∴
∴
变式训练4：)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.
（1）求双曲线C的标准方程
（2）当直线l的斜率为何值时，。
本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。
解（1）设双曲线C的方程为
又P（6,6）在双曲线C上，
由①、②解得
所以双曲线C的方程为。
（2）由双曲线C的方程可得
所以△A1PA2的重点G（2,2）
设直线l的方程为代入C的方程，整理得
整理得
解得
由③，可得
解得
由④、⑤，得
1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a、b、c、e的关系．
2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．
3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．
4．求双曲线的方程的常用方法：
(1) 定义法．
(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．
5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．
第3课时 抛 物 线
1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．
2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程
① ，焦点为 ，准线为 ．
② ，焦点为 ，准线为 ．
③ ，焦点为 ，准线为 ．
④ ，焦点为 ，准线为 ．
3．抛物线的几何性质：对进行讨论．
① 点的范围： 、 ．
② 对称性：抛物线关于 轴对称．
③ 离心率 ．
④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 ．
⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)
i) 若，，则＝ ， ．
ii) 若AB所在直线的倾斜角为(则＝
．
特别地，当时，AB为抛物线的通径，且＝ ．
iii) S△AOB＝ （表示成P与θ的关系式）．
iv) 为定值，且等于 ．
例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值．
解：设抛物线方程为，则焦点是F
∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5
故解得P＝4，
故所求抛物线方程为
变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．
解：因为对称轴是轴，可设抛物线方程为或 ∵，∴p＝12
故抛物线方程为或
例2. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
(1) 若，求直线l的方程．
(2) 求的最小值．
解：(1)解法一：
设直线的方程为：
代入整理得，
设
则是上述关于的方程的两个不同实根，所以
根据抛物线的定义知：| AB |＝
＝
若，则
即直线有两条，其方程分别为：
解法二：由抛物线的焦点弦长公式
|AB|＝(θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝±，
即直线AB的斜率k＝tanθ＝±，
故所求直线方程为：
或.
(2) 由(1)知，
当且仅当时，|AB|有最小值4．
解法二：由(1)知|AB|＝＝
∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)
变式训练2：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无数条 D．不存在
解：B
例3. 若A(3，2)，F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标．
解：抛物线的准线方程为
过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |
要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点
从而|PA|＋|PF|的最小值为
此时P的坐标为(2，2)
变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。
解：
例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？
(2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围．
解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于
y1＝y2(x1＋x2)(x1－x2)＝0
∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0
即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F．
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m
所以x1、x2满足方程：2x2＋x－m＝0
且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－
设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝
y0＝－x0＋m＝＋m
由N∈l得：＋m＝－＋b
于是b＝＋m＞－＝
即l在y轴上截距的取值范围是(，＋)
变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积．
设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率为1．
∴ ＝＝1，即y1＋y2＝1 ①
又| CD |＝＝
＝(y1－y2)
| BC |＝(y12－y1＋4恒正)
由| CD |＝| BC |，有(y1－y2)＝ ②
解①、② 得 y1＝2或y1＝3
当y1＝2时，有| BC |＝3，此时SABCD＝18
当y1＝3时，有| BC |＝5，此时SABCD＝50
∴ 正方形的面积为18或50．
1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．
2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．
3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．
4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．
第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）
2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：｜AB｜=————————或：—————————．
利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．
当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．
3．中点弦问题：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则 两式相减可得
即 ．
对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．
例1. 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点．
(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？
(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？
解： (1) 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ①
显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．
若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：
a∈(－，－)∪(，)
若A、B分别在双曲线的两支上，则有：
a∈(－，)
(2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝，x1x2＝．
∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1
＝a2·＋a·＋1＝1
∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴＋1a＝±1
此时△＞0，符合要求．
变式训练1：已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值.
解：联立方程为
(1) 当a＝0时，此时方程组恰有一组解
(2) 当a≠0时，消去x得
① 若＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解
② 若≠0，即a≠－1，令△＝0
得1＋，解得a＝－
此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．
例2. 已知双曲线方程2x2－y2＝2.
(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；
(2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
解：(1)即设的中点弦两端点为，则有关系．又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系．两式相减是：
∴ ∴
所求中点弦所在直线为，即．
(2)可假定直线存在，而求出的方程为，即
方法同(1)，联立方程，消去y,得
然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在．
变式训练2：若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ）
A．2 B．－2
C． D．－
解：D
例3. 在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
解法一：设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则
∵点在直线上，∴
∴，代入，得，即
解得
解法二：设，关于对称，中点，则
相减得：
∴，则
∵在抛物线内部，∴
化简而得，即，解得．
变式训练3：设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则 .
解：8
例4. 已知椭圆＝1(a为常数，且a>1)，向量＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）．
(1) 求t表示△ABC的面积S( t )；
(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．
解：(1) 直线AB的方程为：y＝t(x＋a)，
由 得
∴ y＝0或y＝
∴ 点B的纵坐标为
∴ S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·yB
＝
(2) 当a＝2时，S(t)＝＝
∵ t∈[，1]，∴ 4t＋≥2＝4
当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立.
∴ S(t)＝≤＝2
即S(t)的最大值S(t)max＝2
变式训练4：设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：
相切，求椭圆C的方程.
解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）
A（0，b）知
…2分
设，得……
因为点P在椭圆上，所以……
整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故椭圆的离心率e＝……
⑵由⑴知，
于是F（－a，0）， Q
△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a………
所以，解得a=2，∴c=1，b=，
所求椭圆方程为
1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．
2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．
3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．
圆锥曲线单元测试题
一、选择题
1． 中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程是 （ ）
A． B．
C． D．
2． AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 （ ）
A．2 B．
C． D．
3． 若双曲线的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B．
C．4 D．
4． 已知抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（ ）
A． B．
C． 2 D．3
5．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且＝0，则点M到x轴的距离为 （ ）
A． B．
C． D．
6．点P(－3，1)在椭圆(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为＝(2,－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B．
C． D．
7． 椭圆上有n个不同的点：P1，P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是 （ ）
A．198 B．199
C．200 D．201
8． 过点(4, 0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（ ）
A．| k |≥1 B．| k | >
C．| k |≤ D．| k | < 1
9． 已知θ为三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示 （ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
10．下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线离心率分别为e1、e2、e3，则（ ）
A．e1 > e2 > e3 B．e1 < e2 < e3
C．e1＝e2 < e3 D．e1＝e2 > e3
二、填空题
11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4的距离最近的点是 .
12．双曲线3x2－4y2－12x＋8y－4＝0按向量平移后的双曲线方程为，则平移向量＝ ．
13．P在以F1、F2为焦点的双曲线上运动，则△F1F2P的重心G的轨迹方程是—————————．
14．椭圆中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为 .
15．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
① 设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；
② 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点，若()，则动点P的轨迹为椭圆；
③ 方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④ 双曲线与有相同的焦点．
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题
16．已知双曲线的离心率为2，它的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求双曲线的方程．
17．已知动圆C与定圆x2＋y2＝1内切,与直线x＝3相切.
(1) 求动圆圆心C的轨迹方程；
(2) 若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值.
18．如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．
(1) 写出直线的截距式方程；
(2) 证明：；
(3) 当时，求的大小．
19．设x，y∈R，,为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)，且||＋||＝8
(1) 求动点M（x，y）的轨迹C的方程．
(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) 且OAPB为矩形，求直线AB方程.．
20．动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A ：(x－)2＋y2＝12相切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．
21．已知椭圆的左、右焦点分别是F1(－c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F1Q与椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足＝0，≠0．
(1) 设x为点P的横坐标，证明；
(2) 求点T的轨迹C的方程；
(3) 试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S＝b2 ？若存在，求∠F1MF2的正切值，若不存在，请说明理由．
圆锥曲线单元测试题答案
1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1，1) 12. (－2，－1) 13. 14. 9x－32y＋73＝0 15. ③④
16. 解：以焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示：
设双曲线方程为：
依题意有：
解之得：a2＝4，c2＝16，b2＝12
故所求双曲线方程为：
17．解：(1) 设则
⊙C与⊙O内切，
即轨迹方程为
(2) 设，则
当，即时
当，即时，
18．解：(1)
(2) 由直线方程及抛物线方程可得：
by2＋2pay－2pab＝0
故
所以
(3) 设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2
则.
当a＝2p时，知y1y2＝－4p2，x1x2＝4p2
所以，k1k2＝－1，即MON＝90°．
19．( 1 ) 解：令M(x，y)，F1(0,－2)，F2(0，2)
则＝，＝，即
||＋||＝||＋||，即||＋||＝8
又∵ ＝4＝2c，∴ c＝2，a＝4，b2＝12
所求轨迹方程为
( 2) 解：由条件(2)可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (3k2＋4)x2＋18kx－21＝0
x1＋x2＝－ x1·x2＝
y1·y2＝(kx1＋3) (kx2＋3)＝k2 x1x2＋3k(x1＋x2)＋9
＝
∵ OAPB为矩形，∴ OA⊥OB ＝0
∴ x1x2＋y1y2＝0 得k＝±
所求直线方程为y＝±x＋3．
20．解：(1)A (，0)，依题意有|MA |＋＝2
|MA |＋|MA|
＝2 ＞2
∴点M的轨迹是以A 、A为焦点，2为长轴上的椭圆，∵a＝，c＝ ∴b2＝1．因此点M的轨迹方程为
(2) 解法一：设l的方程为x＝k(y－2)代入，消去x得：(k2＋3)y2－4k2y＋4k2－3＝0
由△＞0得16k4－(4k2－3)(k2＋3)＞0 0≤k2＜1
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝
又＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)
∴·＝x1x2＋(y1－2)(y2－2)
＝k(y1－2)·k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2)
＝(1＋k2)
＝
∵0≤k2＜1 ∴3≤k2＋3＜4 ∴·∈
解法二：设过P(0，2)的直线l的参数方程为
(t为参数，为直线l的倾角)
代入中并整理得：
(1＋2sin2)t2＋12sin·t＋9＝0
由△＝122sin2－36(1＋2sin2)＞0
得：sin2＞ 又t1t2＝
∴·＝·cos0°
＝|PE|·|PF|＝t1t2＝
由＜sin2≤1得：·∈
21．(1) 证法一：设点P的坐标为(x，y)
由P(x，y)在椭圆上，得
＝
＝
＝
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小结归纳
基础过关
典型例题
消去y
C
A
O
B
x
y
A
P
Q
F
O
x
y
小结归纳
小结归纳
②
③
M
N
F1
F2
F1
F2
F2
F1
M
N
N
M
①
x
y
O
M
l
a
N
b
x
y
Q
P
O
F1
F2
0
F1
F2
x
y
P
60°
x
y
F
A(－,0)
E
M
P(0, 2)
A (,0)
x
y
Q
P
O
F1
F2
T
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概率 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）事件与概率 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）古典概型 ( http: / / www.21cnjy.com / )
①1.理解古典概型及其概率计算公式. ( http: / / www.21cnjy.com / )
②2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）随机数与几何概型 ( http: / / www.21cnjy.com / )
①1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. ( http: / / www.21cnjy.com / )
②2.了解几何概型的意义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可能出现。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 随机事件的概率 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．随机事件及其概率 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．等可能性事件的概率 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率： ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1．1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有种不同结果，从5个白球中取出2个白球有种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2） （3） ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P1，第10人摸出是黑球的概率为P10，则 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C．P10＝0 D．P10＝P1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：D ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2，由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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所以 ( http: / / www.21cnjy.com / )
，化简，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2，或（舍去），故n＝2. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：A ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 取出3个小球上的数字互不相同的概率； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 计分介于20分到40分之间的概率. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A， ( http: / / www.21cnjy.com / )
则 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(“＝3”或“＝4”)＝P(“＝3”)＋P(“＝4”)＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算： ( http: / / www.21cnjy.com / )
① 这个三位数字是5的倍数的概率； ( http: / / www.21cnjy.com / )
②这个三位数是奇数的概率； ( http: / / www.21cnjy.com / )
③这个三位数大于400的概率. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：⑴ ⑵ ⑶ ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）他获得优秀的概率是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数．由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)记“他答对5道题”为事件，由分析过程已知在这种结果中，他答对5题的结果有种，故事件的概率为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)记“他至少答对4道题”为事件，由分析知他答对4道题的可能结果为种，故事件的概率为： ( http: / / www.21cnjy.com / )
答：他获得优秀的概率为，获得及格以上的概率为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）由于3人坐在指定位置的概率<，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B，则，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上． ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 互斥事件有一个发生的概率 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1． 的两个事件叫做互斥事件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2． 的互斥事件叫做对立事件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 ．事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中 就表示A+B发生．我们称事件A+B为事件A、B的和．它可以推广如下：“”表示这样一个事件，在同一试验中，中 即表示发生，事实上，也只有其中的某一个会发生． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于 ．即P(A+B)＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6.由于是一个必然事件，再加上，故，于是 ，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率． ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
例1. 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21, 0.23, 0.25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：① 0.49；② 0.03． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1. 一个口袋内有9张大小相同的票，其号数分别是1，2，3，，9，从中任取2张，其号数至少有1个为偶数的概率等于 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：D ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）3只全是红球的概率． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）3只颜色全相同的概率． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）3只颜色不全相同的概率． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）3只颜色全不相同的概率． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1)记“3只全是红球”为事件A．从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) “3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件为A+B+C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由于红、黄、白球个数一样，故不难得， ( http: / / www.21cnjy.com / )
故． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只颜色全相同”，显然事件D与是对立事件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
(4) 要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有种，故3只颜色全不相同的概率为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2. 从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ）
A．至少有1个黑球与都是黑球
B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．恰有1个黑球与恰有2个黑球
D．至少有1个黑球与都是红球
解：C
例3. 设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的一某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：①1个孩子有显性决定特征的概率是多少？②2个孩子至少有一个显性决定特征的概率是多少？
解：①；②
变式训练3. 盒中有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率：
① 取到两只都是次品；
② 取到两只中正品、次品各1只；
③ 取到两只中至少有1只正品．
解：⑴ ⑵ ⑶
例4. 从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于，求男女相差几名？
解: 设男生有名，则女生有36-名，选得2名委员都是男生的概率为：
选得2名委员都是女生的概率为
以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是
得：
解得：或
即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名．总之，男、女生相差6名．
变式训练4. 学校某班学习小组共10小，有男生若干人，女生若干人，现要选出3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为，求该小组男生的人数？
解：6人
1．互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．
2．要搞清两个重要公式：
的运用前提．
3．在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．
第3课时 相互独立事件同时发生的概率
1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率 ，这样的两个事件叫独立事件．
2．设A，B是两个事件，则A·B表示这样一个事件：它的发生，表示事件A，B ，类似地可以定义事件A1·A2·……An.
3．两个相互独立事件A，B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)
＝ 一般地，如果事件相互独立，那么：P(A1·A2……An)＝ .
4．n次独立重复试验中恰好发生次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是．
例1. 如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、，当元件A、B、C都正常工作时，系统正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有1个正常工作时系统正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统、正常工作时的概率．
解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，
由已知条件
(Ⅰ)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统正常工作的概率
故系统正常工作的概率为0.648.
(Ⅱ)系统正常工作的概率
故系统正常工作的概率为0.792．
变式训练1. 有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%，乙地的合格率为92%，从两地生产的产品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于 （ ）
A．112% B．9.2% C．82.8% D．0.8%
解：C
例2. 箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：
①求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；
②求事件B：“三次中恰有一次取出红球”的概率.
解：（① ；②
变式训练2：从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1 个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则等于 （ ）
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰好有1个红球的概率
解：C
例3. 两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是0.9，乙雷达发现目标的概率是0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率：
（1）甲、乙两雷达均未发现目标；
（2）至少有一台雷达发现目标；
（3）至多有一台雷达发现目标
解：①0.015; ②0.985; ③0.235
变式训练3：甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为，甲、乙、丙三人都做对的概率是，甲、乙、丙三人全做错的概率是．
（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率．
解： ①,或,；②
例4. 有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各取一件进行检验．
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.01）
解:设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为A、B和C
(Ⅰ)因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为
答：恰有一件不合格的概率为0.176.
(Ⅱ)解法一：至少有两件不合格的概率为
答：至少有两件不合格的概率为0.012.
解法二：三件都合格的概率为：
由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为
答：至少有两件不合格的概率为0.012.
变式训练4. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.①分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
解：①,,；②
1．当且仅当事件与事件互相独立时，才有 ，故首先要搞清两个事件的独立性．
2．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1 次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．
第4课时 离散型随机变量的分布列
1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 ，随机变量通常用希腊字母，等表示．
2．如果随机变量可能取的值 ，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3．从函数的观点来看，P(＝xk)＝Pk，k＝1， 2， …，n，…称为离散型随机变量的概率函数或概率分布，这个函数可以用 表示，这个 叫做离散型随机变量的分布列．
4．离散型随机变量分布列的性质
(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即 ．
(2) 所有这些概率值的总和为 即 ．
(3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的
5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率 ，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作
例1. 袋子中有1个白球和2个红球．
⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．
⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．
⑶ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数的分布列．
⑷ 每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数的分布列．
解： ⑴
＝
＝
所求的分布列是
1 2 3
⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是
1 2 3 … …
P … …
⑶
1 2 3 4 5
P
⑷
∴ P＝(＝k)＝C5k()k·()5－k，
其中
∴所求的分布列是
0 1 2 3 4 5
P
变式训练1. 是一个离散型随机变量，其分布列为
-1 0 1
则q ＝ （ ）
A．1 B．
C． D．
解：D
例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．
解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为；事件“”包含的基本事件总数为；事件包含的基本事件总数为；从而有
∴随机变量的分布列为：
3 4 5 6
变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记为2粒中优质良种粒数，则的分布列是 .
解：
0 1 2
P 0.49 0.42 0.09
例3. 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布.
解：
0 1 2 3 4
0.09 0.3 0.37 0.2 0.04
变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为，求随机变量的概率分布. 解：
0 1 2 4
P
1．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种（即与，是必然事件），在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率就是二项式展开式中的第项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件的概率均不为0，1时，“若互斥，则一定不相互独立”、“若相互独立，则一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系．
2．运用 P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当为相互独立事件时，运用公式便错．
3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
4．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：
（1）求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．
第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．
第三步，运用公式求得．
（2）概率问题常常与排列组合问题相结合．
第4课时 离散型随机变量的期望与方差
1．若离散型随机变量的分布列为
.则称 为的数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．对于随机变量，称
为的方差．的算术平方根 叫做的标准差．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ．
3．数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关．
平均数：
＝＋＋…
样本方差：
＝
以上两式中恰是出现的频率．这与数学期望与方差的定义式一致．
4．数学期望与方差的性质：若（为随机变量），则 ， ．
5．服从二项分布的随机变量的期望与方差：若, 则
例1． 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．
①求的分布列；
②求的数学期望；
③求“所选3人中女生人数≤1”的概率.
解：①
0 1 2
P
②E＝1
③
变式训练1：如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望＝ （ ）
A． B．
C． D．
解：B
例2 抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数的期望和方差.
解:,其中.所以
变式训练2：布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分的概率分布和数学期望．
解：
例3 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：
射手甲
击中环数 8 9 10
概率 0.6 0.2
射手乙
击中环数 8 9 10
概率 0.4 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平．
解：
∴甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定．
变式训练3：某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失5万元，4月30号气象台预报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？
解：采用场外促销方式
例4 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，可造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后，此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）.
解：联合甲、乙，总费用最少为81万元
变式训练4：假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，若1周的5个工作日里无故障，可获得利润10万元，发生1次故障仍可获得利润5万元；发生2次故障所获利润为0；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求1周的期望利润是多少？（精确到0.001）.
解：用随机变量表示1周5天内发生故障的天数，则服从地一项分布~B(5,0.2)，
从而，
，P(＝2)＝0.205
P(≥3)＝0.057设为所获得利润，则
E＝10×0.328＋5×0.410＋0×0.205－2×0.057
＝5.215（万元）
1．数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论：
一般地，若离散型随机变量的分布列为
… … …
… … …
则期望，
方差，
标准差
若，则，这里
概率章节测试题
一、选择题
1．已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件
其中正确的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
2．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
3．设是离散型随机变量，，，且，现已知：，，则的值为（ ）
(A)　　　　　(B)　　　　　　(C) ３　　(D)　　
4．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 ( )
A. B. C. D.
6．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 ( )
A. B. C. D.
7．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为 （ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（ ）
A．　　　　B．　　　　　 C．　　　　　　D．
10．从集合中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为的概率是
A. B. C. D.
二、填空题
11．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．
12．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。
13．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________.
14．从分别写有的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是 .
三、解答题
15．将、两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
16．甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。
(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；
（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率；
（3）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，
求随机变量的概率分布与期望.
17．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
（1）求中三等奖的概率；
（2）求中奖的概率．
18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
（1）求小球落入袋中的概率;
（2）在容器入口处依次放入4个小球,记为落入
袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.
19．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率.
20．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
(1) 求文娱队的人数；
(2) 写出的概率分布列并计算．
21．有甲、乙、丙三种产品，每种产品的测试合格率分别为0.8，0.8和0.6，从三种产品中各抽取一件进行检验。
（1）求恰有两件合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率。
22．有一批数量很大的产品，其次品率是10%。
（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；
（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。
概率章节测试题答案
一、选择题
1．解析：①③④正确，②错误.
答案：C
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：C .选C
5．B
6．B
7．答案：C
8．答案：C
9．答案：B
10．答案：B
二、填空题
11．【解析】由题知，，，解得，.
12．解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是
14．答案：
15．解：（1）共有种结果；
（2）共有12种结果；
（3）．
16．解: (1) 甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红。。。
（2）。。。。。。
(3) 设的分布是
0 1 2 3
P
E= 。。。。。。
17．解: 设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的方法。
（1）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：
（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）………
故 ………
（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种。
两个小球相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）, ……
由互斥事件的加法公式得
18．解: （1）解法一：记小球落入袋中的概率，则，
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以
. …
解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋.
，
（2）由题意，所以有
，
.
19．【解析】记这个射手在一次射击中“命中10环或9环”为事件A，“命中10环、9环、8环、不够8环”分别记为B、C、D、E.
则，，
∵C、D、E彼此互斥，
∴P（C∪D∪E）=P（C）+P（D）+P（E）=0.28+0.19+0.29=0.76.
又∵B与C∪D∪E为对立事件，
∴P（B）=1－P（C∪D∪E）=1－0.76=0.24.
B与C互斥，且A=B∪C，
∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C） =0.24+0.28=0.52. …
答：某射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率为0.52.
20．解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人．
(I)∵，
∴．………
即．
∴．
∴x=2． ……
故文娱队共有5人．………………
(II) 的概率分布列为
0 1 2
P
，……
，…………
∴ =1．
21．解：（1）设从甲、乙、丙三种产品中各抽出一件测试为事件A，B，C，由已知P（A）=0.8，P（B）=0.8，P（C）=0.6
则恰有两件产品合格的概率为
（2）三件产品均测试合格的概率为
由（1）知，恰有一件测试不合格的概率为
所以至少有两件不合格的概率为
22．解：（1）两件产品均为正品的概率为
（2）可能取值为1，2，3，4
；；
所以次数的分布列如下
∴
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概率
随机事件的概率
等可能事件的概率
互斥事件的概率
相互独立事件的概率
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和事件
积事件
等可能事件：
互斥事件：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A·B)＝0
独立事件：P(A·B)＝P(A)·P(B)等
n 次独立重复试验：
基础过关
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统计 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．了解随机抽样，了解分层抽样的意义． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．会用样本频率分布估计总体的概率分布． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．会用样本平均数估计总体期望，会用样本的方差、标准差估计总体方差、标准差． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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“统计”这一章，是初中数学中的“统计初步”的深化和拓展．要求主要会用随机抽样，分层抽样的方法从总体中抽取样本，并用样本频率分布估计总体分布．本章高考题以基本题（中、低档题）为主，每年只出一道填空题，常以实际问题为背景，综合考查学生应用基础知识解决实际问题的能力．高考的热点是总体分布的估计和抽样方法．知识的交汇点是排列、组合、概率与统计的解答题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 抽样方法与总体分布估计 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．总体、样本、样本容量 ( http: / / www.21cnjy.com / )
我们要考察的对象的全体叫做_______，其中每个考察的对象叫_______．从总体中抽出的一部分个体叫做_______，样本中个体的数目叫做_______． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．简单随机抽样 ( http: / / www.21cnjy.com / )
设一个总体由N个个体组成，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时，各个个体被抽到的_______相等，就称这样的抽样为_______． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．分层抽样 ( http: / / www.21cnjy.com / )
当已知总体由_______的几部分组成时，为了使样本更能充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部分，然后按照各部分所占的_______进行抽样，这种抽样叫做_______．其中所分成的各个部分叫做_______． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．总体分布和样本频率分布 ( http: / / www.21cnjy.com / )
总体取值的_______分布规律称为总体分布． ( http: / / www.21cnjy.com / )
样本频率分布_______称为样本频率分布． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．总体分布估计： ( http: / / www.21cnjy.com / )
总体分布估计主要指两类．一类是用样本的频率分布去估计总体（的概率）分布．二类是用样本的某些数字特征（例如平均数、方差、标准差等）去估计总体的相应数字特征． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．频率分布条形图和直方图： ( http: / / www.21cnjy.com / )
两者都是用来表示总体分布估计的．其横轴都是表示总体中的个体．但纵轴的含义却截然不同．前者纵轴（矩形的高）表示频率；后者纵轴表示频率与组距的比，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．总体期望值 ( http: / / www.21cnjy.com / )
指总体平均数． ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
例1. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个，120个，180个，150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②；则完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．分层抽样，系统抽样 ( http: / / www.21cnjy.com / )
B．分层抽样，简单随机抽样法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
C．系统抽样，分层抽样 ( http: / / www.21cnjy.com / )
D．简单随机抽样法，分层抽样法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：B ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取多少人（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7，5，8 B．9，5，6 ( http: / / www.21cnjy.com / )
C．6，5，9 D．8，5，7 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：B ( http: / / www.21cnjy.com / )
样本容量与总体个数的比为20：100＝1：5 ( http: / / www.21cnjy.com / )
各年龄段抽取的人数依次为： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(人) ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 一批产品有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1)系统抽样方法：将200个产品编号1，2，…，200，再将编号分为20段，每段10个编号，第一段为110号，…，第20段为191200号．在第1段用抽签法从中抽取1个，如抽取了6号，再按预先给定规则，通常可用加间隔数10，第二段取16号，第三段取26号，…，第20段取196号，这样可得到一个容量为20的样本． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)分层抽样方法：因为样本容量与总体的个体数的比为20:200＝1:10,所以一、二、三级品中分别抽取的个体数目依次是,即10，6，4. ( http: / / www.21cnjy.com / )
将一级品的100个产品按00，01，02，…，99编号，将二级品的60个产品按00，01，02，…，59编号，将三级品的40个产品按00，01，02，…，39编号，采用随机数表示，分别抽取10个，6个，4个．这样可得容量为20的一个样本． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）简述抽样过程； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2） 用这种抽样方法可使总体中每个个体被抽到的概率是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：先将产品按等级分成三层，每一层：一等品20个，第二层：二等品30个，第三层：三等品50个，然后确定每一层抽取样品数．因为20：30：50＝2：3：5，.所以在第一层中抽取4个，第二层中抽取6个，第三层中抽取10个．最后用简单随机抽样方法在第一层中抽4个，第二层中抽6个，第三层中抽10个． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)一等品被抽到的概率为，二等品被抽到的概率为，三等品被抽到的概率为，即每个个体被抽到的概率都是 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. （2004年高考-江苏） 某校为了了解学生的课外阅读情况 ( http: / / www.21cnjy.com / )
，随机调查了50名学生，得到阅读所用时间的数据结果用条形图 ( http: / / www.21cnjy.com / )
表示如下，根据条形图，问这50名学生这一天平均每人的课外 ( http: / / www.21cnjy.com / )
阅读时间为多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：由条形图知，在调查的50名同学中课外阅读时间 ( http: / / www.21cnjy.com / )
为的人分别为5人，20人，10人，10人，5人． ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以这一天中平均每人的课外阅读时间为50＝0.9(h) ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：观察下面的频率分布表
分组 频数 频率
[3.95，4.35） 2
[4.35，4.75） 4
[4.75，5.15） 14
[5.15，5.55） 25
[5.55，5.95） 45
[5.95，6.35） 46
[6.35，6.75） 39
[6.75，7.15） 20
[7.15，7.55） 4
[7.55，7.95） 1
合计 200
(1) 完成上面的频率分布表 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 根据上表，画出频率分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 根据表和图估计数据落在[4.75，7.15）范围内的概率约是多少？数据小于7.00的概率约是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1) (略) (2)频率直方图(略) (3)根据上面的表和图可以估计，数据落在[4.75，7.15)内的概率约为0.945，数据小于7.00的概率约为0.9375 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，以每人被抽取的概率为0.2，向该中学抽取一个容量为n的样本，求n的值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：一年级，二年级，三年级人数总和为400+320+280＝1000(人)，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：一个总体有6个个体，要通过逐个抽取的方法从中抽取一个容量为3的样本，求： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）每次抽取时各个个体被抽到的概率; ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）指定的个体在三次抽取时各自被抽到的概率； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）整个抽样过程中个体被抽到的概率； ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．两种抽样方法的比较：
类别 共同点 不同点 联 系 适用范围
简单 ( http: / / www.21cnjy.com / )随机 ( http: / / www.21cnjy.com / )抽样 抽样过 ( http: / / www.21cnjy.com / )程中每 ( http: / / www.21cnjy.com / )个个体 ( http: / / www.21cnjy.com / )被抽取 ( http: / / www.21cnjy.com / )的概率 ( http: / / www.21cnjy.com / )相等 从总体中逐个抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较少
分层 ( http: / / www.21cnjy.com / )抽样 将总体分成几层进行抽取 总体由差异明显的几部分组成
2．简单随机抽样是一种不放回抽样，所取的样本没有被重复抽取的情况．分层抽样，分层时不要求均分，但抽样时，要按各层中个体总数的比例在各层中抽取个体．以上两种抽样都是一种等概率抽样（即抽样方法的公平性）．这种等概率抽样包含有两层含义，其一、每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率是相等的．其二、在整个抽样过程中，各个个体被抽取到的概率相等． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．注意以下几个概念的区别与联系：频数、频率、概率． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．频率分布条形图是用高度来表示概率的，而概率分布直方图是用面积来表示概率的． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．统计内容的实践性较强，其重点是如何用样本频率分布去估计总体分布，难点是对频率分布直方图的理解和应用． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 总体特征数的估计 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．在统计学中，我们是用样本的数字特征来估计总体相应的数字特征的． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．样本平均数（也称样本期望值） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）反映的是这组数据的平均水平． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）当数值较大时，可将各个数据同时减去一个适当的数，得＝,那么 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如果个数据中，出现次， 出现次,…, 出现次，那么： ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
这里 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．方差（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )
分别称为数据的方差和标准差，它们反映的是数据的稳定与波动，集中与离散的程度． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）数值较大时，可以将各数据减去一个恰当的常数a,得到则
例1．某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
统计量级别 平均 标准差
第一组 90 6
第二组 80 4
求全班的平均成绩和标准差．
解：设第一组20名学生的成绩为;
第二组20名学生的成绩为,
故全班平均成绩为：
又设第一组学生的成绩的标准差为，第二组学生的成绩的标准差为，则
此处()
又设全班40名学生的标准差为S,平均成绩为故有
变式训练1：对甲乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲：60 80 70 90 70
乙：80 60 70 80 75
问：甲乙谁的各科平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
解： 因为，．所以甲的平均成绩较好,乙的各门发展较平衡．
例2. 甲乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm）
甲： 10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10
9.9 10.1
乙： 10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7
10.2 10
分别计算上面两个样本的平均数与方差．如果图纸上的设计尺寸为10mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适．
解：
，
所以乙比甲稳定，用乙较合适．
变式训练2：假定下述数据是甲乙两个供货商的交货天数：
甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10
乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12
估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．
从交货天数的平均值看来，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此是较具一致性与可靠性的供货商．
例3. 个体户王某经营一家餐馆，下面是餐馆所有工作人员在某个月份的工资：
王某 厨师甲 厨师乙 杂工 招待甲 招待乙 会计
3000元 450元 400元 320元 350元 320元 410元
（1）计算平均工资；
（2） 计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一般水平？
（3）去掉王某工资后，再计算平均工资；
（4）后一个平均工资能代表帮工人员的收入吗？
（5）根据以上计算，从统计的观点看，你对（1）、（3）的结果有什么看法？
解：(1)平均工资750元；
(2)因为帮工人员的工资低于平均工资，所以(1)中算出的平均工资不能反映帮工人员在这个月份的月收入的一般水平；(3)去掉王某的工资后的平均工资375元;(4)(3)中计算的平均工资接近于帮工人员月工资收入，所以它能代表帮工人员的收入；(5)从本题的计算可见，个别特殊值对平均数具有很大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不要选特殊数据．
变式训练3：甲乙两人在相同条件下，射靶10次，命中环数如下:
甲：8 6 9 5 10 7 4 8 9 5
乙：7 6 5 8 6 9 6 8 7 7
依上述数据估计 （ ）
A．甲比乙的射击技术稳定
B．乙比甲的射击技术稳定
C．两人没有区别
D．两人区别不大
解：B
例4. 为了科学地比较考试成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为：z＝（其中x是某位同学的考试分数，是该次考试的平均分，s是该次考试的标准差，z称为这位学生的标准分）．转化为标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常将z分数作线性变换转化或其他分数，例如某次学生选拔考试采用的是T分数，试性变换公式是：T＝40z＋60，已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T分数为多少
解：84分
变式训练4：经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”，“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢“的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的是：5位“喜欢”摄影的同学，1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的人数为多少？
解：设班里“喜欢”的y人，“一般”的x人，“不喜欢”的x－12人．
∴ ∴x＝18
又 ∴y＝30
即全班“喜欢”摄影的人数为30.
方差是反映稳定性程度的一个重要特征，在日常生活中常有体现，如两同学的总成绩都一样，但是一个人有偏科现象，而另一个人没有，一般认为没有偏科现象（即方差小）的同学成绩要稳定一些．
统计初步章节测试题
一选择题
1．某市为了分析全市9 800名初中毕业生的数学考试成绩，共抽取50本试卷，每本都是30份，则样本容量是………………………………………………………………（ ）
（A）30 （B）50 （C）1 500 （D）9 800
2．有下面四种说法：
（1）一组数据的平均数可以大于其中每一个数据；
（2）一组数据的平均数可以大于除其中1个数据外的所有数据；
（3）一组数据的标准差是这组数据的方差的平方；
（4）通常是用样本的频率分布去估计相应总体的分布．
其中正确的有……………………………………………………………………（ ）
（A）1种 （B）2种 （C）3种 （D）4种
3．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为…………………………………………（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为4，则数据2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差为……………………………………………………………………………………（ ）
（A）11 （B）9 （C）4 （D）16
5．同一总体的两个样本，甲样本的方差是－1，乙样本的方差是－，则（ ）
（A）甲的样本容量小 （B）甲的样本平均数小
（C）乙的平均数小 （D）乙的波动较小
6．某校有500名学生参加毕业会考，其中数学成绩在85～100分之间的有共180人，这个分数段的频率是……………………………………………………………………（ ）
（A）180 （B）0.36 （C）0.18 （D）500
7．某校男子足球队22名队员的年龄如下：
16 17 17 18 14 18 16 18 17 18 19
18 17 15 18 17 16 18 17 18 17 18
这些队员年龄的众数与中位数分别是……………………………………………（ ）
（A）17岁与18岁 （B）18岁与17岁 （C）17岁与17岁 （D）18岁与18岁
校六月份里5天的日用电量，结果如下（单位：kW）．
400 410 395 405 390
根据以上数据，估计这所学校六月份的总用电量为………………………………（ ）
（A）12 400 kW （B）12 000 kW （C）2 000 kW （D）400 kW
【提示】（400＋410＋395＋405＋390）＝400，故30×400＝12000．
9．已知下列说法：
（1）众数所在的组的频率最大；
（2）各组频数之和为1；
（3）如果一组数据的最大值与最小值的差是15，组距为3，那么这组数据应分为5组；
（4）频率分布直方图中每个小长方形的高与这一组的频数成正比例．
正确的说法是……………………………………………………………………（ ）
（A）（1）（3） （B）（2）（3） （C）（3）（4） （D）（4）
10．近年来国内生产总值年增长率的变化情况如图．从图上看，下列结论中不正确的是……………………………………………………………………………………（ ）
（A）1995所～1999年，国内生产总值的年增长率逐年减小
（B）2000年国内生产总值的年增长率开始回升
（C）这7年中，每年的国内生产总值不断增长
（D）这7年中，每年的国内生产总值有增有减
二填空题
11．一批灯泡共有2万个，为了考察这批灯泡的使用寿命，从中抽查了50个灯泡的使用寿命，在这个问题中，总体是__________，样本容量是__________，个体是__________．
12．一个班5名学生参加一次演讲比赛，平均得分是89分，有2名学生得87分，两名学生得92分，这组数据的众数是__________．
13．某次考试A，B，C，D，E这5名学生的平均分为62分，若学生A 除外，其余学生的平均得分为60分，那么学生A 的得分是__________．
14．样本数据－1，2，0，－3，－2，3，1的标准差等于__________．
15．把容量是64的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是5，7，11，13，第5组到第7组的频率是0.125，那么第8组的频数是__________，频率是__________．
16．某班通过一次射击测试，在甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加校射击比赛．这两位同学在相同条件下各射靶5次，所测得的成绩分别如下（单位：环）：
甲 9.6 9.5 9.3 9.4 9.7
乙 9.3 9.8 9.6 9.3 9.5
根据测试成绩，你认为应该由__________代表班级参赛．
三解答题:
17．近年来，由于乱砍滥伐，掠夺性使用森林资源，我国长江、黄河流域植被遭到破坏，土地沙化严重，洪涝灾害时有发生．沿黄某地区为积极响应和支持“保护母亲河”的倡议，建造了长100千米，宽0.5千米的防护林．有关部门为掌握这一防护林共约有多少棵树，从中选出10块（每块长1千米，宽0.5千米）进行统计，每块树木数量如下（单位：棵）
65 100 63 200 64 600 64 700 67 300
63 300 65 100 66 600 62 800 65 500
请你根据以上数据计算这一防护林共约有多少棵树（结果保留3个有效数字）．
18．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5 月1日至30日．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图如下．已知从左至右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？
（2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？
（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？
19．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）
甲 3 4 5 6 8 8 8 10
乙 4 6 6 6 8 9 12 13
丙 3 3 4 7 9 10 11 12
三家广告中都称这种产品的使用寿命是8年．请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一种反映集中趋势的特征数．
20．已知数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每一个数均为非负整数且互不相等，中位数是2，＝2．（1）求这组数据；（2）计算这组数据的标准差．
21．（15分）某商店将甲、乙两种糖果混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价＝（元/千克），其中m1、m2 分别为甲、乙两种糖果的重量（千克），a1、a2分别为甲、乙两种糖果的单价（元/千克）．已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为16元/千克．现将10千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合（搅拌均匀）销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入5千克乙种糖果，再出售时，混合糖果的单价为17.5元/千克．这箱甲种糖果有多少千克？
统计初步章节测试题参考答案
一选择题
1．【提示】抽取50本，每本30份，这说明什么？
【答案】C．
【点评】样本容量是样本个体的数量．注意：（A）、（B）错在未理解样本容量的意义，（D）是总体中个体的数量．
2．【提示】（2）、（4）正确．
【答案】B．
【点评】本题涉及到平均数、方差、标准差、频率分布、用样本估计总体等知识点．
3．【提示】前3个数据和为3 a，后7个数据的和7 b，样本平均数为10个数据的和除以10．
【答案】B．
【点评】本题考查平均数的求法．注意不能把两个平均数的和相加除以2而误选为（A）．
4．【提示】每一个数据都乘以2，则方差变为22×4＝16，再把每一个数据加3，不改变方差的大小．
【答案】D．
5．【提示】－1＝，－＝，故－1＞－．
【答案】D．
【点评】本题考查方差的意义，本题解题关键是方差的大小比较．
6．【提示】＝0.36．
【答案】B．
7．【答案】B．
8．【提示】（400＋410＋395＋405＋390）＝400，故30×400＝12000．
【答案】B．
【点评】本题需用样本平均数估计总体平均数．注意本题要求的是全月的用电量．
9．【答案】D．
【点评】本题考查与频率分布有关的概念．判断（4）正确，是因为每一个小长方形的高等于＝×频数，故小长方形的高与频数成正比例．
10．【提示】认真读懂统计图是关键．
【答案】D．
【点评】本题是图象阅读题，要注意分清横轴、纵轴意义还要注意本题纵轴反映的是增长率的变化情况，而选择支中涉及的是国内生产总值．
二填空题
11．【答案】2万个灯泡使用寿命的全体，50，每个灯泡的使用寿命．
【点评】注意样本容量没有单位．
12．【提示】设另一名学生得x分，则（92＋87）×2＋x＝89×5，解得x＝87．
【答案】87．
【点评】本题关键是列方程求得另一名学生的成绩．
13．【分析】设A得分为x分，其余4名学生得分的和为60×4＝240分，则240＋x＝62×5，x＝70．
【答案】70分．
14．【提示】s 2＝（1＋4＋0＋9＋4＋9＋1）＝4．
【答案】2．
【点评】求标准差一般先计算出样本方差，再取其算术平方根．
15．【提示】64×0.125＝8，故64－5－7－11－13－8×3＝4，＝0.062 5．
【答案】4，0.062 5．
【点评】注意应用各组频数之和等于样本容量、频率之和为1这两个性质．
16．【提示】比较平均数与方差．
【答案】甲．
三解答题:
17【解】先计算出＝（65 100＋63 200＋64 600＋64 700＋67 300＋63 300
＋65 100＋66 600＋62 800＋65 500）
＝64 820．
于是，可以估计这一防护林平均每块约有64820株树．又64 820×100＝6 482 000≈6.48×106（株），于是可以估计这一防护林大约共有6.48×106株树．
【点评】本例一方面要求学生有用样本估计总体的思想方法，另一方面要求学生有应用数学的意识，这是今后中考命题发展的趋势．
18．【解】（1）依题意，可算出第三组的频率为
＝，
然后依据频率＝，知本次活动其参评的作品数＝＝60（件）；
（2）根据频率分布直方图，可看出第四组上交的作品数量最多，共有
（件）；
（3）易求得第四组获奖率为＝，
第六组获奖率为＝，
由此可知，第六组获奖率较高．
19．【答案】甲：众数 乙：平均数 丙：中位数
20．【解】（1）因各数据互不相等，不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则x3＝2，故这组数据为0，1，2，3，4．
（2）s＝（12＋22＋32＋42＋02－5×22）＝．
21．【提示】本题要依题意找到其中的等量关系，列出方程以求解．
【解】设这箱甲种糖果有x千克，则有
（x＋5）＋80＝17.5（x＋10）．
化简，得
2.5 x2－10 x－150＝0，
即
x2－4 x－60＝0．
解得
x1＝10，x2＝－6．
经检验，x1＝10，x2＝－6都是原方程的根，但x＝－6不合题意，舍去．
故这箱甲种糖果有10千克．
考纲导读
统计
总体期望值
和方差的估计
总体分布估计
抽样的方法
简单随机抽样
分层抽样
抽签法
随机数表法
频率分布条形图
频率分布直方图
知识网络
高考导航
基础过关
典型例题
0 0.5 1.0 1.5 2
20
10
5
小结归纳
基础过关
典型例题
小结归纳
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推理与证明 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）合情推理与演绎推理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）直接证明与间接证明 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）数学归纳法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 合情推理与演绎推理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1. 推理一般包括合情推理和演绎推理； ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.合情推理包括 和 ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是： 、 、 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程；三段论常用格式为：①M是P，② ，③S是P；其中①是 ，它提供了一个个一般性原理；②是 ，它指出了一个个特殊对象；③是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断. ( http: / / www.21cnjy.com / )
4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例1. 已知：； ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： ( http: / / www.21cnjy.com / )
________________________________________=（ * ）并给出（ * ）式的证明. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：一般形式: ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：左边 = ( http: / / www.21cnjy.com / )
= ( http: / / www.21cnjy.com / )
= ( http: / / www.21cnjy.com / )
= = ( http: / / www.21cnjy.com / )
（将一般形式写成 ( http: / / www.21cnjy.com / )
等均正确。） ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：设，，n∈N，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：，由归纳推理可知其周期是4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， ( http: / / www.21cnjy.com / )
按图所标边长，由勾股定理有： ( http: / / www.21cnjy.com / )
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形， ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c， ( http: / / www.21cnjy.com / )
则此三棱锥的外接球的半径是。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案： 推广的结论：若 都是正数， ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明： ∵都是正数 ∴ ， ( http: / / www.21cnjy.com / )
………，， ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：观察式子：，…，则可归纳出式子为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A、 B、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
C、 D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：C。解析：用n=2代入选项判断。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com / )
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：菱形对角线互相垂直且平分 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 直接证明与间接证明⑴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明； ( http: / / www.21cnjy.com / )
直接证明的两种基本方法——分析法和综合法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 综合法 —— ；⑵分析法 —— ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1．若均为实数，且。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：中至少有一个大于0。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：（用反证法） ( http: / / www.21cnjy.com / )
假设都不大于0，即，则有， ( http: / / www.21cnjy.com / )
而 = ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. △ABC的三个内角A、B、C成等差数列， ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：证明：要证，即需证。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
即证。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
又需证，需证 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
由余弦定理，有，即。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴成立，命题得证。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：用分析法证明：若a>0，则。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：证明：要证， ( http: / / www.21cnjy.com / )
只需证。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证 ( http: / / www.21cnjy.com / )
只需证， ( http: / / www.21cnjy.com / )
只需证，只需证， ( http: / / www.21cnjy.com / )
即证，它显然成立。∴原不等式成立。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3．已知数列，，，． ( http: / / www.21cnjy.com / )
记．．
求证：当时，
（1）；
（2）；
（3）。
解：（1）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为
，
所以．
即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
（2）证明：由，（），
得．
因为，所以．
由及得，
所以．
（3）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，
又因为，
所以．
推理与证明章节测试题
1.考察下列一组不等式： .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .
2．已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 ．
3. 已知 ，猜想的表达式为（ ）
A.； B.； C.； D..
4. 某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（ ）
A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了台织布机；
C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作了台织布机.
5. 已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有
6. 观察下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式
7.观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论： .
8.函数由下表定义：
若，，，则 ．
9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用表示)
10.将正奇数按下表排成5列
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 3 5 7
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21 23
…… …… 27 25
那么2003应该在第 行，第 列。
11．如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2008时，对应的指头是 (填指头的名称).
12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____．
13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.
14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）
15.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则.类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若, 则 ( B )
A. B. C. D. 16.设O是内一点，三边上的高分别为，O到三边的距离依次为，则__ _______，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为，O到这四个面的距离依次为，则有_ __
17．在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为、、，设棱锥底面上的高为，则 ．
18、若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列。
19．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有 个（用m表示）．
20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）.
21．在△ABC中，，判断△ABC的形状并证明.
22．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设
23.中，已知，且，求证：为等边三角形。
24．如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．
（1）写出、、；
（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.
推理与证明章节测试题答案
1.
3．
3. B.
4. A
5.
6.
7.
8.4
9.
10.251,3
12．食指
12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为__7____．
13．
14．
15、B提示:平面面积法类比到空间体积法
16． 1. 提示：平面面积法类比到空间体积法
17．．
18、提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数类比到几何平均数
19．
20．
21．解:
所以三角形ABC是直角三角形
22． 三个方程中都没有两个相异实根
证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，
（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立.
凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.
23.解: 分析：由
由
所以为等边三角形
24.如图，、、…、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．
（1）写出、、；
（2）求出点（）的
横坐标关于的表达式并证明.
解:（Ⅰ）……………….6分
（2）依题意，得，由此及得
，
即．
由（Ⅰ）可猜想：．
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当时，命题显然成立；
（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及
得，即
，
解之得
（不合题意，舍去），
即当时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．……………….10分
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立体几何初步 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距． ( http: / / www.21cnjy.com / )
其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙． ( http: / / www.21cnjy.com / )
再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 平面的基本性质 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)． ( http: / / www.21cnjy.com / )
公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)． ( http: / / www.21cnjy.com / )
公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)． ( http: / / www.21cnjy.com / )
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面． ( http: / / www.21cnjy.com / )
推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面． ( http: / / www.21cnjy.com / )
推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M． ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：点C1、O、M共线． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明： ( http: / / www.21cnjy.com / )
A1A∥CC1确定平面A1C ( http: / / www.21cnjy.com / )
A1C面A1C O∈面A1C ( http: / / www.21cnjy.com / )
O∈A1C ( http: / / www.21cnjy.com / )
面BC1D∩直线A1C＝O O∈面BC1D ( http: / / www.21cnjy.com / )
O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴C1、O、M共线 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行． ( http: / / www.21cnjy.com / )
提示：反证法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 已知直线与三条平行线a、b、c都相交．求证：与a、b、c共面． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：设a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝C ( http: / / www.21cnjy.com / )
a∥b a、b确定平面α lβ ( http: / / www.21cnjy.com / )
A∈a, B∈b ( http: / / www.21cnjy.com / )
b∥cb、c确定平面β 同理可证lβ ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 cα a、b、c、l共面 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l， ( http: / / www.21cnjy.com / )
即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴P、Q、R共线，共线于直线l． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上． ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内 ( http: / / www.21cnjy.com / )
同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：(1) E、C．D1、F四点共面； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) CE、D1F、DA三线共点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D1C ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C四点共面 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 面D1A∩面CA＝DA ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EF∥D1C 且EF＝D1C ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴D1F与CE相交 又D1F面D1A，CE面AC ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴D1F与CE的交点必在DA上 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴CE、D1F、DA三线共点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面α ( http: / / www.21cnjy.com / )
又a∩d＝A ∴点A∈α ∴直线aα ( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可证：b、cα ∴a、b、c、d共面 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵a∩b＝Q ∴a与b可确定一个平面β ( http: / / www.21cnjy.com / )
又c∩b＝E ∴E∈β ( http: / / www.21cnjy.com / )
同理c∩a＝F ∴F∈β ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴cβ ( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可证：dβ 故a、b、c、d共面 ( http: / / www.21cnjy.com / )
由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 空间直线 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点， ( http: / / www.21cnjy.com / )
异面直线：不同在任 平面，没有公共点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．异面直线的判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线) ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 求AB和CD间的距离． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：(1) 连结CE、DE ( http: / / www.21cnjy.com / )
AB⊥面CDE ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AB⊥EF 同理CD⊥EF ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EF是AB和CD的公垂线 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) △ECD中，EC＝＝ED ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EF＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC， ( http: / / www.21cnjy.com / )
且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
求异面直线SM与BN所成的角．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝
∴COS∠QNB＝
∴∠QNB＝arc cos
变式训练2：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．
(1) 求异面直线SC和AB的距离；
(2) 求异面直线SA和EF所成角．
答案：(1) (2) 45°
例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P
分别为A1B1、BB1、CC1的中点．
(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；
(2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离．
解：(1) D1P与AM成90°的角
CN与AM所成角为arc cos.
(2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1.
变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，
若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．
解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，
易证∠GNA就是BM与AN所成的角．
设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B1M＝，
cos∠GNA＝。
例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底
面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．
(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．
（1）证明：∵EF∥CD AM∥CD
∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形
∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD
∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF
又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD
∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线．
(2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得＝(0，，)，
＝(1，0，0)
面MFEA的法向量为＝(0，1，－3)，＝(1，1，0)，cos<，>＝．∴ AC与面EAM所成的角为－arc cos，其正弦值为．
变式训练4：如图，在正方体中，
E、F分别是、CD的中点．
（１）证明；
（２）求与所成的角。
（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1
又DF1DC1，所以AD⊥D1F.
（2）取AB中点G，连结A1G，FG，
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。
1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；
(3)求角．
2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法．
3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．
第3课时 直线和平面平行
1．直线和平面的位置关系 、 、 ．
直线在平面内，有 公共点．
直线和平面相交，有 公共点．
直线和平面平行，有 公共点．
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．
2．直线和平面平行的判定定理
如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．
(记忆口诀：线线平行 线面平行)
3．直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)
例1．如图，P是ABC所在平面外一点，MPB，
试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据．
解：在平面PBC内过M点作MN∥BC，交PC于N点，
连AN则平面AMN为所求
根据线面平行的性质定理及判定定理
变式训练1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN．
求证：MN∥平面BB1C1C．
证明：在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1
在面AC内作NN1∥AB交BC于N1
易证MM1 NN1即可
例2. 设直线a∥，P为内任意一点，求证：过P且平行a的直线必在平面内．
证明：设a与p确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a
又a∥l l∩a'＝p
∴a与a'重合 ∴lα
变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
解：已知α∩β＝l a∥α a∥β 求证：a∥l
证明：过a作平面γ交平面α于b，交平面β于C，
∵a∥α，∴a∥b
同理，∵a∥β ∴a∥c ∴b∥c
又∵bβ 且cβ ∴b∥β
又平面α经过b交β于l
∴b∥l且a∥b ∴a∥l
例3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
( 1 ) 证明：PA∥平面EDB；
( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
(1 ) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO．
( 2) 解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF．
设正方形ABCD的边长为a．∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC．
∴ EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD，
BF为BE在底面ABCD内的射影，
∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，BF＝
∵ EF＝PD＝，∴ 在Rt△EFB中，
tan∠EBF＝．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为．
变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱
AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？
解：易证截面EFGH是平行四边形
设AB＝a CD＝b ∠FGH＝α(a、b为定值，α为异面直线AB与CD所成的角)
又设FG＝x GH＝y 由平几得
∴＝1 ∴y＝(a－x)
∴S□ EFGH＝FG·GH·sinα＝x·(a－x)sinα
＝x(a－x)
∵x＞0 a－x＞0 且x＋(a－x)＝a为定值
∴当且仅当 x＝a－x
即x＝时(S□ EFGH)max＝
例4．已知：ABC中，ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD．
证明：取A'C的中点N，连MN、DN，
则MN BC，DE BC
∴MN DE ∴ME∥ND
又ME面A'CD ND面A'CD
∴ME∥面A'CD
变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
( 1 ) 求证：AC⊥BC1；
(2) 求证：AC1∥平面CDB1；
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5．
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；
（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1
∴DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；
（3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED =
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．
1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．
2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．
第4课时 直线和平面垂直
1．直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．
2．直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
3．直线和平面垂直性质
若a⊥，b则
若a⊥，b⊥则
若a⊥，a⊥则
过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
4．点到平面距离
过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离．
5．直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离．
例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为ABC的垂心．求证：OG平面ABC．
证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直
∵OA⊥平面OBC ∴OA⊥BC
又G为△ABC的垂心
∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG
∴BC⊥OG
同理可证：AC⊥OG 又BC∩AC＝C
∴OG⊥平面ABC
变式训练1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF．
证明：(1) BC⊥面SAB
(2) 由(1)有AE⊥面SBC
(3) 由(2)有SC⊥面AEFSC⊥EF
例2 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．
(1) 求证：MN⊥CD；
(2) 若PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．
证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R
∵N为PC中点 ∴NO为△PAC的中位线 NO∥PA
而PA⊥平面ABCD ∴NO⊥平面ABCD
∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形
M为AB中点，O为AC中点 ∴MO⊥CD
∴CD⊥MN
(2) 连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA
又O为MR的中点，且NO⊥MR
∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45°
∴∠MNR＝90° ∴MN⊥NR 又MN⊥CD
∴MN⊥平面PCD
变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB．
求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC．
证明：略
例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．
(1) 求证：EF⊥平面PAB；
(2) 设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
(1) 证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在
平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC，
∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE
∵F为PB中点，∴EF⊥PB．
由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，
∴EF⊥FA．
∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB．
(2) 解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF．
∠GAH为AC与平面AEF所成的角．
由△EGC∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝．
由△EGH∽△BGF可知GH＝BF＝
∴sin∠GAH＝
∴AC与面AEF所成的角为arc sin．
变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BAD＝BDC＝90°，AB＝AD＝3，BC＝2CD．求：
(1) 求AC的长；
(2) 求证：平面ABC⊥平面ACD；
(3) 求D点到平面ABC的距离d．
解：(1) (2)略．
(3)因VA－DBC＝(DC×BD)×OA＝6，
又VD－ABC＝(AB×AC)×d＝d，
VA－BCD＝VD－ABC，则d＝6，解得d＝.
例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；
(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；
(3) 求点P到平面ABD1的距离．
答案： (1) ∠APB＝arctan
(2) AP在面AC上的射影为AC 又AC⊥BD
∴PA⊥BD 而BD∥B1D1 ∴B1D1⊥AP
而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H ∴D1H⊥AP
(3) 面ABD1⊥面BC1 过P作PM⊥BC1于M
则PM＝
变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H．
(1) 求证H是△ABC的垂心；
(2) ．
(1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点，
∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，
∴VA⊥VBC面，又BCVBC面，∴BC⊥VA．
∵VH⊥ABC面，BCABC面，
∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面．
又ADVHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB，
∴H是△ABC的垂心．
(2) 连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×EC
AB2×VE2＝AB2×EH×EC，
即．
线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；
(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若∥，a⊥则a ⊥
第5课时 三垂线定理
1．和一个平面相交，但不和这个平面
的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．
2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；
(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ．
斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ．
垂线在平面上的射影只是 ．
直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线．
3．如图，AO是平面斜线，A为斜足，OB⊥，B
为垂足，AC，∠OAB＝，BAC＝，
∠OAC＝，则cos＝ ．
4．直线和平面所成的角
平面的斜线和它在这个平面内的 所成
的 叫做这条直线和平面所成角．
斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ．
5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．
例1. 已知RtABC的斜边BC在平面内，A到的距离2，两条直角边和平面所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD和平面所成的角；
(2) 点A在内的射影到BC的距离．
答案：(1) 60° (2)
变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度．
解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10
例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1
分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿
BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1BC1；
求证：A2CA1B1．
解：取A2B1中点D1 ∵A2C1＝B1C1 ∴C1D1⊥A2B1
又A1A2⊥面A2B1C1 ∴C1D1⊥A1A2
∴C1D1⊥面A1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影
由A1B1⊥BC1 ∴BD1⊥A1B1
取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影
∵A2DBD1 ∴A2DBD1是平行四边形
由BD1⊥A1B1 ∴A1B1⊥A2D
∴A2C⊥A1B1
变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长，设这条最短路线与CC1交点N，求：
(1) PC和NC的长；
(2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小．
解：将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面
AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，
连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线
设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2
∴PC＝P1C＝2 ∵ ∴NC＝
(2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)
在Rt△PHC中 ∵∠PCH＝∠PCP1＝60°
∴CH＝＝1
在Rt△PHC中 tanNHC＝
故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan
例3.如图在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
(1) 试确定点F的位置，使得D1E面AB1F；
(2) 当D1E面AB1F时，求二面角C1－EF－A大小．
解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影
∵AB1⊥A1B ∴D1E⊥AB1
于是D1E⊥平面AB1F D1E⊥AF
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影
∴D1E⊥AFDE⊥AF
∵ABCD是正方形，E是BC的中点
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF
即当点F是CD的中点时，D1E⊥面AB1F
(2) 当D1E⊥平面AB1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD连AC，设AC与EF交点H，则CH⊥EF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影
∴C1H⊥EF
即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角
在Rt△C1HC中 ∵C1C＝1 CH＝AC＝
∴tan∠C1HC＝
∴∠C1HC＝arctan 2
∴∠AHC1＝π－arctan2
变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，
(1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；
(2) 求证：PQ⊥AD．
(1) 解：过Q作QM∥CC1交BC于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM就是所求角
∵即 ∴
∴ ∴PM∥AB
在Rt△PQM中 PM＝ QM＝
∴tan∠QPM＝＝＝＋1
(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ在面ABCD内的射影是PM.
∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD
例4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1) 证明：D1E⊥A1D；
(2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
(3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为．
(1) 证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E．
(2) 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝，AD1＝，＝··＝，而＝·AE·BC＝．
∴＝·DD1＝·h
∴×1＝×h， ∴h＝
(3) 过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1－EC－D的平面角．设AE＝x，则BE＝2－x
在Rt△D1DH中，∵∠DHD1＝，∴DH＝1
∵在Rt△ADE中，DE＝，∴在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中，CH＝，CE＝，则x＋＝，解得x＝2－．
即当x＝2－时，二面角为D1－EC－D的大小为．
变式训练4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝a．
(1) 求证：PD⊥面ABCD；
(2) 求直线PB与AC所成角；
(3) 求二面角A－PB－D大小．
证明：(1) ∵PC＝a PD＝DC＝a
∴PD2＋DC2＝PC2
∴△PDC是直角三角形 ∴PD⊥DC
同理PD⊥DA 又∵DA∩DC＝D
∴PD⊥平面ABCD
(2) 连BD ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD
又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理)
∴PB与AC所成角为90°
(3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB于E，连OE
∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC面ABCD
∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB
又∵OE是AE在平面PDB内的射影
∴OE⊥PB
∴∠AEO就是二面角A－PB－O的平面角
又∵AB＝a PA＝ PB＝
∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB
在Rt△PAB中 AE·PB＝PA·AB
∴AE＝ AO＝
∴sin∠AEO＝ ∴∠AEO＝60°
1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．
2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．
３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面线⊥线；向量法．
第6课时 平面与平面平行
1．两个平面的位置关系：
2．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行．
(记忆口诀：面面平行，则线线平行)
4．两个平行平面距离
和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离．
例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN
AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E
∴面AMN∥面EFDB
(2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角
易求得 cos∠AMN＝
变式训练1：如图，∥，AB交、于A、B，
CD交、 于C、D，ABCD＝O，O在两平面之间，
AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD．
解：依题意有AC∥DB 即
∴OD＝ ∴CD＝＋6＝
例2 . 已知平面∥平面，AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且．求证：EF∥∥．
证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD
∵α∥β ∴AC∥BD 又∵
∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β
2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD
在AA'截点O，使
∴EO∥BA' OF∥A'D
∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点
∴EF∥α∥β
变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：(1) APMN；
(2) 平面MNP∥平面A1BD．
证明：(1) 连BC1 易知AP在BCC1B1内射影是BC1
BC1⊥MN ∴AP⊥MN
(2) ∵面MNP∥面A1BD
例3.已知a和b是两条异面直线．
(1) 求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β；
(2) 求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离．
(1) 在直线a上任取一点P，过P作b'∥b，在直线b上取一点Q
过Q作a'∥a 设a, b'确定一个平面α
a', b确定平面β a'∥a aα ∴a'∥α
同理b∥α 又a'、bβ ∴α∥β
因此，过a和b分别存在两个平面α、β
(2) 设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a ∴AB⊥a'
a'和b是β内的相交直线，∴AB⊥β 同理AB⊥α
因此，a, b间的距离等于α与β间的距离．
变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．
解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE，
∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，同理DE＝AC．
S△DEF＝DF·DE sin∠EDF＝S△ABC＝96．
例4.如图，平面∥平面，ABC．A1B1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．
求A1B1C1的面积．
解：∵α∥β AA1∩BB1＝O ∴AB∥A1B1
同理AC∥A1C1 BC∥B1C1
∴△ABC∽△A1B1C1 S△ABC＝AB·AC·sin60°＝
∴
∴＝
变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E是PD的中点．
（1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．
（1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝AD＝AC＝a，
在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB，
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
因为＝＋＋＝2＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋
∴ 、、共面．
PB平面EAC，所以PB∥平面EAC．
（2） 解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝a，AG＝a，GH＝AG sin 60°＝a，
所以tanθ＝．
1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．
2．正确运用两平面平行的性质．
3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面．
第7课时 两个平面垂直
1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直．
2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．
3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．
4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝，其中：d是异面直线a、b的 ，θ为a、b ，m、n分别是a、b上的点E、F到 AA'与a、b的交点A，A'的距离．
例1 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．
求证：平面ABC⊥平面BSC．
证明：略
变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
⑴ 求证：AB⊥BC；
⑵ 若设二面角S－BC－A为45°，
SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．
证明：(1) 作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC
∴AH⊥BC， 又SA⊥BC
∴BC⊥平面SAB ∴BC⊥AB
(2) ∠SBA是二面角S－BC－A的平面角，∠SBA＝45°，作AE⊥SC于E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH为所求二面角的平面角，∠AEH＝60°
例2.在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB＝10，求：
(1) 直线AB和棱a所成的角；
(2) 直线AB和平面Q所成的角．
答案：(1) arc sin (2) arc sin
变式训练2：已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1） 证明：平面PED⊥平面PAB；
（2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．
（1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD＝D，
∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB．
（2）解：∵AB⊥平面PED，PE面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF面PED，∴AB⊥EF．
∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角．
设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝．
在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1
∴cos∠PEF＝
即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为．
例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．
⑴ 求证：AF∥平面PEC；
⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD；
⑶ 设AD＝2，CD＝2，求点A到面PEC的距离．
证明：(1) 取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC
(2) 可证EG⊥平面PCD
(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1
变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
⑴ 证明：AB⊥平面VAD；
⑵ 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
（1）证明：
平面VAD⊥平面ABCD
AB⊥AD AB⊥平面VAD
AB平面ABCD
AD＝平面VAD∩平面ABCD
（2）解：取VD的中点E，连结AE、BE．
∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD．
∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE．
又由三垂线定理知BE⊥VD．
于是tan ∠AEB＝＝,
即得所求二面角的大小为arc tan
例4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.
⑴ 求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；
⑵ 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；
(3) 求点C1到平面A1CB的距离．
证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形，
又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1．
（2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC，
∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D．
∴ A1D⊥平面BCC1B1，
故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，
在矩形BCC1B1中，DC＝，因为四边形A1ABB1是菱形．
∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴ A1D＝2
∴ tan∠A1CD＝．
（3）∵ B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC．
∴ C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．
连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B．
∵ 平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，
∴ B1O即为C1到平面A1BC的距离．
∵B1O＝2 ∴ C1到平面A1BC的距离为2．
变式训练4：如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
⑴ 若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD；
⑵ 求证AD⊥PB；
⑶ 求二面角A－BC－P的大小；
⑷ 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，
使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
答案 (1) 略 (2) 略 (3) 45° (4) F为PC的中点
在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．
第8课时 空间的角
1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a' a，b' b，把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 ．
2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角．
规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角．
其范围是 ．
公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是 ，θ2是 ，θ是 ．
3．二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 ．
例1. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求EF与平面PAD所成角的大小；
（2）求EF与CD所成角的大小；
（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小．
解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°；
(2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°；
(3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°．
变式训练1：如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1
—BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成
的角的大小．
答案：arccos
例2. 在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高为2，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求：
⑴ AC1的长；
⑵ AC1与MN所成的角；
⑶ AC1与平面ADMN所成的角．
答案：(1) 16 (2) arcsin (3) arcsin
变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S为平面ABCD外一点，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求：
⑴ 二面角S－CB－A的大小；
⑵ 直线SC与AB所成角的大小．
答案：(1) arctan (2) arccos
例3. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求：
⑴ AD与平面DBC所成的角；
⑵ 二面角A－BD－C的正切值．
解：(1) 作AE⊥BC交BC的延长线于E，
由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45°
(2) 作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2
变式训练3：正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点．
⑴ 求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
⑵ 求证：AB1∥平面BEC1；
⑶ 若，求二面角E－BC1－C的大小．
答案：(1) 略 (2) 略 (3) 45°
例4: 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的点.(1) 当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30°；
(2) 在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角.
解(1) 取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M，
由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA.
∴∠B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角，
设C1M＝x，B1N1＝a.
sin < B1MN1＝, 解得x＝a，
则C1M＝C1C, ∴M为C1C的中点.
(2) arccos
变式训练4：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、
CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二
面角A—DE—C的大小为，若△ACD
为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G
是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值．
解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上，
过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，
连结GC、GD．
∵△ACD为正三角形，
∴AC＝AD，∴GC＝GD，
∴G在CD的垂直平分线上，又∵EF是CD的垂直平分线，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE．∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG＝，
设原正方形ABCD的边长为2a，由直角三角形的射影定理，
可得AH＝，GH＝，
∴．
1．两异面直线所成角的作法：
① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线；
② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角．
2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．
3．平面角的作法：
① 定义法；② 三垂线法；③ 垂面法．
4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S'＝Scosθ来求．
5．空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成．
第9课时 空间距离
1．点与点的距离：两点间 的长．
2．点与线的距离：点到直线的 的长．
3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长．
4．点与面的距离：点到平面的 的长．
5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长．
6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长．
7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长．
例1. 已知正六边形ABCDEF的边长为a，PA⊥平面AC，PA＝a．求：
⑴ P到直线BC的距离；
⑵ P到直线CD的距离．
答案：(1) (2) 2a
变式训练1： 已知平面外不共线的三点A、B、C到α的距离相
等．求证：存在△ABC的一条中位线平行α或在α内．
提示：分A、B、C在的同侧与异侧讨论
例2．如图， 直线l上有两定点A、B， 线段AC⊥l，BD⊥l，
AC＝BD＝a，且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离．
解：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE＝AC，
则ABEC为矩形．
∴AB∥CE，∴AB∥平面CDE．
则AB与CD的距离即为B到DE的距离．
过B作BF⊥DE于F，易求得BF＝，∴AB与CD的距离为．
变式训练2：ABCD是边长为a的正方形，M、N分别为DA、BC边上的点，且MN∥AB交AC于O点，沿MN折成直二面角．
⑴ 求证：不论MN怎样平行移动(AB∥MN)，∠AOC的大小不变；
⑵ 当MN在怎样的位置时，点M到平面ACD的距离最大？
并求出这个最大值．
解(1) 120°；
(2) 当且仅当MA＝MD时，点M到平面ACD的距离最大，最大值为a．
设MD＝x，M到AD的距离h即是M到平面ACD的距离：
h＝≤＝≤a(当x＝时两不等式同取等号)
例3. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
解：连结AC、BD、AC∩BD＝0，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，
∴B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离，AC∩EF＝K，连结KG，
∵EF⊥KC，∴EF⊥平面KGC，过O作OH⊥KG于H，则OH⊥平面EFG，
∴OH即为O到平面EFG的距离，KC＝AC＝3，KG＝，OK＝AC＝，由Rt△OHK∽Rt△CKG得OH＝．
变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，Ｅ、F分别是BB1、CD的中点.
⑴ 求证：AD⊥D1F；
⑵ 求证：AE与D1F所成的角；
⑶ 求点F到平面A1D1E的距离．
答案：(1) 略 (2) 90°
(3)将F移至AB中点研究．
例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度.
解：如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置，
B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面，
CFED是矩形，且CD＝×100＝(千米)，
AB＝×100＝1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x千米，在Rt△CFA中，AF＝x；在Rt△DEB中，BE＝x. 作EG⊥AB于G，EH⊥AF于H，则EG＝AH＝x，EH＝AG＝1＋，FH＝x. 在Rt△FHE中，EF2＝FH2＋EH2，即()2＝(x) 2＋(1＋)2，∴ x＝1. 故飞机飞行的高度为1千米．
变式训练4：如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的取值范围；
（2）当二面角A—BC—D的平面角为时，求点C到平面ABD的距离．
解(1)(提示：D到平面ABC的距离d∈[3，] )
(2)取BC中点E，连结EA、ED，则∠AED＝
∴AD＝AE＝
∵
又，设C到平面ABD的距离为h．
则
1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离．
2、求点到平面的距离的方法：
⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．
⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.
(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.
3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点.
第10课时 棱柱 棱锥
一、棱柱
1．定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 ．
2．性质：① 侧棱 ，侧面是 ；② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形；③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形．
3．分类：① 按底面边数可分为 ；② 按侧棱与底面是否垂直可分为：
棱柱
4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体．
5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 ．
二、棱锥
1．定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 ．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 ．
2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．
3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥．
4．正棱锥的性质：
① 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）；
② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形．
例1．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，
点E为CC1的中点，点F为BD1的中点.
⑴ 证明：EF为BD1与CC1的公垂线；
⑵ 求点F到面BDE的距离.
答案(1)略； (2)
变式训练1：三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，
BC、AC、AA1长均为a，A1在底面ABC上的射影O在AC上．
⑴ 求AB与侧面AC1所成的角；
⑵ 若O点恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积．
答案(1) 45°；(2)
例2. 如图，正三棱锥P—ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角．
（1）求侧PAB与底面ABC成角大小；
（2）若E为PC中点，求AE与BC所成的角；
（3）设AB＝，求P到面ABC的距离．
解：(1)；
(2)取PB中点F，连结EF，则∠AEF为所求的角，求得∠AEF＝；
(3)P到平面ABC的距离为．
变式训练2： 四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成的角；
（3）求点E到平面ACD的距离．
答案：(1)易证AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD；
(2)；(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是．
例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．
⑴ 求证：PA⊥BD；
⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值；
⑶ 求直线PD与BC所成的角．
答案：(1)略；(2)；(3)60°
变式训练3：在所有棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点．
⑴ 求证：AD⊥BC1；
⑵ 求二面角A－BC1－D的大小；
⑶ 求点C到平面ABC1的距离．
提示：(1)证AD⊥平面BB1C1C；(2) arc tan；(3) a．
例4．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1，M为AB的中点，A1D＝3DB1．
（1）求证：平面CMD⊥平面ABB1A1；
（2）求点A1到平面CMD的距离；
（3）求MD与B1C1所成角的大小．
提示(1)转证CM⊥平面A1B；
(2)过A1作A1E⊥DM，易知A1E⊥平面CMD，∴求得A1E＝1；
(3)异面直线MD与B1C1所成的角为
变式训练4：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝，O为对角线A1C的中点．
⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小；
⑵ P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD⊥平面A1CD？并证明你的结论．
答案(1) 30°；(2) 当P为AB的中点时，平面POD⊥平面A1CD．
柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点．
1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延．
2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．
3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．
第11课时 球
1．球：与定点的距离 或 定长的点的集合．
2．球的性质
(1) 用一个平面去截一个球，截面是 ．
(2)球心和截面圆心的连线 于截面．
(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系： ．
(4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．
(5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫 ．
3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝ ；球的体积V＝ ．
例1. 如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点的球面距离都为，O为球心，求：
(1) 的大小；
(2) 球心O到截面ABC的距离．
解：(1) 因为B、C两点的球面距离为，即B、C两点与球心连线所夹圆心角为，点A与B、C两点的球面距离都为，即均为直角，所以
(2) 因为⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM于H，可证得OH即为O到截面ABC的距离．
变式训练1： 球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的，B和C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求球的体积．
解：设球心为O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过O作OD⊥BC于D，连AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，∴OE＝. 在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π．
例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，，且AC⊥BC，AE⊥BE．
(1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；
(2) 若求B、D两点间的球面距离．
解：(1) 因为AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因为AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四点共圆，BD为此圆的直径．
取BD的中点M，AB的中点N，连接BD、AB的中点MN，则MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB．
(2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN，因为：
所以B、D两点间的球面距离是.
变式训练2：过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC．
(1) 求证：MA2＋MB2＋MC2为定值；
(2) 求△MAB，△MAC，△MBC面积之和的最大值．
解：(1) 易求得MA2＋MB2＋MC2＝4R2！
(2) S△MAB＋S△MAC＋S△MBC＝(MA·MB＋MA·MC＋MB·MC)≤(MA2＋MB2＋MC2)＝2R2(当且仅当MA＝MB＝MC时取最大值).
例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：设正四面体为正四面体ABCD，分析截面图可知，截面经过正四面体的一条棱设为CD，又过球心，设截面与棱AB交于E点，则E为AB的中点，易求得截面三角形的面积为，
故选（C）．
变式训练3：已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
(1) 证明：PC⊥平面PAB；
(2) 求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；
(3) 若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.
解 (1) 连结CF，∵PE＝EF＝BC＝AC ∴AP⊥PC ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF ∵AC平面PCF ∴PC⊥AB ∴PC⊥平面PAB.
(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF ∴∠PFC为所求二面角的平面角
设AB＝a, 则PF＝EF＝, CF＝,
∴cos∠PFC＝.
(3) 设PA＝x, 球半径为R
∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB
∵4πR2＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圆为球之小圆，由x2＝x·2R.
得△ABC的边长为2.
1．因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．
2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题．
3．球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开．
4．计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：
(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；
(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；
(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；
(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)．
立体几何初步单元测试
一、选择题
1． 若直线a、b异面，直线b、c异面，则a、c的位置关系是 （ ）
A．异面直线 B．相交直线
C．平行直线 D．以上都有可能
2． 设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是 （ ）
A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B．若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n
C．若mα，nα，m∥n，则n∥α
D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β
3． 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（ ）
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
4． 点P到ΔABC三边所在直线的距离相等，P在ΔABC内的射影为O，则O为ΔABC的（ ）
A．外心 B．重心 C．内心 D．以上都不对
5． 已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点（如图），则是O为△BCD重心的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6． 已知△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是 （ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
7． A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为Rcos，（R是地球半径，是两地的纬度数），则这两地间的球面距离为 （ ）
A．R B．Rcos C．R2R D．RR
8． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为 （ ）
A． B． C． D．
10．若四面体的一条棱长为x，其余棱长为1，体积为F(x)，则函数F(x)在其定义域上 （ ）
A．是增函数但无最大值
B．是增函数且有最大值
C．不是增函数且无最大值
D．不是增函数但有最大值
二、填空题
11．在长方形ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 ．
12．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为 ．
13．已知球的两个平行截面面积分别是5、8，它们位于球心的同侧，且相距为1，那么这个球的半径是 ．
14．已知PA、PB、PC两两垂直且PA＝，PB＝，PC＝2，则过P、A、B、C四点的球的体积为 ．
15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，过BC作一个截面，截面与底面ABC成60角，则截面的面积是 ．
三、解答题
16．设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心．
(1) 证明：PQ∥平面AA1B1B；
(2) 求线段PQ的长．
17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝2，AB＝3，AD＝a，求
(1) 异面直线与所成的角；
(2) 当为何值时，使？
18．如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点．
(1) 求异面直线B1O与AM所成角的大小．
(2) 求二面角B1－MA－C的正切值．
19．底面为等腰直角三角形的直三棱柱，，D为上的点，且，求二面角的大小．
20．如图，α⊥β,α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝，求：
（1）直线AB与平面β所成角的大小；
（2）二面角A1—AB—B1的大小．
21．直四棱柱A1B1C1D1—ABCD底面是边长为1的菱形，侧棱长为
(1) 求证：平面A1DC1⊥平面BB1DD1；
(2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60°，求二面角A1－DB1－C1的平面角的余弦值；
(3) 判断∠DB1C1能否为钝角？请说明理由.
立体几何初步单元测试参考答案：
1.D 2. D 3. D 4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10.D 11. 12. 13. 3 14. 15. .
16．（本题考查证明线面平行的方法）
证法二：连结AD1，AB1，在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B的中点
∴PQ∥AB1，且PQ＝AB1
∵ PQ面AA1B1B，AB1AA1B1B
∴ PQ∥面AA1B1B
证法三：取A1D1的中点R，则PR∥DD1∥BB1，OR∥A1B1，平面PQR∥平面AA1B1B，PQ∥平面AA1B1B
(2) 方法一：PQ＝MN＝
方法二：PQ＝AB1＝
评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”．本题证法较多．
17．解：以D为坐标原点，以DA为轴，DC为轴，为轴建立空间直角坐标系，则有：
所以，．从而
所以异面直线与所成的角为．
(2) 当时，．
18．(1)
方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.
易证AM⊥A1N
∴AM⊥B1O（三垂线定理）
方法三：建立空间真正坐标系（以A为原点，岔以AB、AD、AA为x轴、y轴、z轴，设正方体棱长为1）
则A(0, 0, 0)，M(0, 1, )，O(，，0)，B1(1, 0, 1)
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三个公理、三个推论
平面
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相交直线
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异面直线所成的角
异面直线间的距离
直线在平面内
直线与平面平行
直线与平面相交
空间两条直线
概念、判定与性质
三垂线定理
垂直
斜交
直线与平面所成的角
空间直线
与平面
空间两个平面
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棱锥
球
两个平面平行
两个平面相交
距离
两个平面平行的判定与性质
两个平面垂直的判定与性质
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解三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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（一）正弦定理和余弦定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二) 应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 三角形中的有关问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．正弦定理： ( http: / / www.21cnjy.com / )
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角； ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．余弦定理： ( http: / / www.21cnjy.com / )
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 已知三边，求三角； ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．三角形的面积公式： ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 A1＝60° C1＝75° c1＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
A2＝120° C2＝15° c2＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：B 提示：利用余弦定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）在△ABC中，已知，，则的值为（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A B C 或 D ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：A 提示:在△ABC中，由 知角B为锐角 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： 提示：由可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（5）在△ABC中，= ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：sinA＝2sinBcosC ( http: / / www.21cnjy.com / )
sin(B＋C)＝2sinBcosC ( http: / / www.21cnjy.com / )
sin(B－C)＝0B＝C ( http: / / www.21cnjy.com / )
sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∠A＝90° ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ △ABC是等腰直角三角形。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：应用正弦定理、余弦定理，可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以sinB(sinA－cosA)＝0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B ( http: / / www.21cnjy.com / )
得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴A＝ B＝ C＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求∠C； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）求△ABC面积的最大值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2（－）=（a－b）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==. ( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A） ( http: / / www.21cnjy.com / )
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A ( http: / / www.21cnjy.com / )
=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)求y＝的最大值与最小值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 (1) AG＝，∠ ( http: / / www.21cnjy.com / )
由正弦定理得， ( http: / / www.21cnjy.com / )
， ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∴当 ( http: / / www.21cnjy.com / )
当 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求的值； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）若，求的最大值； ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）因为，故 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
又，当且仅当时， ( http: / / www.21cnjy.com / )
故的最大值是 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 应用性问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）； ( http: / / www.21cnjy.com / )
２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； ( http: / / www.21cnjy.com / )
３．实际问题中有关术语、名称． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1．(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（A） （B） （C）或 （D）3 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：C 提示：利用余弦定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A B ( http: / / www.21cnjy.com / )
C D ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：A
（3）一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，则山的高度为（ ）
A B C D
解： B
（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是 ．
解：90.8 nmi
(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，
航向为方位角，A处有灯塔，
其方位角，在C处观测灯塔A的
方位角，由B到C需航行半小时，
则C到灯塔A的距离是
解：km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得
变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？
解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t
故
即 解得
答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．
变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
解：由题意得，在△ABC中，BC=30，，
所以 ，由正弦定理可知：
所以，
于是A到BC所在直线的距离为
所以船继续向南航行无触礁危险。
例3. 如图所示，公园内有一块边长的等边△ABC形状的三角地，
现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，
E在AC上.
（1）设AD，ED，求用表示的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置
应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的
位置又在哪里？请给予证明.
解：（1）在△ABC中，D在AB上，
S△ADE=S△ABC
，在△ADE中，由余弦定理得：
（2）令 ，则 则
令 ，
则
；
有最小值，此时DE∥BC，且
有最大值，此时DE为△ABC
的边AB或AC的中线上.
变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？
解：设 ，则，
所以
设两腰与下底之和为，
则
当且仅当 时，上式取等号，即当时，上式取等号
，所以下角时，梯形两腰及下底之和达到最小．
例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
解：设，在△AOB中，由余弦定理得：
于是，四边形OACB的面积为
S=S△AOB+ S△ABC
因为，所以当，，即时，
四边形OACB面积最大．
变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，
而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则
则BC=4，由已知得
在△AEC中，由正弦定理得：
在△ABC中，由正弦定理得：
在△ABE中，由余弦定理得：
所以船速 答：该船的速度为 km/h
解三角形章节测试题
一、选择题
1．在中，，，，则的面积是（　　）
A．　　　　　B．　　　　 C．　　　 　D．
2．在中，若，则的值为（　　）
A．　　 　　B． 　　　　 C．　　　 D．
3．在中，若，则这个三角形中角的值是（　　）
A．或　　　B．或　　　C．或　　　D．或
4．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）
A．，，　　　　B．，，　
C．，，　　　　 　D．，，　
5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是（　　）
A．　　　　　B．　　　　 C．　　　 　D．
6．在中，如果，那么角等于（　　）
A．　　　　　B．　　　　 C．　　 　D．
7．在中，若，，此三角形面积，则的值是（　　）
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　 D．
8．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）
A． 　 　B． C． D．
9．在中，若，，，则（　　）
A．　 　B．
C．　 D．
10．如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（　　）
A． 　B． 　C． 　D．或
二、填空题
11．在中，若，则最大角的余弦值等于_________________．
12．在中，，，，则此三角形的最大边的长为____________________．
13．在中，已知，，，则__________________．
14．在中，，，，则_______________，_______________．
三、解答题
15．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．
16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．
17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？
18．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．
19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取＝1.4,＝1.7）．
20．如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s.
（1）设A到P的距离为 km，用表示B,C到P 的距离，并求值；
（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01 km）.
解三角形章节测试参考答案
1．C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B7.D. 8.B 9 A 10.D　
11． 12、 13、6或3 14、　
15．在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝．
在△ACD中，AD2＝()2＋12－2××1×cos150o＝7，∴AC＝．
∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝×1×3×sin60o＝．
16．∵ bcosB＋ccosC＝acosA，由正弦定理得：sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA，
即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA．∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sinA．而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0，
∴2cosBcosC＝0．∵ 0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝或C＝，即△ABC是直角三角形．
17、解：过点B作BD⊥AE交AE于D
由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°
在Rt△ABD中，
AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75°
在Rt△CBD中，
CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°
∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,…9分
∴
∴该军舰没有触礁的危险。
18．在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o－60o＝90o，BC＝，∴AC＝sin30o＝．
答：船与灯塔间的距离为n mile．
19. 解：如图 ∵150　450　　　
∴300，
AB= 180km（千米）/h（小时）420s（秒）
= 21000(m )
∴在中
∴
∴
∵，
∴
　　　＝
　　　＝＝
　　　＝7350
山顶的海拔高度＝10000-7350=2650(米)
20．解：(1)依题意，PA－PB=1. 5 × 8=12 (km)，PC－PB=1.5×20=30（km ）．
因此 PB＝（x一12）km，PC=（18＋x）km.
在△PAB中，AB= 20 km，
同理，在△PAC中，
由于
即 解得（km）．
(2)作PDa,垂足为D. 在Rt△PDA中，
PD =PAcos∠APD=PAcos∠PAB = （km）．
答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17. 71 km.
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典型例题
A
N
C
B
D
M
G
（
小结归纳
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基础过关
典型例题
北
20
10
A
B
C
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A
C
B
北
北
152o
32 o
122o
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排列、组合、二项式定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 两个计数原理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3） （4） ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：在直角坐标x－o－y平面上，平行直线x=n，（n=0，1，2，3，4，5），y=n，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A、25个 B、36个 C、100个 D、225个 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道： ( http: / / www.21cnjy.com / )
得到的矩形共有个， 故选D。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. (1) 将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 设I＝{1,2,3,4,5,6}，A与B都是I的子集，A∩B＝{1,3,5}，则称(A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0) ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）65 （2）27 （3）电话号码首位不为0：9×107－9×106＝8.1×107 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
请问：⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵从这6种颜色中任选5种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色, 则有 ( http: / / www.21cnjy.com / )
多少种不同的着色方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：⑴6个小扇形分别着上6种不同的颜色,共有种着色方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有;因此满足条件的着色方法共有种着色方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
D ( http: / / www.21cnjy.com / )
A ( http: / / www.21cnjy.com / )
A、8种 B、12种 C、16种 D、20种 ( http: / / www.21cnjy.com / )
B C ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有=4种方法； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有种方法； ( http: / / www.21cnjy.com / )
根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A、26 B、24 C、20 D、19 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3 5 12 ( http: / / www.21cnjy.com / )
B 4 6 A ( http: / / www.21cnjy.com / )
6 76 12 ( http: / / www.21cnjy.com / )
8 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法： ( http: / / www.21cnjy.com / )
第一类：12 5 3 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二类 ： 12 6 4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第三类 ：12 6 7 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第四类；：12 8 6 ( http: / / www.21cnjy.com / )
可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
于是，我们采用“隔板法”来解决。在7个小球中的每两个之间分别有6个空，我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部分至少有1个球。即有=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有20种放球放法。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
注；（1）本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 排 列 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． ( http: / / www.21cnjy.com / )
排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．因此当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从个为不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．排列数公式Amn＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
这里m≤n，其中等式的右边是 个连续的自然数相乘，最大的是 ，最小的是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用Ann表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用 表示． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．排列问题常用框图来处理． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 同一排6张编号1，2，3，4，5，6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）（06湖南理14）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这6项工程的不同排法有多少种数？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）分类：9种 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）假设五个连续空位为一个整元素a，单独一个空位为一个元素b，另4人为四个元素c1、c2、c3、c4．问题化为a,b,c1,c2,c3,c4的排列，条件是a,b不相邻，共有＝48种； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）将丙，丁看作一个元素，设想5个位置，只要其余2项工程选择好位置，剩下3个位置按甲、乙（两丁）中唯一的，故有＝20种 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分, 将这9个球排成一列有 ____ 种不同的方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：9个球排成一列有种排法,再除去2红、3黄、4白的顺序即可, ( http: / / www.21cnjy.com / )
故共有排法种。 答案:1260 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 甲站正中间的排法有 种，甲不站在正中间的排法有 种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有 种．丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有 种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(4) 甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 ( http: / / www.21cnjy.com / )
种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(6) 女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有 种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有 种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(8) 甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有 种． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(9) 甲乙之间有且只有4人的排法有 种．
解：(1)8！, 8×8！ (2) 2×8！,6×7！(3) ×9！, ×1, ×2×1
(4) ×7!8！＋7×7×7！
(5) 2×5！×4！
(6) 5！×, 5！×4！×2
(7) 9！－2×8！×2＋2×7！, 3×6！××2
(8) 9！－×6！
(9) 捆绑法．2××4！ 也可用枚举法2×4×7！
变式训练2：从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？
解：5．
例3. 在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数
解：分两类．
①类5在千位上：1×5×＝280
②类4或6在千位上：2×4×＝448
故有280＋448＝728个
变式训练3：3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）
解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5×4×2＝40个．这40个三位数中含数字6的有2×3×2＋1×4×2＝20个，故6可做9用时，可得三位数40＋20＝60个
例4. (1) 从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？
(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？
解：（1）①先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有5×＝300种 ② 60对．
（2）假设五个连续空位为一个元素A，B为单独一个空位元素，另4个为元素C1，C2，C3，C4间题转化为A，B，C1，C2，C3，C4排列，条件A，B不相邻，有＝480种.
变式训练4：某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．
解：96
1．解排列应用问题首先必须认真分析题意．看能否把问题归结为排队（即排列）问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理（注意也有个别问题不能用框图来处理 如不相邻问题等）
2．解有约束条件的排列问题的几种策略．
a. 特殊元素，特殊位置优先定位（也有个别例外情况，见例1）
b. 相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理
c. 正难则反，等价转换
3．解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各种方法．
4．由于排列问题的结果一般数目较大．不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏．为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同．
第3课时 组 合
1．一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”．
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．
组合数公式＝ ＝
在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续个自然数之积，最大的数为，最小的数是，分母是，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式＝ ，它的分子是，分母是与的积．
3．组合数性质：
①
②
③
④
⑤
例1. 某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.
(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.
(2) 如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.
(3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.
(4) 如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.
解；(1) ＝286 (2) ＝1430 (3) ＝1287
(4) －＝1716
变式训练1：从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有 （ ）
A．140 B．120
C．35 D．34
解：D
例2. 从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )
A、108种 B、186种 C.216种 D、270种
解：没有女生的选法有, 至少有1名女生的选法有种,
所以选派方案总共有：31×=186种。 故选B.
变式训练2：从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）
A．210种 B．420种
C．630种 D．840种
解：B
例3. (1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？
(2) 以平行六面体ABCD—A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面情况有多少种？
(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？
解：（1）先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法分配剩下的书有＝15种，（2）平行六面体中能构成三角形个数＝56为任取两个有种情况，其中共面的有12，因而不共面的有—12种 （3）
变式训练3：马路上有编号为1， 2， 3， 4…..10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数有_______种.
解：20 用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯插入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有种关灯方法．
例4. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，
(1) 在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？
(2) 在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法．
解：(1)四个点共面的取法可分三类．第一类：再同一个面上取，共有4个面；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有＝3个面．故有69种．
(2) 用间接法．共＝141个面．
变式训练4：在1， 2， 3…100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法．
(1) 其和是3的倍数
(2) 其差是3的倍数(大数减小数).
(3) 相加，共有多少个不同的和.
(4) 相乘，使其积为7的倍数.
解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295
1．解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问题．区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序”．需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题．
2．要注意准确理解“有且仅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义．
3．组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理．另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。
4．避免重复和遗漏．
第4课时 排列组合综合题
1．解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、插空法、 枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思想、对应思想.
2．解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则(1)按元素性质进行分类(2)按事情发生的过程进行分步.
3．处理排列组合综合性问题时一般方法是先取(选)后排，但有时也可以边取(选)边排.
4．对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题.
例1. 五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在排头；
（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；
（3）甲、乙必须在两端；
（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（5）甲、乙不在两端；
（6）甲在乙前；
（7）甲在乙前，并且乙在丙前；
（8）甲、乙相邻；
（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；
（10）甲、乙、丙不全相邻
解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有种，再排其它4个位置有种，所以共有：×=24种
（2）甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：××=6种
（3）首先排两端有种，再排中间有种，
所以甲、乙必须在两端排法种数为：×=12种
（4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：－2+=78种
（5）因为两端位置符合条件的排法有种，中间位置符合条件的排法有种，
所以甲、乙不在两端排法种数为×=36种
（6）因为甲、乙共有2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为：÷2！=60种
（7）因为甲、乙、丙共有3！种顺序，
所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：÷3！=20种
（8）把甲、乙看成一个人来排有种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为×=48种
（9）首先排甲、乙、丙外的两个有，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为××=24种
（10）因为甲、乙、丙相邻有×，
所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为－×=84种
变式训练1：某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有 （ ）
A．45种 B．36种
C．28种 D．25种
解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有C＝28种；或用插排法．
例2. (1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？
(2) 5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？
解：（1）分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有种
（2）分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有种
变式训练2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目，如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是 （ ）
A．504 B．210
C．336 D．120
解：A＝504 故选A
例3. 已知直线ax+by+c=0中的系数a，b，c是从集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}中取出的三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？
解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。
设直线的倾斜角为，并且为锐角。
则tan=－＞0,不妨设a＞b,那么b＜0
当c≠0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有3×3×4=36条
当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有3×3-2=7条
故符合条件的直线有7+36=43条
变式训练3：将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种.
解：
例4. 从集合{1，2，3，……20}中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
解：a，b，c a，b，c成等差数列 要么同为奇数，要么同为偶数，故满足题设的等差数列共有A＋A＝180(个)
变式训练4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球 队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜负平的情况共有多少种？
解：设该队胜负平的情况是：胜x场，负y场，则平15－(x＋y)场，依题意有：x≥9 。故有3种情况，即胜、负、平的场数是：9，0，6；10，2，3；11，4，0．
1．排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.
2．排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.
3．对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.
第5课时 二项式定理
1．(a＋b)n＝ (n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项公式Tr＋1＝ 是表示展开式的第r＋1项．
2．二项式定理中，二项式系数的性质有：
① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：
② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项，即：
第 项的二项式系数最大，为 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为
③ 二项式系数的和等于—————————，即————————————
④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即
⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：
3．二项式定理主要有以下应用
①近似计算
②解决有关整除或求余数问题
③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）
注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题
④ 杨辉三角形
例1. (1) （06湖南理11）若(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是 ．
(2) （06湖北文8）在的展开式中，x的幂指数是整数的有 项．
(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中x2项的系数为 ．
解：（1）－2 （2）5项 （3）35
变式训练1：若多项式, 则( )
A、9 B、10 C、－9 D、－10
解：根据左边的系数为1,易知，左边的系数为0,右边的系数为,∴ 故选D。
例2. 已知f(x)＝(1+x)m+(1+x)n，其中m、n∈N展开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x3项的系数取得最小值？最小值是多少？
由题意，则含x3项的系数为＋
，当n＝5或6时x3系数取得最小值为30
变式训练2：分已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中,则展开式中常数项是( )
A、 －45i B、 45i C、 －45 D、45
解析： 第三项,第五项的系数分别为,
依据题意有：,
整理得
即解方程(n－10)(n＋5)＝0
则只有n=10适合题意.由,
当 时,有r=8,
故常数项为=45 故选D
例3. 若求（）+（）+……+（）
解：对于式子：
令x=0，便得到：=1
令x=1，得到=1
又原式：（）+（）+……+（）
=
∴原式：（）+（）+……+（）=2004
注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系.
变式训练3：若，则的值是 （ ）
A． B．1
C．0 D．2
解：A
例4. 已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴，解得n=8
令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1
(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,
若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
≤ 并且 ≤，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120
变式训练4：①已知()n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项.
②求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2项的系数.
解：
1．注意(a＋b)n及(a－b)n展开式中，通项公式分别为及这里且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题．
2．二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．
3．应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展开式中各项的取舍．
4．求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数的倍数加1或减1．通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧．
排列组合二项式定理章节测试题
一、选择题：
1. 的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．5 C． D．1
1 2 3
3 1 2
2 3 1
2.将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
3. 的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．3 D．4
4.设则中奇数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )
A． B． C． D．
6.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A.14 B.24 C.28 D.48
7.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（ ）
A.100 B.110 C.120 D.180
8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A．15 B．45 C．60 D．75
9. 展开式中的常数项为（ ）
A．1 B． C． D．
10. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
12.在的展开式中，含的项的系数是（ ）
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
13.若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为（ ）
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
二、填空题：
14.从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）
15. 的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
16.（x+）9展开式中x2的系数是 .（用数字作答）
17.记的展开式中第m项的系数为，若，则=__________.
18. 展开式中的常数项为 ．
19.的展开式中的系数为 ．(用数字作答)
20.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．
21. 展开式中的系数为 _______________。
22.从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有_______________种。
23. 的二项展开式中的系数为 （用数字作答）．
24.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．
25.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答)
三、解答题
26．由0，1，2，3，4，5这六个数字。
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
27．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大的项．
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导数及其应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 变化率与导数、导数的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．求导数的方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 八个基本求导公式 ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝ ； ＝ ；(n∈Q) ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝ ， ＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝ ， ＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝ ， ＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 导数的四则运算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝ ＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝ ，＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 复合函数的导数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且＝ ，即. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 ∵Δy= ( http: / / www.21cnjy.com / )
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变式训练1. 求y=在x=x0处的导数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例2. 求下列各函数的导数： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1） （2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3） （4） ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 (1)∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴y′ ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11. ( http: / / www.21cnjy.com / )
方法二 = ( http: / / www.21cnjy.com / )
=（x+3）+（x+1）（x+2） ( http: / / www.21cnjy.com / )
=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）∵y= ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
（4） ， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：求y=tanx的导数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 y′ ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知曲线y= ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求曲线在x=2处的切线方程； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 （1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点， ( http: / / www.21cnjy.com / )
则切线的斜率k=|=. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴切线方程为即 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点P（2，4）在切线上，∴4= ( http: / / www.21cnjy.com / )
即∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, ( http: / / www.21cnjy.com / )
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= . ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案 2或 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求的解析式； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）解 ， ( http: / / www.21cnjy.com / )
于是解得或 ( http: / / www.21cnjy.com / )
因为a,bZ，故 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）证明 在曲线上任取一点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
由知，过此点的切线方程为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
． ( http: / / www.21cnjy.com / )
令x=1，得，切线与直线x=1交点为． ( http: / / www.21cnjy.com / )
令y=x，得，切线与直线y=x的交点为． ( http: / / www.21cnjy.com / )
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． ( http: / / www.21cnjy.com / )
从而所围三角形的面积为． ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以，所围三角形的面积为定值2. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 ∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1. ① ( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴b=0，d=0. ② ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴f（x）=ax4+cx2+1. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴a+c+1=-1. ③ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1. ④ ( http: / / www.21cnjy.com / )
由③④得a=，c=. ∴函数y=f（x）的解析式为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 导数的概念及性质 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1． 函数的单调性 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为 ；若＜0，则为 .（逆命题不成立） ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 如果在某个区间内恒有，则 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ( http: / / www.21cnjy.com / )
① 确定函数的 ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ( http: / / www.21cnjy.com / )
③ 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； ( http: / / www.21cnjy.com / )
④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．可导函数的极值 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 极值的概念
设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点.
⑵ 求可导函数极值的步骤：
① 求导数；
② 求方程＝0的 ；
③ 检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得 .
3．函数的最大值与最小值：
⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，则函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．
(2) 求最值可分两步进行：
① 求y＝在(a ,b )内的 值；
② 将y＝的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .
例1. 已知f(x)=ex-ax-1.
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解：=ex-a.
（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.
（3）方法一 由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.
∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数.
∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.
∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.
方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.
变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
（1）解 由已知=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，
∴=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，=3x2≥0,
故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.
（2）解 由=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.
∵-1在x∈(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.
（3）证明 ∵f(-1)=a-2例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①
当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 ②
由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.
∴1+a+b+c=4.∴c=5.
（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,
令=0,得x=-2,x=.
当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x -3 (-3,-2) -2 1
y′ + 0 - 0 +
y 8 单调递增↗ 13 单调递减↘ 单调递增↗ 4
∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为
变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
解 先求导数,得y′=4x3-4x,令y′=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.
导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
y′ - 0 + 0 - 0 +
y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13
从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.
例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.
解 ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）,∴=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).
令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数.
①当0<<1,即a>2时,f(x）在（1，2）上是减函数,
∴f（x）max=f（1）=e-a.
②当1≤≤2,即1≤a≤2时，
f(x)在上是增函数，在上是减函数，
∴f(x)max=f=4a-2e-2.
③当>2时，即0∴f（x）max=f（2）=4e-2a.
综上所述，当0当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,
当a>2时，f(x)的最大值为e-a.
变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.
解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,
f(2)=-2,=-3x2+4x-1,
-12+8-1=-5,
∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为
5x+y-8=0.
（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,
=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),
令=0,解得x=或x=a.
由于a≠0，以下分两种情况讨论.
①若a>0，当x变化时，的正负如下表：
x (-∞,) (,a) a (a,+∞)
- 0 + 0 -
f(x) ↘ ↗ 0 ↘
因此，函数f(x)在x=处取得极小值f（），
且f（）=-
函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.
②若a<0，当x变化时，的正负如下表：
x (-∞,a) a (a,) (,+∞)
- 0 + 0 -
f(x) ↘ 0 ↗ - ↘
因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；
函数f(x)在x=处取得极大值f（）,
且f（）=-.
例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.
解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.
(2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).
令=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.
∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.
在x=6+a两侧L′的值由正变负.
所以①当8≤6+a＜9即3≤a＜时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).
②当9≤6+a≤，即≤a≤5时，
Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］2=4(3-a)3.
所以
答 若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= (万元).
变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).
（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19).
（2）=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),
∵x>0,∴=0时,x=12，
∴当00,当x>12时，<0,
∴x=12时，P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.
（3）MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.
所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，
所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*.
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.
研究可导函数的单调性、极值（最值）时，应先求出函数的导函数，再找出＝0的x取值或>0(<0)的x的取值范围．
导数及其应用单元检测题
一、选择题
1.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
?A.e2? B.2e2 C.e2 D.
2.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=的图象可能是 ( )
3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ）
?A.(0, B.(+∞) C.(-∞,0)? D.(-∞,0)∪(,+∞）
4.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则 ( )
?A.a<-1? B.a>-1 ?C.a<-? D.a>-
5.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为 （ ）
?A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,6
6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为 （ ）
A.36 B.18 C.25 D.42
7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是 （ ）
①f(x)>0的解集是{x|0②f(-)是极小值，f()是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值.
? A.①③ B.①②③ C.② D.①②
8.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( )
?A.0＜＜＜f(3)-f(2)
?B.0＜＜f(3)-f(2) ＜
?C.0＜f(3)＜＜f(3)-f(2)
?D.0＜f(3)-f(2)＜＜
9.若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为 （ ）
?A.a≥3 ?B.a=3 ? C.a≤3 D.010.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为 （ ）
?A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11 B.a=-4,b=11
?C.a=3,b=-3 D.以上都不正确
11.使函数f(x)=x+2cosx在［0，］上取最大值的x为 （ ）
?A.0 B.? C. D.
12.若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则 （ ）
?A.00 ? D.b<
二、填空题
13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为 .
14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：
①f(x）在［-2，-1］上是增函数；
②x=-1是f(x)的极小值点；
③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；
④x=3是f(x)的极小值点.
其中判断正确的是 .
15.函数f(x)的导函数y=的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为 .
16.已知函数f(x)的导函数为,且满足f(x)=3x2+2x,则= .
三、解答题
17.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.
(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;
(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)18.设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x2-2x＞a的解集为R.
如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.
19.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.
20.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)在x=-1处取极值.
（1）求f(x)的解析式；
（2）讨论f(x)在区间［-3，3］上的单调性.
21.如图所示，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P并与抛物线
C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，
求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.

22.已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d，下图是其运动轨迹的一部分，若t∈［，4］时，s(t)<3d2恒成立，求d的取值范围.
导数及其应用单元检测题答案
一、选择题
1.答案?D?
2．答案?A?
3.答案? A?
4.答案?A?
5.答案?A?
6.答案?A?
7.答案 D
8.答案?B?
9.答案?A?
10.答案?B?
11.答案?B?
12.答案?A?
二、填空题
13.答案 ［-1，2］
14.答案 ②③
15.答案 ［-1，0］和［2，+∞）
16.答案 6
三、解答题
17.解 （1）=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即3x2-x+b≥0,
∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2.
当x=时，g(x)max=,∴b≥.
(2)由题意知=0，即3-1+b=0，∴b=-2.
x∈［-1,2］时，f(x)f(-f(2)=2+c.
∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c2或c<-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.
18.解 命题p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴=3x2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.
由条件得≥0且≥0,
即∴-2≤a≤2.
命题q:
∵该不等式的解集为R，∴a<-1.
当p正确q不正确时,-1≤a≤2;
当p不正确q正确时，a<-2.
∴a的取值范围是（-∞，-2）∪［-1，2］.
19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax
∴=3x2-2(a+1)x+a
要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足≥0即可. ∵=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=,
∴a的取值应满足：或
解得:a≤.∴a的取值范围是a≤.
20.解 （1）∵函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,
∴F(-x)=-F(x)，化简计算得b=3.
∵函数f(x)在x=-1处取极值，∴=0.
f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c
∴=-6-6+c=0,c=12.
∴f(x)=-2x3+3x2+12x,
（2）=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2).
令=0,得x1=-1,x2=2,
x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 （2，3） 3
- 0 + 0 -
f(x) 45 ↘ -7 ↗ 20 ↘ 9
∴函数f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是减函数，
函数f(x)在［-1，2］上是增函数.
21. 解 设P（x0，y0），则y0=,
∴过点P的切线斜率k=x0,
当x0=0时不合题意，∴x0≠0.
∴直线l的斜率kl=-,
∴直线l的方程为y-.
此式与y=联立消去y得
x2+
设Q（x1,y1）,M(x,y).∵M是PQ的中点，
∴
消去x0，得y=x2++1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2>0,
∴y=x2++1≥2
上式等号仅当x2=,即x=±时成立，
所以点M到x轴的最短距离是+1.
22. 解 =3t2+2bt+c.
由图象可知，s(t)在t=1和t=3处取得极值.
则=0, =0.
即解得
∴=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3).
当t∈［，1）时，>0.
当t∈(1,3)时，<0.
当t∈(3,4)时，>0.
则当t=1时，s(t)取得极大值为4+d.
又s(4)=4+d，
故t∈［，4］时，s(t)的最大值为4+d.
已知s(t)<3d2在［，4］上恒成立，
∴s(t)max<3d2.即4+d<3d2.
解得d>或d<-1.∴d的取值范围是{d|d>或d<-1}.
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不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点： ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 不等式的概念和性质 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1、实数的大小比较法则： ( http: / / www.21cnjy.com / )
设a，b∈R，则a>b ；a＝b ；a实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的 就可以了. ( http: / / www.21cnjy.com / )
实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2、不等式的5个性质定理及其3条推论 ( http: / / www.21cnjy.com / )
定理1（对称性） a>b ( http: / / www.21cnjy.com / )
定理2（同向传递性） a>b，b>c ( http: / / www.21cnjy.com / )
定理3 a>ba＋c > b＋c ( http: / / www.21cnjy.com / )
推论 a>b，c>d ( http: / / www.21cnjy.com / )
定理4 a>b，c>0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
a>b，c<0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
推论1 (非负数同向相乘法) ( http: / / www.21cnjy.com / )
a>b≥0，c>d≥0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
推论2 a>b＞0 (nN且n>1) ( http: / / www.21cnjy.com / )
定理5 a>b＞0 (nN且n>1) ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1)(x2－y2)(x＋y)＜(x2＋y2)(x－y) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)aabb＞abba ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________. ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：{x|－＜x＜3且x≠－1,x≠0}。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解析：：或。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：当0＜x＜1或x＞时，f(x)＞g(x)； ( http: / / www.21cnjy.com / )
当1＜x＜时，f(x)＜g(x)； ( http: / / www.21cnjy.com / )
当x＝时，f(x)＝g(x). ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：若不等式(－1)na＜2＋对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 函数＝ax2＋bx满足：1≤≤2，2≤≤4，求的取值范围． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：由f (x)＝ax2＋bx得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
f (－1)＝a－b，f (1)＝a＋b，f (－2)＝4a－2b ( http: / / www.21cnjy.com / )
a＝[f (1)＋f(－1)]，b＝[f (1)－f(－1)] ( http: / / www.21cnjy.com / )
则f(－2)＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)] ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝3f (－1)＋f (1) ( http: / / www.21cnjy.com / )
由条件1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
可得3×1＋2≤3f(－1)＋f(1)≤3×2＋4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
得f (－2)的取值范围是5≤f (－2)≤10. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： (－3，3) ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 已知函数f (x)＝x2＋ax＋b，当p、q满足p＋q＝1时，试证明：pf (x)＋qf (y)≥f (px＋qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是o≤p≤1. ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：∵pf (x)＋qf (y)－f (px＋qy)＝pq(x－y)2＝p(1－p)(x－y)2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
充分性：当0≤p≤1时，≥0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
从而 ( http: / / www.21cnjy.com / )
必要性：当时，则有≥0，又≥0，从而≥0，即0≤p≤1．综上所述，原命题成立． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)证明：－＜＜1； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)若x＋x1x2＋x＝1，求x－x1x2＋x； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)求| x－x|． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1)∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴3a＞a＋b＋c，a＞b＞－a－b， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴a＞0，1＞ ∴－ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)（方法1）∵a＋b＋c＝0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1， ( http: / / www.21cnjy.com / )
不妨设x1＝1，则由可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
而， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴x2＝－1， ∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(方法2)∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )
由＋ ( http: / / www.21cnjy.com / )
，∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
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(3)由(2)知， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A≥B(或B≤A)”． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 算术平均数与几何平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．a>0，b>0时，称 为a，b的算术平均数；称 为a，b的几何平均数． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．定理1 如果a、bR，那么a2＋b2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2ab（当且仅当 时 取“＝”号） ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．定理2 如果a、b，那么≥ （当且仅当a＝b时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．已知x、y，x＋y＝P，xy＝S. 有下列命题： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1．设a、bR，试比较， ，，的大小． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵a、bR+，∴≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
即≤，当且仅当a＝b时等号成立．
又≤
＝ ∴≤
当且仅当a＝b时等号成立． 而≤
于是≤≤≤(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
说明：题中的、、、分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．
变式训练1：（1）设，已知命题；命题，则是成
立的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：B.解析： 是等号成立的条件.
（2）若为△ABC的三条边，且，则（ ）
A． B． C． D．
解：D．解析：，
又∵
∴。
（3）设x > 0, y > 0,, ， a 与b的大小关系（ ）
A．a >b B．a 解：B。解析：。
（4）b克盐水中，有a克盐（），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变咸了，
试根据这一事实提炼一个不等式 .
解： ．解析:由盐的浓度变大得．
例2. 已知a，b，x，y∈R+（a，b为常数），，求x＋y的最小值.
解： a＋b＋2
变式训练2：已知a，b，x，y∈R+（a，b为常数），a＋b＝10， ，若 x＋y的最小值为18，求a，b的值．
解：或．
例3. 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
解：证：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )
= a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)
= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
变式训练3：比较下列两个数的大小：
（1）
（2）；
（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明
解：（1）,（2）
（3）一般结论：若成立
证明 欲证成立
只需证
也就是 （）
从而（*）成立，故
例4. 甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．
(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.
(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？
解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)，故所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)v∈(0,c)
(2) ∵s、a、b、v∈R+，故s(＋bv)≥2s 当且仅当＝bv时取等号，此时v＝
若≤c即v＝时，全程运输成本最小．
若>c，则当v∈(0，c)时，
y＝s(＋bv)－s(＋bc)＝(c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0，且a>bc，故有a－bcv≥a－bc2>0
∴ s(＋bv)≥s(＋bc)，且仅当v＝c时取等号，即v＝c时全程运输成本最小．
变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：
第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比．
另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和．
假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元．
请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？
解：设投入的资金为万元，两种方法所能达到的计算能力为MIPS，
则．
把，代入上式得，又，
当时，代入上式得，
由≥得≥，即≥0，
解得≥900(万元)．
答：在投入费用为900万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。
1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．
2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．
第3课时 不等式证明（一）
1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．
(1)作差比较法，它的依据是：
它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．
(2) 作商比较法，它的依据是：若>0，>0，则
它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．
2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．
3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．
例1. 已知，求证：
证法1：
＝
＝
＝
∵>0，>0，
∴
即
证法2：
＝1＋
∴
故原命题成立，证毕．
变式训练1：已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.
求证：＞．
解：证法一：(作差比较法)
∵ －＝，
又＞且a、b∈R+，
∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.
∴＞0，即＞.
证法二：(分析法)
∵x、y、a、b∈R+，∴要证＞，
只需证明x(y+b)＞y(x+a)，即证xb＞ya.
由＞＞0，∴b＞a＞0. 又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.
例2. 已知a、b∈R+，求证：
证明：∵，因此要证明原不等式成立，则只要证
由于
所以
从而原不等式成立．
变式训练2：已知a、b、cR，求证：
证明：左边－右边
＝
∴
例3. 已知△ABC的外接圆半径R＝1，，、、是三角形的三边，令，．求证：
证明：
又∵ R＝1， ∴
∴
∴ 但的条件是，此时与已知矛盾．
∴
变式训练3：若为△ABC的三条边，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案:D．解析：，
又∵
∴。
例4. 设二次函数，方程的两个根、满足．
(1) 当x∈(0，x1)时，证明：x(2) 设函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称，证明：x0<．
证明：(1)由于、是方程的两个根，则 当时，有
∴ 又
∴ 即
又由
得
∵ 又
∴ ，
∴ 即
综上所述，．
(2) ∵
∴
变式训练4：设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，
求证：(1)a＞0且-2＜＜-1；
(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
证明：（1）因为，所以.
由条件，消去，得；
由条件，消去，得，.
故.
（2）抛物线的顶点坐标为，
在的两边乘以，得.
又因为而
所以方程在区间与内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.
1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．
2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．
3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．
4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．
第4课时 不等式证明（二）
证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．
反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．
换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．
放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．
判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．
例1. 已知f(x)＝x2＋px＋q，
(1) 求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2) 求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于．
证明: (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2
(2)用反证法。假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于，则｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜＜2，而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，出现矛盾.
∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于.
变式训练1：设，那么三个数、、 （ ）
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解:D
例2. （1） 已知x2＋y2＝1，求证:.
（2） 已知a、b∈R，且a2＋b2≤1，求证:.
证明:(1)设
∴
(其中)
∵
∴
(2)令(其中k2≤1),
则
≤
故原不等式成立.
变式训练2： 设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋c≥0时，c的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
解:A
例3. 若，求证：
证明：当时 即
故原不等式成立．
变式训练3：若f(n)＝－n，g(n)＝n－，(n)＝，则f (n)，g (n)，(n)的大小顺序为____________．
解:g(n)>φ(n)>f(n)
例4. 证明：．
证明：设，则(1－y)x2＋x＋1－y＝0
(1)当y≠1时，∵x∈R，∴△＝1－4(1－y)2≥0
得
(2)当y＝1时，由(1－y)x2＋x＋1－y＝0得x＝0
而x＝0是函数的定义域中的一个值；
∴y＝1是它值域中的一个值.
综合(1)和(2)可知，，
即．
变式训练4：设二次函数，若函数的图象与直线和均无公共点．
(1) 求证：
(2) 求证：对于一切实数恒有
证明：(1)由ax2＋(b－1)x＋c＝0无实根，得Δ1＝(b－1)2－4ac<0
由ax2＋(b＋1)x＋c＝0无实根
得Δ2＝(b＋1)2－4ac<0
两式相加得：4ac－b2>1
(2)∵4ac－b2>1>0，∴a(x＋)与同号，
∴｜ax＋bx＋c｜＝｜ a(x＋)2＋｜
＝｜a｜(x＋)＋≥>
1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．
2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．
3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．
4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．
第5课时 绝对值不等式的应用
1、有关绝对值不等式的主要性质：
① | x |＝
② | x |≥0
③ | |a|－|b||≤|a±b|≤| a |＋| b |
④| ab |＝ ，＝ (b≠0)
特别：ab≥0，|a＋b|＝ ，|a－b|＝ ．
ab≤0，|a－b|＝ ，|a＋b|＝ ．
2、最简绝对值不等式的解法．
① | f(x) |≥a ；
② | f(x) |≤a ；
③ a≤| f(x) |≤b ．
④ 对于类似a | f(x) |＋b| g(x) | > c的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解．
例1. 解不等式：| x2－3x－4|> x＋1
解 :{x｜x<－1或－1＜x＜3或x＞5}
变式训练1：若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切实数x都成立，则实 数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≤1 D．a≥1
解 :D
例2. 设f(x)＝x2－x＋b，| x－a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).
解：∵｜x－a｜＜1
∴｜f(x)－f(a)｜＝｜(x2－x＋b)－(a2－a＋b)｜
＝｜x－a｜｜x＋a－1｜＜｜x＋a－1｜＝｜(x－a)＋2a－1｜
≤｜x－a｜＋｜2a｜＋1＝2(｜ a ｜＋1)
变式训练2：若a、b∈R，α, β是方程x2＋a x＋b＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且| β |＜1．
解 :由韦达定理和绝对值不等式的性质可证得
例3. 已知f(x)＝，g(x)＝x＋a(a>0)，⑴ 当a＝4时，求的最小值；⑵ 若不等式>1对x∈[1, 4]恒成立，求a的取值范围．
解 : (1)a＝4时，最小值15；
(2)，x∈[1，4]恒成立．
等价变形后，只要a(t＋)＞2，t∈[1，2]恒成立
(t＝)
设h(t)＝a(t＋)，h'＝(t) a(1－)
当0＜t＜时，h'(t)＜0，h(t)单调递减；
当t＞时，h'(t)＞0，h(t)单调递增；
当t＝时，h'(t)＝0，h()为极小值；
这样对于t∈[1，2]有
① ＞2时，h(t)min＝h(2)＝a(2＋)＞2 a＞4
② 1≤≤2时，h(t)min＝h＝2a＞2
∴ 1＜a≤4
③ 0＜＜1时，h(t)min＝h(1)＝a(a＋1) ∴无解
综上知：a＞1
变式训练3：已知适合不等式| x2－4x＋p|＋| x－3 |≤5的x的最大值是3，求p的值．
解 :P＝8
例4. 设a、b∈R，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝cx2＋bx＋a，当｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤２
⑴ 求证：｜g(1)｜≤２；⑵ 求证：当｜x｜≤1时，| g(x)|≤4.
证明(1) ∵｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤2
｜g(1)｜＝｜c＋b＋a｜＝｜f (x)｜≤2
(2) 当｜x｜≤1时，
｜g(x)｜＝｜cx2＋bx＋a｜＝｜c(x2－1)＋bx＋a＋c｜
＝｜c(x2－1)｜＋｜bx＋a＋c｜
≤｜c｜＋｜a±b＋c｜≤2＋2＝4
变式训练4：(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：||＞1；
(2)求实数λ的取值范围，使不等式||＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a、b恒成立；
(3) 已知| a |＜1，若||＜1，求b的取值范围.
(1)证明：|1－ab|2－|a－b|2＝1+a2b2－a2－b2
＝(a2－1)(b2－1).
∵| a |＜1，| b |＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0.
∴|1－ab|2－|a－b|2＞0. ∴|1－ab|＞|a－b|，
＝＞1.
(2)解：∵||＞1|1－abλ|2－|aλ－b|2
＝(a2λ2－1)(b2－1)＞0.
∵b2＜1，∴a2λ2－1＜0对于任意满足| a |＜1的a恒成立.
当a＝0时，a2λ2－1＜0成立；
当a≠0时，要使λ2＜对于任意满足| a |＜1的a恒成立，而＞1，
∴ |λ|≤1. 故－1≤λ≤1.
(3)||＜1()2＜1
(a+b)2＜(1+ab)2a2+b2－1－a2b2＜0
(a2－1)(b2－1)＜0.
∵|a|＜1，∴a2＜1.∴1－b2＞0，即－1＜b＜1.
1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．
2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．
3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．
第6课时 含参数的不等式
含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．
例1. 已知A＝{x| 2ax2＋(2－ab)x－b>０}，B＝{x| x<－2或x>３}，其中b>0，若AB，求a、b的取值范围．
解:a≥且0＜b≤6
变式训练1：不等式的解集是{x| x<1或x>2}，则a＝ ．
解:a＝
例2. 已知关于x的不等式<0的解集为M，(1) 当a＝4时，求集合M；(2) 若3∈M且5M，求实数a的取值范围．
解: (1)M＝{x|x＜－2或＜x＜2}
(2)a∈[1，)∪(9，25
变式训练2：已知函数f (x)＝(a、b为常数)，且方程f (x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4．(1)求函数f (x)的解析式；
(2)设k＞1，解关于x的不等式f (x)＜．
解：(1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0 得：解得
所以f(x)＝(x≠2)
(2)不等式即为
可代为
即
①当1＜k＜2时，解集为x∈(1，k)∪(2，＋)
②当k＝2时，不等式为(x－2)2(x－1)＞0，解集为x∈(1，2)∪(2，＋)
③当k＞2时，解集为x∈(1，2)∪(k，＋)
例3. 若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围．
解: ＜x＜
变式训练3：若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ．
解:＜a＜
例4. 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解:a＝0时，x≤－1；a＞0时，x≤－1或x≥，－2＜a＜0时，≤x≤－1；a＝－2时，x＝－1；a＜－2时，－1≤x≤．
变式训练4：解关于x的不等式．
解：(1)当2a＋1＞0，即a＞－时，原不等式为(x＋4a)(x－6a)＞0
①当a＞0时，x∈(－，－4a)∪(6a，＋)
②当－＜a＜0时，x∈
③当a＝0时，x∈(－，0)∪(0，＋)
(2)当2a＋1＜0，即a＜－时，原不等式为(x＋4a)(x－6a) ∴x∈(6a，－4a)
综合以上，原不等式的解集为：
当a≥0时，解集为(－，－4a)∪(6a，＋)
当－＜a＜0时，解集为(－，6a)∪(－4a，＋)
当a＜－时，解集为(6a，－4a)
解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．
第7课时 不等式的应用
1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．
2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．
例1.若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围.
解:令t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋at＋a＋1＝0，变形得
变式训练1：已知方程sin2x－4sinx＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是 （ ）
A．[－3，6] B．[－2，6]
C．[－3，2] D．[－2，2]
解:B
例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k＞0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.
根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，
得b＝(0＜a＜30) ①
于是 y＝＝
≥
当a＋2＝时取等号，y达到最小值.
这时a＝6，a＝－10(舍去).
将a＝6代入①式得b＝3.
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.
由题设知 4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，
即 a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0).
因为 a＋2b≥2，
所以 +ab≤30，
当且仅当a＝2b时，上式取等号.
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18.
即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18.
所以2b2＝18.解得b＝3，a＝6.
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
变式训练2：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于()2千米，运完这批物资至少需要 （ ）
A．10小时 B．11小时
C．12小时 D．13小时
解:C
例3. 已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b＞c且a＋b＋c＝0.
（1） 求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.
（2） 设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：＜l＜2.
证明:(1)由a＋b＋c＝0得b＝－(a＋c).
Δ＝(2b)2－4ac＝4(a＋c)2－4ac
＝4(a2＋ac＋c2)＝4[(a＋)2＋c2]＞0.
故此函数图象与x轴交于相异的两点.
(2)∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0.
由a＞b得a＞－(a＋c)，∴＞－2.
由b＞c得－(a+c)＞c，∴＜－.
∴－2＜＜－. l＝|x1－x2|＝.
由二次函数的性质知l∈(，2)
变式训练3：设函数f(x)＝x2＋2bx＋c (c＜b＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．
(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；
(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负，并加以证明．
证明:(1)
又c＜b＜1，故
又方程f(x)＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根．
故△＝4b2－4(c－1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0c≥3或c≤－1
由由
(2)
f(m)＝－1＜0
∴c＜m＜1
c－4＜m－4＜－3＜c
∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0
∴f(m－4)的符号为正．
例4. 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．
⑴ 把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．
⑵ 为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
解:(1) y＝kv2，v∈(p，q]
(2) i) 2p≤q时，船的实际前进速度为p；
ii) 2p＞q时，船的实际前进速度为q－p．
变式训练4：某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？
解:设购卡x张，总费用y元．
y＝240(x＋)≥3840
x＝8时，ymin＝3840
3840÷48＝80(元)
答：每人最少交80元钱．
不等式的应用主要有两类：
⑴ 一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．
⑵ 一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．
不等式章节测试题
一、选择题
1. 关于x的不等式|x－1|>m的解集为R的充要条件是（ ）
A．m＜0 B．m≤－1
C．m≤0 D．m≤1
2. 若、是任意实数，且，则 （ ）
A． B．
C． D．
3． 若则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4． 欲证，只需证 （ ）
A．
B．
C．
D．
5. 设x1，x2是方程x2＋px＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ）
A．| x1 |＞2且| x1 |＝2 B．| x1＋x2|＞4
C．| x1＋x2|＜4 D．| x1 |＝４且| x2 |＝1
6. 对一切正整数n，不等式恒成立，则b的范围是 （ ）
A．(0, ) B．]
C．() D．(, 1)
7. 已知函数f (x)＝ ，则不等式f(x)＋2>0的解区间是 （ ）
A．(－2，2) B．(－∞, －2)∪(2, ＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞, －1)∪(1, ＋∞)
8. 在R上定义运算．若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（ ）
A．5 B．10
C．14 D．15
10.集合、，则是的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
二、填空题
11．若的取值范围是 .
12．若不等式的解集为{}，则 .
13．实数x满足，则的值为 .
14．已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边，若点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值是 ．
15．对a，b∈R，记max| a，b |＝ ，函数f(x)＝max| | x＋1 |，| x－2 | | (x∈R)的最小值是 ．
三、解答题
16. 若a、b、c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．
17．已知函数f(x)＝，x∈．
(1) 当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2) 若对任意x∈，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．
18．（理）解关于x的不等式
（文）解关于x的不等式：
19．设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋)，且对任意x、y∈R＋，f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(8)＝3，且当x＞1时，f(x)＞0．
(1)证明：函数f(x)在(0，＋)上单调递增；
(2)对一个各项均正的数列{an}满足f(Sn)＝f(an)＋f(an＋1)－1 (n∈N*)，其中Sn是数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式；
(3)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p、q，使不等式对n∈N*恒成立，求p、q的值．
20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：
1－）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3)．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a－1)，用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c (0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．
(1) 分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(2) 若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值对最少总用水量多少的影响．
21. 已知条件p：|5x－1|>a和条件，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
不等式章节测试题参考答案
1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.C 7.A 8.D 9.C 10. A 11. 12. －1 13. 8 14.4 15.
16. 证明：因为a、b、c都是正数，且a＋b＋c＝1，
所以
．
17. 解：(1)当a＝时，，易证f(x)在[1，＋)上单调递增．
∴当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝
(2)由f(x)＞0得
∵x∈[1，＋) ∴x2＋2x＋a＞0
∴a＞－(x2＋2x)，令t＝－(x2＋2x)，x∈[1，＋)
则t＝－(x2＋2x)＝1－(x＋1)2
∴当x＝1时，tmax＝1－(1＋1)2＝－3
∴a＞－3
18.(理)原不等式可化为：
① 当a>1时，原不等式的解集为
② 当时，原不等式的解集为
③ 当a＝1时，原不等式的解集为
④ 当时，原不等式的解集为
⑤ 当a＝0时，原不等式的解集为
⑥ 当时，原不等式的解集为
(文)原不等式可化为：
① 当时，原不等式的解集为
② 当时，原不等式的解集为
③ 当时，原不等式的解集为.
19. (Ⅰ)设0＜x1＜x2，则，从而有，所以函数f(x)在(0，＋)上单调递增；
(Ⅱ)因为f(8)＝3f(2)＝3f(2)＝1，所以有
，由此及函数f(x)在(0，＋)上单调递增得．
当n＝1时，；
当n≥2时，
，即数列{an}是首项a1＝1，公差d＝1的等并非数列，故an＝n；
(Ⅲ)设存在满足条件的正整数p、q，则当n＝1时，有
．
下面证明不等式对n∈N*恒成立．
事实上，因为
(n∈N*)，
所以
.
20. (1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，解得x＝19．
由c＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，解得y＝4a，故z＝4a＋3．即两种方案的用水量分别为19与4a＋3．因为当1≤a≤3时，x－z＝4(4－a)＞0，即x＞z，故方案乙的用水量较少．
(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(Ⅰ)得
于是x＋y＝
当a为定值时，
x＋y≥
当且仅当时等号成立．此时
将代入（*）式得
．
故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量是．T(a)＝－a＋．
考纲导读
实数的性质
不等式的性质
均值不等式
不等式的证明
解不等式
不等式的应用
比较法
综合法
分析法
反证法
换元法
放缩法
判别式法
一元一次不等式(组)
一元二次不等式
分式、高次不等式
含绝对值不等式
函数性质的讨论
方程根的分布
最值问题
实际应用问题
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简 易 逻 辑 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 逻辑联结词和四种命题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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一、逻辑联结词 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1． 可以 的语句叫做命题．命题由 两部分构成； ( http: / / www.21cnjy.com / )
命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．逻辑联结词有 ，不含 的命题是简单命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
由 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种： ，(其中p，q都是简单命题)． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的 当p与q都真时，p且q形式的复合命题 ，其他情形 ；当p与q都 时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、四种命题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题： 、否命题： 逆否命题： . ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．p:0＝；q:0∈ ( http: / / www.21cnjy.com / )
B．p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B； y＝sinx在第一象限是增函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
C．；不等式的解集为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
D．p：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x＝4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中， ( http: / / www.21cnjy.com / )
命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．命题p和命题q都是假命题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
B．命题p和命题q都是真命题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
C．命题p和命题“非q”真值不同 ( http: / / www.21cnjy.com / )
D．命题q和命题p的真值不同 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： D ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 若x2＋y2＝0，则x、y全为零. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）矩形的对角线互相平分且相等； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）相似三角形一定是全等三角形. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. ( http: / / www.21cnjy.com / )
原命题为真命题，否命题也为真命题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等” ( http: / / www.21cnjy.com / )
原命题是真命题，否命题是假命题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. ( http: / / www.21cnjy.com / )
原命题是假命题，否命题是真命题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围． ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：p：有两个不等的负根． ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
q：无实根． ( http: / / www.21cnjy.com / )
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(ⅰ) 当p真且q假时，有； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(ⅱ) 当p假且q真时，有． ( http: / / www.21cnjy.com / )
综合，得的取值范围是{或}． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 ： 由函数y=ax在R上单调递减知0则y=不等式x+|x-2a|>1的解集为R，只要ymin>1即可，而函数y在R上的最小值为2a，所以2a>1，即a>即q真a>若p真q假,则0例4. 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋．求证：a、b、c中至少有一个大于0． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：假设都不大于0，即 ，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )
而 ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
，． ( http: / / www.21cnjy.com / )
相矛盾．因此中至少有一个大于0． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：已知下列三个方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：设已知的三个方程都没有实根． ( http: / / www.21cnjy.com / )
则 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解得． ( http: / / www.21cnjy.com / )
故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－． ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．有关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾．用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 充要条件 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．充分条件：如果则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．必要条件：如果则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．充要条件：如果且则p叫做q的 条件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com / )
1． A：，B：方程有实根； ( http: / / www.21cnjy.com / )
2． A：，B：； ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．A：；B：； ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．A：圆与直线相切，B： ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1) 当，取，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出．所以A是B的必要非充分条件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)若则 ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以成立 ( http: / / www.21cnjy.com / )
若成立 取，知不一定成立， ( http: / / www.21cnjy.com / )
故A是B的充分不必要条件．
(3) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件．
(4) 直线与圆相切圆(0，0)到直线的距离，即＝＝.所以A是B的充要条件.
变式训练1：指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；
（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
（4）已知x、y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.
解： （1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.
(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.
(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,
所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.
例2. 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.
解：若方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1、x2．
则0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n
∴0＜－m＜2，0＜n＜1 ∴－2＜m＜0，0＜n＜1
∴p是q的必要条件．
又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设m＝－1，n＝．
则方程为x2－x＋＝0，∵△＝(－1)2－4×＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p是q的非充分条件．
综上所述，p是q的必要非充分条件．
变式训练2：证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明：充分性：若ac<0,则b2-4ac>0,且<0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则=b2-4ac>0,x1x2=<0,∴ac<0.
综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
例3. 已知p： |1－|≤2，q：:x2－2x+1－m2≤0(m>0)，若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
解： 由题意知：命题：若┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.
p: |1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10
q: x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0*
∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m>0)解集的子集.
又∵m>0，∴不等式*的解集为1－m≤x≤1＋m
∴，∴m≥9，
∴实数m的取值范围是［9，+∞
变式训练3：已知集合和集合，求a的一个取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.
解：，
由
所以是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.
例4. “函数y＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？
解：函数的图象全在轴上方，若是一次函数，则
若函数是二次函数，则：
反之若，由以上推导，函数的图象在轴上方，综上，充要条件是．
变式训练4：已知P＝{x | |x－1| | >2}，S＝{x | x2＋，的充要条件是，求实数的取值范围．
分析：的充要条件是，即任取，反过来，任取
据此可求得的值．
解：的充要条件是
∵P＝{x || x－1|＞2}}＝
S＝{x | x2＋(a＋1)x＋a＞0)}＝{x | (x＋a)(x＋1)＞0}
1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．
2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．
3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．
4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．
5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．
简易逻辑章节测试题
一、选择题
1．设集合的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的 （ ）
?A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
?C.充要条件? D.既不充分也不必要条件
3.（2009·合肥模拟）已知条件p：（x+1）2>4，条件q:x>a,且的充分而不必要条件，则a的取值范围是 （ ）
A.a≥1 B.a≤1 C.a≥-3? D.a≤-3
4.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 （ ）
? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）
7.(2008·浙江理，3)已知a,b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的 （ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.（2008·北京海淀模拟）若集合A={1，m2}，集合B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 ?D.既不充分也不必要条件
9.若数列{an}满足=p（p为正常数，n∈N*），则称{an}为“等方比数列”.
甲：数列{an}是等方比数列； 乙：数列{an}是等比数列，则 ( ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
10.命题p:若a、b R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=的定义域是，则 （ ）
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
二、填空题
11．已知数列，那么“对任意的n∈N*，点都在直线上”是“为等差数列”的 条件．
12.设集合A={5,log2（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B= .
13.已知条件p：|x+1|>2,条件q:5x-6>x2，则非p是非q的 条件.
14.不等式|x|15.已知下列四个命题： ①a是正数；②b是负数；③a+b是负数；④ab是非正数.
选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 .
三、解答题
16．设命题p：（4x-3）2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
17．求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.
18．设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0；q：实数x满足x2-x-6≤0，或x2+2x-8＞0，且 的必要不充分条件，求a的取值范围.
19．(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；
（2）是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围.
20．已知，设函数在R上单调递减，：不等式的解集为R，如果和有且仅有一个正确，求c的取值范围．
简易逻辑章节测试题答案
1．B
2.A?
3.A?
4.C?
5.B?
6.B?
7. D
8.A?
9.B?
10. D
11．充分而不必要条件
12.{1，2，5}
13.充分不必要
14.a≥1
15.若①③则②（或若①②则④或若①③则④）
16．解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.
由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴
故所求实数a的取值范围是［0，］.
17．解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a≠0，则方程至少有一个正根等价于
?或
或-10.
综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1.
方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0,
∴x=1满足条件；
若a≠0，∵Δ=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)
=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.
故而当方程没有正根时，应有解得a≤-1,
∴至少有一正根时应满足a>-1且a≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1.
18．解 设A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3aB={x|q}={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0}={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0}
={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}=
方法一 ∵的必要不充分条件,∴.
则而RB==RA=
∴
则综上可得-
方法二 由p是q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴AB，∴a≤-4或3a≥-2,又∵a<0, ∴a≤-4或-≤a<0.
19．解（1）当x>2或x<-1时，x2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-故-≤-1时，
“x<-”“x<-1”“x2-x-2>0”. ∴p≥4时，“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.
（2）不存在实数p满足题设要求.
20．解：函数在R上单调递减
不等式的解集为函数
，在R上恒大于1
函数在上的最小值为
不等式的解集为R
，如果p正确，且q不正确
则，如果p不正确，且q正确，则，所以c的取值范围为．
考纲导读
简易逻辑性
命题
逻 辑 联 结 词
简单命题与复合命题
四种命题及其关系
充分必要条件
知识网络
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基础过关
典型例题
小结归纳
基础过关
典型例题
归纳小结
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数系的扩充与复数的引入 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 复数的有关概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．复数：形如 的数叫做复数，其中a , b分别叫它的 和 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．分类：设复数： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 当 ＝0时，z为实数； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 当 0时，z为虚数； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 当 ＝0, 且 0时，z为纯虚数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等. ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．若z＝a＋bi, (a, bR), 则 | z |＝ ； z＝ . ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做 ， 叫虚轴． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．复数z＝a＋bi(a, bR)与复平面上的点 建立了一一对应的关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. m取何实数值时，复数z＝＋是实数？是纯虚数？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：① z是实数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
② z为纯虚数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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变式训练1：当m分别为何实数时，复数z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 已知x、y为共轭复数，且，求x． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：设代入由复数相等的概念可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：已知复数z=1＋i，如果=1－i,求实数a,b的值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
由z=1＋i得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
==（a＋2)－(a＋b)i ( http: / / www.21cnjy.com / )
从而，解得． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 若方程至少有一个实根，试求实数m的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：设实根为，代入利用复数相等的概念可得＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：若关于x 的方程x2＋(t2＋3t＋tx )i=0有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：t=－3,x1=0,x2=3i．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 复数满足，试求的最小值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
设，则， ( http: / / www.21cnjy.com / )
于是 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：已知复平面内的点A、B对应的复数分别是、，其中，设对应的复数为. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 求复数； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 若复数对应的点P在直线上，求的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 将代入 ( http: / / www.21cnjy.com / )
可得. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．设z＝a＋bi (a，bR)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 复数的代数形式及其运算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行： ( http: / / www.21cnjy.com / )
设，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) ＝ ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) ＝ ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) ＝ ( ). ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．几个重要的结论： ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ ＝ ＝ . ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ 若z为虚数，则＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．运算律 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ ＝ .
⑵ ＝ .
⑶ ＝ .
例1．计算：
解：提示：利用
原式＝0
变式训练1：求复数
（A） （B） （C） （D）
解： 故选C；
例2. 若，求
解：提示：利用
原式＝
变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝ ▲ ．
解：2
例3. 已知，问是否存在复数z，使其满足（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由
解：提示：设利用复数相等的概念有
变式训练3：若，其中是虚数单位，则a＋b＝__________
解：3
例4. 证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．
证明：原方程化简为
设 、y∈R，代入上述方程得
将（2）代入（1），整理得无实数解，∴原方程在复数范围内无解.
变式训练4：已知复数z1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R, 若<，求a的取值范围.
解：由题意得 z1＝＝2＋3i,
于是==,=.
由<，得a2－8a＋7<0，11．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.
2．记住一些常用的结果，如的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.
3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.
复数章节测试题
一、选择题
1．若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为 （ ）
A、-6 B、13 C. D.
2．定义运算，则符合条件的复数对应的点在（ ）
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限；
3．若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数（ ）
A.－4； B.4； C.－1； D.1；
4．复数=（ ）
A．－I B．I C． 2－i D．－2+i
6．若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数z满足，则z＝（ ）
(A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i
8．若复数，且为纯虚数，则实数为 ( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．0
9．如果复数的实部和虚部相等，则实数等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．若z是复数，且，则的一个值为 （ ）
A．1-2 B．1+2 C．2- D．2+
11．若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则=（ ）
A． B． C． D．
12．复数在复平面中所对应的点到原点的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
13．设，a，b∈R，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则使复数z2为纯虚数的概率为 ．
14．设i为虚数单位，则 ．
15．若复数z满足方程，则z= ．
16．．已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是 ．
17．复数z=,则|z|= ．
18．虚数（x－2）+ y其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（ ）
A．[－，] B．∪（
C．[－，] D．[－，0∪（0，
19．已知 (a>0)，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模.
20．．复平面内，点、分别对应复数、，且，，
，若可以与任意实数比较大小，求的值（O为坐标原点）.
复数章节测试题答案
一、选择题
1． A 2．答案：A 3．答案：B
4．答案：B
6．答案：A
7．A
8．B
9．B
10．B
11．D
12．B
二、填空题
13．
14．2i
15．
16．答案：
17．答案：
18． 答案：B ∵, 设k =,
则k为过圆（x－2）2 + y2 = 1上点及原点
的直线斜率，作图如下, k≤,
又∵y≠0 ,∴k≠0.由对称性 选B．
【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0，这一易错点.
【误区警示】本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬.
19．解：
20．解：依题意为实数，可得
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平面解析几何初步 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．会用二元一次不等式表示平面区域． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 直线的方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________． ( http: / / www.21cnjy.com / )
斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 ．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
斜截式
点斜式
两点式
截距式
一般式
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例1. 已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 当m＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m＝ 时，直线在x轴上的截距为1．③ 当m＝ 时，直线在y轴上的截距为－．④ 当m＝ 时，直线与x轴平行．⑤当m＝ 时，直线过原点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1) －1 ⑵ 2或－ ⑶ 或－2 ⑷－ ⑸ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1.（1）直线3y＋x＋2=0的倾斜角是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．60° C．120° D．150° ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．－3，4 B．2，－3 C．4，－3 D．4，3 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－，则l2的斜率是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．－ C． D．－ ( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）C．提示：用斜率计算公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）A．提示：两直线的斜率互为相反数． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：A、B、C三点在同一条直线上. ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明 方法一 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴A、B、C三点共线. ( http: / / www.21cnjy.com / )
方法二 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线. ( http: / / www.21cnjy.com / )
方法三 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴=（2，4），=（1，2），∴=2. ( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵与有公共点B，∴A、B、C三点共线. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2. 设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明 ∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1). ( http: / / www.21cnjy.com / )
试求：的最大值与最小值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB, ( http: / / www.21cnjy.com / )
由已知可得：A（1，1），B（-1，5）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴≤k≤8， ( http: / / www.21cnjy.com / )
故的最大值为8，最小值为. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3. 若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
?A. B. ?C. D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案?D? ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 已知定点P(6, 4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：Q点在l1: y＝4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为： ( http: / / www.21cnjy.com / )
令y＝0，得：x＝(x0>1)，∴ M(，0) ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ S△OQM＝··4x0＝10· ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝10·[(x0－1)＋＋2]≥40 ( http: / / www.21cnjy.com / )
当且仅当x0－1＝即x0＝2取等号，∴Q(2，8) ( http: / / www.21cnjy.com / )
PQ的方程为：，∴x＋y－10＝0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)当取最小值时，求直线l的方程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：设l：y－1＝k(x－2)(k＜0) ( http: / / www.21cnjy.com / )
则A(2－，0)，B(0，1－2k) ( http: / / www.21cnjy.com / )
①由S＝(1－2k)(2－)＝(4－4k－) ( http: / / www.21cnjy.com / )
≥＝4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
当且仅当－4k＝－，即k＝－时等号成立 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△AOB的面积最小值为4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
此时l的方程是x＋2y－4＝0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
②∵|MA|·|MB|＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝＝2≥4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
当且仅当－k＝－即k＝－1时等号成立 ( http: / / www.21cnjy.com / )
此时l的方程为x＋y－3＝0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（本题也可以先设截距式方程求解） ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 直线与直线的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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（一）平面内两条直线的位置关系有三种________． ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定 ( http: / / www.21cnjy.com / )
直线 ( http: / / www.21cnjy.com / )条件 ( http: / / www.21cnjy.com / )关系 l1：y＝k1x＋b1 ( http: / / www.21cnjy.com / )l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 ( http: / / www.21cnjy.com / )l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
重合
相交 ( http: / / www.21cnjy.com / )(垂直)
2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）点到直线的距离、直线与直线的距离 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0 的距离为______________．
2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为 ．
（三）两条直线的交角公式
若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则
1．直线l1到l2的角θ满足 ．
2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足 ．
（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．
（五）五种常用的直线系方程.
① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).
② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).
③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.
④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).
⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).
例1. 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
（1）试判断l1与l2是否平行；
（2）l1⊥l2时，求a的值.
解（1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,
l2:x=0,l1不平行于l2;
当a=0时，l1:y=-3,
l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;
当a≠1且a≠0时，两直线可化为
l1:y=--3,l2:y=-(a+1),
l1∥l2，解得a=-1,
综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.
方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，
由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0,
∴l1∥l2
a=-1,
故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.
（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,
l1与l2不垂直，故a=1不成立. 当a≠1时，l1:y=-x-3,
l2:y=-(a+1),
由·=-1a=.
方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.
变式训练1.若直线l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时，直线l1与l2分别相交？平行？垂直？重合？
解：当a=0时，直线l1斜率为0，l2斜率不存在，两直线显然垂直。
当a≠0时，分别将两直线均化为斜截式方程为：l1：y= － x+5，l2：y= － x+ 。
（1）当－ ≠ － ，即a≠±2时，两直线相交。
（2）当－ = － 且5≠ 时，即a=2且b≠10或a= －2且b≠－10时，两直线平行。
（3）由于方程(－ )(－ )= －1无解，故仅当a=0时，两直线垂直。
（4）当－ =－ 且5= 时，即a=2且b=10或a= －2且b=－10时，两直线重合.
例2. 已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为，求直线l的方程．
解：由解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l3的斜率为k3＝，l与l3的夹角为，所以直线l的斜率存在. 设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)．
则tan＝＝＝1
k＝或k＝－，故所求直线l的方程为y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0
变式训练2. 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？
解 如图所示，建立平面直角坐标系，
则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.
直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=.
设点P的坐标为（x,y），则P（x, ）(x＞200).
由经过两点的直线的斜率公式
kPC=,
kPB=.
由直线PC到直线PB的角的公式得
?tan∠BPC=
= (x＞200).
要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式
x+-288≥2-288,
当且仅当x=时上式取得等号.
故当x=320时，tan∠BPC最大.
这时，点P的纵坐标y为y==60.
由此实际问题知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.
例3. 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4, 2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上
设A1(x1，y1)则
得
即A1(4, －2)
由A1(4, －2)，B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0
又由 解得C(2, 4)
又可求得：kBC＝－3，kAC＝
∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形
变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。
解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。
（1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。
（2）若l1∥l2，则-1 = - ，a=1。
（3）若l1∥l3，则-1 = - a，a=1。
（4）若l2∥l3，则- = -a，a= ±1。）
例4. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使为最小，并求出这个最小值．
解：设点A关于直线l的对称点A'的坐标为(a，b)，则由AA ⊥l和AA 被l平分，
则解之得a＝3，b＝－3，∴A ＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A B|＝5
∵kA B＝＝－18
∴A B的方程为y＋3＝－18(x－3)
解方程组得P(，3)
变式训练4：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值．
解：设l的方程为y－1＝－m(x－1)，
则P（1＋，0），Q（0，1＋m）
从则直线PR：x－2y－＝0；
直线QS：x－2y＋2(m＋1)＝0 又PR∥QS
∴ | RS |＝＝
又| PR |＝，| QS |＝
而四边形PRSQ为直角梯形，
∴ SPRSQ＝×()×
＝(m＋＋)2－≥(2＋)2－
＝3.6
∴ 四边形PRSQ的面积的最小值为3.6．
1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．
2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．
3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．
4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4
第3课时 线性规划
1．二元一次不等式表示的平面区域．
⑴ 一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．
⑵ 对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x、y)使得Ax＋By＋C的值符号相同．因此，如果直线Ax＋By＋C＝0一侧的点使Ax＋By＋C>0，另一侧的点就使Ax＋By＋C<0，所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax＋By＋C＝0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．
⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．线性规划
⑴ 基本概念
名 称 意 义
线性约束条件 由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x、y的约束条件
目标函数 关于x、y的解析式如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2等
线性目标函数 关于x、y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件x、y的解（x，y）叫做可行解
可行域 所有可行解组成的集合叫做可行域
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
⑵ 用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
① 设出所求的未知数；② 列出约束条件(即不等式组)；③ 建立目标函数；④ 作出可行域和目标函数的等值线；⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性）
例1. 若△ABC的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC区域（含边界）表示的二元一次不等式组．
解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0
结合区域图易得不等式组为
变式训练1： △ABC的三个顶点为A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，则△ABC的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 ．
例2. 已知x、y满足约束条件 分别求：
⑴ z＝2x＋y
⑵ z＝4x－3y
⑶ z＝x2+y2的最大值、最小值？
解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分．
其中A(4，1)，
B(－1，－6)，
C(－3，2)
(1) 作与直线2x＋y＝0平行的直线l1：2x＋y＝t，则当l1经过点A时，t取最大，l1经过点B时，t取最小．
∴zmax＝9 zmin＝－13
(2) 作与直线4x－3y＝0平行的直线l2：4x－3y＝t，则当l2过点C时，t最小，l2过点B时，t最大．
∴zmax＝14 zmin＝－18
(3) 由z＝x2＋y2，则表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域．知点B到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为0．∴zmax＝37 zmin＝0
变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t＝ax－y，
(1) 若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值．
(2) 若当且仅当x＝，y＝时，目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围？
解：(1)由t＝ax－y得y＝ax－t
要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个，
则y＝ax－t与AC重合．
∴a＝kAC＝＝－
(2)由KAC < a< KBC 得－< a<－.
例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？
解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则：
即
则z＝6x＋10y作出可行域如图．
由
得
即M(350，100)
由图可知，当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350，100)时，z＝6x＋10y最大，即当x＝350，y＝100时，，z＝6x＋10y最大．
变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2和3m2，用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小．
解：设A种取x块，B种取y块，总用料为z m2，则
z＝2x＋3y (x、y∈N)
可行域如图：
最优解为A(5，5)，x＝5，y＝5时，zmin＝25，即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为25m2．
例4. 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？
设桌椅分别买x、y张，由题意得：
由
解得： ∴ 点A(，)
由 解得
∴ 点B(25，)
满足以上不等式组表示的区域是以A、B、O为顶点的△AOB及内部设x＋y＝z，即y＝－x＋z；当直线过点B时，即x＝25，y＝，z最大．∵ y∈z，∴y＝37
∴买桌子25张，椅子37张是最优选择．
变式训练4：A1、A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A1的煤运到B1、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到B1、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？
解：设A1运到B1 x万吨，A2运到B1 y万吨，总运费为z万元，则A1运到B2(8－x)万吨，A2运到B2(18－y)万吨，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y) ＝184－2x－y，x、y满足
可行域如图阴影部分．
当x＝8时，y＝12时，zmin＝156
即A1的8万吨煤全运到B1，A2运到12万吨运到B1，剩余6万吨运到B2，这时总运费最少为156万元．
1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：① 直线确定边界；② 特殊点确定区域．
2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法．
3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．
4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查.
第4课时 曲线与方程
、
1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．
2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．
例1. 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.
解 ：设点M的坐标为（x,y）,
∵M是线段AB的中点，
∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.
∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.
由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，
即x+2y-5=0.
∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.
变式训练1：已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||+ ·=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.
解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）,
?=（x-2,y）,
∵||||+·=0，
∴·+（x-2）·4+y·0=0，
两边平方，化简得y2=-8x.
例2. 在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 （ ）
?A.=1 (y≠0) B.=1 (x≠0)
?C.=1（y≠0）的左支 ? D.=1（y≠0)的右支
答案?D?
变式训练2：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|-|AC1|=|MA|，
|MC2|-|BC2|=|MB|.
因为|MA|=|MB|，
所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1).
例3. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），
则在Rt△ABP中，
|AR|=|PR|，
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有
?Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.
又|AR|=|PR|=，
所以有（x1-4）2+=36-（）.
即-4x1-10=0.
因为R为PQ的中点，
所以x1=，y1=.
代入方程-4x1-10=0，得
·-10=0.
整理得x2+y2=56.
这就是Q点的轨迹方程.
变式训练3：设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P
在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.
解 设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），
由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），
∴即
∵⊥,=(x0,-y0), =(1,-y0),
∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0.
∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．
2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．
3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．
第5课时 圆的方程
1． 圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为 ，半径r＝ ．
3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是 ．
4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．
5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为 ．
例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．
(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．
解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0
由 解得
∴圆心为C(7，－3)，半径r＝
故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
将P、Q两点坐标代入得
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0
由弦长|x1－x2|＝6得D2－4F＝36 ③
解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．
由A（2，－3），B（－2，－5），得直线AB的斜率为kAB= = ,
线段AB的中点为（0，－4），线段AB的中垂线方程为y＋4=－2x,即y＋2x ＋4=0,
解方程组得
∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r==
所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2)2=10
例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.
解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
得5y2-20y+12+m=0.
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：
y1+y2=4,y1y2=
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.
∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=.
方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，∴.
∴O1M的方程为:y-3=2,
即：y=2x+4.
由方程组
解得M的坐标为（-1，2）.
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.
在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.
∴(3-2)2+5=
∴m=3.∴半径为,圆心为.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
∴m-3=0，即m=3.
∴圆的方程可化为
x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0
即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.
∴圆心M，又圆在PQ上.
∴-+2（3-）-3=0，
∴=1，∴m=3.
∴圆心为，半径为.
变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.
（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.
两方程联立，解得交点为（3，1），
又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,
∴点（3，1）在圆内部，
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.
（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得
|AB|=2=
此时，kt=-,从而kt=-=2.
∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
例3. 知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.
（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为
d=.
∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为
d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.
（2）设t=x-2y,
则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.
∴≤1.∴--2≤t≤-2，
∴tmax=-2，tmin=-2-.
（3）设k=，
则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，
∴≤1.∴≤k≤,
∴kmax=，kmin=.
变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求x2+y2的最大值和最小值.
解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2±.
所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.
（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为=2，
所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，
x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.
例4. 设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。
解法一设圆的圆心为P（a,b),半径为r，则点P到x轴y轴的距离分别为∣b∣、∣a∣。
由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2．
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2＋1,从而得2b2=a2＋1．
点P到直线x－2y=0的距离为d=,
∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab= 2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋1≥1
当且仅当a=b时取等号，此时，5d2=1, d取得最小值．
由a=b及2b2=a2＋1得，进而得r2=2
所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2
解法二同解法一，得d=，所以a－2b= ±d
a2=4b2±4bd＋5d2,将a2=2b2－1代入整理得2b2±4bd＋5d2＋1=0 （※）
把（※）看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故△≥0即
8（5d2－1)≥0, 5d2≥1可见5d2有最小值1，从而d有最小值 eq \f(,5) ，将其代入（※）式得2b2±4b＋2=0, b= ±1, r2=2b2=2, a2=2b2－1=1, a= ±1
由∣a－2b∣=1知a、b同号
故所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2
变式训练4：如图，图O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
解：以O1、O2的中点为原点，O1O2所在的直线为x轴，
建立平面直角坐标系，则O1(－2, 0)、O2(2, 0)．如图：
由PM＝PN得PM2＝2PN2
∴ PO12－1＝2(PO22－1)，设P(x，y)
∴ (x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]
即(x－6)2＋y2＝33为所求点P的轨迹方程．
1．本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程．
2．求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；
若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；
若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程．
3．求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算．
4．运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便．
5．点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.
第6课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切d＝r△＝0
相交
相离
2．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：
外离d > R＋r
外切
相交
内切
内含
3. 圆的切线方程
① 圆x2＋y2＝r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l: .
② 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点p(x0, y0)处的切线方程为l : .
③ 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点p(x0, y0)处的切线方程为 .
例1. 过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
⑴ 求过点P的圆的切线方程．
⑵ 若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．
解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4)
即kx－y+2－4k＝0 ①
则d＝
∴＝ 解得k＝1或k＝
∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0
(2) 设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1: x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２
因为点(4，2)在l1和l2上．
则有4 x1＋2y1＝2 4x2＋2y2＝2
这表明两点都在直线4x＋2y＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x＋y－1＝0即为所求
变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C：，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是( )
A.k∈R ?Ｂ.k＜? Ｃ.? D.
（2）设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时，r的取值范围是 （ ）
A．（0，－1） B．（0，1] C．（0，2－] D．（0，]
（3）若实数x、y满足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值为( )
A.? Ｂ. Ｃ. ?Ｄ.
（4）过点M且被圆截得弦长为8的直线的方程为 ．
（5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程是 .
解：（1）D．提示：P在圆外．
（2）C．提示：两圆内切或内含．
（3）D．提示：从纯代数角度看，设t=,则y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范围。从数形结合角度看，是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界．
（4）．提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率．
（5）.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得．
例2. 求经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝5
∴圆心C(－1，3)，直线BC的方程为：
x＋2y－5＝0 ①
又线段AB的中点D(，)，kAB＝－1
∴线段AB的垂直平分线方程为：
y－＝x－即x－y－2＝0 ②
联立①②解得x＝3，y＝1
∴所求圆的圆心为E(3，1)，半径|BE|＝
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5
变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程．
解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
∵圆与坐标轴相切，
∴a=±b,r=｜a｜
又∵圆心(a,b)在直线5x-3y=8上.
∴5a-3b=8,
由
得
∴所求圆的方程为：
（x-4)2+(y-4)2=16
或(x-1)2+(y+1)2＝1．
例3. 已知直线l：y＝k(x＋2)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，O为坐标原点．△AOB的面积为S．
⑴ 试将S表示为k的函数S(k)，并求出它的定义域．
⑵ 求S(k)的最大值，并求出此时的k值．
解：(1)圆心O到AB的距离d＝
由d<2－1< k <1
|AB|＝4 S(k)＝4
(2) 解法一：据(1)令1＋k2＝t k2＝t－1(1< t <2)
S＝4＝4
≤4·＝2
当＝即k＝时，等号成立．∴k＝±为所求．
解法二：
△ABD的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB＝2sin∠AOB
∴当∠AOB＝90°时，S可取最大值2，此时，设AB的中点为C．
则OC＝|OA|＝
由O到直线的距离为|OC|＝
得＝，k＝±
变式训练3：点P在直线上，PA、PB与圆相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值．．
答案：8。
提示：四边形可以分成两个全等的直角三角形，要面积最小，只要切线长最小，亦即P到圆心距离要最小．
例4. 已知圆C方程为：，直线l的方程为：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0．
（1）证明：无论m取何值，直线l与圆C恒有两个公共点。
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值．
提示：（1）用点到直线的距离公式，证明r2－d2＞0恒成立．
（2）求（1）中r2－d2的最小值，得直线l被圆C截得的线段的最短长度为4，此时的m值为－ ．
变式训练4：已知圆系，其中a≠1,且a∈R,则该圆系恒过定点 ．
答案：（1，1）．
提示：将a取两个特殊值，得两个圆的方程，求其交点，必为所求的定点，故求出交点坐标后，只须再验证即可。另一方面，我们将方程按字母a重新整理，要使得原方程对任意a都成立，只须a的系数及式中不含a的部分同时为零．
1．处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问题，有代数法和几何法两种方法，但用几何法往往较简便．
2．圆的弦长公式l＝2(R表示圆的半径，d表示弦心距)利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l＝要方便．
3．为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的方法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中也常常用到．
解析几何初步章节测试题
一、选择题
1． 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为（ ）
A． B． C． D．1
2． 如果把圆C：x2＋y2＝1沿向量平移到圆C ，且C 与直线3x－4y＝0相切，则m的值为（ ）
A．2或－ B．2或 C．－2或 D．－2或－
3． 如果直线沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 （ ）
A．－ B．－3 C． D．3
4． 已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为 （ ）
A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
5． 如果直线l1、l2的斜率为k1、k2，二直线的夹角为θ，若k1、k2分别为二次方程x2－4x＋1＝0的两根，那么θ为 （ ）
A． B． C． D．
6． 若圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2上有且仅有两个点到直线4x＋3y－11＝0的距离相等，则半径R的取值范围是 （ ）
A．R＞1 B．07． 已知x，y满足不等式组 ，则t＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．
8． （06湖南卷）若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
9． 已知圆C：，那么直线l：y＝kx与圆的位置关系是 （ ）
A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定
10．如果直线y＝ax＋2与直线y＝3x－b关于直线y＝x对称，那么 （ ）
A．a＝，b＝6 B．a＝，b＝－6 C．a＝3，b＝－2 D．a＝3，b＝6
二、填空题
11．“关于实数k的方程x2＋y2＋4kx－2y－k＝0的图形是圆”的充分且必要条件是 ．
12．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且，则a＝ ．
13．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m，n)重合，则m＋n的值是 ．
14．圆心在y轴上，且与直线x＋y－3＝0及x－y－1＝0都相切的圆的方程为 ．
15．在圆x2＋y2－5x＝0内，过点(，) 有n条长度成等差数列的弦， 最小弦为a1最大弦为an若公差d∈[，]，那么n的取值集合是 ．
三、解答题
16．直线l被两条平行直线l1：x＋2y－1＝0及l2：x＋2y－3＝0所截线段的中点在直线x－y－1＝0上，且l到直线x＋2y－3＝0的角为45°，求直线l的方程．
17．直线l过点（1，1）交x轴、y轴的正半轴分别于点A、B，由A、B作直线2x＋y＋3＝0的垂线，垂足分别为C、D，当|CD|最小时，求l的方程．
18．已知圆x2＋y2＝9的内接△ABC中， A点的坐标是(－3，0)，重心G的坐标是(－，－1)求：
(1) 直线BC的方程；
(2) 弦BC的长度．
19．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表，每张钢板的面积为：第一种1m2，第二种2m2，今需要A、B、C三种规格的成品分别为12、15、17块，问分别截这两种钢板多少张可得符合上面要求的三种规格产品，且使所用钢板总面积最小？
规格类型钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 1 1 3
20．已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB＝2，OT＝t（0⑴ 写出直线A'B'的方程．
⑵ 计算出点P、Q的坐标．
⑶ 证明：由点P发出的光线入射点为T，经AB反射后，反射光线通过点Q．
21．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程，若不存在说明理由．
解析几何初步章节测试题答案
1. B 2. A 3. A 4. A 5. A 6.C 7. B 8. B 9.B 10. A 11. k∈R 12. 0
13 14. x2＋(y－1)2＝2 15. {4, 5, 6, 7}
16．解：设直线l与x－y－1＝0的交点为P，x－y－1＝0与l1相交于点A，与l2相交于点B，则A(1，0)，B(，)
∵l1∥l2 ∴P点也是线段AB的中点
∴P(，)
又设l的斜率为k．
由已知tan45°＝ ∴k＝－3
∴l的方程为y＝＝－3(x－)
即9x＋3y－13＝0
17．解：过B作CA的垂线交直线CA于点H，则|CD|＝|BH|
设A(a，0)，B(0，b)，则a>1，b>1．
直线AC的方程为：y＝(x－a) 即x－2y－a＝0
∴ |BH|＝ ∵ (1, 1)在AB上
∴ ＋＝1
∴ |CD|＝＝(a＋2b)(＋)
＝(3＋＋)
∴ |CD|≥(3＋2)＝
当a2＝2b2且a＋b＝ab即a＝1＋，b＝时
|CD|有最小值
此时直线l的方程为：＝1
18．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)连AG交BC于M，则M为BC的中点．
由三角形重心公式得
∴M的坐标为
连结OM，则OM⊥BC，又kOM＝－2
∴kBC＝
∴BC的方程为y＋＝(x－)
即4x－8y－15＝0
(2)连结OB，在Rt△OBM中
|BC|＝2|BM|＝
又∵|OM|＝，∴|BC|＝
19．解：设第一种钢板x张，第二种钢板y张，使用钢板面积为zm2约束条件为：
目标函数为z＝x＋2y，作出一组平行直线x＋2y＝t中，经过可行域内的点，且与原点距离最近的直线，此直线过x＋y＝12，x＋3y＝17的交点为A(，)，此时，z＝x＋2y＝14.5，而最优解（x，y）为整数，作直线x＋2y＝15，可求得它与x＋y=12，x＋3y＝17的交点为(9，3)(11，2)那么在9≤x≤11之间，把x＝9、10、11分别代入x＋2y＝15得整数的点有(9，3)(11，2)
∴ (9，3)，(11，2)为最优解
故有两种截法，第一种截法是截第一种钢板9张，第二种钢板3张；第二种截法是截第一种钢板11张，第二种钢板2张．
20．( 1 ) 直线A'B'的方程为y＝－tx＋1
(2) 由方程组 解得P(0，1)
Q()
(3) kPT＝－ kQT＝
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经过点T反射，反射光线通过点Q．
21．解：假设存在这样的直线，设为y＝x＋b，它与圆C的交点A(x1，y1)、B(x2，y2)．由x2＋y2－2x＋4y－4＝0化为：(x－1)2＋(y＋2)2＝9
∴ 圆C的圆心坐标为(1，－2)半径为3．
由题意可得OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1
从而得：x1x2＋y1y2＝0
联立
得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0
∴ x1x2＝
同理，可求得：y1y2＝
从而＋＝0
即b2＋3b－4＝0解得：b＝1或－4
∴ 这样的直线存在方程为：y＝x－4或y＝x＋1
考纲导读
简单的线性规划
直线的倾斜角和斜率
直线方程的四种形式
两条直线的位置关系
直 线
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圆的一般方程
圆的参数方程
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C( , )
B(0,1)
y
x
y
(0,800)
M
(350,100)
(0,200)
O
A
x
y
l
O
5
15
x
y
A(8, 12)
l1
O
10
20
18
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O1
O2
N
M
P
O
x
y
－2
2
O1
O2
N
M
P
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P2
P1
P(4，2)
x
y
O
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y
x
A'
B'
B
A
Q
P
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算法初步 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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算法的含义、程序框图 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）了解算法的含义，了解算法的思想。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础。算法初步虽然是新课标增加的内容，但与前面的知识有着密切的联系，并且与实际问题的联系也非常密切。因此，在高考中算法初步知识将与函数、数列、三角、概率、实际问题等知识点进行整合，是高考试题命制的新“靓”点。这样试题就遵循了“在知识网络交汇处设计试题”的命制原则，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点。这样做，可以从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，可以揭示数学各知识之间得到的内在联系，可以使考查达到必要的深度。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
考查形式与特点是： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）选择题、填空题主要考查算法的含义、流程图、基本算法语句等内容，一般在每份试卷中有1～2题，多为中档题出现。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)在解答题中可通过让学生读程序框图去解决其它问题，此类试题往往是与数列题结合在一起，具有一定的综合性，可以考查学生的识图能力及对数列知识的掌握情况. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 算法的含义 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．算法的概念:对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．算法的特性:（1）有限性 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）确定性 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1.给出求1+2+3+4+5的一个算法。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：算法1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第一步：计算1+2，得到3 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15 ( http: / / www.21cnjy.com / )
算法2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第一步：取n=5 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：计算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第三步：输出运算结果 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1.写出求的一个算法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：第一步：使，； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：使； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第三步：使； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第四步：使； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第五步：使； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第六步：如果，则返回第三步，否则输出． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 给出一个判断点P是否在直线y=x-1上的一个算法。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：第一步：将点P的坐标带入直线y=x-1的解析式 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：若等式成立，则输出点P在直线y=x-1上 ( http: / / www.21cnjy.com / )
若等式不成立，则输出点P不在直线y=x-1上 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2.任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断. ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：算法：第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数；若n＞2，则执行第二步. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：依次从2~（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数.若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 解二元一次方程组： ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：第一步：② - ①×2，得： 5y=3； ③ ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：解③得 ； 第三步：将代入①，得 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3.设计一个算法，使得从10个确定且互不相等的数中挑选出最大的一个数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：算法1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第一步：假定这10个数中第一个是“最大值”； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：将下一个数与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，那么就用这个数取代“最大值”，否则就取“最大值”； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第三步：再重复第二步。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第四步：在这十个数中一直取到没有可以取的数为止，此时的“最大值”就是十个数中的最大值。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
算法2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
第一步：把10个数分成5组，每组两个数，同组的两个数比较大小，取其中的较大值； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：将所得的5个较大值按2，2，1分组，有两个数的组组内比较大小，一个数的组不变； ( http: / / www.21cnjy.com / )
第三步：从剩下的3个数中任意取两个数比较大小，取其中较大值，并将此较大值与另一个数比较，此时的较大值就是十个数中的最大值。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 用二分法设计一个求方程的近似根的算法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：该算法实质是求的近似值的一个最基本的方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法： ( http: / / www.21cnjy.com / )
第一步：令.因为，所以设x1=1，x2=2. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第二步：令，判断f（m）是否为0.若是，则m为所求；若否，则继续判断大于0还是小于0. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第三步：若，则x1=m；否则，令x2=m. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第四步：判断是否成立？若是，则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4.一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：算法或步骤如下： ( http: / / www.21cnjy.com / )
S1 人带两只狼过河； ( http: / / www.21cnjy.com / )
S2 人自己返回； ( http: / / www.21cnjy.com / )
S3 人带一只羚羊过河； ( http: / / www.21cnjy.com / )
S4 人带两只狼返回； ( http: / / www.21cnjy.com / )
S5 人带两只羚羊过河； ( http: / / www.21cnjy.com / )
S6 人自己返回； ( http: / / www.21cnjy.com / )
S7 人带两只狼过河； ( http: / / www.21cnjy.com / )
S8 人自己返回； ( http: / / www.21cnjy.com / )
S9 人带一只狼过河． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 程序框图 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框 名称 功能
( http: / / www.21cnjy.com / ) 起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。
( http: / / www.21cnjy.com / ) 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
( http: / / www.21cnjy.com / ) 处理框 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
( http: / / www.21cnjy.com / ) 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： ( http: / / www.21cnjy.com / )
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构 ( http: / / www.21cnjy.com / )
顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 ( http: / / www.21cnjy.com / )
下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B ( http: / / www.21cnjy.com / )
框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执 ( http: / / www.21cnjy.com / )
行B框所指定的操作. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 如果学生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”.用程序框图表示这一算法过程. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解: ( http: / / www.21cnjy.com / )
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变式训练1：画出解不等式ax+b>0（b≠0）的程序框图. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例2. 设计一个计算1+2+3+…+100的值的
算法,并画出相应的程序框图.(要求用循环结构)
解： 第一步:设i的值为1;
第二步:设sum的值为0;
第三步:如果i≤100执行第四步,
否则转去执行第七步;
第四步:计算sum＋i并将结果代替sum;
第五步:计算i＋1并将结果代替i;
第六步:转去执行第三步;
第七步:输出sum的值并结束算法.
变式训练2：阅读右面的流程图，
输出max的含义是___________________________。
解： 求a,b,c中的最大值
例3. 某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费
用根据下列方法计算：
f=
其中（单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量
（单位：千克），试写出一个计算费用算法，并画出相应的程序框图.
解：算法：
第一步：输入物品重量ω；
第二步：如果ω≤50，那么f =0.53ω，否则，f = 50×0.53+（ω－50）×0.85；
第三步：输出物品重量ω和托运费f.
相应的程序框图.
变式训练3：程序框图如下图所示，则该程序框图表示的算法的功能是
解：:求使成立的最小正整数n的值加2。
例4．下面是计算应纳税所得额的算法过程，
其算法如下：
S1 输入工资x(x<=5000);
S2 如果x<=800,那么y=0;
如果800否则 y=25+0.1(x-1300)
S3 输出税款y,结束。
请写出该算法的流程图.
解：流程图如上右。
变式训练4：下面是求解一元二次方程的流程图，根据题意填写：
（1） ；（2） ；（3） 。
解：（1）（2）（3）输出
第3课时 基本算法语句
输入语句
（1）输入语句的一般格式
（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
输出语句
（1）输出语句的一般格式
（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
赋值语句
（1）赋值语句的一般格式
（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。
条件语句：1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF—THEN—ELSE语句；（2）IF—THEN语句。2、IF—THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。
图1 图2
WHILE语句
（1）WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是
（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
例1. 用描点法作函数的图象时，需要求出自变量和函数的一组对应值，编写程序，分别计算当x=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5时函数值。
解:程序：INPUT“x=”;x
PRINT x
PRINT y
END
变式训练1：编写程序，计算一个学生数学，语文，英语三门课的平均成绩。
解：程序：INPUT“Maths=” ;a
INPUT“Chjinese=” ;b
INPUT“English=” ;c
PRINT “The average=”;(a+b+c)/3
END
例2. 儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则不需买票；若身高超过1.1 m但不超过1.4 m，则需买半票；若身高超过1.4 m，则需买全票.试设计一个买票的算法，并画出相应的程序框图及程序。
解：是否买票，买何种票，都是以身高作为条件进行判断的，此处形成条件结构嵌套. 程序框图是：
程序是：
INPUT “请输入身高h（米）：”；h
IF h<=1.1 THEN
PRINT “免票”
ELSE
IF h<=1.4 THEN
PRINT “买半票”
ELSE
PRINT “买全票”
END IF
END IF
END
变式训练2：若输入8时，则下图程序执行后输出的结果是
解：0.7
例3. 上图程序运行后输出的结果为 ( )
A. 50 B. 5 C. 25 D. 0
解：D.
变式训练3：上图程序运行后的输出结果为 ( )
A.17 B.19 C.21 D.23
解：C.
例4．意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.
解: 分析: 根据题意可知,第一个月有1对小兔,第二个月有1对成年兔子,第三个月有两对兔子,从第三个月开始,每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和,设第N个月有两F对兔子,第N－1个月有S对兔子,第N－2个月有Q对兔子,则有F=S+Q,一个月后,即第N+1个月时,式中变量S的新值应变第N个月兔子的对数(F的旧值),变量Q的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S的旧值),这样,用S+Q求出变量F的新值就是N+1个月兔子的数,依此类推,可以得到一个数序列,数序列的第12项就是年底应有兔子对数,我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1,以此为基准,构造一个循环程序,让表示“第×个月的I从3逐次增加1,一直变化到12,最后一次循环得到的F”就是
变式训练4：写出已知函数 输入的值，求y的值程序.
解：INPUT “请输入x的值：”；x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE
y=－1
END IF
END IF
PRINT “y的值为：”；y
END
算法语言单元测验题
一、选择题
1．我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组解，二分法求函数零点等．对算法的描述有①对一类问题都有效；②对个别问题有效；③计算可以一步步地进行，每一步都有惟一的结果；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．以上正确描述算法的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．右面程序的输出结果为（ ）程序：
A. 3，4 B. 7，7
C. 7，8 D. 7，11
3．算法
S1 m=a
S2 若bS3 若cS4 若dS5 输出m，则输出m表示 ( )
A．a，b，c，d中最大值
B．a，b，c，d中最小值
C．将a，b，c，d由小到大排序
D．将a，b，c，d由大到小排序
4．算法:
S1 输入n
S2 判断n是否是2，若n=2，则n满足条件，若n>2，则执行S3
s3 依次从2到n一1检验能不能整除n，若不能整除n,则输出n。
满足上述条件的是 ( )
A．质数 B．奇数 C．偶数 D.约数
5.右图输出的是
A．2005 B．65 C．64 D．63
6．给出以下算法：
S1 i=3，S=0
S2 i=i+2
S3 S=S+i
S4 S≥2009？如果S≥2009，执行S5；否则执行S2
S5 输出i
S6 结束
则算法完成后，输出的i的值等于 。
7．将两个数A＝9，B＝15交换使得A＝15，B＝9下列语句正确的一组是（ ）
A. B. C. D.
8．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．读程序
甲：INPUT i=1 乙：INPUT I=1000
S=0 S=0
WHILE i≤1000 DO
S=S+i S=S+i
i=i+l I=i一1
WEND Loop UNTIL i<1
PRINT S PRINT S
END END
对甲乙两程序和输出结果判断正确的是 ( )
A．程序不同结果不同 B.程序不同，结果相同 C．程序相同结果不同 D．程序同，结果同
10．阅读右边的程序框图，若输入的n是100，
则输出的变量S和T的值依次是( )
A．2500，2500 B．2550，2550
C．2500，2550 D．2550，2500
二、填空题
11．上图程序框图可用来估计π的值(假设函数CONRND(－1，1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1，1)内的任何一个实数)。如果输入1000，输出的结果为788，则运用此方法估计的π的近似值为 (保留四位有效数字)。
12．给出以下算法：
S1 i=3，S=0
S2 i=i+2
S3 S=S+i
S4 S≥2009？如果S≥2009，执行S5；否则执行S2
S5 输出i
S6 结束
则算法完成后，输出的i的值等于 。
13．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是 。
14．下面程序输出的n的值是______________.
三、解答题
15．某市公用电话（市话）的收费标准为：分钟之内（包括分钟）收取元；超过分钟部分按元/分钟加收费。设计一个程序，根据通话时间计算话费
16．写出求m=60和n=33的最大公约数的算法和程序框图．
17．有10个互不相等的数，写出找出其中一个最大数的算法和程序
18．假定在银行中存款10000元，按11．25％的利率，一年后连本带息将变为11125元，若将此款继续存人银行，试问多长时间就会连本带利翻一番 请用直到型和当型两种语句写出程序．
19．.用循环语句描述1++++…+.
20.目前高中毕业会考中，成绩在85～100为“A”,70～84为“B”,60～69为“C”,60分以下为“D”.编制程序，输入学生的考试成绩(百分制，若有小数则四舍五入)，输出相应的等级.
算法语言测试题答案
一、选择题
1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．解析：根据算法可知，i的值in构成一个等差数列{in}，S的值是数列{in}相应的前n项的和，且i1=5，d=2，所以in=2n+1。又S≥2009，所以n≥43，故in=89，所以输出的i的值为89。7．B 8．B 把赋给变量，把赋给变量，把赋给变量，把赋给变量，输出
9．B 10．解析：由程序框图知，S=100+98+96+……+2=2550
T=99+97+95+……+1=2500，选D
点评：该题主要考查算法流程图、等差数列求和等基础知识，以及算法思想、数据处理能力、语言转换能力。本题采用直到型循环语句描述算法，解题的关键是循环体中两个n=n－1的理解，明确循环一次后n的值就减少了2。
二、填空题
11．解析：本题转化为用几何概型求概率的问题。根据程序框图知，如果点在圆x2+y2=1内，m就相加一次；现N输入1000，m起始值为0。输出结果为788，说明m相加了788次，也就是说有788个点在圆x2+y2=1内。设圆的面积为S1，正方形的面积为S2，则概率P==
∴π=4p=4×≈3.152
点评：本题是算法框图与几何概型的整合，融合自然，具有创新性，有力地考查了基础知识和逻辑思维能力，同时又能体会到求无理数近似值的一种算法，可培养学生用数学的意识。
12．解析：根据算法可知，i的值in构成一个等差数列{in}，S的值是数列{in}相应的前n项的和，且i1=5，d=2，所以in=2n+1。又S≥2009，所以n≥43，故in=89，所以输出的i的值为89。
13．解析：由循环体可知，当sum=1时，s=0+；当sum=2时，s=+=，……，当sum=4时，s=+=，因此，判断框中应填：“i<5 ”或“sum<4？”
点评：本题设计角度比较新颖，具有探索性，同时答案又具开放性。此题融算法、数列求和于一体，虽属常规题，但由于问法不同，有力考查学生对数列、框图等知识的掌握情况以及分析问题和解决问题的能力
14．3
三、解答题
15．解：
16．【解法一】
S1：以n 除m，得余数r=27
S2：判断r是否为零，若r=0，则n为解，若r≠0，则重复S3操作(r=27)
S3：以n作为新的m(33)，以r作为新的，l(27)，求新的m／n的余数r=6
S4：判断r是否为零，若r=O，则前一个n即为解，否则要继续S5操作
S5：以n 作为新的m(即m=27)，以r作为新的n(即n=6)，求新的余数r=3
S6：判断上一个r 是否为零，若r=O，则前一个n即为解，否则要执行S7操作
S7：以n作为新的m(m =6)，r作为新的n(n=3)，求新的r= O
S8：判断r是否为零，这里r=O，算法结束，得，n=3是60与33的最大公约数程序框图略
【解法二】
S1：输入60，33，将m=60，n=33
S2：求m／n余数r
S3：若r=0，则n就是所求最大公约，输出n，若r≠O，执行下一步
S4：使n 作为新的m，使r作为新的n，执行S2
程序框图(当型)
【解法三】
S1：令m=60，n=33
S2：重复执行下面序列，直到求得r=0为止
S3：求m／n的余数r
S4：令m=n，n=r
S5：输出m
(直到型)
17．【解】(一)算法
S1：输入一个数，放在MAX中
S2：i=1
S3：输入第1个数，放入x中
S4：若x>MAX，则MAX=z
S5: i=i+1
S6：若i≤9，返回S3继续执行，否则停．
(二)程序框图
18．【解】
19．解:算法分析:
第一步是选择一个变量S表示和，并赋给初值0,再选取一个循环变量i，并赋值为0；
第二步开始进入WHILE循环语句，首先判断i是否小于9；
第三步为循环表达式(循环体),用WEND来控制循环；
第四步用END来结束程序.
可写出程序如下:
S=0
i=0
WHILE i<=9
S=S+1/2^i
i=i+1
WEND
PRINT S
END
运行该程序，输出:
S=1.9980
20．答案:
I=1
WHILE I=1
INPUT “shu ru xue sheng cheng ji a=”;a
IF a<60 THEN
PRINT “D”
ELSE
IF a<70 THEN
PRINT “C”
ELSE
IF a<85 THEN
PRINT “B”
ELSE
PRINT “A”
END IF
END IF
END IF
INPUT “INPUT 1，INPUT 2”；I
WEND
END
考纲导读
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基础过关
典型例题
基础过关
A
B
典型例题
例2.
变式训练1
例2.
开始
结束
输入x(x<=5000)
x<=800
x<=1300
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
输出y
Y
Y
N
N
例4
变式训练3
基础过关
图形计算器格式
INPUT“提示内容”；变量
INPUT “提示内容”，变量
PRINT“提示内容”；表达式
图形计算器格式
Disp “提示内容”，变量
变量＝表达式
图形计算器格式
表达式变量
否
是
满足条件？
语句1
语句2
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
满足条件？
循环体
否
是
WHILE 条件
循环体
WEND
典型例题
i=1
WHILE i<8
i=i+2
s=2※I+3
WEND
PRINT s
END
变式训练3
a=0
j=1
WHILE j<=5
a=(a+j) MOD 5
j=j+1
WEND
PRINT a
END
例3
INPUT t
IF t<= 4 THEN
c=0.2
ELES
c=0.2+0.1(t－3)
END IF
PRINT c
END
变式训练2
开始
输出F
结束
I=I+1
Q=S
S=F
F=S+Q
I≤12
I=3
S=1 Q=1
N
Y
S=1
Q=1
I=3
WHILE I<=12
F=S+Q
Q=S
S=F
I=I+1
WEND
PRINT F
END
X＝3
Y＝4
X＝X＋Y
Y＝X＋Y
PRINT X，Y
C＝B
B＝A
A＝C
A＝C
C＝B
B＝A
B＝A
A＝B
A＝B
B＝A
PRINT ，
是
否
结束
输入n
i=1
m=0
i≤N
A=CONRND(－1，1)
B=CONRND(－1，1)
A2+B2≤1？
m=m+1
i=i+1
输出m
开始
否
是
11
是
否
结束
输入n
S=0，T=0
n=n－1
n<2
S=S+n
T=T+n
n=n－1
输出S，T
开始
10
j=1
n=0
WHILE j<=11
j=j+1
IF j MOD 4=0 THEN
n=n+1
END IF
j=j+1
WEND
PRINT n
END
14
是
否
结束
i=1，sum=0，s=0
sum=sum+1
i=i+1
s=s+1/(sum*i)
输出s
开始
13
用当型
INPUT m=10000
X=m
y=O
r=11.25／100
Do
m<2*x
y=y+1
x=x + r*x
Loop UNTIL
PRINT y
END
用直到型
INPUT“money=”，10000
x=mOney
r=11.25／100
y=O
WHILE x≥2r
y=y+1
x=x+r*x
WEND
PRINT y
END
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平面向量 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介． ( http: / / www.21cnjy.com / )
主要考查： ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．向量的坐标运算及应用． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 向量的概念与几何运算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1．向量的有关概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 既有 又有 的量叫向量． ( http: / / www.21cnjy.com / )
的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ 且 的向量叫相等向量． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．向量的加法与减法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．实数与向量的积 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下： ( http: / / www.21cnjy.com / )
① | |＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
② 当＞0时，的方向与的方向 ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
当＜0时，的方向与的方向 ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
当＝0时， ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ (μ)＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(＋μ)＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(＋)＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：＝－＝(＋)－＝－＋ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．－＋ ( http: / / www.21cnjy.com / )
B．－－ ( http: / / www.21cnjy.com / )
C．－ ( http: / / www.21cnjy.com / )
D．＋ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解:A ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解:＝λ＋μ2－9＝(2λ＋2μ)＋(－3λ＋3μ)2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证： ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明 ＋＝2，＋＝2＋＋＋＝4 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：连NC，则； ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解:＝＋，＝＋， ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝－ ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：设 (∈R)化简整理得： ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
故时，三向量的向量的终点在一直线上． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：已知，设，如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )
，那么为何值时，三点在一条直线上？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：由题设知，，三点在一条 ( http: / / www.21cnjy.com / )
直线上的充要条件是存在实数，使得，即， ( http: / / www.21cnjy.com / )
整理得. ( http: / / www.21cnjy.com / )
①若共线，则可为任意实数； ( http: / / www.21cnjy.com / )
②若不共线，则有，解之得，. ( http: / / www.21cnjy.com / )
综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 平面向量的坐标运算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．平面向量的坐标表示 ( http: / / www.21cnjy.com / )
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．平面向量的坐标运算： ( http: / / www.21cnjy.com / )
若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则： ( http: / / www.21cnjy.com / )
＋＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
－＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
λ＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即C(1, ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1.若，，则= . ( http: / / www.21cnjy.com / )
解: 提示： ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 ＝(－1，1)，＝(1，0)，∴＋＝(0，1) ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明: k＝ ∴k－＝≥0 ∴k≥ ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 若＝(3，5)，求点C的坐标； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 当||＝||时，求点P的轨迹． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，
得x0＝10 y0＝6 即点C(10，6)
(2) ∵ ∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1)
∵M为AB的中点 ∴P分的比为
设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x－14，3y－2)
∴点P的轨迹方程为
变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标．
解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)，
D (－3，9)
则四边形OBDC为菱形 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD
∵
∴
1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．
2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
第3课时 平面向量的数量积
1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的 ．当θ＝0°时，与 ；当θ＝180°时，与 ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作 ．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则·＝ ．
3．向量的数量积的几何意义：
||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)．
·的几何意义是，数量·等于 ．
4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．
⑴ ·＝·＝
⑵ ⊥
⑶ 当与同向时，·＝ ；当与反向时，·＝ ．
⑷ cosθ＝ ．
⑸ |·|≤
5．向量数量积的运算律：
⑴ ·＝ ；
⑵ (λ)·＝ ＝·(λ)
⑶ (＋)·＝
例1. 已知||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)·(3－2)．
解:(2＋3)(3－2)＝－4
变式训练1.已知||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值．
解:
例2. 已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．
(1) 若a⊥b，求；
(2) 求|＋|的最大值．
解：(1)若，则
即 而，所以
(2)
当时，的最大值为
变式训练2：已知，，其中．
(1)求证： 与互相垂直；
(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．
证明：
与互相垂直
（2）,
,
,,
而
，
例3. 已知O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形．
解:设BC的中点为D，则()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形.
变式训练3：若，则△ABC的形状是 .
解: 直角三角形.提示：
例4. 已知向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值.
解:＝(cosθ－sinθ＋, cosθ＋sinθ)由已知(cosθ－sinθ＋)2＋(cosθ＋sinθ)2＝
化简：cos
又cos2
∵θ∈(π, 2π) ∴cos<0
∴cos＝－
变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.
解：由得
1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．
2．注意·与ab的区别．·＝0≠＞＝，或＝．
3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．
第4课时 线段的定比分点和平移
1． 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ使＝λ，λ叫做 ．
2．设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是λ时，定比分点坐标公式为：
，中点坐标公式： 。
3． 平移公式：将点P（x、y）按向量＝（h、k）平移得到点P'（x'，y'），则 ．
例1. 已知点A(－1, －4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分所成的比.
解 ⑴ P1(x－2) P2(3, 0) (2) －, －2
变式训练1.设|AB|＝5，点p在直线AB上，且|PA|＝1，则p分所成的比为 ．
解:
例2. 将函数y＝2sin（2x＋）＋3的图象C进行平移后得到图象C'，使C上面的一点P（、2）移至点P'（、1），求图像C'对应的函数解析式．
解: C'：y＝2sin(2x＋)＋2
变式训练2：若直线2x－y＋c＝0按向量＝(1, －1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为 （ ）
A．8或－2 B．6或－4
C．4或－6 D．2或－8
解: A
例3. 设＝(sinx－1, cosx－1)，，f (x)＝，且函数y＝f (x)的图象是由y＝sinx的图象按向量平移而得，求.
解:＝(－) (k∈z)
变式训练3：将y＝sin2x的图象向右按作最小的平移，使得平移后的图象在[kπ＋, kπ＋π] (k∈Z)上递减，则＝ ．
解:(，0)
例4. 已知△ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、－4)，点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且△AMN的面积等于△ABC的面积的一半，求N点的坐标．
解:由＝
得
∴ N(4，－)
变式训练4.已知△ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）．
(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；
(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把△ABC的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标
解:
1．在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比．
2．平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量＝(h，k)三者之间的关系．它的本质是＝．平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆．
平面向量章节测试题
一、选择题
1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( )
A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对
2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )
A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）
3. △ABC中,=a, =b,则等于 ( )
A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a
4.化简(a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )
A.ab B.0 C. a+b D. a－b
5.已知|p|=,|q|=3, p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )
A.15 B. C. 16 D.14
6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系是 ( )
A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的外部
C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点
8.已知△ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的,则线段AM的长度是 ( )
A.5 B. C. D.
9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( )
A. B.9 C. D.
10.若|a|=1,|b|=,(a-b)⊥a,则a与b的夹角为 ( )
A.300 B.450 C.600 D.750
11.把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2,则原函数的解析式为 ( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx
12.在△ABC中，=c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( )
A.若a·b<0,则△ABC为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C. 若a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC为等腰三角形
二、填空题
13.在△ABC中，已知且则这个三角形的形状是 .
14.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则船实际航行的速度的大小和方向是 .
15. 若向量,现用a、b表示c,则c= .
16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0;
②已知AB,则
③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|
④已知,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;
⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 .
三、解答题
17.如图,ABCD是一个梯形,, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和
18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2)
⑴求证:A、B、D共线;
⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.
19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量的坐标.
20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.
21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),
c=(cos2x,1),d=(1,2)。
（1）分别求a·b和c·d的取值范围；
（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.
平面向量章节测试题参考答案
一、BCDBA；DDADB；BD
二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a－2b ; 16.①③④
三、17.∵||=2||∴∴a,b－a , =a－b
18.⑴∵5e1+5e2= , ∴又有公共点B,∴A、B、D共线
⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=
19.⑴由可知即AB⊥AC
⑵设D（x,y）,∴
∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0
∵ ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴ ∴D()
20.⑴
⑵设P（x,y）
21. 当b与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= -
| a+λb |==
当λ= -时，| a+λb |取得最小值.
∴当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22. (1）a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11
（2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称
当二次项系数m>0时, f(x)在（1，）内单调递增，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
当二次项系数m<0时,f(x)在（1，）内单调递减，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈、
故当m>0时不等式的解集为;当m<0时不等式的解集为
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三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和的简图，理解的物理意义． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点： ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 任意角的三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
一、角的概念的推广 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．与角终边相同的角的集合为 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．与角终边互为反向延长线的角的集合为 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．轴线角（终边在坐标轴上的角） ( http: / / www.21cnjy.com / )
终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．象限角是指： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．区间角是指： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．弧度与角度互化：180 ＝ 弧度，1 ＝ 弧度，1弧度＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8．弧长公式：l ＝ ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
扇形面积公式：S＝ . ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、任意角的三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| ＝r，则sin＝ ； cos＝ ；tan＝ ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
10．三角函数的符号与角所在象限的关系： ( http: / / www.21cnjy.com / )
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12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：
解析式 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
定义域
值 域
13．三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： ∵是第二象限的角， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）∵k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°（k∈Z）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
当k=2n（n∈Z）时， ( http: / / www.21cnjy.com / )
n·360°+45°＜＜n·360°+90°； ( http: / / www.21cnjy.com / )
当k=2n+1（n∈Z）时， ( http: / / www.21cnjy.com / )
n·360°+225°＜＜n·360°+270°. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴是第一或第三象限的角. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）∵k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
当k=3n（n∈Z）时， ( http: / / www.21cnjy.com / )
n·360°+30°＜＜n·360°+60°； ( http: / / www.21cnjy.com / )
当k=3n+1（n∈Z）时， ( http: / / www.21cnjy.com / )
n·360°+150°＜＜n·360°+180°； ( http: / / www.21cnjy.com / )
当k=3n+2（n∈Z）时， ( http: / / www.21cnjy.com / )
n·360°+270°＜＜n·360°+300°. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴是第一或第二或第四象限的角. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： ∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
60°+k·120°＜＜90°+k·120°. ( http: / / www.21cnjy.com / )
①当k=3m(m∈Z)时，可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
故的终边在第一象限. ( http: / / www.21cnjy.com / )
②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z). ( http: / / www.21cnjy.com / )
故的终边在第三象限. ( http: / / www.21cnjy.com / )
③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
故的终边在第四象限. ( http: / / www.21cnjy.com / )
综上可知，是第一、第三或第四象限的角. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)sin≥;(2)cos≤. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB， ( http: / / www.21cnjy.com / )
则OA与OB围成的区 ( http: / / www.21cnjy.com / )
域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
|2k+≤≤2k+，k∈Z . ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分） ( http: / / www.21cnjy.com / )
即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：求下列函数的定义域： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥. ( http: / / www.21cnjy.com / )
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示). ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴x∈（k∈Z）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-＜sinx＜. ( http: / / www.21cnjy.com / )
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴x（k-,k+）（kZ). ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵角的终边在直线3x+4y=0上， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), ( http: / / www.21cnjy.com / )
则x=4t,y=-3t,
r=|t|,
当t＞0时，r=5t,
sin=,cos=,
tan=;
当t＜0时，r=-5t,sin=,
cos=,
tan=.
综上可知，t＞0时，sin=,cos=,tan=;
t＜0时，sin=,cos=-,tan=.
变式训练3：已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值．
解：由题意，得
故角是第二或第三象限角．
当，点P的坐标为，
当，点P的坐标为，
例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R．
(1) 若α，R＝2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；
(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．
解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。
△＝
＝（cm2）
扇形周长 ∴
∴
当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为．
变式训练4：扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB．
解：设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为α
则有 ∴
由|α|＝得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )
1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系．
2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些
第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．同角公式：
(1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝ ，1＋cot2α＝
(2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝
(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1
2．诱导公式：
－α π－α π＋α 2π－α 2kπ＋α
sin
cos
sin
cos
规律：奇变偶不变，符号看象限
3．同角三角函数的关系式的基本用途：
根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．
4．诱导公式的作用：
诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90 角的三角函数值．
例1. 已知f()=;
（1）化简f();
（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.
解 ：（1）f（）==-cos.
（2）∵cos=-sin,
∴sin=-,cos=-,
∴f()=.
变式训练1：已知A＝则A构成的集合是 ( )
A．{－1, 1, －2, 2} B．{1, －1}
C．{2, －2} D．{－2, －1, 01, 2}
解：C
例2．求值：(1) 已知，求的值．
2) 已知，求下列各式的值．①；②
解：（1）；
（2）
变式训练2：化简：① ， ②
解：①原式＝sinθ ② 原式＝0
例3. 已知－，sin x＋cos x＝．
（1）求sin x－cos x的值．
（2）求的值．
解：( 1 ) －，( 2 ) －
变式训练3：已知sin +cos=,∈(0,).求值：
（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.
解 方法一 ∵sin+cos=,∈(0,),
∴(sin+cos)2==1+2sincos，
∴sincos=-＜0.
由根与系数的关系知，
sin,cos是方程x2-x-=0的两根，
解方程得x1=,x2=-.
∵sin＞0,cos＜0,∴sin=,cos =-.
∴（1）tan=-.
（2）sin-cos=.
（3）sin3+cos3=.
方法二 （1）同方法一.
（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos
=1-2×=.
∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,
∴sin-cos=.
（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)
=×=.
例4．已知tan=2,求下列各式的值：
（1）;
（2） ;
（3）4sin2-3sincos-5cos2.
解：（1）原式=.
（2）.
（3）∵sin2+cos2=1,
∴4sin2-3sincos-5cos2
=
=.
变式训练4：已知sin(+k)=-2cos(+k) (k∈Z).
求:（1）;
（2）sin2+cos2.
解：由已知得cos(+k)≠0,
∴tan(+k)=-2(k∈Z),即tan=-2.
（1）.
（2）sin2+cos2==.
1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.
2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
第3课时 两角和与差的三角函数
1．两角和的余弦公式的推导方法：
2．基本公式
sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ
cos(α±β)＝ ;
tan(α±β)＝ .
3．公式的变式
tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)
1－tanα tanβ＝
4．常见的角的变换：
2＝(α＋β)＋(α－β)；α＝＋
α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β
＝(α－)－(－β)；
＝
例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.
解：原式=
=
=
=
=
=
变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（ ）
A. B.7 C.－ D.－7
(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）
A.－ B. C.－ D.
解：(1)A (2)B
例2. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵α－＋＋β＝α＋β＋
α∈() β∈(0,)
∴α－∈(0,) β＋∈(,π)
∴sin(α－)＝ cos()＝－
∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]
＝－cos[(α－)＋()]＝
变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，
求cos（+β）.
解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.
故由cos（－）=－，得sin（α－）=.
由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］==
∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.
例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.
解 ∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，
∴cosA=-=-=-，
cosB=-=-=-，
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
=×-×= ①
又∵＜A＜, ＜B＜,
∴＜A+B＜2 ②
由①②知，A+B=.
变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.
解 在△ABC中，A+B+C=180°,
由4sin2-cos2B=,
得4·-2cos2B+1=,
所以4cos2B-4cosB+1=0.
于是cosB=,B=60°.
例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.
解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)
=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)
=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-
=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-
=sin2+cos2-=1-=.
方法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2
=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2
=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2
=cos2-cos2·
=-cos2·
=-cos2=.
方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=·+·-cos2·cos2
=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2
=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2
=cos2(+)-·cos(2+2)
=cos2(+)- ·［2cos2(+)-1］=.
变式训练4：化简：（1）sin+cos;
(2）.
解 （1）原式=2
=2
=2cos=2cos(x-).
（2）原式===1.
1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．
2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式．
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切
1．基本公式：
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ；
tan2α＝ .
2．公式的变用：
1＋cos2α＝ ；
1－cos2α＝ ．
例1. 求值：
解：原式＝
＝＝
变式训练1：(cos＋sin)＝ （ ）
A．－ B．－ C． D．
解：D
例2． 已知α为锐角，且，求的值.
解：∵α为锐角
∴＝
＝＝＝
变式训练2：化简：
解：原式＝＝1
例3．已知；
(1) 求的值； (2) 设，求sinα的值．
解：（1）∵
∴
（2）
∴
16sin22－4sinα－11＝0 解得
∵ 故
变式训练3：已知sin()＝，求cos()的值．
解：cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1
＝2sin2(－α) －1＝－
例4．已知sin2 2α＋2α cosα－cos2α＝1，α(0，)，求sinα、tanα的值．
解：由已知得
sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0
即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0
cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0
∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1
∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝
变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．
解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．
∴β＝2α，r＝4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列
∴
即，解得cosα＝1或
当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去
当时，∵2∈[0,2π] ∴或
∴或
1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；
2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)．
3．对三角函数式的变形有以下常用的方法：
① 降次（常用降次公式）
② 消元（化同名或同角的三角函数）
③ 消去常数“1”或用“1”替换
④ 角的范围的确定
第5课时 三角函数的化简和求值
1．三角函数式的化简的一般要求：
① 函数名称尽可能少；
② 项数尽可能少；
③ 尽可能不含根式；
④ 次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．
3．求值问题的基本类型及方法
① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．
② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；
③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[]、[0，π]、（）的角．
例1. （1）化简：
（2）化简：
解：∵
＝ ∴原式
=
变式训练1：已知，若，则 可化简为 ．
解：
例2. 已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．
解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0
3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０
由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠即α∈(,π)
∴tanα＝－
sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2αsin
＝sinαcosα＋(cos2α－sin2α)
＝
＝
＝
解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠
从而条件可化为 6 tan2α＋tanα－2＝0
∵α∈(,π) 解得tanα＝－(下同解法一)
变式训练2：在△ABC中，，，，求A的值和△ABC的面积．
解：∵sinA＋cosA＝ ①
∵2sinAcosA＝－
从而cosA＜0 A∈()
∴sinA－cosA＝
＝ ②
据①②可得 sinA＝ cosA＝
∴tanA＝－2－
S△ABC＝
例3. 已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.
解：由tanβ＝－ β∈(0，π)
得β∈(, π) ①
由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ α∈(0，π)
得0＜α＜ ∴ 0＜2α＜π
由tan2α＝＞0 ∴知0＜2α＜ ②
∵tan(2α－β)＝＝1
由①②知 2α－β∈(－π，0)
∴2α－β＝－
(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)
变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．
解：由sinα＝ α为第二象限角
∴cosα＝－
∴
＝＝－
例4．已知．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
解：（1）由
得 解得tanα＝－3或
又，所以为所求．
（2）原式：
变式训练4：已知（<α<），试用k表示sin－cos的值．
解：∵
∴k＝2sinαcosα
∵(sinα－cosα)2＝1－k
又∵α∈() ∴sinα－cosα＝
1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;
2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式：
① 变换角度
② 变换函数名
③ 变换解析式结构
3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．
第6课时 三角函数的恒等变形
一、三角恒等式的证明
1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．
2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．
3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．
二、三角条件等式的证明
1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．
2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：
⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．
⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．
⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．
⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．
例1．求证：＝
证明：左边＝
＝＝右边
变式训练1：求证：tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α
证明：∵(α＋)＋(α－)＝2α
∴tan[(α＋)＋(α－)]＝tan2α
∴
∴
∴tan(α＋)＋tan(α－)＝2tan2α
例2．求证：
证明：左边＝
＝
＝
＝
右边＝4()
＝4·＝
∴左边＝右边 即等式成立
变式训练2：已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝．
证明：tan(A－B)＝
＝
＝
例3．如图所示，D是直线三角形△ABC斜边上BC上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．
（1）证明：sinα＋cos2β=0；
（2）若，求β的值．
解：（1）∵
∴
即sinα＋cos2β＝0
（2）在△ADC中，由正弦定理得．
即 ∴
由（1）sinα＝－cos2β
∴
即
解得或
因为，所以从而
变式训练3.已知且sinβ·cosα＝cos(α＋β)．
（1）求证：；
（2）用tanβ表示tanα．
解：（1）∵
∴
∴
∴
（2）
例4.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB，求证：sinA＋sinC＝2 sinB．
证明：∵sinA·cos2＋sinC·cos2＝sinB
∴sinA·＋sinC·＝sinB
∴sinA＋sinC＋sinA·cosC＋cosＡ·sinC＝3sinB
∴sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB
∵sin(A＋C)＝sinB ∴sinA＋sinC＝2sinB
变式训练4：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β．
证明：(sinθ＋cosθ)2
＝1＋2sinθ·cosθ＝4sin2α
将sinθ·cosθ＝sin2β代入得1＋2sin2β＝4sin2α
∴1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)
∴2cos2α＝cos2β
1．证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”．
2．条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式．
3．对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．
第7课时 三角函数的图象与性质
1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．
“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．
2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ．
⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ．
⑶ 正切函数的对称中心为 ．
3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋)(ω>0)的图象．
令x'＝ωx＋转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．
４．函数y＝Asin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象关系．
振幅变换：y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0周期变换：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为 ．
相位变换：y＝sin(x＋)(≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向 (>0)或向 (<0)平移 个单位而得到的．
由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋)的图象主要有下列两种方法：
或
说明：前一种方法第一步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移 个单位．
例1.已知函数y＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)
⑴ 若A＝3，ω＝，＝－，作出函数在一个周期内的简图．
⑵ 若y表示一个振动量，其振动频率是，当x＝时，相位是，求ω和．
解：(1) y＝3sin()列表(略)图象如下：
0 π 2π
x
y 0 3 0 －3 0
(2)依题意有：
∴
变式训练1：已知函数y=2sin,
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T==，初相=.
（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.
列表，并描点画出图象：
x -
X 0 2
y=sinX 0 1 0 -1 0
y=2sin(2x+) 0 2 0 -2 0
（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.
方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；
再将y=sin2x的图象向左平移个单位；
得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.
例2已知函数y=3sin
（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；
（3）求此函数的振幅、周期和初相；
（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.
解 （1）列表：
x
0 2
3sin 0 3 0 -3 0
描点、连线,如图所示：
（2）方法一 “先平移，后伸缩”.
先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.
方法二 “先伸缩，后平移”
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，
得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.
（3）周期T===4，振幅A=3，初相是-.
(4)令=+k(k∈Z),
得x=2k+(k∈Z),此为对称轴方程.
令x-=k(k∈Z)得x=+2k(k∈Z).
对称中心为 (k∈Z).
变式训练2：已知函数 的最小正周期为π且图象关于对称；
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在上中有一个交点，求实数a的范围．
解：（1）
∵w∈R
当w＝1时， 此时不是它的对称轴
∴w＝－1
（2）
如图：∵直线y＝a在上与y＝1－f(x)图象只有一个交点 ∴或a＝1
例3．如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.
解 方法一 以N为第一个零点，
则A=-，T=2=，
∴=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.
∵点N，∴-×2+=0，∴=，
所求解析式为y=-sin. ①
方法二 由图象知A=，
以M为第一个零点，P为第二个零点.
列方程组 解之得.
∴所求解析式为y=sin. ②
变式训练3：函数y=Asin(x+)(＞0,||＜ ,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为( )
A. y=-4sin B. y=-4sin
C. y=4sin D. y=4sin
答案 B
例4．设关于x的方程cos2x＋sin2x＝k＋1在[0，]内有两不同根α，β，求α＋β的值及k的取值范围．
解：由cos2x＋sin2x＝k＋1得 2sin(2x＋)＝k＋1
即sin(2x＋)＝
设c: y＝sin(2x＋)，l: y＝，在同一坐标系中作出它们的图象(略)
由图易知当＜1时, 即0≤k＜1时
直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可以看出α、β关于x＝对称.。故α＋β＝
变式训练4.已知函数f (x)＝sin(ωx＋)(ω>0，0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(π，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和ω的值．
解：由f (x)是偶函数，得f(－x)＝f (x)即sin(－x＋)＝sin(x＋)
∴－cossinx＝cossinx对任意x都成立，且＞0， cos＝0
依题意设0≤≤π ∴＝
由f(x)的图象关于点M对称，
得f(－x)＝－f (＋x)
取x＝0得f （）＝－f （） f ()＝0
∴f()＝sin(＋)＝cos＝0
又＞0得＝＋kπ
＝(2k＋1) (k＝0，1，2……)
当k＝0时，＝ f (x)＝sin()在[0，]上是减函数；
当k＝1时，＝2 f (x)＝sin(2x＋)在[0，]上是减函数；
当k≥2时，≥ f (x)＝sin(x)在[0，]上不是减函数；
∴＝或＝2
1．图象变换的两种途径
⑴ 先相位变换后周期变换
y＝sinx y＝sin(x＋) y＝sin(ωx＋)
⑵ 先周期变换后相位变换
y＝sinx y＝sinωxy＝sinω (x＋)
2．给出图象求解析式y＝Asin(ωx＋)＋B的难点在于ω、的确定，本质为待定系数法，基本方法是：⑴ “五点法”运用“五点”中的一点确定．
⑵ 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T→ω．
第8课时 三角函数的性质
1．三角函数的性质
函 数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
定义域
值 域
奇偶性
有界性
周期性
单调性
最大(小)值
2．函数y＝sinx的对称性与周期性的关系．
⑴ 若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝ ．
⑵ 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝ ．
⑶ 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝ ．
注：该结论可以推广到其它任一函数．
例1. 化简f (x)＝cos()＋cos()＋2sin(＋2x)(x∈R，k∈Z)．并求f (x)的值域和最小正周期．
解：(1) f(x) ＝2sin(ax＋)(0＜a＜1)
由于f(x)·g(x)最小正周期相同
得＝ 即a＝2m
又f(1)＝2g(1) 即2sin(a＋)＝2tan(m＋)
把a＝2m代入得sin(2m＋)＝tan(m＋)
∴2sin(m＋)cos(m＋)＝
∴sin(m＋)＝0或cos(m＋)＝±
当sin(m＋)＝0时，m＝k－(k≠z)，这与0＜m＜1矛盾．
当cos(m＋)＝±时，m＝k＋或m＝k－(k∈z)，现由0＜m＜1时得m＝故a＝
∴f(x)＝2sin(x＋)，g(x)＝tan(x＋)
(2) 由2k－≤x＋≤2k＋得
x∈[12k－5，12k＋1]
∴f(x)的单调递增区间为[12k－5，12k＋1] (k∈z)
变式训练1：已知函数 ；
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解：(1)
＝
＝
∴
(2)当f(x)取最大值时，sin(2x－)＝1
有2x－＝2k＋ 即x＝k＋(k∈z)
故所求x的集合为
例2已知函数f (x)＝
⑴ 求f (x)的定义域．
⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性．
⑶ 在[－π，π]上作出函数f (x)的图象．
⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1) 由1＋cos2x＞0得2cos2x＞0
∴cosx≠0即x≠kπ＋，(k∈z)
∴函数f (x)的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈z｜}
(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x，
f (－x)＝
∴f (x)为奇函数.
(3) f (x)＝又x∈[－π，π]
且x≠－
∴f(x)＝
f (x)的图象如右：
(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π．
f (x)的单调递增区间是()(k∈z)
变式训练2：求下列函数的定义域：
（1）y=lgsin(cosx);（2）y=.
解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.
∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.
方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-+2k＜x＜+2k,k∈Z}.
方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,
∴OM只能在x轴的正半轴上，
∴其定义域为
.
（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.
在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2,
所以定义域为.
方法二 利用三角函数线，
如图MN为正弦线，OM为余弦线，
要使sinx≥cosx,即MN≥OM，
则≤x≤（在［0，2］内）.
∴定义域为
.
方法三 sinx-cosx=sin≥0，
将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质
可知2k≤x-≤+2k,
解得2k+≤x≤+2k,k∈Z.
所以定义域为.
例3设函数，，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2(g)＝f(1)；
（1）试确定f(x)、g(x)的解的式；
（2）求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2cos2＋sinx＋b
＝
∴递增区间为[2kπ－](k∈z)
(2)∵f (x)＝a(sinx＋cosx)＋a＋b＝
而x∈[0，π]，x＋∈[]
∴sin(x＋)∈[]
∴ ∴
变式训练3：已知函数f (x)＝(sinx－cosx)
⑴ 求它的定义域和值域；
⑵ 求它的单调区间；
⑶ 判断它的奇偶性；
⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．
解：(1) 由题意得：sinx－cosx＞0即sin(x－)＞０
从而得2kπ＋＜x＜2kπ＋π
函数的定义域为()(k∈z)
∵0＜sin(x－)≤1 ∴0＜sinx－cosx≤
即(sinx－cosx)≥＝－故函数f (x)的值域为[－，＋∞]
(2) ∵sinx－cosx＝sin(x－)在f(x)的定义域上的单调递增区间为()(k∈z)，单调递减区间为[](k∈z)
(3) ∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称．
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4) ∵f(x＋2π)＝[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)]
＝ (sinx－cosx)＝f(x)
∴f (x)函数的最小正周期T＝2π
例4.已知函数y＝acosx＋b的最大值为1，最小值是－3，试确定＝b sin(ax＋)的单调区间．
解：(1)若a＞0，则a＋b＝1，－a＋b＝－3，
∴ a＝2，b＝－1，此时，＝－sin(2x＋)
单调增区间为[kπ＋，kπ＋] (k∈z)
单调减区间为[kπ－，kπ＋] (k∈z)
(2) 若a＜0，则－a＋b＝1，a＋b＝－3，
∴ a＝－2，b＝－1，
单调增区间为[kπ－，kπ＋] (k∈z)
单调减区间为[kπ＋，kπ＋] (k∈z)
变式训练4：某港口水的深度y（米）是时间t(0≤t<24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：
t（时） 0 3 6 9 12
y（米） 10 13 9.9 7 10
t（时） 15 18 21 24
y（米） 13 10.1 7 10
经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωx＋b的图象．
（1）试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
（2）一般情况下，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底中需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果希望该船在一天内安全进出港，请问，它至多在港里停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？
解：(1) 由已知数据，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10
∴y＝3sint＝10
(2) 由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)
∴3sint＋10≥11.5 sint≥
解得2k＋≤t≤2k＋
即12k＋1≤t≤12k＋5 k∈z
在同一天内，取k＝0或1．
∴1≤t≤5 或 13≤t≤17
∴该船最早能在凌晨1时进港，最迟下午17时出港，在港内最多能停留16小时．
1．求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如常常丢掉使tanx有意义的x≠nπ＋(n∈Z)．
2．求函数值域的问题一方面要熟悉求值域的一般方法和依据，另一方面要注意三角函数的有界性．
3．求周期一般先将函数式化为y＝Af(ωx＋)(f为三角函数)，再用周期公式求解．
4．函数y＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)的单调区间的确定的基本思想是把(ωx＋)看作一个整体，再利用正弦函数的单调区间解出x即为所求．若ω<0，可用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－)再仿照以上方法解之.
第9课时 三角函数的最值
1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
2．函数与方程
两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
例1. 求下列函数的最值．
⑴ y＝；
⑵ y＝2 cos(＋x)＋2cosx；
⑶ ．
解：(1) y＝
＝
∴ 当cosx＝时，ymin=
∵ cosx≠1
∴ 函数y没有最大值。
(2) y＝2cos()+2cosx
=2cos
=3cosx－sinx
=2cos()
∴当cos()＝－1时，ymin＝－
当cos()＝1时，ymax＝
(3) 由得sinx－ycosx＝3y－1
∴＝3y－1 (tan＝－y)
∵|sin(x＋)|≤1 ∴|3y－1|≤
解得0≤y≤ 故的值域为[0，]
注：此题也可用其几何意义在求值域．
变式训练1：求下列函数的值域：
（1）y=;
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;
（3）y=2cos+2cosx.
解 （1）y==
=2cos2x+2cosx=2-.
于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,
∴y＜4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.
故函数值域为.
（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,
即sinxcosx=.
有y=f(t)=t+=.
又t=sinx+cosx=sin，
∴-≤t≤.
故y=f(t)= (-≤t≤),
从而知：f(-1)≤y≤f(),即-1≤y≤+.
即函数的值域为.
（3）y=2cos+2cosx
=2coscosx-2sinsinx+2cosx
=3cosx-sinx
=2
=2cos.
∵≤1
∴该函数值域为［-2，2］.
例2. 试求函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最大值与最小值，又若呢？
解： 令t＝sinx＋cosx 则t∈[－，]
又2sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)2－1＝t2－1
∴y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，显然ymax＝3＋
若x∈[0，] 则t∈[1，]
y＝(t＋)＋在[1，]单调递增．
当t＝1即x＝0或x＝时，y取最小值3．
当t＝即x＝时，y取最大值3＋．
变式训练2：求函数的最大值和最小值．
点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单．
解：f(x)＝x－(sin2x＋cos2x)－
∴f (x)＝1＋sin(2x－)
∵x∈[－，] ∴2x－∈[－，]
令f (x)＝0 得sin(2x－)＝－
∴x＝0，－，
∵f(0)＝－1，而f(－)＝－ f()＝
∴当x＝时，[f(x)]max＝
当x＝0时，[f(x)]min＝－1
例3. 已知sinx＋siny＝，求siny－cos2x的最大值．
解：∵sinx＋siny＝ ∴siny＝
∴siny－cos2x＝－(1－sin2x)
＝
＝
又∵－1≤siny≤1
∴ 而－1≤sinx≤1
∴≤sinx≤1
∴当sinx＝时，siny－cos2x取得最大值。
变式训练3：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，求y＝的取值范围．
解：y＝
又cosB＝≥
∴ 0＜B≤ ∴＜B＋≤
∴ 1＜sin(B＋)≤
即1＜y≤
例4．设a≥0，若y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并求出使y取得最大、最小值时的x值．
解：原函数变形为
y＝－
∵－1≤sinx≤1，a≥0
∴若0≤a≤2，当sinx＝－时
ymax＝1＋b＋＝0 ①
当sinx＝1时，ymin＝－
＝－a＋b＝－4 ②
联立①②式解得a＝2，b＝-2
y取得最大、小值时的x值分别为：
x＝2kπ－(k∈Z)，x＝2kπ＋(k∈Z)
若a＞2时，∈(1，＋∞)
∴ymax＝－＝0 ③
ymin＝－ ④
由③④得a＝2时，而＝1 (1，＋∞)舍去.
故只有一组解a＝2，b＝－2.
变式训练4：设函数（其中ω>0，a∈R），且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（1）求ω的值；
（2）如果在区间的最小值为，求a的值．
解：(1) f(x)＝cosx＋sin2x＋＋a
＝sin(2x＋)＋＋a
依题意得2·＋＝解得＝
(2) 由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋＋a
又当x∈时，x＋∈
故－≤sin(x＋)≤1
从而f(x)在上取得最小值－＋＋a
因此，由题设知－＋＋a＝故a＝
1．求三角函数最值的方法有：① 配方法；②化为一个角的三角函数；③ 数形结合；④ 换元法；⑤ 基本不等式法．
2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的．因而特别要注意题设所给出的区间．
3．求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性．
4．含参数函数的最值，解题要注意参数的作用．
三角函数章节测试题
一、选择题
1． 已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于 （ ）
A．－ B．
C．－或 D．
2． 若，则2x与3sinx的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．与x的取值有关
3． 已知α、β均为锐角，若P：sinαA．充分而不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4． 函数y＝sinx·｜cotx｜(0A B
C D
5． 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝ （ ）
A．3－cos2x B．3－sin2x
C．3＋cos2x D．3＋sin2x
6． 设a>0，对于函数，下列结论正确的是 （ ）
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值又无最小值
7． 函数f(x)＝ （ ）
A．在[0，]、上递增，在、上递减
B．、上递增，在、上递减
C．在、上递增，在、 上递减
D．在、上递增，在、上递减
8． y＝sin(x－)·cos(x－)，正确的是 （ ）
A．T＝2π，对称中心为(，0)
B．T＝π，对称中心为(，0)
C．T＝2π，对称中心为(，0)
D．T＝π，对称中心为(，0)
9． 把曲线y cosx＋2y－1＝0先沿x轴向右平移，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为 （ ）
A．(1－y)sinx＋2y－3＝0
B．(y－1)sinx＋2y－3＝0
C．(y＋1)sinx＋2y＋1＝0
D．－(y＋1)sinx＋2y＋1＝0
10．已知，函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2，若| x1－x2|的最小值为π，则 （ ）
A．ω＝2，θ＝
B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝
D．ω＝2，θ＝
二、填空题
11．f (x)＝A sin(ωx＋)(A>0, ω>0)的部分如图，则f (1) ＋f (2)＋…＋f (11)＝ .
12．已sin(－x)＝，则sin2x的值为 。
13．的图象与直线y＝k有且仅有两个不同交点，则k的取值范围是 ．
14．已知＝1，则(1＋sinθ)(2＋cosθ)＝ 。
15．平移f (x)＝sin(ωx＋)(ω>0，－<<)，给出下列4个论断：
⑴ 图象关于x＝对称
⑵图象关于点(，0)对称
⑶ 周期是π
⑷ 在[－，0]上是增函数
以其中两个论断作为条件，余下论断为结论，写出你认为正确的两个命题：
(1) ．(2) ．
三、解答题
16．已知，（1）求的值；（2）求的值．
17．设函数，其中＝(sinx,－cosx)，＝(sinx,－3cosx)，＝(－cosx,sinx)，x∈R；(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2) 将函数y＝f(x)的图象按向量平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，求||最小的．
18．在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小．
19．设f (x)＝cos2x＋2sinxcosx的最大值为M，最小正周期为T．
⑴ 求M、T．
⑵ 若有10个互不相等的函数xi满足f (xi)＝M，且020．已知f (x)＝2sin(x＋)cos(x＋)＋2cos2(x＋)－。
⑴ 化简f (x)的解析式。
⑵ 若0≤θ≤π，求θ使函数f (x)为偶函数。
⑶ 在⑵成立的条件下，求满足f (x)＝1，x∈[－π，π]的x的集合。
21．已知函数＝2cos2x＋2sinx cosx＋1.
(1) 若x∈[0，π]时，＝a有两异根，求两根之和；
(2) 函数y＝，x∈[，]的图象与直线y＝4围成图形的面积是多少？
三角函数章节测试题参考答案
1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9.C 10.A 11. 2＋2 12.
13. 1＜k＜3 14. 4 15. (1) ②③①④ (2) ①③②④
16．解：(1) tan(＋)＝＝
解得tan＝－
(2)
＝
17. 解：(1)由题意得f(x)＝
＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x
＝2＋cos2x－sin2x
＝2＋sin(2x＋)
故f(x)的最大值2＋，最小正周期为
(2) 由sin(2x＋)＝0得2x＋＝k
即x＝－，k∈z
于是＝(－，－2)
||＝ (k∈z)
因为k为整数，要使| d |最小，则只有k＝1，此时＝(－，－2)为所示．
18．∵ sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0
∴ sinA sinB＋sinA cosB＝sinA cosB＋cosA sinB
∵ sinB > 0 sinA＝cosA，即tanA＝1
又0 < A<π ∴ A＝，从而C＝－B
由sinB＋cos2C＝0，得sinB＋cos2(－B)＝0
即sinB(1－2cosB)＝0
∴cosB＝ B＝ C＝
19．＝2sin(2x＋)
(1) M＝2 T＝π
(2) ∵＝2 ∴ sin(2xi＋)＝1
2xi＋＝2kπ＋ xi＝2kπ＋ (k∈z)
又0 < xi<10π ∴ k＝0, 1, 2,…9
∴ x1＋x2＋…＋x10＝(1＋2＋…＋9)π＋10×
＝π
20．解：(1) f (x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin(2x＋θ＋)
(2) 要使f (x)为偶函数，则必有f (－x)＝f (x)
∴ 2sin(－2x＋θ＋)＝2sin(2x＋θ＋)
∴ 2sin2x cos(θ＋)＝0对x∈R恒成立
∴ cos(θ＋)＝0又0≤θ≤π θ＝
(3) 当θ＝时f (x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x＝1
∴cos2x＝ ∵x∈[－π，π] ∴x＝－或
21．＝2sin(2x＋)＋2
由五点法作出y＝的图象(略)
(1) 由图表知：0＜a＜4，且a≠3
当0＜a＜3时，x1＋x2＝
当3＜a＜4时，x1＋x2＝
(2) 由对称性知，面积为(－)×4＝2π.
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两角和与差的三角函数
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两角和与差的正弦、余弦、正切
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y＝sinx, y＝cosx的图象和性质
y＝tanx的图象和性质
y＝Asin(x＋)的图象
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基础过关
－
＋
－
+
cosx,
＋
＋
－
－
sinx,
－
＋
＋
－
tanx,
x
y
O
x
y
O
x
y
O
EMBED Equation.3
x
y
O
典型例题
小结归纳
基础过关
典型例题
小结归纳
基础过关
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小结归纳
基础过关
基础过关
典型例题
A
B
D
C
小结归纳
基础过关
y＝sinx
相位
变换
周期
变换
振幅
变换
y＝sinx
周期
变换
相位
变换
振幅
变换
3
2
1
-1
-2
-3
EMBED Equation.3
x
y
0
0
－
y
x
小结归纳
小结归纳
基础过关
典型例题
x
y
0
π
-π
小结归纳
基础过关
典型例题
小结归纳
y
x
O
－1
1
π
1
y
x
O
－1
π
y
x
O
－1
1
π
y
x
O
－1
1
π
2
6
2
－2
0
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集合 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）集合的含义与表示 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）集合间的基本关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）集合的基本运算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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第1课时 集合的概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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一、集合 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．集合中的元素属性具有： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 确定性； (2) ； (3) ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、元素与集合的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a是集合A的元素，记作 ，若a不是集合B的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的． ( http: / / www.21cnjy.com / )
三、集合与集合的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．集合与集合的关系用符号 表示． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．子集：若集合A中 都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．相等：若集合A中 都是集合B的元素，同时集合B中 都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8．真子集：如果 就说集合A是集合B的真子集，记作 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．若集合A含有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10．空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的 ，是任何非空集合的 ，解题时不可忽视． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 已知集合，试求集合的所有子集. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：由题意可知是的正约数，所以 可以是；相应的为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
，即. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴的所有子集为. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1.若a,bR,集合求b-a的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：由可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系： ( http: / / www.21cnjy.com / )
①或 ② ( http: / / www.21cnjy.com / )
由①得符合题意；②无解.所以b-a=2. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 设集合，，，求实数a的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：此时只可能，易得或。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
当时，符合题意。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
当时，不符合题意，舍去。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
故。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）a＝0,S＝，P成立 a0，S，由SP，P＝{3，－1} ( http: / / www.21cnjy.com / )
得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2； ∴a值为0或－或2. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）B＝，即m＋1>2m－1,m<2 ∴A成立. ( http: / / www.21cnjy.com / )
B≠，由题意得得2≤m≤3 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴m<2或2≤m≤3 即m≤3为取值范围. ( http: / / www.21cnjy.com / )
注：（1）特殊集合作用，常易漏掉 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若A是空集，求m的取值范围； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）若A中只有一个元素，求m的值； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)∵A是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴Δ=4-12m<0,即m>. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）∵A中只有一个元素， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴方程mx2-2x+3=0只有一个解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=; ( http: / / www.21cnjy.com / )
若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴m=0或m=. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果， ( http: / / www.21cnjy.com / )
得m=0或m≥. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）由题意知： ( http: / / www.21cnjy.com / )
a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2, ∴a=0即为所求. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）由题意知,或或或 ( http: / / www.21cnjy.com / )
根据元素的互异性得或即为所求. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、 }，且A∩B＝{2，5}，试求实数的值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A且5∈A， ( http: / / www.21cnjy.com / )
则＝5(a－2)(a－1)(a＋1)＝0， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴a＝－1或a＝1或a＝2． ( http: / / www.21cnjy.com / )
当a＝－1时，B＝{1，0，5，2，4}，与A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
当a＝1时，B＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a≠1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
当a＝2时，B＝{1，3，2，5，25}，满足A∩B＝{2，5}．故所求a的值为2． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq， }，其中a≠0，若A＝B，求q的值 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵A＝B ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴(Ⅰ)或 (Ⅱ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
由(Ⅰ)得q＝1，由(Ⅱ)得q＝1或q＝－． ( http: / / www.21cnjy.com / )
当q＝1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴q＝－ ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．
4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．
第2课时 集合的运算
一、集合的运算
1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝ ．
2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ．
3．补集：集合A是集合S的子集，由 的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，即＝ ．
二、集合的常用运算性质
1．A∩A＝ ，A∩＝ ，A∩B= ，B∩A，A∪A＝ ，
A∪＝ ，A∪B＝B∪A
2．＝ ，＝ ， ．
3． ，
，
4．A∪B＝A
A∩B＝A
例1. 设全集，方程有实数根，方程
有实数根，求.
解：当时，，即；
当时，即，且 ∴，
∴
而对于，即，∴.
∴
变式训练1.已知集合A=B=
（1）当m=3时，求；
（2）若AB，求实数m的值.
解： 由得∴-1＜x≤5,∴A=.
（1）当m=3时，B=，则=，
∴=.
(2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B=,符合题意，故实数m的值为8.
例2. 已知,或.
(1)若,求的取值范围;
(2) 若,求的取值范围.
解:(1), ∴，解之得.
(2) , ∴. ∴或， 或
∴若,则的取值范围是；若,则的取值范围是.
变式训练2：设集合A=B
（1）若AB求实数a的值；
（2）若AB=A，求实数a的取值范围；
（3）若U=R，A（）=A.求实数a的取值范围.
解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=
（1）∵AB∴2B，代入B中的方程，
得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;
当a=-1时，B=满足条件；
当a=-3时，B=满足条件；
综上，a的值为-1或-3.
（2）对于集合B，
=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).
∵AB=A，∴BA,
①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件；
②当=0，即a=-3时，B，满足条件；
③当＞0，即a＞-3时，B=A=才能满足条件，
则由根与系数的关系得
即矛盾；
综上，a的取值范围是a≤-3.
（3）∵A（）=A，∴A，∴A
①若B=，则＜0适合；
②若B≠，则a=-3时，B=，AB=，不合题意；
a＞-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；
将1代入B的方程得a2+2a-2=0
∴a≠-1且a≠-3且a≠-1
综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+.
例3. 已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解:方法一 假设存在实数a满足条件AB=则有
（1）当A≠时，由AB=，B，知集合A中的元素为非正数，
设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得
（2）当A=时，则有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.
综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
方法二 假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，
因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.
则由根与系数的关系，得解得
又∵集合的补集为
∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
变式训练3.设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.
解：假设A∩B≠，则方程组
有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.
由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-.因a为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入（*）， 解得x=0或x=-1,
而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,
解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠,
此时A∩B={（1，1），（2，3）}.
例4. 已知A＝{x｜x2－2ax＋(4a－3)＝0，x∈R}，又B＝{x｜x2－2ax＋a2＋a＋2＝0，x∈R}，是否存在实数a，使得AB＝ 若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．
解：1变式训练4.设集合为函数的定义域,集合为函数的值域,集合为不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取值范围．
解：（1）解得A=（-4，2）， B= 。 所以
（2）a的范围为<0
1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言．
2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想．
3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.
集合单元测试题
一、选择题
1．设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（ ）
A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3}
2．当xR，下列四个集合中是空集的是（ ）
A. {x|x2-3x+2=0} B. {x|x2＜x}
C. {x|x2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=}
3．设集合，集合，若, 则等于（ ）
A. B.
C. D.
4．设集合，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|xM且xp},则M-（M-P）等于（ ）
A. P B. MP C. MP D. M
6．已知, 若, 则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.集合M＝{x｜x＝sin，n∈Z}，N＝{ x｜x＝cos，n∈Z }，M∩N＝ （ ）
A． B．
C．{0} D．
8.已知集合M＝{x｜}，N＝{x│}，则 （ ）
A．M＝N B．M N
C．M N D．MN＝φ
9． 设全集∪＝{x｜1≤x <9，x∈N}，则满足的所有集合B的个数有 （ ）
A．1个 B．4个
C．5个 D．8个
10．已知集合M＝{(x，y)︱y＝}，N＝{(x，y)︱y＝x＋b}，且M∩N＝，则实数b应满足的条件是
（ ）
A．︱b︱≥ B．0＜b＜
C．－3≤b≤ D．b＞或b＜－3
二、填空题
11．设集合,,且，则实数的取值范围是 .
12．设全集U=R，A=，
则右图中阴影部分表示的集合为 .
13．已知集合A=，那么A的真子集的个数是 .
14．若集合，，则等于 .
15．满足的集合A的个数是_______个.
16．已知集合，函数的定义域为Q.
（1）若，则实数a的值为 ；
（2）若，则实数a的取值范围为 .
三、解答题
17．已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B
（1）求集合A、B
（2）若AB=B,求实数的取值范围．
18．设，集合，；
若，求的值.
19．设集合，.
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若B=，求m的取值范围；
(3)若，求m的取值范围.
20. 对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，.
(1) 求证：AB
(2) 若，且，求实数a的取值范围.
单元测试参考答案
一、选择题
1．答案：A
2．答案：C
3．答案：A
4．提示：，.答案： D
5．答案：B
6．答案：B
7. 由与的终边位置知M＝{，0，}，N＝{－1，0，1}，故选C.
8.C
9.D
10.D
11．提示:, ∴,答案：
12．答案：，图中阴影部分表示的集合为,
13．答案：15
14. 答案：
15. 答案：7
16. 答案：；
17. 解：（1）A＝…………
B＝……………
（2）由AB＝B得AB，因此……………
所以,所以实数ａ的取值范围是……………
18. 解：，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或.
19. 解：化简集合A=，集合B可写为
(1),即A中含有8个元素，A的非空真子集数为
（个）.
(1)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=.
(2)当B=即m=-2时，；
当B即时
（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要
只要，所以m的值不存在；
（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要
只要.
综合，知m的取值范围是：m=-2或
20.证明(1).若A＝，则AB 显然成立；
若A≠，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，即t∈B，从而 AB.
解 (2)：A中元素是方程f(x)＝x 即的实根.
由 A≠，知 a＝0 或
即
B中元素是方程
即 的实根
由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为
因此，要A＝B，即要方程
①
要么没有实根，要么实根是方程 ②的根.
若①没有实根，则，由此解得
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 2ax＋1＝0.
由此解得，再代入②得 由此解得 .
故 a的取值范围是
考纲导读
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空集
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集合
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描述法
真子集
子集
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相 等
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集合运算
集合与集合的关系
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数列 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 数列的概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．数列的通项公式 ( http: / / www.21cnjy.com / )
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为： ( http: / / www.21cnjy.com / )
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4．求数列的通项公式的其它方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ －，，－，…； ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ 1，1，2，2，3，3， ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： ⑴ an＝(－1)n ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1.某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式： ( http: / / www.21cnjy.com / )
① an＝[1＋(－1)n] ② an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
③ an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
其中可作为{an}的通项公式的是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．① B．①② ( http: / / www.21cnjy.com / )
C．②③ D．①②③ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：D ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ Sn＝3n－2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ Sn＝n2＋3n＋1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解 ⑴ an＝Sn－Sn－1 (n≥2) a1＝S1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
解得：an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10 n－1．故an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ a1＝1，an＝ (n≥2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑶ a1＝1，an＝ (n≥2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：⑴ an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：方法一：由an＋1＝得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
，∴{}是以为首项，为公差的等差数列． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴＝1＋(n－1)·,即an＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝，然后用数学归纳证明． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 证明数列{an＋1}是等比数列； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 令f (x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f (x)在点x＝1处导数f 1 (1)． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1) 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，∴ n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，得： ( http: / / www.21cnjy.com / )
Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
从而an＋1＋1＝2(an＋1) ( http: / / www.21cnjy.com / )
当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴ a1＋a2＝2a1＋6, ( http: / / www.21cnjy.com / )
又a1＝5，∴ a2＝11 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ＝2，即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 由(1)知an＝3×2n－1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵ ＝a1x＋a2x2＋…＋anxn ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1 ( http: / / www.21cnjy.com / )
从而＝a1＋2a2＋…＋nan ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1) ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n) ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－ ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝3(n－1)·2n＋1－＋6 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
1．等差数列的定义： － ＝d（d为常数）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．等差数列的通项公式： ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ an＝a1＋ ×d ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ an＝am＋ ×d ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．等差数列的前n项和公式： ( http: / / www.21cnjy.com / )
Sn＝ ＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是： ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R) ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn ( http: / / www.21cnjy.com / )
(a, b∈R) ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．等差数列{an}的两个重要性质： ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例1. 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
解：(1)方法一：
∴a60＝a1＋59d＝130．
方法二：，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．
(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，
∴
∴Sn＝2n2－17n
∴S28＝2×282－17×28＝1092
(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，
又S6＝
∴15＝即a1＝－5
而d＝
∴a8＝a6＋2 d＝16
S8＝
变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．
解：∵d＝a6－a5＝－5，
∴a4＋a5＋…＋a10＝
例2. 已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝．
⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．
⑵ 求数列{an}的通项公式．
解：∵ ⑴ an＝2a－ (n≥2)
∴ bn＝ (n≥2)
∴ bn－bn－1＝ (n≥2)
∴ 数列{bn}是公差为的等差数列．
⑵ ∵ b1＝＝
故由⑴得：bn＝＋(n－1)×＝
即：＝ 得：an＝a(1＋)
变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足，且，
（1）判断是何种数列，并给出证明；
（2）若，求数列的前n项和
解：1），即 为等差数列。
（2）。
例3. 已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}前n项和。求Tn．
解：设{an}首项为a1公差为d，由
∴ Sn＝
∴ ∴Tn＝
变式训练3．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
解：B 解析：。
例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．
问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
解：⑴ 设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n
＝500(n＋1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n
＝300(2n＋1)n
由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n
解得：n>2
∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．
⑵ 当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000
S2＝300×10×21＝63000
∴ S2－S1＝8000
∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．
⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元．
则＝an(2n＋1) n∈N*
∴ a＞＝250＋≥250＋
＝
变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)．
2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．
3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．
4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．
第3课时 等比数列
1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．
2．等比数列的通项公式：
⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m
3．等比数列的前n项和公式：
Sn＝
4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）．
5．等比数列{an}的几个重要性质：
⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ．
例1. 已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．
解：∵{an}是等比数列，
∴a1·an＝a2·an－1，
∴，解得或
若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64
∴qn＝32q
由Sn＝，
解得q＝2，于是n＝6
若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2
∴qn＝
由Sn＝
解得q＝，n＝6
变式训练1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ．
解：64或1
由
或 ∴ q2＝或q2＝2，∴ a11＝a7 q2，∴ a11＝64或a11＝1
例2. 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．
解：若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴
两式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1
又∵q>0，∴ q>1，a1>0
∴ {an}是递增数列．
∴ an＝27＝a1qn－1＝
解得 a1＝1，q＝3，n＝4
变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．
解：(1) ∵a1＋2a22＝0，∴公比q＝
又∵S4－S2＝，
将q＝－代入上式得a1＝1，
∴an＝a1qn－1＝(－) n－1 (n∈N*)
(2) an≥(－) n－1≥()4
n≤5
∴原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5．
例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解：设这四个数为a－d，a，a＋d，
依题意有：
解得： 或
∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
变式训练3.设是等差数列的前项和，，则等于（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
答案： D。解析：由得，再由。
例4. 已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有：，求数列{cn}前n项和Sn．
解：(1) a1＝(d－2)2，a3＝d2，a3－a1＝2d
即d2－(d－2)2＝2d，解之得d＝2
∴a1＝0，an＝2(n－1)
又b1＝(q－2)2，b3＝q2，b3＝b1q2
即q2＝(q－2)2 q2，解之得q＝3
∴b1＝1，bn＝3n－1
(2)
Sn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn
＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n－1)
设1×3°＋2×3 ＋3×32＋…＋n×3 n－1
31×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3 n
－21＋3＋32＋33＋…＋3 n－1－n×3 n＝－3 n·n
∴Sn＝2n·3n－3n＋1
变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是
等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．
⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；
⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的值．
解：⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵∴ 故
1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．
2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．
3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．
4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．
第4课时 等差数列和等比数列的综合应用
1．等差数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等差数列， 则{akn} (k∈N*，k为常数)是 数列．
⑶ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．
⑴ a1> 0，d <0时，解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值．
⑵ a1<0，d>0时，解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值．
3．等比数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等比数列，则{a}、{}是 数列．
⑶ 若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
例1. 是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：
① a＋b＋c＝6
② a、b、c成等差数列．
③ 将a、b、c适当排列后成等比数列．
解：设存在这样的三位数a，b，c．
由a＋b＋c＝6，2b＝a＋c 得：b＝2，a＋c＝4
① 若b为等比中项，则ac＝4，∴ a＝c＝2与题设a≠c相矛盾．
② 若a为等比中项，则a2＝2c，则a＝c＝2(舍去)或a＝－4，c＝8．
③ 若c为等比中项，则c2＝2a，解得c＝a＝2(舍去)或c＝－4，a＝8．
∴存在着满足条件的三个数：－4，2，8或8，2，－4．
变式训练1.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（ ）
A．等差数列 B．等比数列
C．既成等差数列又成等比数列 D．以上答案都不是
答案：B。解析：由，由，由
∴，即成等比数列。
例2. 已知公差大于0的等差数列{}满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式an．
解：设{}的公差为d(d＞0)，由a2，a4，a8成等比数列可知，，也成等比数列，
∴()2＝·
∴(＋3d)2＝(＋d)(＋7d)
化简得d2＝，∴＝d
又a2a4＋a4a6＋a6a2＝1化简为
＋＋＝
∴3·＝·
∴·＝3，即(＋d)(＋5d)＝3
2d·6d＝3 ∴d＝，＝
∴＝＋(n－1)d＝
∴an＝
变式训练2.已知成等差数列，求证：也成等差数列。
解析：由成等差数列，则
∴
即成等差数列。
例3. 已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．
解：由2B＝A＋C，且A＋B＋C＝180°，B＝60°，由a、b、c成等比数列，有b2＝ac
cosB＝＝＝
得(a－c)2＝0，∴ a＝c ∴△ABC为等边三角形．
变式训练3.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则= （ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
答案： D.解析：依题意有
例4. 数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……
求：⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通项公式；
⑵ a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.
解析：(1)由a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3，…得a2＝S1＝a1＝，a3＝S2＝(a1＋a2)＝，a4＝S3＝(a1＋a2＋a3)＝
由an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)，又a2＝，∴an＝·()n－2(n≥2)
∴ {an}通项公式为an＝
(2) 由(1)可知a2、a4、…a2n是首项为，公比为()2，项数为n的等比数列.
∴ a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝×
＝[()2n－1]
变式训练4.设数列的前项的和，
求首项与通项。
解析：（I），解得：
所以数列是公比为4的等比数列
所以：
得： （其中n为正整数）
1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar（或am·an＝ap·ar）进行解答．
2．若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2b＝a＋c（或b2＝ac）．
3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．
4．在涉及an与Sn相关式子中用Sn－1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥2”这个特点．
第5课时 数列求和
求数列的前n项和，一般有下列几种方法：
1．等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ ．
2．等比数列的前n项和公式：
① 当q＝1时，Sn＝ ．
② 当q≠1时，Sn＝ ．
3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．
4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．
例1. 已知数列：1，，，，…，，求它的前n项的和Sn．
解：∵ an＝1＋＋＋……＋
＝ ∴an＝2－
则原数列可以表示为：
(2－1)，，，，…
前n项和Sn＝(2－1)＋＋＋…＋
＝2n－
＝2n－＝2n－2
＝＋2n－2
变式训练1.数列前n项的和为 （ ）
A． B．
C． D．
答案:B。解析：
例2. 求Sn＝1＋＋＋…＋．
解：∵ an＝＝
＝2(－)
∴ Sn＝2(1－＋－＋…＋－)＝
变式训练2：数列{an}的通项公式是an＝，若前n项之和为10，则项数n为（ ）
A．11 B．99
C．120 D．121
解：C .an＝＝，
∴Sn＝，由＝10，∴＝11，
∴n＝11
例3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：取n＝1，则a1＝a1＝1
又Sn＝可得：＝
∵an≠－1(n∈N*) ∴an＝2n－1
∴Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n－1)·2n ①
2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n－1)·2n＋1②
①－②得：
∴－Tn＝2＋23＋24＋25＋……＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1
＝2＋－(2n－1)·2n＋1＝－6＋(1－n)·2n＋2
∴Tn＝6＋(n－1)·2n＋2
变式训练3.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式．
⑵ 设Cn＝，求数列{Cn}前n项和Tn ．
解：（1）当n＝1时a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，故{an}通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，d＝4的等差数列，设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴ q＝，故bn＝b1qn－1＝
（2）∵Cn＝＝
∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n－1）4n－1
∴4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4n－n＋（2n－1）4n
两式相减 3Tn＝
∴ Tn＝．
例4. 求Sn＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！．
解： an＝n·n!＝(n＋1)!－n!
∴ Sn＝(n＋1)!－1!＝(n＋1)!－1
变式训练4.以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an＋1)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满足条件：bn＝an＋1－an，且b1≠0．
⑴ 求证：数列{bn}为等比数列．
⑵ 设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．
解：⑴由题意，an＋1＝2an＋k
∴ bn＝an＋1－an＝2an＋k－an＝an＋k
bn＋1＝an＋1＋k＝2an＋2k＝2bn
∵ b1≠0，∴ ＝2
∴ {bn}是公比为2的等比数列．
⑵ 由⑴知an＝bn－k
∵ bn＝b1·2n－1 ∴ Tn＝
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(b1＋b2＋…＋bn)－nk
＝Tn－nk＝b1(2n－1)－nk
∵ ∴
解得：k＝8
1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．
2．对通项中含有(－1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性．
3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视．
数列章节测试题
一、选择题：
1．数列则是该数列的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项
2．方程的两根的等比中项是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
4、已知等比数列的前三项依次为，，，则
A． B． C． D．
5．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（ ）
A．12 B． C．16 D．18
6、若等差数列的前5项和，且，则（　　）
（A）12　　 　　（B）13　　　　　 （C）14　　　　 （D）15
7、在数列中，， ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．{an}是等差数列，，则使的最小的n值是（ ）
A．5 B． C．7 D．8
10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案
则第个图案中有白色地面砖的块数是（　　）
A. B.
C. D.
11.若数列前100项之和为0，则的值为（ ）
A. B. C. D.以上的答案均不对
12.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成
A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比
二、填空题
13、设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
14、由正数构成的等比数列{an}，若，则 ．
15．已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为 ．
16、给定（n∈N*），定义乘积为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ．
三、解答题
17、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()（1）求；（2）设，求数列的前n项和。
18、数列{an}的前n项和记为Sn，
（1）求{an}的通项公式;
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn
19、假设某市2004年新建住房400万，其中有250万是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万。那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？
20、已知数列中，，，其前项和满足（，）．（1）求数列的通项公式；
（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
21、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前n项和.
22、已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
数列章节测试题参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B C C B B A D B D C A
二、填空题
13、-72　　14、7　　15、　
16、2026．
解：换底公式：．为整数，，m∈N*．k分别可取，最大值≤2008，m最大可取10，故和为22+23+…+210-18=2026．
三、解答题
17、解：（1）设，（）由成等比数列得
，----------------①, 得
∵ ∴---------------②　　由①②得， ∴
∴，显然数列是首项公差的等差数列
∴＝
（2）∵
∴＝
2＝
－＝＝
∴＝。
18、（I）由可得，两式相减得
又 ∴，故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴.
（II）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，
故可设 又由题意可得
解得
∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴ ∴
19.（1）到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750
（2）到2009年底，当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例将首次大于
20、解：（1）由已知，（，），
即（，），且．
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴．
（2）∵，∴，要使恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立．
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，
当且仅当时，有最小值为1，
∴．
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，
当且仅当时，有最大值，
∴．
即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有
21．（1）圆心到直线的距离，
（2）
相减得
22．解：（1）∵，∴
解得
（2）∵，∴数列的通项公式为
∴
∵函数在和上分别是单调减函数，
∴当时，
∴数列中的最大项是，最小项是
（2）由得
又函数在和上分别是单调减函数，
且时；时.
∵对任意的，都有，∴ ∴
∴的取值范围是
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函数概念与基本初等函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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（一）函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。　 ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．会运用函数图像理解和研究函数的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）指数函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解指数函数模型的实际背景。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）对数函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．知道对数函数是一类重要的函数模型. ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）幂函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解幂函数的概念。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．结合函数 的图像，了解它们的变化情况。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（五）函数与方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（六）函数模型及其应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现. ( http: / / www.21cnjy.com / )
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. ( http: / / www.21cnjy.com / )
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 函数及其表示 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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一、映射 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．函数的表示法有 、 、 。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：C? ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是 （ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )
A.y= ?B.y=()2 C.y=lg10x D.y= ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：C? ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2; (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）令t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2. ( http: / / www.21cnjy.com / )
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞). ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）设f(x)=ax2+bx+c (a≠0), ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴， ∴，又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1)令+1=t，则x=， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴f（t）=lg，∴f（x）=lg,x∈(1,+∞). ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）设f（x）=ax+b，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）2f（x）+f（）=3x， ① ( http: / / www.21cnjy.com / )
把①中的x换成，得2f（）+f（x）= ② ( http: / / www.21cnjy.com / )
①×2-②得3f（x）=6x-，∴f（x）=2x-. ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足， ( http: / / www.21cnjy.com / )
依题意，则有AH=，AG=a. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当M位于点H的左侧时，N∈AB， ( http: / / www.21cnjy.com / )
由于AM=x，∠BAD=45°. ∴MN=x. ∴y=S△AMN=x2（0≤x≤）. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）当M位于HG之间时，由于AM=x， ∴MN=，BN=x-. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴y=S AMNB =［x+（x-）］=ax- ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴y=S ABCD-S△MDN= ( http: / / www.21cnjy.com / )
综上：y= ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：已知函数f(x)= ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：（1）分别作出f(x)在x＞0,x=0,x＜0段上的图象，如图所示，作法略. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1. ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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第2课时 函数的定义域和值域 ( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
一、定义域： ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．函数的定义域就是使函数式 的集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．常见的三种题型确定定义域： ( http: / / www.21cnjy.com / )
① 已知函数的解析式，就是 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域. ( http: / / www.21cnjy.com / )
③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、值域： ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）
例如：① 形如y＝，可采用 法；② y＝，可采用 法或 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－，可采用 法；⑤ y＝x－，可采用 法；⑥ y＝可采用 法等.
例1. 求下列函数的定义域：
（1）y=; (2)y=; (3)y=.
解：（1）由题意得化简得
即故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}.
（2）由题意可得解得
故函数的定义域为{x|-≤x≤且x≠±}.
（3）要使函数有意义，必须有
即∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.
变式训练1：求下列函数的定义域：
（1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;
解：（1）由得 所以-3＜x＜2且x≠1.
故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).
（2）由得 ∴函数的定义域为
（3）由,得
借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为
例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.
（1）y=f(3x); (2)y=f();
(3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).
解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤, y=f(3x)的定义域为［0, ］.
（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).
（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.
列出不等式组
故y=f的定义域为.
（４）由条件得讨论：
①当即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］;
②当即-≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］.
综上所述：当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］.
变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜）的定义域是 （ ） A.? B.［a，1-a］ C.［-a，1+a］? D.［0，1］
解：?B
例3. 求下列函数的值域：
（1）y= (2)y=x-; (3)y=.
解：（1）方法一 （配方法）
∵y=1-而
∴0＜∴∴值域为.
方法二 （判别式法）
由y=得(y-1)
∵y=1时,1.又∵R，∴必须=(1-y)2-4y(y-1)≥0.
∴∵∴函数的值域为.
（2）方法一 （单调性法）
定义域，函数y=x,y=-均在上递增，
故y≤
∴函数的值域为.
方法二 （换元法）
令=t,则t≥0，且x= ∴y=-（t+1）2+1≤（t≥0）,
∴y∈（-∞，］.
（3）由y=得,ex= ∵ex＞0,即＞0,解得-1＜y＜1.
∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}.
变式训练3：求下列函数的值域：
（1）y=; (2)y=|x|.
解：（1）(分离常数法)y=-，∵≠0,
∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.
(2)方法一 (换元法)
∵1-x2≥0,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|,
故函数值域为［0，］.
方法二 y=|x|·
∴0≤y≤即函数的值域为.
例4．若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值.
解：∵f（x）=(x-1)2+a-.
∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间.
∴f（x）min=f（1）=a-=1 ①
f（x）max=f（b）=b2-b+a=b ②
由①②解得
变式训练4：已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R).
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),
∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1或a=.
（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤,∴a+3＞0,
∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).
∵二次函数f(a)在上单调递减，∴f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，
∴f(a)的值域为.
1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.
2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
第3课时 函数的单调性
一、单调性
1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .
(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x)在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数；
2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ；
3．互为反函数的两个函数有 的单调性；
4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .
5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .
例1. 已知函数f(x)=ax+ (a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0, ＞1且＞0,
∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,
∴＞0,
于是f(x2)-f(x1)=+＞0,
故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
方法二 f(x)=ax+1-(a＞1),
求导数得=axlna+,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0,＞0,
＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
方法三 ∵a＞1,∴y=ax为增函数，
又y=，在（-1，+∞）上也是增函数.
∴y=ax+在（-1，+∞）上为增函数.
变式训练1：讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.
解：方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，
设x1＞x2＞0,则
f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)·（1-）.
∴当0＜x2＜x1≤时，＞1,
则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，］上是减函数.
当x1＞x2≥时，0＜＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),
故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，
∴f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；
f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数.
方法二 由=1-=0可得x=±
当x＞或x＜-时，＞0∴f（x）分别在（，+∞）、（-∞，-］上是增函数.
同理0＜x＜或-＜x＜0时，＜0
即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.
例2. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.
解： 函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f(x)= ,
可分解成两个简单函数.
f(x)= =x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.
∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数，
∴f(x)=在（-∞,-1］上为减函数.
变式训练2：求函数y=（4x-x2）的单调区间.
解： 由4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.
∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.
又y=t在（0，+∞）上是减函数，
∴函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).
例3. 求下列函数的最值与值域：
（1）y=4-; (2)y=x+;(3)y=.
解：（1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.
∴t∈［0，4］，∈［0，2］，
从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］.
(2)方法一 函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论
x＞0时,即可知x＜0时的最值.
∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,
等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.
方法二 任取x1,x2,且x1＜x2,
因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=
所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.
故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,
所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.
（3）将函数式变形为 y=,
可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.
ymin=|AB|=，可求得x=时，ymin=.
显然无最大值.故值域为［，+∞）.
变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x2 (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？
解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x2）-（500x+4 000）=-20x2+2 500x-4 000
（x∈［1，100］且x∈N,）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x2+2 500x-4 000）
=2 480-40x （x∈［1，100］且x∈N）.
（2）P（x）=-20(x-2+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74 120（元）.
因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）.
因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.
例4．（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x）的单调性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
解：（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,则＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,
所以f＜0,即f(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，
由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.
变式训练4：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.
解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,
则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.
∴f（x2）＞f(x1).
即f(x)是R上的增函数.
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜,故解集为（-1,）.
1．证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.
2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.
3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.
第4课时 函数的奇偶性
1．奇偶性：
① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) .
② 简单性质：
1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.
2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.
2．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为 ；
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期
例1. 判断下列函数的奇偶性.
（1）f(x)=;
(2)f(x)=log2(x+) (x∈R);
(3)f(x)=lg|x-2|.
解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.
∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),
故f(x)既是奇函数又是偶函数.
（2）方法一 易知f(x)的定义域为R，
又∵f(-x)=log2［-x+］=log2=-log2(x+)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
方法二 易知f(x)的定义域为R，
又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（3）由|x-2|＞0，得x≠2.
∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.
变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：
（1）f（x）=（x-2）；
（2）f（x）=；
（3）f（x）=
解：（1）由≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.
（2）由得定义域为（-1，0）∪（0，1）.
这时f（x）=.
∵f（-x）=-∴f（x）为偶函数.
（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.
x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).
-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.
∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.
例2 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.
（1）证明： ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解：方法一 设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）. ∵x∈R+，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0, ∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x, ∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.
解：∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），
即f（x）=-xlg(2+x) （x＞0）.∴f(x)=
即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).
例3 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)?.
（1）求证：f(x)是周期函数；
（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数.
（1）证明： ∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数.
（2）解： 当0≤x≤1时，f(x)=x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.
∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,
∴-f（x）=-x，即f(x)= x.
故f(x)= x(-1≤x≤1)
又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,
∴f(x-2)=(x-2),
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），
∴-f（x）=（x-2），
∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.
∴f（x）=
由f(x)=-,解得x=-1.
∵f（x）是以4为周期的周期函数. 故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z).
令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤,
又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,
∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-.
变式训练3：已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
（1）试判断f(x)的奇偶性；
（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),
此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.
（2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,
∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，
从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1.
当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,
∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的
最小值为f(a)=a2+1.
综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2+1.
1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.
2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.
3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.
第5课时 指数函数
1．根式：
(1) 定义：若，则称为的次方根
① 当为奇数时，次方根记作__________；
② 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作________(a>0).
(2) 性质：
① ；
② 当为奇数时，；
③ 当为偶数时，_______＝
2．指数：
(1) 规定：
① a0＝ (a≠0)；
② a-p＝ ；
③ .
(2) 运算性质：
① (a>0, r、Q)
② (a>0, r、Q)
③ (a>0, r、Q)
注：上述性质对r、R均适用.
3．指数函数：
① 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数.
② 函数图像：
1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当时，图象向 无限接近轴，当时，图象向 无限接近x轴)；3)函数的图象关于 对称.
③ 函数值的变化特征：
① ② ③ ① ② ③
例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.
解：（1）原式=.÷［a·］ = =a.
∵a=，∴原式=3.
（2）方法一 化去负指数后解.
∵a=∴a+b=
方法二 利用运算性质解.
∵a=∴a+b=
变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）
解：（1）原式=
（2）原式=-
例2. 函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 （ ）
A.f(bx)≤f(cx)? B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)＞f(cx) D.大小关系随x的不同而不同
解：A
变式训练2：已知实数a、b满足等式，下列五个关系式： ①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个 ? B.2个 ?C.3个 ?D.4个
解：B?
例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：
（1）f(x)=3; （2）g(x)=-(.
解：（1）依题意x2-5x+4≥0, 解得x≥4或x≤1,
∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.
令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），
∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.
∵u=,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，
当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，
f（x）=3在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.
故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.
（2）由g(x)=-(
∴函数的定义域为R，令t=(x (t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2,
即g(x)≤9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.
由g(t)=-(t-2)2+9 (t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间， 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.
∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，
由0＜t=(≤2,可得x≥-1, 由t=(≥2,可得x≤-1.
∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，
故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.
变式训练3：求下列函数的单调递增区间： （1）y=(;(2)y=2.
解：（1）函数的定义域为R.
令u=6+x-2x2,则y=(.
∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,
在区间［，+∞）上，u=6+x-2x2是减函数，
又函数y=(u是减函数，
∴函数y=(在［，+∞）上是增函数.
故y=(单调递增区间为［，+∞）.
（2）令u=x2-x-6,则y=2u,
∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,
在区间［，+∞）上u=x2-x-6是增函数.
又函数y=2u为增函数，
∴函数y=2在区间［，+∞）上是增函数.
故函数y=2的单调递增区间是［，+∞）.
例4．设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.
（1）解： ∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）， ∴
∴（a-=0对一切x均成立，
∴a-=0，而a＞0,∴a=1.
（2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,
则f(x1)-f(x2)= +--
= (
∵x1＜x2,∴有?
∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1,
-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),
故f(x)在（0,+∞）上是增函数.
变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=.
（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；
（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.
（1）解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-
由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),
得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有 f（x）=
(2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)=
设0＜x1＜x2＜1,
则f(x1)-f(x2)=
∵0＜x1＜x2＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),
故f(x)在（0，1）上单调递减.
1． ＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.
2．处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.
3．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.
4．含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的
函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
第6课时 对数函数
1．对数：
(1) 定义：如果，那么称 为 ，记作 ，其中称为对数的底，N称为真数.
① 以10为底的对数称为常用对数，记作___________．
② 以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________．
(2) 基本性质：
① 真数N为 (负数和零无对数)；② ；③ ；
④ 对数恒等式： ．
(3) 运算性质：
① loga(MN)＝___________________________；
② loga＝____________________________；
③ logaMn＝ (n∈R).
④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)
⑤ .
2．对数函数：
① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；
4) 函数与函数 互为反函数.
② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)；
4) 函数y＝logax与 的图象关于x轴对称．
③ 函数值的变化特征：
① ② ③ ① ② ③
例1 计算：（1）
（2）2(lg)2+lg·lg5+;
（3）lg-lg+lg.
解：（1）方法一 利用对数定义求值
设=x, 则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.
方法二 利用对数的运算性质求解
= =(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|
=lg+(1-lg)=1.
（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245
= (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5)
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5
=lg(2×5)= lg10=.?
变式训练1：化简求值.
（1）log2+log212-log242-1;
（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;
（3）(log32+log92)·(log43+log83).
解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.
（3）原式=(
例2 比较下列各组数的大小.
（1）log3与log5; （2）log1.10.7与log1.20.7;
（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.
解：（1）∵log3＜log31=0, 而log5＞log51=0,∴log3＜log5.
(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞,
∴,
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.
如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.
(3)∵y=为减函数，且,
∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.
变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是 （ ）
A.loga B.
C. D.
解： C
例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，
试求a的取值范围.
解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.
所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.
只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,
∴|f(x)|=-f(x).
∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.
∴对于任意x∈［3，+∞）都有
|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，
只要-loga3≥1成立即可，
∴loga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a＜1.
综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.
变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,?1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
解：令g(x)=x2-ax-a,
则g(x)=（x-）2-a-, 由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.
因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,
在区间（-∞,1-］上是减函数，
所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-］上也是单调减函数，且g(x)＞0.
∴
解得2-2≤a＜2.
故a的取值范围是{a|2-2≤a＜2}.
例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上；
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,
由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.
因为A、B在过点O的直线上，所以
点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),
由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,
OC的斜率为k1=,
OD的斜率为由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.
（2）解： 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,
代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,
又因x1＞1,解得x1=,于是点A的坐标为（，log8).
变式训练4：已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).
（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x)的值域.
解：（1）f(x)有意义时，有
由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).
（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］
=log2［-（x-）2+］ (1＜x＜p),
①当1＜＜p，即p＞3时，
0＜-(x-,
∴log2≤2log2(p+1)-2.
②当≤1，即1＜p≤3时，
∵0＜-(x-
∴log2＜1+log2(p-1).
综合①②可知：
当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;
当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).
1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.
2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.
3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.
4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
第7课时 函数的图象
一、基本函数图象特征（作出草图）
1．一次函数为 ；
2．二次函数为 ；
3．反比例函数为 ；
4．指数函数为 ，对数函数为 .
二、函数图象变换
1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a) (a>0)
y＝f(x)→y＝f(x＋a) (a>0)
②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b (b>0)
y＝f(x)→y＝f(x)－b (b>0)
2．对称变换：
① y＝f(－x)与y＝f(x)关于 对称
② y＝－f(x)与y＝f(x)关于 对称
③ y＝－f(－x)与y＝f(x)关于 对称
④ y＝f -1(x)与y＝f(x)关于 对称
⑤ y＝|f(x)|的图象是将y＝f(x)图象的
⑥ y＝f(|x|)的图象是将y＝f(x)图象的
3．伸缩变换：
① y＝Af (x) (A>0)的图象是将y＝f(x)的图象的 .
② y＝f (ax) (a>0)的图象是将y＝f(x)的图象的 .
4．若对于定义域内的任意x，若f (a－x)＝f (a＋x) (或f (x)＝f (2a－x))，则f (x)关于 对称，若f (a－x)＋f (a＋x)＝2b (或f (x)＋f (2a－x)＝2b)，则f (x)关于 对称.
例1 作出下列函数的图象.
（1）y=(lgx+|lgx|); （2）y=; （3）y=|x|.
解：（1）y=
（2）由y=,得y=+2. 作出y=的图象，将y=的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得 y=+2的图象.
（3）作出y=（）x的图象，保留y=（）x图象中x≥0的部分，加上y=（）x的图象中x＞0的部分关于y轴的对称部分，即得y=（）|x|?的图象.其图象依次如下：
变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x； （2）y=|log（1-x）|；
（3）y=.
解：（1）由函数y=2x的图象关于x轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y=2-2x的图象.如图甲.
（2）由y=logx的图象关于y轴对称，可得y=log（-x）的图象，再将图象向右平移1个单位，即得到y=log(1-x).然后把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y=|log（1-x）|的图象.如图乙.
（3）y=.
先作出y=-的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移1个单位，向上平移2个单位，即得到所求图象.如图丙所示的实线部分.
例2 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ ）
解：?A?
变式训练2：设a＞1,实数x,y满足|x|-loga=0,则y关于x的函数的图象形状大致是 ( )
解：?B?
例3设函数f(x)=x2-2|x|-1 (-3≤x≤3).
（1）证明：f(x)是偶函数；
（2）画出函数的图象；
（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
（4）求函数的值域.
（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x),
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
（2）解： 当x≥0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,
当x＜0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,
即f(x)=
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示.
（3）解： 函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］.
f（x）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数.（4）解： 当x≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;
当x＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2;
故函数f(x)的值域为［-2，2］.
变式训练3：当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜logax恒成立,则a的取值范围为 .
解： (1,2］
1．作函数图象的基本方法是：
① 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；
② 考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；
③ 准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).
2．图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.
3．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称.
第8课时 幂函数
1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是
常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点 ；
（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；
（3）当时，幂函数是 ；当时，幂函数是 ．
3．幂函数的性质：
（1）都过点 ；
（2）任何幂函数都不过 象限；
（3）当时，幂函数的图象过 ．
4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；
（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限
关于 对称．
例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
解：（1）此函数的定义域为R，
∴此函数为奇函数．
（2）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数．
（3）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（4）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（5）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）
∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：
（1） （2） （3）（4）（5）
分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．
解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．
（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，
在 上单调递减．
（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增．
（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减．
（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减．
例2比较大小：
（1） （2）
（3）
（4）
解：（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，
，∴
（3）∵在上是减函数，
，∴；
∵是增函数，，
∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
例3已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．
分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合，便可逐步确定的值．
解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，又函数图象关于原点对称，
∴是奇数，∴或．
变式训练3：证明幂函数在上是增函数．
分析：直接根据函数单调性的定义来证明．
证明：设，
则
即
此函数在上是增函数
1．注意幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质要熟练掌握
第9课时 函数与方程
1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
2．函数与方程
两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
例1.（1）若，则方程的根是( )
A． B．－ C．2 D．－2
解：A．
（2）设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）
A．0 B．9 C．12 D．18
解：由知的图象有对称轴，方程的6个根在 轴上对应的点关于直线对称，依次设为，故6个根的和为18，答案为D．
（3）已知，（、、∈R），则有（ ）
A． B． C． D．
解法一：：依题设有
∴是实系数一元二次方程的一个实根；
∴△＝≥0 ∴，答案为B．
解法二：去分母，移项，两边平方得：＋＝20．
∴，答案为B．
（4）关于的方程 的两个实根 、 满足 ，则实数m的取值范围
解：设，则，
即：，解得：．
（5）若对于任意，函数的值恒大于零,　则的取值范围是
解：设，显然，
则，即，解得：．
变式训练1： 当时，函数的值有正值也有负值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：D
例2.设依次是方程,，
的实数根，试比较的大小 ．
解：在同一坐标内作出函数，，的图象
从图中可以看出，
又，故
变式训练2：已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4．
例3. 已知二次函数为常数，且 满足条件：，且方程有等根.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.
解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2 ．
由知此函数图象的对称轴方程为，得，
故 ．
（2），∴4n1，即
而抛物线的对称轴为 ∴时，在［m，n］上为增函数.
若满足题设条件的m，n存在，则，
又， ∴，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.
由以上知满足条件的m、n存在， ．
变式训练3：已知函数 (.
（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；
（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；
（3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围.
解：（1）证明 任取
∵，∴，，
∴，即，故在(0,+∞)上是增函数.
（2）解： ∵在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴ 在（0，+∞）上恒成立，
令，当且仅当即x=时取等号
要使在(0,+∞)上恒成立，则
故的取值范围是［,+∞)．
（3）解： 由（1）在定义域上是增函数.
∴，即，
故方程有两个不相等的正根m，n，注意到，
故只需要(,由于，则 ．
例4．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：令，得：，∵ ，∴ ，即．
变式训练4：对于函数，若存在∈R,使成立，则称为的不动点. 已知函数
（1）当时，求的不动点；
（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
解：（1）当时，
由题意可知，得
故当当时，的不动点 ．
（2）∵恒有两个不动点，
∴，
即恒有两相异实根
∴恒成立.
于是解得
故当b∈R，恒有两个相异的不动点时，.
本节主要注意以下几个问题：
1．利用函数的图象求方程的解的个数；
2．一元二次方程的根的分布；
3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题
第10课时 函数模型及其应用
1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示是：
例1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.
解： 设四边形EFGH的面积为S，
则S△AEH=S△CFG=x2,
S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），
∴S=ab-2［2+（a-x）（b-x）］
=-2x2+（a+b）x=-2（x-2+
由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.
又0＜b＜a,∴0＜b＜,若≤b,即a≤3b时，
则当x=时，S有最大值;
若＞b,即a＞3b时，
S（x）在（0,b］上是增函数，
此时当x=b时，S有最大值为
-2(b-)2+=ab-b2,
综上可知，当a≤3b时，x=时，
四边形面积Smax=,
当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.
解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，
进货总额为8（100-10x）元，
显然100-10x＞0,即x＜10,
则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x＜10).
当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.
例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度
v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴
的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这
场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将
侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
解：（1）由图象可知：
当t=4时，v=3×4=12,
∴s=×4×12=24.
（2）当0≤t≤10时，s=·t·3t=t2，
当10＜t≤20时，s=×10×30+30（t-10）=30t-150；
当20＜t≤35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
综上可知s=
(3)∵t∈［0，10］时，smax=×102=150＜650.
t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450＜650.
∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,
∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.
变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，
需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？
解：（1）当x≤5时，产品能售出x百台；
当x＞5时，只能售出5百台，
故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）
=
(2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x--0.5，
当x=4.75时，L(x)max=10.781 25万元.
当x＞5时，L（x）=12-0.25x为减函数，
此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.
（3）由
得x≥4.75-=0.1(百台）或x＜48(百台).
∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.
例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y=（5x+3x）×1.8=14.4x;
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，
即3x≤4且5x＞4,
y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.
当乙的用水量超过4吨时，
即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，
所以y=
(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，
当x∈［0，］时,y≤f（）＜26.4;
当x∈（，］时，y≤f（）＜26.4;
当x∈（,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,
所以甲户用水量为5x=7.5吨，
付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);
乙户用水量为3x=4.5吨，
付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).
变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？
以下数据供计算时使用：
数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000
对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0
数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78
对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2
解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，
则y·(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，
即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，
两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，
则lg（1+x）==0.007 525，
∴1+x≈1.017，得x=1.7%.
（2）依题意，y≤12.48（1+1%）10?，
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,
∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.
答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.
解决函数应用问题应着重注意以下几点：
1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；
3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.
4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.
函数单元测试题
一、选择题
1.函数y=的定义域是 （ ）
?A.［1，+∞） B.（,+∞）? C.［，1］? D.（,1］
2.（2009·河南新郑二中模拟）设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题： （ ）
①当b≥0时，函数y=f(x)是单调函数
②当b=0,c＞0时，方程f(x)=0只有一个实根
③函数y=f(x)的图象关于点（0，c）对称
④方程f(x)=0至多有3 个实根，其中正确命题的个数为
?A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.（2008·湛江模拟）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）
?A.y=x (x∈(0,+∞)) B.y=3x(x∈R)
?C.y=x (x∈R)? D.y=lg|x|(x≠0)
4.（2008·杭州模拟）已知偶函数f(x)满足条件：当x∈R时，恒有f(x+2)=f(x),且0≤x≤1时，有＞0,则f（,f（,f（的大小关系是 （ ）
?A. f（＞f（＞f（?
B. f（＞ f（＞f（?
?C. f（＞ f（＞ f（
?D. f（＞ f（＞f（,
5.如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是 （ ）
?A.m＜0,n＞1 ? B.m＞0,n＞1
?C.m＞0,0＜n＜1 ?D.m＜0,0＜n＜1
6.已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2x-1，则f(log212)的值为（ ） A. B. C.2 D.11
7.（2008·重庆理，4）已知函数y=的最大值为M，最小值为m，则的值为 （ ） A. B. C. D.
8.若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是 （ ）
?A.a＜-1? B.a＞1 C.-1＜a＜1 D.0≤a＜1
9.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）
?A.5? B.4 C.3 D.2
10.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单价（元/kg） 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量（1 000kg） 50 60 70 75 80 90
表2 市场需求表
单价（元/kg） 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
供给量（1 000kg） 50 60 65 70 75 80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ）
?A.（2.3，2.4）内? B.（2.4，2.6）内
?C.（2.6，2.8）内? D.（2.8，2.9）内
11.(2008·成都模拟)已知函数f(x)=loga(+bx) (a＞0且a≠1)，则下列叙述正确的是（ ）
?A.若a=,b=-1,则函数f(x)为R上的增函数
?B.若a=,b=-1,则函数f（x)为R上的减函数
?C.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，则b=±1
?D.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则b=1
12.设函数f（x）=若f(a)＜1,则实数a的取值范围是 （ ）
?A.（-∞,-3） B.(1,+∞)? C.(-3,1) D.(-∞,-3)(1,+∞)
二、填空题
13.（2009·广西河池模拟）已知函数f(x)=log2(x2+1)(x≤0)，则= .
14.已知函数f(x)=则f(log23)的值为 .
15.（2008·通州模拟）用二分法求方程x3-2x-5=0在区间［2，3］内的实根，取区间中点x0=2.5,那么下一个有实根的区间是 .
答案 （2，2.5）
16.（2008·福州模拟）对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2 (x1≠x2),
有如下结论：
①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);
②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);
③＞0;
④f()＜
当f(x)=2x时，上述结论中正确结论的序号是 .
三、解答题
17．设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时，f(x)=x3.
（1）证明：f(x)是奇函数；
（2）当x∈［3，7］时，求函数f(x)的解析式.
18.等腰梯形ABCD的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P由B点沿折线BCDA向A运动，设P点所经过的路程为x，三角形ABP的面积为S
（1）求函数S=f(x)的解析式；
（2）试确定点P的位置，使△ABP的面积S最大.
19.（2008·深圳模拟）据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元 (a＞0).
（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大.
20.设a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=是奇函数.
（1）求b的取值范围；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
21.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)解析表达式.
22.（2008·南京模拟）已知函数y=f(x)是定义在区间［-，］上的偶函数，且
x∈［0，］时，f（x）=-x2-x+5.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f(x)的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值.
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抽象概括
实际问题的解
函数模型的解
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运用函数的性质
典型例题
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空间向量 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第1课时 空间向量及其运算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． ( http: / / www.21cnjy.com / )
本节知识点是： ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 向量：具有 和 的量． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 向量相等：方向 且长度 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 向量加法法则： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(4) 向量减法法则： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(5) 数乘向量法则： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．线性运算律 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 加法交换律：a＋b＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 加法结合律：(a＋b)＋c＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 数乘分配律：(a＋b)＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．共线向量 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．共面向量 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 共面向量：平行于 的向量． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
共面向量定理的推论： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．空间向量基本定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 空间向量的基底： 的三个向量． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使 ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．空间向量的数量积 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 空间向量的夹角： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 空间向量的长度或模： ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
空间向量的数量积的常用结论： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(a) cos〈a、b〉＝ ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(b) a2＝ ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(c) ab ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(4) 空间向量的数量积的运算律： ( http: / / www.21cnjy.com / )
(a) 交换律a·b＝ ； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(b) 分配律a·(b＋c)＝ ． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：易求得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ( ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a＋b＋c B．a＋b＋c ( http: / / www.21cnjy.com / )
C．ab＋c D．ab＋c ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：A ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点， ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：AB1∥平面C1BD. ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：记则∴,∴共面. ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵B1平面C1BD, AB1//平面C1BD. ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 求证：MN∥平面FC； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 求证：MN⊥AB； ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：(1) 设 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3) 设正方体的边长为a, ( http: / / www.21cnjy.com / )
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也即， ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心． ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：(1) AD⊥BC．因为ABCD，，而． ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以AD⊥BC． ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，＝()＝． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练3：已知平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点．求证：E、F、G、H四点共面． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝＝＝， ( http: / / www.21cnjy.com / )
所以共面，即点E、F、G、H共面． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. 如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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解：设 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵E、F、G、P四点共面，∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴ ∴AP︰PC1＝3︰16 ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证． ( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：法一： ( http: / / www.21cnjy.com / )
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故 ( http: / / www.21cnjy.com / )
法二：·＝(＋)·(＋) ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝· ( http: / / www.21cnjy.com / )
＝＝0 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝． ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝. ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝. ( http: / / www.21cnjy.com / )
第2课时 空间向量的坐标运算 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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设a＝，b＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) a±b＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) a＝ ．
(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
(5) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
例1. 若＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)
（1）若(k+)∥(－3)，求实数k的值；
（2）若(k+)⊥(－3)，求实数k的值；
（3）若取得最小值，求实数k的值．
解：(1)；
(2)； (3)
变式训练1. 已知为原点，向量∥，求．
解：设，
∵∥，∴，，
∴，即
解此方程组，得。
∴，。
例2. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点．
(1) 求BM的长；
(2) 求的值；
(3) 求证：．
解：以C为原点建立空间直角坐标系.
(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．.
(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.
.
(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N.
变式训练2. 在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；
(2) 求(1) 中的点N到平面PAC的距离．
解：(1) 建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设N(x, 0, z)，则＝(－x, , 1－z)，由于NE⊥平面PAC，
∴
即
，即点N的坐标为(, 0, 1)，
从而N到AB、AP的距离分别为1，.
(2) 设N到平面PAC的距离为d，则d＝
＝.
例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E在上，且:＝2:1．
(1) 证明 平面；
(2) 求以AC为棱，与为面的二面角的大小；
(3) 在棱PC上是否存在一点F，使∥平面？证明你的结论．
解：（1）证明略；
（2）易解得；
（3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为
所以，，
，设点F是棱上的点，，其中，则．令得
解得，即时，．亦即，F是PC的中点时，共面，又平面，所以当F是PC的中点时，∥平面．
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.
(1) 求和点G的坐标；
(2) 求GE与平面ABCD所成的角；
(3) 求点C到截面AEFG的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，
E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴
又∵，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)
＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1)
(2)平面ABCD的法向量
，设GE与平面ABCD成角为，则
∴
(3)设⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0)
∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)
∴
取z0＝4，则＝(4，－3，4)
∵
即点C到截面AEFG的距离为．
变式训练4. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
(2)求点D到平面PBG的距离；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
解：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，
P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)， ＝(0，2，4)。，
∴GE与PC所成的余弦值为．
(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0) .
∵，
∴点D到平面PBG的距离为n |＝.
(3)设F(0，y，z)，则。
∵，∴，
即，
∴ , 又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)， ∴z=1，
故F(0，，1) ，，∴。
对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题．
运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．
空间向量章节测试题
1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为
A.60 B. 90 C.105 D. 75
3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是 （ ）
A． B。 C。 D。
4． 设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
5．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为 （ ）
A． B． C． D．
6． 在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （ ）
A． B． C． D．
7． 棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a、H、h、d的大小关系正确的是 （ ）
A．a>H>h>d B．a>d>h>H C．a>h>d>H D．a>h>H>d
8．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则的大小为 （ ）
A. B. C. D.
9．三棱锥A—BCD的高AH = 3，H是底面△BCD的重心．若AB=AC，二面角A—BC—D为60°，G是△ABC的重心，则HG的长为 （ ）
A． B． C． D．
10．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60 ，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 （ ）
A． B。 C。 D。
11．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为 。
12。如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
13．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为 ．
14．已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，则AE与平面间的距离为 ．
15．如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
（1）求二面角C-DE-C1的正切值；
（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值．
16．如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
(I) 求证：AB平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
17．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；
（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，
使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，
求二面角Q-PD-A的大小．
空间向量章节测试题答案
1．B。
2． B。
3． A。
4． C。提示：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，E(1，，0)，C(0，1，0)．设平面A1ECF的法向量为n=(x，y，z)，则由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，，1)．
，，而且可计算得到这四个向量与向量n所成的角为30°，于是这四个向量与平面A1ECF所成的角为60°．而其它的面对角线所在的向量均不满足条件．
5 D。
6． C。
7． C。
8．A。
9． D。
10． D
11．。
12． 。
13．设AC与BD相交于点O，则与所成的角即∠EOC为所求．易得大小为45°．
14．
15．（1）如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．
于是，，
．
设向量与平面C1DE垂直，则有
．
∴其中z＞0．
取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．
∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，
∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．
∵，
∴．
（2）设EC1与FD1所成角为，则
．
16． (1) ∵PC⊥平面ABC,平面ABC，
∴PCAB.∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．又，∴AB平面PCB．
∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为．
(2) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，
如图建立坐标系．则Ａ（０,,０），Ｂ（0,0,0）， C（,０,0），P（,０,2）．
=(,－,2)，=(,0,0)．
则=×+0+0=2．
=== ．
∴异面直线AP与BC所成的角为．
（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．=(0, －,0),=(,－,2)，
则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1)．
设平面PAC的法向量为n=(x, y, z).＝(0,0,－2), =(,－,0)，
则 即解得 令x=1, 得 n= (1，1，0)．
=. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为．
17．（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．
∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）．
（2）设点Q（1，x，0），则
．
由，得x2-ax+1=0．
显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．
因a>0，故a的取值范围为a≥0．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三点共线，
∴．
又，且，
故．
于是．
故．
∵，
∴．
∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
∵，
∴所求二面角为．
考纲导读
空间向量
定义、加法、减法、数乘运算
数量积
坐标表示：夹角和距离公式
求距离
求空间角
证明平行与垂直
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基础过关
典型例题
A
B
C
D
A1
C1
B1
D
F
A
G
B
B1
C1
D1
A1
C
E
P
小结归纳
基础过关
典型例题
x
y
z
B1
C1
A1
C
B
A
M
N
A
B
C
P
E
D
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C
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P
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G
B
C
D
F
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小结归纳
A
B
M
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A
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D
C
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A1
F
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C1
B1
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第10题答图
Q
P
D
C
B
A
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x
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