华师大版数学七年级下册6.2二元一次方程组的解法（分层练习）
一、基础夯实
1．用加减法解方程组 时， 有下列四种变形， 其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·珠海期末）用代入法解方程组时，把②代入①后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七下·平泉期末）利用加减消元法解方程组，要消去y，甲说：可以将①×+②×；乙说：可以将①×（-6）-②×4．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲乙都不对 D．甲乙都对
4．在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法.
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③
把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴方程组的解决为
请用“整体代换”法解下列方程组：
（1）。
（2）
5．（2021七下·大同期末）已知关于的二元一次方程的解为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024七下·平南期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：
第一步：由①得，③
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得
第五步：所以原方程组的解为
（1） 任务一：小强解方程组用的方法是 消元法.（填“代入”或“加减”）；
（2） 任务二：小强解方程组的过程，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（3）任务三：请写出方程组正确的解答过程。
7．（2024七下·荔湾月考）解方程组：
（1）
（2）
8． 用加减法解下列方程组：
（1）
（2）
9．（2024七下·赣县区期末）阅读小邦同学数学作业本上的截图内容并完成任务．
解方程组 ：.
解：由①×2，②×3 得，…（第一步）
由③-④，得y=-5，…（第二步）
把y=-5代入②，得x=11，…（第三步）
所以原方程组的解是，…（第四部）
任务：
（1）这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第 步开始出现错误．
（2）请写出该方程组的正确解答过程．
10．（2023七下·阳城期末）课堂上老师出了一道题目：解方程组
（1）小组学习时，老师发现有同学这么做：
得，③，
得，，
∴
把代入①得 ∴这个方程组的解是
该同学解这个方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ，这种解题方法主要体现了 的数学思想．
（2）请用另一种方法（代入消元法）解这个方程组．
11．（2023七下·志丹月考）已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足．
（1）求m的值；
（2）求原方程组的解．
二、巩固提高
12．（2023七下·北京市期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
13．（2023七下·顺义期末）如果是方程组的解，那么代数式的值为 ．
14．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科中，将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于的二元一次方程组
可以写成矩阵的形式
例如：可以写成矩阵的形式．
（1）填空：将写成矩阵形式为
（2）若矩阵所对应的方程组的解为求与的值．
15．阅读并解答：
对于方程组不妨设=u，=v，则原方程组就变成以u，v为未知数的方程组解得从而求得原方程组的解是这种解法称之为换元法。
用换元法解方程组
三、拓展提升
16．阅读探索：
【知识累积】
解关于a，b的方程组
解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可变为解方程组，得即
所以此种解方程组的方法叫换元法。
（1）【拓展提高】
运用上述方法解方程组
（2）【能力运用】
已知关于x，y的方程组的解为直接写出关于m，n的方程组的解．
17．（2024七下·长沙期中）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即．
一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即．
（1）计算下列各对数的值： ， ， ；
（2）已知x，y的值满足：，，求x，y的值；
（3）已知x，y为正整数，且满足：，，当n为正整数时，求满足条件的x，y的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2，②×3，得：
故正确答案选：C.
【分析】通过观察分析可以知道，消y比较合适，所以①×2，得：4x+6y=6；②×3，得：9x-6y=33.所以即为。如果想消x，那么必须①×3，得：6x+9y=9；②×2，得：6x-4y=22，即为，然后可以分别判断，即可得到正确答案.
2．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将②代入①中得：
故答案为：D.
【分析】将②代入①中求解即可.
3．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】甲：将①×+②×，可得，可以消去，
乙：①×（-6）-②×4，可得，可以消去，
故甲乙都对，
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组的步骤和解题方法求解即可。
4．【答案】（1）解：
将方程②变形为8x-6y-y=18，即2（4x-3y）-y=18.③
把①代入③，得2×6-y=18，解得y=-6.
把y=-6代入①，得x=-3.
∴方程组的解为
（2）解：
将方程②变形为4（x+3）+2（2y-1）-5（2y-1）=17，
即2[2（2x+3）+（2y-1）]-5（2y-1）=17.③
把①代入③，得2×11-5（2y-1）=17，解得y=1.
把y=1代入①，得x=2，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过观察、分析可知，此题用“整体代换”法比较简便，把方程②变形为8x-6y-y=18，即2（4x-3y）-y=18.③，然后把方程①代入方程③，可求出y的值，然后把y的值代入方程①，求出x的值，即求出方程组的解.
（2）通过观察、分析可知，此题用“整体代换”法比较简便，把方程②变形为4（x+3）+2（2y-1）-5（2y-1）=17，即2[2（2x+3）+（2y-1）]-5（2y-1）=17.③再把①代入③，得2×11-5（2y-1）=17，解得y=1.把y=1代入①，求出x的值，即求出方程组的解.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入原方程组得，，
方程①-②得，，
故答案为：B．
【分析】将代入方程组，再利用加减消元法求出即可。
6．【答案】（1）代入
（2）二；整体代入未添加括号
（3）正确的解答过程：
解：由①得③
将③代入②得，解得
把代入③，即：，解得
∴原方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据代入消元法可知：小强根据x-2y=1，用y将x替换出来代入另一个二元次方程中，因此小强用的是代入消元法。
（2）在 中，2y+1是个整体，表示的是x的值，而小强未整体代入相乘.
（3）代入消元法：是将二元一次方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，求出该未知数的值，然后再将该未知数代入任意一个方程中，求出另一个未知数.
7．【答案】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①，得：，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
由②得：③，
由③-①得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）本题主要考查了解二元一次方程组，将代入，求得，再将其代入计算，求得x的值，即可得到答案；
（2）本题主要考查了解二元一次方程组，结合加减消元法求解，即可求解．
（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①，得：，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
由②得：③，
由③-①得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解为．
8．【答案】（1）解：
①×3， 得 9x+12y=48. ③
②×2， 得 10x-12y=66. ④
④+③， 得 19x=114，
解得 x=6
把 x=6代入①，得
所以这个方程组的解是
（2）解：
①×3， 得 6x+9y=-. ③
②×2， 得 6x+4y=-. ④
③-④， 得 5y=-，
解得 y=-
把 y=-代入①，得
所以这个方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元. 观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×3，②×2可以使两个方程中y的系数互为相反数，就可以用加减法求解了.
(2)这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元. 观察这两个方程中未知数x的系数之间的关系，将①×3，②×2可以使两个方程中x的系数相等，就可以用加减法求解了.
9．【答案】（1）加减消元法；一
（2）解：由，得
由，得；
把代入②，得；
所以原方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：这种求解二元一次方程组的解法叫做“加减消元法”，以上解答过程从第一步开始出现错误．
故答案为：“加减消元法”，一；
【分析】（1）观察解题步骤，可知这种求解二元一次方程组的解法叫做“加减消元法”，以上解答过程从第一步开始出现错误；
（2）利用“加减消元法”解二元一次方程组，此题得解．
10．【答案】（1）加减；一元一次方程；转化
（2）解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
所以方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）由题意得，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程，这种解题方法主要体现了转化的数学思想，
故答案为：加减，一元一次方程，转化
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
（2）根据代入消元法解二元一次方程组即可求解．
11．【答案】（1）解：
得：．
∵，
∴，
解得：，
∴的值为5．
（2）解：将代入原方程组得：
得：，
解得：．
将代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1） 由题意将两个方程相减可得4x+4y=3m-3，把已知条件x+y=3代入可得关于m的方程，解方程可求解；
（2）将（1）中求得的m的值代入原方程组可得：，解这个方程组即可求解.
12．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
（①+②）÷2得：x-y＝10+k
又∵x-y＝6
∴10+k＝6
解得：k＝-4
∴k的值为-4
故答案为：-4
【分析】利用（①+②）÷2，可得出x-y＝10+k，结合x-y＝6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
13．【答案】5
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
②-①得：a-b=5，
故答案为：5.
【分析】根据题意先求出，再利用加减消元法解方程组求解即可。
14．【答案】（1）
（2）解：根据矩阵形式得到方程组为，将代入上述方程得，解得
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1)化简方程得，因此矩阵形式为．
【分析】（1）将方程组化为的形式，即可写出矩阵形式；
（2）由矩阵形式写出方程组，再将代入即可得到关于未知数a，b的方程组，解方程即可.
15．【答案】解：设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为，
解得，
即；
解得 ，
故原方程组的解为 .
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题中例题的方法，设x+y=m，x-y=n，先求出m和n的值，再解方程组即可求解.
16．【答案】（1）解：设 ，原方程可变形为
解得：
∴
解得.
（2）解：设5（m+3）=x， 3（n-2）=y，原方程组可变形为：，
∵的解为
∴
解得：
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据题中的例子给出的方法，就是换元法，先设然后把关于a、b的方程组变形为关于x、y的方程组，解出方程组，求出x、y的值。再把x、y的值分别代入，解出方程，求出a、b的值即可.
(2)根据前面给出的方法，先设5（m+3）=x， 3（n-2）=y，那么可以把原方程组可变形为：，然后由的解为可以知道解出求得即可.
17．【答案】（1）2；3；6
（2）解：由题可知：，
∵，∴，此时，
故，
将，代入，得．
（3）解：由题可知：
解得：
∵n为正整数，x，y为正整数，
∴或或或或或，
∴（舍）；（舍）；
时，；时，；
时，（舍）；时，（舍），
综上满足条件的x，y的值为：或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由，则；由，则；由，则；
【分析】(1)由材料定义，即对数运算转换为乘方运算，可直接口算得出结果；
(2)同理根据材料定义，转换为乘方运算建立等量关系分别求出对应值即可；
(3)同(2)得出等量关系，即可视作为含参数n且关于x，y的二元一次方程组，故可用含n的式子解出x，y，最后利用因数进行整数解逐一分析即可.
1 / 1华师大版数学七年级下册6.2二元一次方程组的解法（分层练习）
一、基础夯实
1．用加减法解方程组 时， 有下列四种变形， 其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2，②×3，得：
故正确答案选：C.
【分析】通过观察分析可以知道，消y比较合适，所以①×2，得：4x+6y=6；②×3，得：9x-6y=33.所以即为。如果想消x，那么必须①×3，得：6x+9y=9；②×2，得：6x-4y=22，即为，然后可以分别判断，即可得到正确答案.
2．（2023七下·珠海期末）用代入法解方程组时，把②代入①后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将②代入①中得：
故答案为：D.
【分析】将②代入①中求解即可.
3．（2021七下·平泉期末）利用加减消元法解方程组，要消去y，甲说：可以将①×+②×；乙说：可以将①×（-6）-②×4．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲乙都不对 D．甲乙都对
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】甲：将①×+②×，可得，可以消去，
乙：①×（-6）-②×4，可得，可以消去，
故甲乙都对，
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组的步骤和解题方法求解即可。
4．在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法.
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③
把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴方程组的解决为
请用“整体代换”法解下列方程组：
（1）。
（2）
【答案】（1）解：
将方程②变形为8x-6y-y=18，即2（4x-3y）-y=18.③
把①代入③，得2×6-y=18，解得y=-6.
把y=-6代入①，得x=-3.
∴方程组的解为
（2）解：
将方程②变形为4（x+3）+2（2y-1）-5（2y-1）=17，
即2[2（2x+3）+（2y-1）]-5（2y-1）=17.③
把①代入③，得2×11-5（2y-1）=17，解得y=1.
把y=1代入①，得x=2，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过观察、分析可知，此题用“整体代换”法比较简便，把方程②变形为8x-6y-y=18，即2（4x-3y）-y=18.③，然后把方程①代入方程③，可求出y的值，然后把y的值代入方程①，求出x的值，即求出方程组的解.
（2）通过观察、分析可知，此题用“整体代换”法比较简便，把方程②变形为4（x+3）+2（2y-1）-5（2y-1）=17，即2[2（2x+3）+（2y-1）]-5（2y-1）=17.③再把①代入③，得2×11-5（2y-1）=17，解得y=1.把y=1代入①，求出x的值，即求出方程组的解.
5．（2021七下·大同期末）已知关于的二元一次方程的解为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入原方程组得，，
方程①-②得，，
故答案为：B．
【分析】将代入方程组，再利用加减消元法求出即可。
6．（2024七下·平南期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：
第一步：由①得，③
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得
第五步：所以原方程组的解为
（1） 任务一：小强解方程组用的方法是 消元法.（填“代入”或“加减”）；
（2） 任务二：小强解方程组的过程，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（3）任务三：请写出方程组正确的解答过程。
【答案】（1）代入
（2）二；整体代入未添加括号
（3）正确的解答过程：
解：由①得③
将③代入②得，解得
把代入③，即：，解得
∴原方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据代入消元法可知：小强根据x-2y=1，用y将x替换出来代入另一个二元次方程中，因此小强用的是代入消元法。
（2）在 中，2y+1是个整体，表示的是x的值，而小强未整体代入相乘.
（3）代入消元法：是将二元一次方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，求出该未知数的值，然后再将该未知数代入任意一个方程中，求出另一个未知数.
7．（2024七下·荔湾月考）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①，得：，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
由②得：③，
由③-①得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）本题主要考查了解二元一次方程组，将代入，求得，再将其代入计算，求得x的值，即可得到答案；
（2）本题主要考查了解二元一次方程组，结合加减消元法求解，即可求解．
（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①，得：，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
由②得：③，
由③-①得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解为．
8． 用加减法解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①×3， 得 9x+12y=48. ③
②×2， 得 10x-12y=66. ④
④+③， 得 19x=114，
解得 x=6
把 x=6代入①，得
所以这个方程组的解是
（2）解：
①×3， 得 6x+9y=-. ③
②×2， 得 6x+4y=-. ④
③-④， 得 5y=-，
解得 y=-
把 y=-代入①，得
所以这个方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元. 观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×3，②×2可以使两个方程中y的系数互为相反数，就可以用加减法求解了.
(2)这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元. 观察这两个方程中未知数x的系数之间的关系，将①×3，②×2可以使两个方程中x的系数相等，就可以用加减法求解了.
9．（2024七下·赣县区期末）阅读小邦同学数学作业本上的截图内容并完成任务．
解方程组 ：.
解：由①×2，②×3 得，…（第一步）
由③-④，得y=-5，…（第二步）
把y=-5代入②，得x=11，…（第三步）
所以原方程组的解是，…（第四部）
任务：
（1）这种求解二元一次方程组的解法叫做 （填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第 步开始出现错误．
（2）请写出该方程组的正确解答过程．
【答案】（1）加减消元法；一
（2）解：由，得
由，得；
把代入②，得；
所以原方程组的解是
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：这种求解二元一次方程组的解法叫做“加减消元法”，以上解答过程从第一步开始出现错误．
故答案为：“加减消元法”，一；
【分析】（1）观察解题步骤，可知这种求解二元一次方程组的解法叫做“加减消元法”，以上解答过程从第一步开始出现错误；
（2）利用“加减消元法”解二元一次方程组，此题得解．
10．（2023七下·阳城期末）课堂上老师出了一道题目：解方程组
（1）小组学习时，老师发现有同学这么做：
得，③，
得，，
∴
把代入①得 ∴这个方程组的解是
该同学解这个方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ，这种解题方法主要体现了 的数学思想．
（2）请用另一种方法（代入消元法）解这个方程组．
【答案】（1）加减；一元一次方程；转化
（2）解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
所以方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）由题意得，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程，这种解题方法主要体现了转化的数学思想，
故答案为：加减，一元一次方程，转化
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
（2）根据代入消元法解二元一次方程组即可求解．
11．（2023七下·志丹月考）已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足．
（1）求m的值；
（2）求原方程组的解．
【答案】（1）解：
得：．
∵，
∴，
解得：，
∴的值为5．
（2）解：将代入原方程组得：
得：，
解得：．
将代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1） 由题意将两个方程相减可得4x+4y=3m-3，把已知条件x+y=3代入可得关于m的方程，解方程可求解；
（2）将（1）中求得的m的值代入原方程组可得：，解这个方程组即可求解.
二、巩固提高
12．（2023七下·北京市期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
（①+②）÷2得：x-y＝10+k
又∵x-y＝6
∴10+k＝6
解得：k＝-4
∴k的值为-4
故答案为：-4
【分析】利用（①+②）÷2，可得出x-y＝10+k，结合x-y＝6，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
13．（2023七下·顺义期末）如果是方程组的解，那么代数式的值为 ．
【答案】5
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
②-①得：a-b=5，
故答案为：5.
【分析】根据题意先求出，再利用加减消元法解方程组求解即可。
14．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科中，将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于的二元一次方程组
可以写成矩阵的形式
例如：可以写成矩阵的形式．
（1）填空：将写成矩阵形式为
（2）若矩阵所对应的方程组的解为求与的值．
【答案】（1）
（2）解：根据矩阵形式得到方程组为，将代入上述方程得，解得
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1)化简方程得，因此矩阵形式为．
【分析】（1）将方程组化为的形式，即可写出矩阵形式；
（2）由矩阵形式写出方程组，再将代入即可得到关于未知数a，b的方程组，解方程即可.
15．阅读并解答：
对于方程组不妨设=u，=v，则原方程组就变成以u，v为未知数的方程组解得从而求得原方程组的解是这种解法称之为换元法。
用换元法解方程组
【答案】解：设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为，
解得，
即；
解得 ，
故原方程组的解为 .
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题中例题的方法，设x+y=m，x-y=n，先求出m和n的值，再解方程组即可求解.
三、拓展提升
16．阅读探索：
【知识累积】
解关于a，b的方程组
解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可变为解方程组，得即
所以此种解方程组的方法叫换元法。
（1）【拓展提高】
运用上述方法解方程组
（2）【能力运用】
已知关于x，y的方程组的解为直接写出关于m，n的方程组的解．
【答案】（1）解：设 ，原方程可变形为
解得：
∴
解得.
（2）解：设5（m+3）=x， 3（n-2）=y，原方程组可变形为：，
∵的解为
∴
解得：
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据题中的例子给出的方法，就是换元法，先设然后把关于a、b的方程组变形为关于x、y的方程组，解出方程组，求出x、y的值。再把x、y的值分别代入，解出方程，求出a、b的值即可.
(2)根据前面给出的方法，先设5（m+3）=x， 3（n-2）=y，那么可以把原方程组可变形为：，然后由的解为可以知道解出求得即可.
17．（2024七下·长沙期中）阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即．
一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即．
（1）计算下列各对数的值： ， ， ；
（2）已知x，y的值满足：，，求x，y的值；
（3）已知x，y为正整数，且满足：，，当n为正整数时，求满足条件的x，y的值．
【答案】（1）2；3；6
（2）解：由题可知：，
∵，∴，此时，
故，
将，代入，得．
（3）解：由题可知：
解得：
∵n为正整数，x，y为正整数，
∴或或或或或，
∴（舍）；（舍）；
时，；时，；
时，（舍）；时，（舍），
综上满足条件的x，y的值为：或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由，则；由，则；由，则；
【分析】(1)由材料定义，即对数运算转换为乘方运算，可直接口算得出结果；
(2)同理根据材料定义，转换为乘方运算建立等量关系分别求出对应值即可；
(3)同(2)得出等量关系，即可视作为含参数n且关于x，y的二元一次方程组，故可用含n的式子解出x，y，最后利用因数进行整数解逐一分析即可.
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