沪科版数学八年级下册勾股定理之最短路径问题（蚂蚁爬行）同步练习
一、选择题
1．（2024八上·吉安期中）如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·渠县期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·肃州期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·成都期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·内江开学考）如图，地面上有一立方体物块宽AB=4cm，长BC=8cm，CD上的点G距地面的高CG=5cm，地面上一只蚂蚁从A处爬到G处，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cm B． C．13cm D．17cm
6．（2025八上·兰州期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
7．（2024八上·青岛期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·成都期中）如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．2cm B．2cm C．10cm D．13cm
9．（2024八上·宝安期中）如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（ ）
A．13 B． C．15 D．10
10．（山东省枣庄市滕州市2024-2025学年上学期八年级第一次月考数学试卷 ）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·兰州期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
12．（2024八上·通江期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）．
A． B． C． D．
13．（2024八上·苏州期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024八上·甘州期末）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024八上·章丘期中）如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．12 B．10 C．17 D．25
16．（2024八上·宝安期中）如图，四边形ABCD是长方形地面，长，宽，中间刚好有一堵墙，墙高，一只蜗牛从点爬到点，它必须部过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．10m B．12m C．13m D．14m
17．（2024八上·揭阳期中）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．10
二、解答题
18．（2024八上·温州期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024八上·苏州期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ）
A． B．8 C．10 D．34
20．（2025八上·南昌期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
（1）（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______；
②据此直接写出的最小值为______；
（2）（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，正方体的左侧面与前面展开，得到长方形，过B作于C点；
由于正方体棱长为，则，，
由勾股定理得：；
故选：B．
【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理．将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，过B作于C点，利用线段的运算可求出AC，进而可求出BC，利用勾股定理可得：，代入数据可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
3．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
6．【答案】B
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长，
由图可知：，，
为最短路径为：，
则蚂蚁爬的最短路线长为13，
故答案为：A．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出最短路径即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米，
，
，
，
故雕刻在石柱上的巨龙至少为，
故答案为：A．
【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
12．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
13．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
14．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
15．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
16．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
将图展开，图形长度增加2m，
原图长度增加2m，则AB＝10＋2＝12（m），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC＝
=
＝13（m），
∴蜗牛从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故答案为：C．
【分析】连接AC，先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AC的长即可得到蜗牛从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
17．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
18．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，作于，在上截取，连接．
，，
是的平分线
，
又
．
．
．
当、、三点共线且（即与重合）时，为最小值．
故答案为：A．
【分析】作BT⊥AC于点T，由等腰直角三角形性质可求出BT的长；在AC上截取AF=AM，连接FM，利用SAS证△AMN≌△AMF，由全等三角形的对应边相等得MF=MN，根据垂线段最短及轴对称性质，当B、M、F三点共线且BF⊥AC（即F与T重合）时，BM+MN的最小值为BT，即可得出结论．
19．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
20．【答案】（1）①、；②5
（2）13
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
1 / 1沪科版数学八年级下册勾股定理之最短路径问题（蚂蚁爬行）同步练习
一、选择题
1．（2024八上·吉安期中）如图，正方体的棱长为是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，正方体的左侧面与前面展开，得到长方形，过B作于C点；
由于正方体棱长为，则，，
由勾股定理得：；
故选：B．
【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理．将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，过B作于C点，利用线段的运算可求出AC，进而可求出BC，利用勾股定理可得：，代入数据可求出答案.
2．（2024八上·渠县期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
3．（2024八上·肃州期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
4．（2024八上·成都期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
5．（2025八下·内江开学考）如图，地面上有一立方体物块宽AB=4cm，长BC=8cm，CD上的点G距地面的高CG=5cm，地面上一只蚂蚁从A处爬到G处，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cm B． C．13cm D．17cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
6．（2025八上·兰州期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
7．（2024八上·青岛期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
8．（2024八上·成都期中）如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．2cm B．2cm C．10cm D．13cm
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
9．（2024八上·宝安期中）如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（ ）
A．13 B． C．15 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长，
由图可知：，，
为最短路径为：，
则蚂蚁爬的最短路线长为13，
故答案为：A．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出最短路径即可.
10．（山东省枣庄市滕州市2024-2025学年上学期八年级第一次月考数学试卷 ）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
11．（2024八上·兰州期末）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米，
，
，
，
故雕刻在石柱上的巨龙至少为，
故答案为：A．
【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
12．（2024八上·通江期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
13．（2024八上·苏州期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
14．（2024八上·甘州期末）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
15．（2024八上·章丘期中）如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．12 B．10 C．17 D．25
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
16．（2024八上·宝安期中）如图，四边形ABCD是长方形地面，长，宽，中间刚好有一堵墙，墙高，一只蜗牛从点爬到点，它必须部过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．10m B．12m C．13m D．14m
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
将图展开，图形长度增加2m，
原图长度增加2m，则AB＝10＋2＝12（m），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m，
∴AC＝
=
＝13（m），
∴蜗牛从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
故答案为：C．
【分析】连接AC，先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AC的长即可得到蜗牛从A点爬到C点，它至少要走13m的路程．
17．（2024八上·揭阳期中）如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（ ）．
A． B． C． D．10
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
二、解答题
18．（2024八上·温州期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，作于，在上截取，连接．
，，
是的平分线
，
又
．
．
．
当、、三点共线且（即与重合）时，为最小值．
故答案为：A．
【分析】作BT⊥AC于点T，由等腰直角三角形性质可求出BT的长；在AC上截取AF=AM，连接FM，利用SAS证△AMN≌△AMF，由全等三角形的对应边相等得MF=MN，根据垂线段最短及轴对称性质，当B、M、F三点共线且BF⊥AC（即F与T重合）时，BM+MN的最小值为BT，即可得出结论．
19．（2024八上·苏州期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（ ）
A． B．8 C．10 D．34
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理
20．（2025八上·南昌期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
（1）（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______；
②据此直接写出的最小值为______；
（2）（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值．
【答案】（1）①、；②5
（2）13
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
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