湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·常德期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·常德期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·常德期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2024高一下·常德期中）在锐角中，角，，的对边分别是，，．已知，，的面积为，则（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2024高一下·常德期中）孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛． 常德立德中学高一学生为了测量塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则孤峰塔高（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2024高一下·常德期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）
A．100 B．230 C．130 D．365
7．（2024高一下·常德期中）在中，，，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
8．（2024高一下·常德期中）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·常德期中）下列说法正确的是（ ）
A．空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件
B．在复数集中，方程有两个解，依次为
C．，则（为平面，为点）
D．，二次函数为偶函数
10．（2024高一下·常德期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
D．在上的零点有4个
11．（2024高一下·常德期中）如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共面直线
B．如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为
C．过，，三点作一个截面，截得的几何体的体积
D．若在上存在一点使得最小，最小值为
12．（2024高一下·常德期中）角的终边上有一点，则
13．（2024高一下·常德期中）圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为 .
14．（2024高一下·常德期中）已知在中，角的对边分别为，，为的内心，为与同向的单位向量，则在上的投影向量为 （用表示）
15．（2024高一下·常德期中）已知．
（1）求；
（2）当为何值时，与垂直
16．（2024高一下·常德期中）在中，角，，的对边分别是，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为的中点，，求.
17．（2024高一下·常德期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.
（1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（）
18．（2024高一下·常德期中）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若是锐角，且，求角的正弦值；
（3）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，求周长的取值范围．
19．（2024高一下·常德期中）对于函数，，如果存在实数，，使得，那么称函数为的“重组函数”
（1）已知，，是否存在实数，，使得是的重组函数？若存在，求出，，；若不存在，试说明理由．
（2）当，时，求的重组函数的值域．
（3）当，时，的重组函数有唯一的零点，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知，
则.
故答案为：D.
【分析】利用交集的概念把元素一一列举即可求解.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】利用共轭复数的定义和复数的概念即可求解.
3．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由直观图可知在轴上，在轴上，原图如图所示：
在原图中，在轴上，在轴上，，
所以的长即为该平面图形的高，且.
故答案为：C.
【分析】利用斜二测画法画出平面图OABC，即可直接求解.
4．【答案】C
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：依题意可得的面积，
即，解得，
又为锐角，可得，
由余弦定理，
所以或（舍去）．
故答案为：C．
【分析】先利用面积公式求出，再利用由余弦定理可得即可求解.
5．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由已知，米，，，
可得，利用直角三角形的正切关系可得，
在中，由余弦定理，
即，
整理可得，
解得或（舍去），所以孤峰塔高．
故答案为：A．
【分析】利用正切关系可得，用表示的代数式，在中，由余弦定理可得的值．
6．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，
此时“进步值”为，“退步值”为，即，
所以，则，
所以天．
故答案为：B.
【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，两边取对数可得，再利用指数对数的运算关系及换底公式计算可得.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：已知，即，即，
所以，即，则，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以，又，所以，
所以，
所以是等腰直角三角形．
故答案为：A
【分析】先利用数量积的运算律可得，即，利用表示单位向量，再利用数量积的定义求出即可求解.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，设，则，
所以，
得，又，
所以，得，解得，
所以，故，，
设，则，
所以，
则
，
当时，取得最小值，且为.
故答案为：B
【分析】如图，设，根据三角形面积求得，设，利用平面向量的线性运算可得，结合和数量积的运算律和二次函数的性质计算即可求解.
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；空间点、线、面的位置；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：A、空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，即充分性成立；反之，当四个点共面时，不一定有三点共线，即必要性不成立，
所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件，故A选项正确；
B、，即，
解得，，
即方程有两个解，依次为，故B选项正确；
C、两个不重合的平面的交集为一条直线或空集，故C选项错误；
D、设，易知定义域为，则，所以为偶函数，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用平面的基本性质分析即可判断A、C；利用复数方程的解法即可B；利用函数奇偶性的的定义即可判断D．
10．【答案】A,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由图可知，，又因为，所以，解得，
所以，又函数过点，所以，
即，又因为，所以，则，
所以，故选项A正确；
当，则，因为在上不单调，
所以在上不单调，故选项B错误；
将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故选项C错误；
令，即，即，解得，
所以在上的零点有，，，共个，故选项D正确.
故选：AD
【分析】利用三角函数图象的性质和特点求出和，再由函数过点求出，即可得到解析式，最后根据正弦函数的性质一一判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、取的中点，连接，，，如图所示：
则，，
所以，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以与异面，故A选项错误；
B、正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为，
则，所以，则外接球的体积，故B选项正确；
C、，故C选项正确；D、将沿翻折到与平面共面且、在的异侧，（以下分析均在平面图形中）连接，如图所示：
则即为的最小值，
又，，，，
所以，则
，
在中由余弦定理
，
所以的最小值为，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】取的中点，连接，，，利用线面平行的判定定理即可证明平面即可判断A；根据正方体的体对角线为正方体的外接球的直径，求出外接球的半径，即可判断B；根据锥体的体积公式判断C；将沿翻折到与平面共面且、在的异侧，连接，则即为距离和的最小值，再由余弦定理计算可得.
12．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：已知角终边上有一点，
则.
故答案为：.
【分析】利用三角函数的定义计算可得.
13．【答案】.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，．
圆锥的高．
圆锥的体积．
故答案为：．
【分析】先利用展开图是半圆列出等式，再利用勾股定理求出圆锥的高，利用体积公式即可．
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：已知，即，
设的内切圆切于点，即，如图所示：
则，
所以，
所以在上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先利用余弦定理求出，设的内切圆切于点，即可求出，再利用投影向量的定义计算可得.
15．【答案】（1）解：因为，
所以，则，
所以；
（2）解：当与垂直时，
则有，
解得．
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）先利用数量积的运算律求出，再利用即可求解；
（2）利用与垂直可得，再利用数量积的运算律计算可得.
（1）因为，
所以，则，
所以；
（2）当与垂直时，
则有，
解得．
16．【答案】（1）解：因为，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
化简得，
即，
又，则，
所以，即，
则，所以，，
因为且为的中点，如图所示：
在中，解得（负值舍去），所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意利用余弦定理计算即可求解；
（2）先利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用即可求出，再利用为直角三角形，结合三边关系及勾股定理即可求解．
（1）因为，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
化简得，
即，
又，则，
所以，即，
则，所以，，
因为且为的中点，
在中，解得（负值舍去），所以．
17．【答案】（1）解：因为棱长为的正四面体的体积，
补全正四面体如图所示：
依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
（2）解：因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先求出正四面体体积公式，再利用棱长的比值即可求体积比；
（2）求出石凳的表面积，即可估计出费用.
（1）因为棱长为的正四面体的体积，
如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
（2）因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
18．【答案】（1）解：因为
，
所以的最小正周期.
（2）解：因为，
所以，又是锐角，所以，
所以
所以
；
（3）解：由可得，即
因为为锐角，则，所以，所以，则，
由正弦定理得，
所以
，
因为，即，
所以，
所以，
所以，即
所以
故周长的范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式将函数化简，再利用周期函数定义即可求解；
（2）先求出和，再利用及两角和的正弦公式即可求解；
（3）利用正弦定理转化为的三角函数，再求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得.
（1）因为
，
所以的最小正周期.
（2）因为，
所以，又是锐角，所以，
所以
所以
；
（3）由可得，即
因为为锐角，则，所以，所以，则，
由正弦定理得，
所以
，
因为，即，
所以，
所以，
所以，即
所以
故周长的范围为．
19．【答案】（1）解：因为，则，
又，
若，即，
即，
即，解得；
（2）解：因为，则，且，
所以，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则的值域为.
（3）解：当，，，则，
则的重组函数，
令，即，
令，则，
令，则在上有一个零点，
当，解得，此时无零点；
由，解得或，
当时，只需，即，所以，显然无解；
当时，则需满足，即，所以，
当时，此时，
则在上有且只有一个零点，所以符合题意；
综上可得实数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知可得，再利用对应系数相等得到方程组即可求解；
（2）先利用定义可得，再利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（3）首先得到解析式，令，则，令，则在上有一个零点，结合二次函数的性质计算可得.
（1）因为，则，
又，
若，即，
即，
即，解得；
（2）因为，则，且，
所以，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则的值域为.
（3）当，，，则，
则的重组函数，
令，即，
令，则，
令，则在上有一个零点，
当，解得，此时无零点；
由，解得或，
当时，只需，即，所以，显然无解；
当时，则需满足，即，所以，
当时，此时，
则在上有且只有一个零点，所以符合题意；
综上可得实数的取值范围为.
1 / 1湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·常德期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知，
则.
故答案为：D.
【分析】利用交集的概念把元素一一列举即可求解.
2．（2024高一下·常德期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】利用共轭复数的定义和复数的概念即可求解.
3．（2024高一下·常德期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由直观图可知在轴上，在轴上，原图如图所示：
在原图中，在轴上，在轴上，，
所以的长即为该平面图形的高，且.
故答案为：C.
【分析】利用斜二测画法画出平面图OABC，即可直接求解.
4．（2024高一下·常德期中）在锐角中，角，，的对边分别是，，．已知，，的面积为，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：依题意可得的面积，
即，解得，
又为锐角，可得，
由余弦定理，
所以或（舍去）．
故答案为：C．
【分析】先利用面积公式求出，再利用由余弦定理可得即可求解.
5．（2024高一下·常德期中）孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛． 常德立德中学高一学生为了测量塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则孤峰塔高（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由已知，米，，，
可得，利用直角三角形的正切关系可得，
在中，由余弦定理，
即，
整理可得，
解得或（舍去），所以孤峰塔高．
故答案为：A．
【分析】利用正切关系可得，用表示的代数式，在中，由余弦定理可得的值．
6．（2024高一下·常德期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）
A．100 B．230 C．130 D．365
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，
此时“进步值”为，“退步值”为，即，
所以，则，
所以天．
故答案为：B.
【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，两边取对数可得，再利用指数对数的运算关系及换底公式计算可得.
7．（2024高一下·常德期中）在中，，，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：已知，即，即，
所以，即，则，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以，又，所以，
所以，
所以是等腰直角三角形．
故答案为：A
【分析】先利用数量积的运算律可得，即，利用表示单位向量，再利用数量积的定义求出即可求解.
8．（2024高一下·常德期中）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图，设，则，
所以，
得，又，
所以，得，解得，
所以，故，，
设，则，
所以，
则
，
当时，取得最小值，且为.
故答案为：B
【分析】如图，设，根据三角形面积求得，设，利用平面向量的线性运算可得，结合和数量积的运算律和二次函数的性质计算即可求解.
9．（2024高一下·常德期中）下列说法正确的是（ ）
A．空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件
B．在复数集中，方程有两个解，依次为
C．，则（为平面，为点）
D．，二次函数为偶函数
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；空间点、线、面的位置；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：A、空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，即充分性成立；反之，当四个点共面时，不一定有三点共线，即必要性不成立，
所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件，故A选项正确；
B、，即，
解得，，
即方程有两个解，依次为，故B选项正确；
C、两个不重合的平面的交集为一条直线或空集，故C选项错误；
D、设，易知定义域为，则，所以为偶函数，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用平面的基本性质分析即可判断A、C；利用复数方程的解法即可B；利用函数奇偶性的的定义即可判断D．
10．（2024高一下·常德期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
D．在上的零点有4个
【答案】A,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由图可知，，又因为，所以，解得，
所以，又函数过点，所以，
即，又因为，所以，则，
所以，故选项A正确；
当，则，因为在上不单调，
所以在上不单调，故选项B错误；
将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故选项C错误；
令，即，即，解得，
所以在上的零点有，，，共个，故选项D正确.
故选：AD
【分析】利用三角函数图象的性质和特点求出和，再由函数过点求出，即可得到解析式，最后根据正弦函数的性质一一判断即可.
11．（2024高一下·常德期中）如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共面直线
B．如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为
C．过，，三点作一个截面，截得的几何体的体积
D．若在上存在一点使得最小，最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、取的中点，连接，，，如图所示：
则，，
所以，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以与异面，故A选项错误；
B、正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为，
则，所以，则外接球的体积，故B选项正确；
C、，故C选项正确；D、将沿翻折到与平面共面且、在的异侧，（以下分析均在平面图形中）连接，如图所示：
则即为的最小值，
又，，，，
所以，则
，
在中由余弦定理
，
所以的最小值为，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】取的中点，连接，，，利用线面平行的判定定理即可证明平面即可判断A；根据正方体的体对角线为正方体的外接球的直径，求出外接球的半径，即可判断B；根据锥体的体积公式判断C；将沿翻折到与平面共面且、在的异侧，连接，则即为距离和的最小值，再由余弦定理计算可得.
12．（2024高一下·常德期中）角的终边上有一点，则
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：已知角终边上有一点，
则.
故答案为：.
【分析】利用三角函数的定义计算可得.
13．（2024高一下·常德期中）圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为 .
【答案】.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，．
圆锥的高．
圆锥的体积．
故答案为：．
【分析】先利用展开图是半圆列出等式，再利用勾股定理求出圆锥的高，利用体积公式即可．
14．（2024高一下·常德期中）已知在中，角的对边分别为，，为的内心，为与同向的单位向量，则在上的投影向量为 （用表示）
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：已知，即，
设的内切圆切于点，即，如图所示：
则，
所以，
所以在上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】先利用余弦定理求出，设的内切圆切于点，即可求出，再利用投影向量的定义计算可得.
15．（2024高一下·常德期中）已知．
（1）求；
（2）当为何值时，与垂直
【答案】（1）解：因为，
所以，则，
所以；
（2）解：当与垂直时，
则有，
解得．
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）先利用数量积的运算律求出，再利用即可求解；
（2）利用与垂直可得，再利用数量积的运算律计算可得.
（1）因为，
所以，则，
所以；
（2）当与垂直时，
则有，
解得．
16．（2024高一下·常德期中）在中，角，，的对边分别是，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为的中点，，求.
【答案】（1）解：因为，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
化简得，
即，
又，则，
所以，即，
则，所以，，
因为且为的中点，如图所示：
在中，解得（负值舍去），所以．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意利用余弦定理计算即可求解；
（2）先利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用即可求出，再利用为直角三角形，结合三边关系及勾股定理即可求解．
（1）因为，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，
化简得，
即，
又，则，
所以，即，
则，所以，，
因为且为的中点，
在中，解得（负值舍去），所以．
17．（2024高一下·常德期中）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.
（1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（）
【答案】（1）解：因为棱长为的正四面体的体积，
补全正四面体如图所示：
依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
（2）解：因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先求出正四面体体积公式，再利用棱长的比值即可求体积比；
（2）求出石凳的表面积，即可估计出费用.
（1）因为棱长为的正四面体的体积，
如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为.
（2）因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元.
18．（2024高一下·常德期中）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若是锐角，且，求角的正弦值；
（3）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，求周长的取值范围．
【答案】（1）解：因为
，
所以的最小正周期.
（2）解：因为，
所以，又是锐角，所以，
所以
所以
；
（3）解：由可得，即
因为为锐角，则，所以，所以，则，
由正弦定理得，
所以
，
因为，即，
所以，
所以，
所以，即
所以
故周长的范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式将函数化简，再利用周期函数定义即可求解；
（2）先求出和，再利用及两角和的正弦公式即可求解；
（3）利用正弦定理转化为的三角函数，再求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得.
（1）因为
，
所以的最小正周期.
（2）因为，
所以，又是锐角，所以，
所以
所以
；
（3）由可得，即
因为为锐角，则，所以，所以，则，
由正弦定理得，
所以
，
因为，即，
所以，
所以，
所以，即
所以
故周长的范围为．
19．（2024高一下·常德期中）对于函数，，如果存在实数，，使得，那么称函数为的“重组函数”
（1）已知，，是否存在实数，，使得是的重组函数？若存在，求出，，；若不存在，试说明理由．
（2）当，时，求的重组函数的值域．
（3）当，时，的重组函数有唯一的零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，则，
又，
若，即，
即，
即，解得；
（2）解：因为，则，且，
所以，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则的值域为.
（3）解：当，，，则，
则的重组函数，
令，即，
令，则，
令，则在上有一个零点，
当，解得，此时无零点；
由，解得或，
当时，只需，即，所以，显然无解；
当时，则需满足，即，所以，
当时，此时，
则在上有且只有一个零点，所以符合题意；
综上可得实数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知可得，再利用对应系数相等得到方程组即可求解；
（2）先利用定义可得，再利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（3）首先得到解析式，令，则，令，则在上有一个零点，结合二次函数的性质计算可得.
（1）因为，则，
又，
若，即，
即，
即，解得；
（2）因为，则，且，
所以，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则的值域为.
（3）当，，，则，
则的重组函数，
令，即，
令，则，
令，则在上有一个零点，
当，解得，此时无零点；
由，解得或，
当时，只需，即，所以，显然无解；
当时，则需满足，即，所以，
当时，此时，
则在上有且只有一个零点，所以符合题意；
综上可得实数的取值范围为.
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