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专题31 锐角三角函数（8大题型75题）
题型一．锐角三角函数的定义
1．（2024 云南）如图，在中，若，，，则
A． B． C． D．
题型二．特殊角的三角函数值
2．（2024 哈尔滨）△是直角三角形，，，则的长为 ．
题型三．解直角三角形
3．（2024 临夏州）如图，在△中，，，则的长是
A．3 B．6 C．8 D．9
4．（2024 西宁）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为 ．
5．（2024 江西）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则 ．
6．（2024 深圳）如图，在△中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则 ．
7．（2024 浙江）如图，在△中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
题型四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
8．（2024 眉山）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
9．（2024 甘南州）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，．
10．（2024 淮安）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节、时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：，，，
11．（2024 呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．
（1）求试管口与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
题型五．解直角三角形的应用-方向角问题
12．（2024 甘孜州）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，
13．（2024 大庆）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：
14．（2024 泸州）如图，海中有一个小岛，某渔船在海中的点测得小岛位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达点，测得小岛位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达点，这时测得小岛位于北偏西方向上．已知，相距 ．求，间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
15．（2024 宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点、，在地标广场上选择两个观测点、（点、、、在同一水平面，且．如图2所示，在点处测得点在北偏西方向上，测得点在北偏东方向上；在处测得点在北偏西方向上，测得点在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，
16．（2024 资阳）如图，某海域有两灯塔，，其中灯塔在灯塔的南偏东方向，且，相距海里．一渔船在处捕鱼，测得处在灯塔的北偏东方向、灯塔的正北方向．
（1）求，两处的距离；
（2）该渔船从处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于处，并发出求救信号．此时，在灯塔处的渔政船测得处在北偏东方向，便立即以18海里小时的速度沿方向航行至处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点，，，在同一水平面内；参考数据：，
17．（2024 重庆）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行40海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．
（参考数据：，，
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
18．（2024 重庆）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，
（1）求的长度（结果精确到0.1千米）；
（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
19．（2024 海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔北偏西方向上的处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔北偏西方向上的处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡点周围5海里内，会出现异常海况，点位于木兰灯塔北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空： ， ， 海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：，，
20．（2024 连云港）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
（1） ， ；
（2）求点到道路的距离；
（3）若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？
（结果精确到，参考数据，，，，
题型六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
21．（2024 长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
22．（2024 雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）
A．米 B．25米 C．米 D．50米
23．（2024 深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为
（参考数据：，，
A． B． C． D．
24．（2024 德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为 、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为 米．
A．20 B．15 C．12 D．
25．（2024 淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
26．（2024 日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为（点，，，在同一平面内），则潮汐塔的高度为
（结果精确到．参考数据：，，
A． B． C． D．
27．（2024 南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为，，则旗杆的高度为 ．
28．（2024 无锡）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距米，在建筑物的顶部观测塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则铁塔的高度为 米．（用含、、的式子表示）
29．（2024 绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 （结果保留根号）．
30．（2024 武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 ．（参考数据：
31．（2024 盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，则教学楼的高度约为 ．（精确到，参考数据：，，
32．（2024 赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点处与古树底部处在同一水平面上，且米，无人机从处竖直上升到达处，测得古树顶部的俯角为，古树底部的俯角为，则古树的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，．
33．（2024 泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，
34．（2024 青海）如图，某种摄像头识别到最远点的俯角是，识别到最近点的俯角是，该摄像头安装在距地面的点处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：，，
35．（2024 通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从点测得杨树底端点的仰角是，长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为，求杨树的高度（精确到0.1米，，，在同一平面内，点，在同一水平线上，参考数据：．
36．（2024 吉林）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②．从直升飞机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求吉塔的高度（结果精确到．
（参考数据：，，
37．（2024 巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
（1）求点离水平地面的高度．
（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．
38．（2024 河北）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点，透过点恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点到的距离，的延长线交于点．（注图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
39．（2024 广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，
40．（2024 陕西）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端的高度．小明先在竖起的标杆上的点处，测得点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点，，在同一直线上，并测得，．已知，，，，三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端的高度．
41．（2024 山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．
42．（2024 达州）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，是彩亭的中轴，甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩亭中轴的距离米，乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的俯角，点、之间的距离是4米，已知彩亭的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到0.1米，参考数据，
43．（2024 内蒙古）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点，，，都在同一平面内，参考数据：
44．（2024 广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体” 成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．
参考数据：，，．
45．（2024 西藏）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在处测得山顶的仰角为；格桑在处测得山顶的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点，，在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）
46．（2024 牡丹江）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点．在处测得的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点，测得的仰角，的延长线交于点，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，
47．（2024 陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶点处的海拔高度．他在该观景台上选定了一点，在点处测得点的仰角，再在上选一点，在点处测得点的仰角，．求山顶点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，
48．（2024 临夏州）乾元塔（图位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，
49．（2024 河南）如图1，塑像在底座上，点是人眼所在的位置．当点高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过，两点的圆与水平视线相切时（如图，在切点处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明．
（2）经测量，最大视角为，在点处看塑像顶部点的仰角为，点到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：．
50．（2024 凉山州）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣sū堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高． （参考数据：，，结果精确到
51．（2024 甘肃）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．
52．（2024 天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①．某学习小组设计了一个方案：如图②，点，，依次在同一条水平直线上，，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为．
（Ⅰ）求线段的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，．
题型七．解直角三角形的应用（项目式学习）
53．（2024 兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，．，；当摆球运动至点时，，．（点，，，，，在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到
参考数据：，，，，，．
54．（2024 湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）
（1）求线段和的长度；
（2）求底座的底面的面积．
55．（2024 烟台）根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，，
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 日（填冬至或夏至）时，为 （填，，，中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
56．（2024 宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得 米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角
已知测角仪的高度为1.2米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度．
（参考数据：，，
57．（2024 青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上，点，，，在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：，，，，，
58．（2024 湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； ④测量到地面的高度． ①选取与树底位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度．
测量数据 ①； ②； ③． ①； ②； ③．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度．
59．（2024 威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：组员：，，
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点，线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角
测量数据
（1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设，，，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出的度数．你选择的按键顺序为 ．
60．（2024 济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点，，，，，在同一平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，，，．
成果梳理
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点到地面的距离；
（2）求顶部线段的长．
（结果精确到，参考数据：，，，，，
题型八．解直角三角形的应用（其他）
61．（2024 资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形△，△，△，△和一个小正方形拼成的大正方形．若，则
A． B． C． D．
62．（2024 宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉hè，图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到．
（参考数据：，，，
63．（2024 西宁）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬；③如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，北纬纬线的长度约为 千米（参考数据：，．，
64．（2024 湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
65．（2024 福建）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：（参考数据：，
66．（2024 遂宁）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图，灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数），，
67．（2024 徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到．（参考数据：，
68．（2024 苏州）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
69．（2024 安徽）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离，点处水深为，到池壁的水平距离．点，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到．
参考数据：，，．
70．（2024 成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，
71．（2024 江西）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点，，，在同一条直线上．经测量，，，．（结果精确到
（1）求“大碗”的口径的长；
（2）求“大碗”的高度的长．
（参考数据：，，
72．（2024 辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到．
（参考数据：，，，
73．（2024 贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．
【测量数据】
如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求，之间的距离（结果精确到．
（参考数据：，，
74．（2024 南京）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为，他在道路上的影长（单位：与行走的路程（单位：之间的函数关系如图（2）所示，其中，，是线段，是曲线．
（1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）路灯的高度是 ．
（3）设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述；（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
75．（2024 乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含、和的式子表示；如果不能，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题31 锐角三角函数（8大题型）
题型一．锐角三角函数的定义
1．（2024 云南）如图，在中，若，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在中，若，，，
，
故选：．
题型二．特殊角的三角函数值
2．（2024 哈尔滨）△是直角三角形，，，则的长为 ．
【答案】2或．
【解析】若，则；
若，则．
题型三．解直角三角形
3．（2024 临夏州）如图，在△中，，，则的长是
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】
【解析】过点作的垂线，垂足为，
在△中，
，
，
．
又，
．
故选：．
4．（2024 西宁）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为 ．
【答案】或．
【解析】点的坐标为，点的坐标为，
，
△是等腰直角三角形，
．
当点在点下方时，，
；
当点在点上方时，，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
5．（2024 江西）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则 ．
【答案】．
【解析】令与的交点为，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
．
，
．
在中，
．
故答案为：．
6．（2024 深圳）如图，在△中，，，为上一点，若满足，过作交延长线于点，则 ．
【答案】
【解析】如图，过点作于点，作于点，
，，
设，则，
，
，
，，
，，
在△中，，
在△中，，
，
，
，
．
故答案为：．
7．（2024 浙江）如图，在△中，，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
【解析】（1），，，
；
，
，
；
（2）是边上的中线，
，
，
，
，
．
题型四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
8．（2024 眉山）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为 米．
【答案】大树的高度为米．
【分析】过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，解直角三角形即可得到结论．
【解析】如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在△中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米，
（米，
答：大树的高度为米．
故答案为：．
9．（2024 甘南州）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，．
【分析】过点作于点，作于点，先求，再计算，结合计算即可．
【解析】过点作于点，作于点，
四边形是矩形，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
．
10．（2024 淮安）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节、时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：，，，
【分析】根据题意，设设 ，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可．
【解析】如图1，作，垂足为，设 ，则，
，
，
如图2，作，垂足为，则，
，
，
，
，
解得：．
答：每节拉杆的长度为．
11．（2024 呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．
（1）求试管口与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【分析】（1）根据，得出的长度；
（2）延长，交于点，得出四边形是矩形，通过计算得出的长度，从而得出的长度．
【解析】（1），，
，
，
；
（2），
，
延长，交于点，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
．
题型五．解直角三角形的应用-方向角问题
12．（2024 甘孜州）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，
【考点】解直角三角形的应用方向角问题
【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解析】过作于，
在中，，海里，
（海里），（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
答：处距离处有140海里．
13．（2024 大庆）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：
【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用方向角问题
【分析】分别过点和点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解析】分别过点和点作的垂线，垂足分别为，，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
则，
所以（米，
所以（米．
在中，，
所以，
所以米，
则（米，
故大桥的长为548米．
14．（2024 泸州）如图，海中有一个小岛，某渔船在海中的点测得小岛位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达点，测得小岛位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达点，这时测得小岛位于北偏西方向上．已知，相距 ．求，间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【考点】解直角三角形的应用方向角问题
【分析】过作于，根据三角函数的定义得到 ，过作于，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】过作于，
， ，
，
，
，
过作于，
，
，
，
，
答：，间的距离为 ．
15．（2024 宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点、，在地标广场上选择两个观测点、（点、、、在同一水平面，且．如图2所示，在点处测得点在北偏西方向上，测得点在北偏东方向上；在处测得点在北偏西方向上，测得点在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，
【考点】解直角三角形的应用方向角问题
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据已知易得：，，然后设 ，从而分别在、和中，利用锐角三角函数的定义求出、和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
，
由题意得：，
设 ，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
长江口的宽度的值约为．
16．（2024 资阳）如图，某海域有两灯塔，，其中灯塔在灯塔的南偏东方向，且，相距海里．一渔船在处捕鱼，测得处在灯塔的北偏东方向、灯塔的正北方向．
（1）求，两处的距离；
（2）该渔船从处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于处，并发出求救信号．此时，在灯塔处的渔政船测得处在北偏东方向，便立即以18海里小时的速度沿方向航行至处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点，，，在同一水平面内；参考数据：，
【考点】解直角三角形的应用方向角问题
【分析】（1）由题意得，，根据等腰三角形到现在得到海里，过作于，解直角三角形即可得到结论；
（2）过作于，解直角三角形得到（海里），求得海里，根据勾股定理得到（海里），于是得到渔政船的航行时间为（小时）．
【解析】（1）由题意得，，
海里，
过作于，
，，
（海里），
海里，
答：，两处的距离为16海里；
（2）过作于，
在中，，
在中，，
，
，
（海里），
海里，
（海里），
（海里），
渔政船的航行时间为（小时）．
17．（2024 重庆）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行40海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．
（参考数据：，，
（1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明．
【考点】解直角三角形的应用方向角问题
【分析】（1）过点作，垂足为，先在△中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：，，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在△中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答．
【解析】（1）过点作，垂足为，
在△中，，海里，
（海里），
（海里），
在△中，，
（海里），
（海里），
，两港之间的距离约为77.2海里；
（2）甲货轮先到达港，
理由：如图：
由题意得：，，
，
，
在△中，，
海里，
海里，
在△中，，海里，
（海里），
甲货轮航行的路程（海里），
乙货轮航行的路程（海里），
海里海里，
甲货轮先到达港．
18．（2024 重庆）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，
（1）求的长度（结果精确到0.1千米）；
（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
【考点】三角形三边关系；勾股定理的应用；解直角三角形的应用方向角问题
【分析】（1）过作于，由，可得，，故（千米），（千米），而在的北偏西方向，得△是等腰直角三角形，从而（千米），（千米）；
（2）过作于，由千米，千米，得千米，在△中，（千米），（千米），根据在的北偏西方向，知，可得（千米），（千米），即可得（千米），（千米），比较即得答案．
【解析】（1）过作于，如图：
根据已知得，
，
，，
（千米），（千米），
在的北偏西方向，
，
△是等腰直角三角形，
（千米），（千米），
的长度约为2.5千米；
（2）过作于，如图：
由（1）知千米，千米，
千米，
在△中，（千米），（千米），
在的北偏西方向，
，
（千米），（千米），
（千米）；
（千米），
；
甲选择的路线比较近．
19．（2024 海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔北偏西方向上的处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔北偏西方向上的处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡点周围5海里内，会出现异常海况，点位于木兰灯塔北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空： ， ， 海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：，，
【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用方向角问题
【分析】（1）识别方向角和渔船航行的速度、时间即可求得、的角度和的长；
（2）过点作于点，构造直角三角形，运用和的直角三角形表示所需的线段长，利用的长解得的长，再根据三角形内角和定理求出，得出等腰三角形继而求得的长，并求出9点渔船离处的距离就能判断是否会进入“海况异常“区．
【解析】（1）过点作于点，则△、△、△都是直角三角形，
由题可知：，，，
，，
由题可知渔船每小时航行10海里，渔船从处航行至处时间为30分钟，
即半小时，故海里；
故答案为：30，75，5；
（2）设为海里，
在△中，，
，
，
在△中，，
，
，，
，，
，
，
，
，
在△中，，，
，
，
，
设上午9时渔船航行至处，则，
，
该渔船会进入“海况异常”区．
20．（2024 连云港）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
（1） ， ；
（2）求点到道路的距离；
（3）若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？
（结果精确到，参考数据，，，，
【考点】正多边形和圆；解直角三角形的应用方向角问题
【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点作于点，解△，求出，解△，求出；
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解△，求出，证明△△，列出比例式进行求解即可．
【解析】（1）正八边形，
外角，
，，
故答案为：90；76；
（2）过点作于点，
在△中，，，
，
在△中，易知
，
答：点到道路的距离为2.0千米．
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点，
正八边形的外角均为，
在△中，，
，
又，，
，
，，
△△，
，
，
，
．
答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
题型六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
21．（2024 长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
【答案】
【解析】在△中，，，
，
（千米）．
答：火箭距海平面的高度为千米，
故选：．
22．（2024 雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）
A．米 B．25米 C．米 D．50米
【答案】
【解析】设米，
在中，，
，即，
整理得：米，
在中，，
，即，
整理得：米，
米，
，即，
解得：，
则这栋楼的高度为米．
故选：．
23．（2024 深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为
（参考数据：，，
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：，，，，，，，
设 ，
，
在△中，，
，
在△中，，
，
，
，
解得：，
，
，
电子厂的高度约为，
故选：．
24．（2024 德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为 、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为 米．
A．20 B．15 C．12 D．
【答案】
【解析】设过点的水平线于交于点，如图，
由题意，知：四边形是矩形米，，
在中，
，
在中，
，
，
解得（米，
故选：．
25．（2024 淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】在△中，，，
，
，
用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序是，
故选：．
26．（2024 日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为（点，，，在同一平面内），则潮汐塔的高度为
（结果精确到．参考数据：，，
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，延长交于点，
则，
由题意可知，，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
27．（2024 南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为，，则旗杆的高度为 ．
【答案】．
【解析】由题意可得：，
又，
．
故答案为：．
28．（2024 无锡）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距米，在建筑物的顶部观测塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则铁塔的高度为 米．（用含、、的式子表示）
【答案】．
【解析】如图，过作，垂足为，
则，米，
在△中，（米，
在△中，（米，
（米，
即铁塔的高度为米，
故答案为：．
29．（2024 绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 （结果保留根号）．
【答案】．
【解析】由题意得：，
在中，，，
，
在中，，
，
，
这栋楼的高度为，
故答案为：．
30．（2024 武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度
是 ．（参考数据：
【答案】51．
【解析】过点作，延长交于，
由题意得，
，
四边形是矩形，
，
在△中，，，
，
在△中，，
，，
．
答：黄鹤楼的高度约为．
故答案为：51．
31．（2024 盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，则教学楼的高度约为 ．（精确到，参考数据：，，
【答案】17．
【解析】如图，令的延长线与的延长线交于点，
由题意，知，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
故答案为：17．
32．（2024 赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点处与古树底部处在同一水平面上，且米，无人机从处竖直上升到达处，测得古树顶部的俯角为，古树底部的俯角为，则古树的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，．
【答案】11.5．
【解析】由题意，知，，，．
过点作，垂足为．
，，，
．
四边形是矩形．
米，．
，
，．
在中，
，
（米．
在中，
，
（米．
（米．
故答案为：11.5．
33．（2024 泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，
【答案】74．
【解析】由题知，，，，
，
在，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：74．
34．（2024 青海）如图，某种摄像头识别到最远点的俯角是，识别到最近点的俯角是，该摄像头安装在距地面的点处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：，，
【解析】根据题意得：，，
，
．，
在中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
答：最远点与最近点之间的距离约是．
35．（2024 通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从点测得杨树底端点的仰角是，长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为，求杨树的高度（精确到0.1米，，，在同一平面内，点，在同一水平线上，参考数据：．
【解析】延长交于，
则，
，米，
米，米，
，
米，
（米，
答：杨树的高度约为6.2米．
36．（2024 吉林）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②．从直升飞机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求吉塔的高度（结果精确到．
（参考数据：，，
【解析】过点作，垂足为．
，，，
．
四边形是矩形．
，．
，
，．
在△中，
，
．
．
答：吉塔的高度约为．
37．（2024 巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
（1）求点离水平地面的高度．
（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．
【解析】（1）由题意得：，
斜坡的坡度，
，
在中，，
，
，
，，
点离水平地面的高度为；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：，，
设米，
米，
米，
在中，，
（米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
电线塔的高度为米．
38．（2024 河北）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点，透过点恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点到的距离，的延长线交于点．（注图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
【解析】（1）由题意可得：，，，，，
，，．
．
；．
（2），，
．
如图，过作于，
，设 ，则 ，
．
，．
．
．
39．（2024 广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，
【解析】过点作于点，作于点，
由题意得：，，
在△中，
，，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
在△中，，
，
，
答：该风力发电机塔杆的高度为．
40．（2024 陕西）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端的高度．小明先在竖起的标杆上的点处，测得点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点，，在同一直线上，并测得，．已知，，，，三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端的高度．
【解析】过点作于，过点作于，连接，如图所示：
，，，均垂直于，
点，，在同一条直线上，四边形，四边形，四边形，四边形均为矩形，
，
点，，在同一直线上，
，
设，
，
，
在△中，；
，
，
，，
在△中，，
在△中，，
，
，
整理得：，
，
检验后知道是分式方程的根，
，
，
答：避雷针顶端的高度为．
41．（2024 山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．
【解析】延长交于点，
由题意得，四边形为矩形，
，
在△中，，，
，
，
在△中，，，
，
，
设米．
，
，
，
解得，
（米
答：点到地面的距离的长约为27米．
42．（2024 达州）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，是彩亭的中轴，甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩亭中轴的距离米，乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的俯角，点、之间的距离是4米，已知彩亭的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到0.1米，参考数据，
【解析】过点作，垂足为．
由题意知，四边形是矩形．
米，
米，
（米．
在中，
，
（米．
在中，
，
（米．
，
（米．
答：中轴上的长度为1.5米．
43．（2024 内蒙古）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点，，，都在同一平面内，参考数据：
【解析】过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
由题意得，米，米，，．
在中，，
，
（米，
（米，
四边形是矩形，
米，
在中，，，
米，
（米．
答：楼高约28米．
44．（2024 广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体” 成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．
参考数据：，，．
【解析】（1）如图：
由题意得：，，
，
在中，米，
（米，
的长约为8米；
（2）在中，米，，
（米，
在中，米，米，
（米，
（米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间（秒，
模拟装置从点下降到点的时间约为4.5秒．
45．（2024 西藏）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在处测得山顶的仰角为；格桑在处测得山顶的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点，，在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）
【解析】由题意知，四边形，都是矩形，
，米，，米，
米，
设，则米，
在△中，，，
，
在△中，，
，
，
，
解得，
，
（米．
答：小山的高度为米．
46．（2024 牡丹江）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点．在处测得的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点，测得的仰角，的延长线交于点，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，
【解析】根据题意可知四边形是矩形，
．
如图，，．
，
．
，
米．
（米，
答：建筑物的高度约为17.5米．
47．（2024 陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶点处的海拔高度．他在该观景台上选定了一点，在点处测得点的仰角，再在上选一点，在点处测得点的仰角，．求山顶点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，
【解析】过点作，交的延长线于点，
设 ，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
小山顶的水平观景台的海拔高度为，
山顶点处的海拔高度约，
山顶点处的海拔高度约为．
48．（2024 临夏州）乾元塔（图位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，
【解析】过作于，
设 ，
在△中，，
，
米，
在△中，，
，
米，
，
，
（米，
答：乾元塔的高度约为45米．
49．（2024 河南）如图1，塑像在底座上，点是人眼所在的位置．当点高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过，两点的圆与水平视线相切时（如图，在切点处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明．
（2）经测量，最大视角为，在点处看塑像顶部点的仰角为，点到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：．
【解析】（1）证明：如图，设与圆交于，
连接．
则．
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
答：塑像的高约为．
50．（2024 凉山州）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣sū堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高． （参考数据：，，结果精确到
【解析】由题意，知，，，，，
在中，
，
在中，
，
，
，
解得，
，
答：塔高为．
51．（2024 甘肃）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．
【解析】连接交于点，
由题意得：，，，
设 ，
，
在△中，，
，
在△中，，
，
，
解得：，
，
，
风电塔筒的高度约为．
52．（2024 天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①．某学习小组设计了一个方案：如图②，点，，依次在同一条水平直线上，，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为．
（Ⅰ）求线段的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，．
【解析】设 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
答：线段的长约为；
，
．
．
答：桥塔的高度约为．
题型七．解直角三角形的应用（项目式学习）
53．（2024 兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，．，；当摆球运动至点时，，．（点，，，，，在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到
参考数据：，，，，，．
【解析】在△中，，，，
，，
，，
，，
在△中，，，
，即，
整理得：，
，
则的长为．
54．（2024 湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）
（1）求线段和的长度；
（2）求底座的底面的面积．
【解析】（1），的长为4米，，
，
（米；
，
米，
（米；
（2）过点作于点，如图所示：
，
，
米，
米，
米，
底座的底面的面积为：（平方米）．
55．（2024 烟台）根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，，
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 冬至 日（填冬至或夏至）时，为 （填，，，中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
【解析】任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即，
故答案为：冬至，；
任务二：过作于，则，米，，
在△中，，
（米，
（米，
（米，
（层，
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
56．（2024 宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七风塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得 米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角
已知测角仪的高度为1.2米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度．
（参考数据：，，
【解析】由题意得，米，米，，，
在△中，，
，
在△中，，
，
米，
，
解得，
（米，
答：塔的高度为73.2米．
57．（2024 青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上，点，，，在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：，，，，，
【解析】如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，，
在△中，，，
则，
，
在△中，，，
则，
，
答：调整后的滑梯会多占约为的一段地面．
58．（2024 湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； ④测量到地面的高度． ①选取与树底位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度．
测量数据 ①； ②； ③． ①； ②； ③．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度．
【解析】“测角仪”方案：过作于，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
答：树的高度为；
“平面镜”方案：，，
，
，
，
，
，
，
答：树的高度为．
59．（2024 威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：组员：，，
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点，线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角
测量数据
（1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设，，，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出的度数．你选择的按键顺序为 ．
【分析】（1）根据题意选择需要的数据即可；
（2）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；
（3）根据（2）的结果即可求解．
【解析】（1）需要的数据为：，，，；
（2）过点作于点，则，
，
，
，
，即，
，
；
（3），
按键顺序为，，0，，8，6，，
故答案为：①．
60．（2024 济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点，，，，，在同一平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，，，．
成果梳理
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点到地面的距离；
（2）求顶部线段的长．
（结果精确到，参考数据：，，，，，
【分析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，垂足为，由，得到，根据三角函数的定义得到结论；
（2）如图，过点作，垂足为，根据平行线的性质得到，求得，根据平行线间的距离处处相等，得到，求得，根据三角函数的定义得到结论．
【解析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，垂足为，
，
，
在中，，，
，
答：点到地面的距离为；
（2）如图，过点作，垂足为，
，
，
，
，
平行线间的距离处处相等，
，
，
，
在中，
，
答：顶部线段的长为．
题型八．解直角三角形的应用（其他）
61．（2024 资阳）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形△，△，△，△和一个小正方形拼成的大正方形．若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，设，则，
△△，四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
故选：．
62．（2024 宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉hè，图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到．
（参考数据：，，，
【答案】34.1．
【解析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，
，
，
在中，，
，
在中，，，
，
器身底部距地面的高度为，
该陶盉管状短流口距地面的高度，
该陶盉管状短流口距地面的高度约为，
故答案为：34.1．
63．（2024 西宁）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②西宁市的纬度约为北纬；③如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，北纬纬线的长度约为 千米（参考数据：，．，
【答案】30720
【解析】过于，如图所示：
，
，，
，
在△中，千米，，
（千米），
（千米），
以为直径的圆的周长为：（千米）．
北纬纬线的长度约为30720千米．
故答案为：30720．
64．（2024 湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】．
【解析】延长交于点，连接，
在△中，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
65．（2024 福建）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：（参考数据：，
【答案】128．
【解析】如图，
，，
，，
，
，
在中，，，
，
由题意可知，，
，
，
在中，，，
，
故答案为：128．
66．（2024 遂宁）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图，灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数），，
【解析】如图2中，过点作于点，交于点．
如图1中，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
如图2中，，，
，
，
，
，
．
答：台灯最高点到桌面的距离约为．
67．（2024 徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到．（参考数据：，
【解析】过作于，
设 ，
，
，
，
，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
．
答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是．
68．（2024 苏州）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
【解析】（1）过点作，垂足为，
由题意得：，，
，
，
在中，，
可伸缩支撑杆的长度为；
（2）过点作，交的延长线于点，交于点，
由题意得：，，，
在中，，
设 ，则 ，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
在中，，
此时可伸缩支撑杆的长度为．
69．（2024 安徽）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离，点处水深为，到池壁的水平距离．点，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到．
参考数据：，，．
【解析】过点作于点，
由题意可知，，，
，，
，
，
，
．
70．（2024 成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，
【解析】在中，尺，，
，
，
（尺；
在中，尺，，
，
，
（尺；
（尺，
观察可知，春分和秋分时日影顶端为的中点，
（尺，
春分和秋分时日影长度为9.2尺．
71．（2024 江西）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点，，，在同一条直线上．经测量，，，．（结果精确到
（1）求“大碗”的口径的长；
（2）求“大碗”的高度的长．
（参考数据：，，
【解析】（1），，
，
，
，
四边形是矩形，
，
“大碗”的口径的长为；
（2）延长交于点，
由题意得：，，，，
，
，
在中，，
，
“大碗”的高度的长约为．
72．（2024 辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到．
（参考数据：，，，
【解析】（1）如图2，在△中，，，
，
，
则的长为；
（2）在△中，，，
根据勾股定理得：，
在△中，，，，
，即，
，
，
，
，
则物体上升的高度约为．
73．（2024 贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．
【测量数据】
如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求，之间的距离（结果精确到．
（参考数据：，，
【解析】（1）在△中，，
，
；
（2）由题可知，
，
又，
，
．
74．（2024 南京）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为，他在道路上的影长（单位：与行走的路程（单位：之间的函数关系如图（2）所示，其中，，是线段，是曲线．
（1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）路灯的高度是 6 ．
（3）设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述；（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
【解析】（1）由题意得：，
横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处；
（2）由题意得：，
解得：，
路灯的高度是，
故答案为：6；
（3）①，
，
为小明在坡上任意一点，
此时，，影长 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
线段的倾斜程度更大；
②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，
：小明走到灯下处，到达，
当取不同的值时，可能出现（a）（b）（c）的情况，
故答案为：（a）（b）（c）．
75．（2024 乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含、和的式子表示；如果不能，请说明理由．
【解析】（1）如图，过点作于点．
设秋千绳索的长度为尺．
由题可知，尺，尺，尺，
尺．
在△中，由勾股定理得：，
，
解得．
答：秋千绳索的长度为14.5尺；
（2）能．
由题可知，，．
在△中，，
，
同理，，
，
，
，
．
