人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程 单元测试卷（含解析）

第21章《一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程的根情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定
5．关于x的方程，则的值是（　　）
A． B．1 C．或1 D．3或
6．已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书．据统计该阅览室2021年图书借阅总量是7500本，2023年图书借阅总量是10800本．设该社区阅览室的图书借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
9．定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．将一元二次方程化成的形式则 ．
12．已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
13．方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ．
14．在解方程时，小王看错了m，解得方程的根为6与；小李看错了n，解得方程的根为2与，则原方程的解为 ．
15．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程．若“”表示一个字母，且一元二次方程有实数根，则“”的最大值为 ．
16．对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程：
(1)； (2)．
18．（6分）已知关于x的方程．
(1)当k是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值．
19．（8分）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．
20．（8分）阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，如果实数a，b满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出m，n的值．
解法是：∵，∴，
即，∴，，∴．
根据这样的解法，完成：
(1)若，求的值；
(2)若等腰的两边长a，b满足，求该的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式，求的值．
21．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是68元，书籍乙的单价是50元，共花费5720元．
(1)请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？
(2)经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值．
22．（8分）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．

(1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）；
(2)当t为几秒时，的长度等于；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．
23．（8分）阅读材料，解答问题：
已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数，满足：，且，则______，______；
（2）间接应用：
已知实数，满足：，，且，求的值．
（3）拓展应用：
已知实数，满足：，且，求的取值范围．
答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：、方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，是一元二次方程，符合题意；
故选：．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
3．A
【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】由题意可知：，，，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．
设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可．
【详解】解：设，则此方程可化为，
∴，
∴或，
解得，，
∴的值是1或．
∵，即，
方程无解，故舍去，
∴的值是1，
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．先利用根与系数的关系得到，，再根据，求出，，即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根是，，
，，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据增长率问题的数量关系列出表示经过两次增长以后图书馆有书的本数的代数式是关键．
经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书本，即可列方程求解
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键．
由题意知，，，则，即，可求，则，即，公式法解方程，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，即，
解得，，即，
∴，即，
解得，，，
∴方程一定有实数根，
故选：B．
9．A
【分析】本题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，先将变形为，再利用“同族二次方程”定义列出关系式，得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定代数式的最小值．理解“同族二次方程”的定义是解题的关键．
【详解】解： ，
∴，
即，
∵与是“同族二次方程”，
∴与是“同族二次方程”，
∴，，
解得：，，
则
，
当时，取最大值2024，
故选A．
10．D
【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1 x2=2n＞0、y1 y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
二．填空题
11．1
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为，
故，
，
故答案为：1．
12．2018
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意得出，，将变形为，整体代数计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．或4
【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
【详解】解:解方程得：或5，
即直角三角形的两边为3或5，
当5为直角边时，第三边为：；
当5为斜边时，第三边为：；
故答案为：或4．
14．，
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，能够根据根与系数的关系求得没有看错的未知字母的值是解题的关键．
首先根据根与系数的关系求得m，n的值，再进一步解方程即可．
【详解】解：根据根与系数关系得
，，
解得：，，
∴原方程为，
，
或，
∴，，
故答案为：，．
15．
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定范围，设中为，根据判别式的意义得到，然后解不等式求出后找出最大整数即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：设中为，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴“”的最大值为，
故答案为：．
16．
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为：
当时，即时，有，
即：，其根为：是负数，
当时，即，时，有，
即：，
要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解，
∴，
∴，
（1）当时，即时，方程只有一个根，
∵当时，，
∴，，
∴此时方程只有一个根符合题意，
∴不符合题意；
（2）当时，方程的两个根都符合题题意，
∵当时，，
∴，，
∴方程只有一个根符合题意，
∴当时，恰好有三个不相等的实数根；
（3）∵当时，方程的一个根，另外一个根，
∴此时方程只有一个根符合题意，
∵，，
∴当时，方程最多有一个根符合题意，
∴当时不可能有三个不相等的实根；
综上分析可知，的取值范围是．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：，
，
，
或，
∴，；
（2），
，
，，，
∴，
∴，
∴，．
18．（1）解：关于x的方程有实数根，
，
解得：，
当时，方程有实数根．
（2）解：方程的两个实数根为、，
，
，
、均为正数，
，即，
解得： ．
19．（1）根据定义，方程变形为，
得到，
且，
故方程是否为“勾系一元二次方程”．
（2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根，
∴，
∴，
∵四边形的周长是12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故的面积为2．
20．（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，．
∵a，b是等腰的两边长，
∴当a是腰，b是底时，的周长为；
当b是腰，a是底时，的周长为．
综上所述：的周长为10或11；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵a，b，c为正整数，
∴，即，
而或，即或1或3，
当时，必有，则，与题意不符，舍去，
当时，必有，则，与题意不符，舍去，
∴，，，
∴．
21．（1）解：设计划购买书籍甲本，书籍乙本．由题得：
解得：
答：计划购买书籍甲40本，书籍乙60本；
（2）解：由题得：
∴
∴（舍），
答：的值为6．
22．（1）∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
故答案为：，．
（2）∵， ，
，
∴，
整理，得，
解得，
当运动时间为或运动时间为时，的长度等于．
（3）∵， ，
，
∴，
∴，
整理，得，
解得（舍去），
故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的．
23．解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，；
解：（2）∵把代入得不合题意，
∴两边同时除以得
又∵，且，
∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根，
∴利用根与系数的关系可得出，
∴，
∴．
解：（3）将方程两边同时乘以2得，
又∵，且，
∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根，
∴利用根与系数的关系可得出
∵是方程的两个不等实数根，
∴．