北师大九下2.1二次函数
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第二章 二次函数
2.1二次函数
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验,掌握二次函数的概念和一般形式.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系,会列二次函数表达式解决实际问题.
情景导入
函数
变量之间的关系
一次函数
反比例函数
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=kx+b (k≠0)
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数.
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.
核心知识点一：
二次函数的定义
例1：小明家果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
探索新知
(1)问题中的变量有：
①橙子树的棵数
③橙子树接受阳光的多少
自变量
因变量
②橙子树之间的距离
④橙子的个数
⑤果园橙子的总产量
探索新知
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有__________棵橙子树，
这时平均每棵树结_____________个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式为：____________________________________________.
果园原来有100棵
（100+x）
（600-5x）
y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000
橙子总产量＝每棵树的产量×橙子树的数量
探索新知
例2：小明卖完橙子后准备把钱存入银行.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
解：y=100(x+1)2=100x2+200x+100.
关键词：年利率是x，
基本等量关系：本息和=本金+利息
一年后：本息和=100(x+1)
本金=100元，
2年后本息和.
探索新知
【合作探究】观察三个函数表达式的共同点:
（1）y=-5x2+100x+60000；
（2）y=100x2+200x+100；
(1) 函数表达式中的各项都是整式；
(2) 函数自变量的最高次为2次；
(3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.
归纳：
探索新知
归纳总结
二次函数的一般形式: y= ax2+b x+c (a , b , c为常数， a≠0).
一次项
二次项
常数项
二次项系数
一次项系数
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.
二次函数的概念：
探索新知
y= ax + bx + c (a,b,c是常数，a≠0)
若 b=0， 可以写成__________________;
若 c=0， 可以写成__________________;
若b=0且c=0，可以写成__________________.
y=ax +c
y=ax +bx
y=ax
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a，b，c为常数，且a≠0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
探索新知
1.下列函数中，_____________________是二次函数.
（1）（4）
探索新知
2. ，m是常数，
（1）若这个函数是一次函数，求m的值;
（2）若这个函数是二次函数，求m的值;
解：（1）由题可知 解得 .
（2）由题可知 ， 解得 且
探索新知
核心知识点二：
二次函数的自变量取值范围
上述问题中的两个函数的自变量的取值范围是什么？
y= (100+x)(600-5x)
=-5x +100x+60000
y=100(x+1)
=100x +200x+100
①∵600-5x>0，x＞0，
∴0≤x<120，且x为整数.
②x>0.
探索新知
思考：1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗
2.已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
解：y=x(20-x)=-x2+20x.
解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm，
根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
0x取全体实数
探索新知
归纳总结
【自变量】在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是 ；
在实际问题中，自变量的取值要使 有意义.
实际问题
全体实数
【意义】同一个函数可以表达不同的实际意义
探索新知
当堂检测
C
D
当堂检测
3.关于二次函数y=mx2-8x,下列说法错误的是( )
A.m≠0 B.二次项为mx2
C.一次项系数为8 D.常数项为0
4.下列具有二次函数关系的是( )
A.正方形的周长y与边长x
B.速度一定时,路程s与时间t
C.正方形的面积y与边长x
D.三角形的高一定时,面积y与底边长x
C
C
当堂检测
5．在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数关系式为( )
A．y＝(60＋2x)(40＋2x)
B．y＝(60＋x)(40＋x)
C．y＝(60＋2x)(40＋x)
D．y＝(60＋x)(40＋2x)
A
当堂检测
6．某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为x元，则可卖出(260－10x)件商品，那么商店所赚的钱y(元)与售价x(元)的函数关系式为( )
A．y＝－10x2＋510x－6 500
B．y＝－10x2－510x－6 500
C．y＝10x2＋510x＋6 500
D．y＝10x2＋510x－6 500
A
当堂检测
7.已知二次函数y=4x2+3x+c,当自变量x的值为-1时,对应的函数值为-4;当自变量x的值为1时,对应的函数值为 .
8.一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个半圆,下部是一个矩形,矩形的一边长为2.5 m.则
(1)隧道截面的面积S(m2)与上部半圆的半径r(m)之间的函数关系式为 ;
(2)当上部半圆的半径为2 m时,截面的面积
为 (精确到0.1 m2).
2
16.3 m2
当堂检测
9.如图所示的是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图,该矩形的长、宽分别为5 cm,3 cm,其中阴影部分为迷宫中的挡板,设挡板的宽度为x cm,小球滚动的区域(空白区域)面积为y cm2,则y与x之间的函数关系式为 .
y=x2-8x+15(0当堂检测
10.已知函数y＝(m＋3)x ＋2m－2.
(1)当m为何值时，它是正比例函数？
解：当函数y＝(m＋3)x ＋2m－2是正比例函数时，
∴m2＋2m－2＝1，且m＋3≠0，
解得m1＝－3(舍去)，m2＝1，
则m＝1时，它是正比例函数．
当堂检测
(2)当m为何值时，它是反比例函数？
解：当函数y＝(m＋3)x ＋2m－2是反比例函数时，
∴m2＋2m－2＝－1，且m＋3≠0，
(3)当m为何值时，它是二次函数？
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
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第二章 二次函数
2.1二次函数
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验,掌握二次函数的概念和一般形式.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系,会列二次函数表达式解决实际问题.
情景导入
函数
变量之间的关系
一次函数
反比例函数
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=kx+b (k≠0)
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数.
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.
核心知识点一：
二次函数的定义
例1：小明家果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
探索新知
(1)问题中的变量有：
①橙子树的棵数
③橙子树接受阳光的多少
自变量
因变量
②橙子树之间的距离
④橙子的个数
⑤果园橙子的总产量
探索新知
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有__________棵橙子树，
这时平均每棵树结_____________个橙子.
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式为：____________________________________________.
果园原来有100棵
（100+x）
（600-5x）
y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000
橙子总产量＝每棵树的产量×橙子树的数量
探索新知
例2：小明卖完橙子后准备把钱存入银行.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
解：y=100(x+1)2=100x2+200x+100.
关键词：年利率是x，
基本等量关系：本息和=本金+利息
一年后：本息和=100(x+1)
本金=100元，
2年后本息和.
探索新知
【合作探究】观察三个函数表达式的共同点:
（1）y=-5x2+100x+60000；
（2）y=100x2+200x+100；
(1) 函数表达式中的各项都是整式；
(2) 函数自变量的最高次为2次；
(3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.
归纳：
探索新知
归纳总结
二次函数的一般形式: y= ax2+b x+c (a , b , c为常数， a≠0).
一次项
二次项
常数项
二次项系数
一次项系数
一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数.
二次函数的概念：
探索新知
y= ax + bx + c (a,b,c是常数，a≠0)
若 b=0， 可以写成__________________;
若 c=0， 可以写成__________________;
若b=0且c=0，可以写成__________________.
y=ax +c
y=ax +bx
y=ax
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a，b，c为常数，且a≠0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
探索新知
1.下列函数中，_____________________是二次函数.
（1）（4）
探索新知
2. ，m是常数，
（1）若这个函数是一次函数，求m的值;
（2）若这个函数是二次函数，求m的值;
解：（1）由题可知 解得 .
（2）由题可知 ， 解得 且
探索新知
核心知识点二：
二次函数的自变量取值范围
上述问题中的两个函数的自变量的取值范围是什么？
y= (100+x)(600-5x)
=-5x +100x+60000
y=100(x+1)
=100x +200x+100
①∵600-5x>0，x＞0，
∴0≤x<120，且x为整数.
②x>0.
探索新知
思考：1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗
2.已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗
解：y=x(20-x)=-x2+20x.
解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm，
根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
0
探索新知
归纳总结
【自变量】在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是 ；
在实际问题中，自变量的取值要使 有意义.
实际问题
全体实数
【意义】同一个函数可以表达不同的实际意义
探索新知
当堂检测
C
D
当堂检测
3.关于二次函数y=mx2-8x,下列说法错误的是( )
A.m≠0 B.二次项为mx2
C.一次项系数为8 D.常数项为0
4.下列具有二次函数关系的是( )
A.正方形的周长y与边长x
B.速度一定时,路程s与时间t
C.正方形的面积y与边长x
D.三角形的高一定时,面积y与底边长x
C
C
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5．在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数关系式为( )
A．y＝(60＋2x)(40＋2x)
B．y＝(60＋x)(40＋x)
C．y＝(60＋2x)(40＋x)
D．y＝(60＋x)(40＋2x)
A
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6．某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为x元，则可卖出(260－10x)件商品，那么商店所赚的钱y(元)与售价x(元)的函数关系式为( )
A．y＝－10x2＋510x－6 500
B．y＝－10x2－510x－6 500
C．y＝10x2＋510x＋6 500
D．y＝10x2＋510x－6 500
A
当堂检测
7.已知二次函数y=4x2+3x+c,当自变量x的值为-1时,对应的函数值为-4;当自变量x的值为1时,对应的函数值为 .
8.一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个半圆,下部是一个矩形,矩形的一边长为2.5 m.则
(1)隧道截面的面积S(m2)与上部半圆的半径r(m)之间的函数关系式为 ;
(2)当上部半圆的半径为2 m时,截面的面积
为 (精确到0.1 m2).
2
16.3 m2
当堂检测
9.如图所示的是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图,该矩形的长、宽分别为5 cm,3 cm,其中阴影部分为迷宫中的挡板,设挡板的宽度为x cm,小球滚动的区域(空白区域)面积为y cm2,则y与x之间的函数关系式为 .
y=x2-8x+15(0
10.已知函数y＝(m＋3)x ＋2m－2.
(1)当m为何值时，它是正比例函数？
解：当函数y＝(m＋3)x ＋2m－2是正比例函数时，
∴m2＋2m－2＝1，且m＋3≠0，
解得m1＝－3(舍去)，m2＝1，
则m＝1时，它是正比例函数．
当堂检测
(2)当m为何值时，它是反比例函数？
解：当函数y＝(m＋3)x ＋2m－2是反比例函数时，
∴m2＋2m－2＝－1，且m＋3≠0，
(3)当m为何值时，它是二次函数？
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
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