北师大九下2.2.2二次函数的图像和性质（2）

(共25张PPT)
第二章 二次函数
2.2.2二次函数的图像和性质（2）
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.
2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
情景导入
图象
开口 方向
对称性 顶点 最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
情景导入
y =－x2
y =x2
二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢 有没有其他形式的二次函数？
核心知识点一：
二次函数y=ax2的图象与性质
画二次函数 的图象.
1.列表：完成下表：
x
y
坐标
-2
8
-1
2
0
0
1
2
2
8
(-2,8)
(-1,2)
(0,0)
(1,2)
(2,8)
···
···
···
···
探索新知
2.描点：在直角坐标系中描点.
3.连线：用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 的图象．
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
探索新知
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
表达式 开口 对称轴 顶点
向上
y轴
(0,0)
最值 增减性 x>0 x<0
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
探索新知
x ··· －2 －1 0 1 2 ···
··· 2 0.5 0 0.5 2 ···
y = 2x2 ··· 8 2 0 2 8 ···
在画有y =x2直角坐标系中，画出 ，y =2x2的图象.
y =x2
①列表；
②描点；
③连线.
y=2x2
探索新知
y =x2
y=2x2
函数 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向上，
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
y=2x2抛物线的开口最小．
探索新知
在画有 y =－x2的直角坐标系中，画出 的图象．
y =－x2
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
··· -2 -0.5 0 -0.5 -2 ···
y = -2x2 ··· -8 -2 0 -2 -8 ···
①列表；
②描点；
③连线.
y=-2x2
探索新知
y =－x2
y=-2x2
函数 ，y=－2x2的图象与函数y=－x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向下；
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
a值越小，抛物线的开口越小．
探索新知
归纳总结
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
最值
向上
向下
(0，0)
(0，0)
y轴 (x=0)
y轴 (x=0)
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
探索新知
核心知识点二：
二次函数y=ax2+c的图象与性质
画二次函数 的图象，你是怎样画的？
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
1.二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系？
2.它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么呢？
3.二次函数 的图象又是什么样的呢？
形状相同，位置不同
探索新知
2
4
-2
-4
0
3
6
9
x
y
图象
图象
图象
向上平移一个单位长度
向下平移一个单位长度
探索新知
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
表达式 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0
向上
y轴
(0,0)
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
当x=0时，
向上
y轴
(0,1)
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
向上
y轴
(0,-1)
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
探索新知
二次函数 与 的图象的关系：
二次函数 的图象可以由 的图象平移得到：
当c > 0时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0时,向下平移 |c|个单位长度得到.
开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0
a>0
a<0
向上
y轴
(0,c)
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
当x=0时，
向下
y轴
(0,c)
当x=0时，
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
归纳总结
探索新知
当堂检测
1.二次函数y=-x2-4的图象经过的象限为( )
A.第一、第四象限 B.第二、第四象限
C.第三、第四象限 D.第一、第三、第四象限
2.若A(-6,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=2x2-1图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y3C.y3C
A
当堂检测
3.已知抛物线y=(a-1)x2+2的顶点是此抛物线的最低点,那么a的取值范围是( )
A.a≠0 B.a≠1
C.a>1 D.a<1
4.二次函数y=12-ax2的图象经过点A(2,8),B(-3,n),则a的值为
　 　,n的值为　 　.
C
1
3
当堂检测
5.将抛物线y=x2-1向上平移2个单位长度,所得的抛物线的函数表达式是( )
A.y=x2-3
B.y=x2+1
C.y=2x2-1
D.y=(x+2)2-1
6.若抛物线y=ax2沿y轴向下平移2个单位长度就能与y=-2x2+c的图象完全重合,则c的值为　 　.
B
-2
当堂检测
7.已知二次函数y=ax2与y=-2x2+c.
(1)若这两个函数图象的形状及开口方向相同,则a的值为　 　;
(2)二次函数y=-2x2+c中x,y的几组对应值如下表:
-2
x -2 1 5
y m n p
表中m,n,p的大小关系为　 　(用“<”连接).
p当堂检测
(0,3)
10
2≤y≤4
当堂检测
解:如图所示.
当堂检测
12.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度,得到抛物线y=-x2+3,设原抛物线的顶点为P,且原抛物线与x轴相交于点A,B,且点A在点B的左
侧,求△PAB的面积.
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
c决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
c正向上；
c负向下.
感谢收看