北师大九下2.2.4二次函数的图像和性质（4）

(共25张PPT)
第二章 二次函数
2.2.4二次函数的图像和性质（4）
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系
情景导入
y＝ax2
y＝a(x－h)2 ＋k
上正下负
左加右减
一般地，二次函数y＝a(x－h)2 ＋k与y＝ax2的________相同，_______不同.
形状
位置
情景导入
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
（h，k）
（h，k）
直线x=h
向上
向下
当x=h时,y有最小值为k.
当x=h时, y有最大值为k.
当x当x>h时, y随着x的增大而增大.
根据图象填表：
直线x=h
当x当x>h时, y随着x的增大而减小.
y=a(x-h)2+k（a<0）
y=a(x-h)2+k（a>0）
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
1
2
4
6
8
10
y
核心知识点一：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
根据前面所学知识，你能研究二次函数
的图象和性质吗？
一般式
顶点式
如何转化？
配方法
探索新知
二次项系数化为1
不要漏乘括号前系数
化为顶点式
因此,二次函数 图象的对称轴是
直线x=1,顶点坐标为(1,3).
分组，准备配方
探索新知
y=2x2-4x+5
y=2(x-1)2+3
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
y=2x2-4x+5
向上
x=1
（1，3）
当x>1时，y随
x的增大而增大；
当x<1时，y随
x的增大而减小
配方
探索新知
求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
探索新知
归纳总结
所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是：
顶点坐标是：
探索新知
例：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
y=ax2+bx+c
因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x= ,顶点坐标是
探索新知
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c图象和性质：
对称轴：
顶点：
y
O
x
（a>0）
最小值：
如果a>0,
当x< 时，y随x的增大而减小；
当x> 时，y随x的增大而增大；
当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
探索新知
y
O
x
（a<0）
最大值：
如果a<0,
当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 .
探索新知
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 表示.
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少
5
-5
O
10
x/m
y/m
桥面
探索新知
解：（1）
所以左侧钢缆最低点坐标为（-20，1），
即钢缆最低点到桥面的距离是1m.
5
-5
O
10
x/m
y/m
（2）由对称性可知，两条钢缆最低点之间距离为40米.
探索新知
归纳总结
二次函数y=ax2 +bx+c的图形与a,b,c之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c＝0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
探索新知
二次函数y=ax2+bx+c的补充性质
1.关于x轴对称的抛物线解析式为 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c
2.关于y轴对称的抛物线解析式为y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c
3.当 时，顶点在y轴上。
4.当Δ=b2-4ac=0时，顶点在x轴上，当Δ=b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有两个交点，当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
5.当x=1时，抛物线解析式为y=a+b+c；当x=-1时，抛物线解析式为y=a-b+c
归纳总结
探索新知
当堂检测
1.在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-1)2+1的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的函数表达式为( )
A.y=(x-2)2-1
B.y=(x-2)2+3
C.y=x2+1
D.y=x2-1
D
当堂检测
2.将抛物线y=-2x2平移,得到抛物线y=-2(x-1)2-2,下列平移方式中,正确的是( )
A.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D
当堂检测
3.已知二次函数y=6(x-2)2+5,则关于该函数,下列说法正确的是
( )
A.该函数图象的顶点坐标是(-2,5)
B.当x>2时,y的值随x值的增大而减小
C.当x取1和3时,所得到的y的值相同
D.该函数图象有最高点为(2,5)
C
当堂检测
4.抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是( )
A.(9,-3) B.(-9,-3)
C.(9,3) D.(-9,3)
5.将抛物线y=4-(x+1)2向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得抛物线必定经过点( )
A.(-2,2) B.(-1,1)
C.(0,6) D.(1,-3)
B
B
当堂检测
B
A
当堂检测
8.在平面直角坐标系中,将二次函数y=x2+1的图象先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象的函数表达式为　 　.
9.已知二次函数y=-(x-1)2-2,当2≤x≤4时,y的取值范围是
　 　.
y=(x+3)2-1
-11≤y≤-3
当堂检测
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
顶点：
对称轴：
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