北师大九下2.3.1 确定二次函数的表达式 1

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第二章 二次函数
2.3.1 确定二次函数的表达式 1
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.掌握由两点确定二次函数的表达式。
2.掌握用顶点法确定二次函数表达式。
3.掌握用交点法确定二次函数表达式。
情景导入
开口方向 对称轴 顶点
a>0
a<0 向上
向下
直线x=h
(h,k)
二次函数
图象特征
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2+k
情景导入
思考：已知一次函数经过点(1,4),(0,3)，求这个函数表达式.
解：设一次函数的表达式为：y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)
将点(1,4)和(0,3)的坐标分别代入表达式y=kx+b，得
解方程组，得
所以，所求一次函数表达式为：y=x+3.
待定系数法
1.函数表达式中有几个位置系数？
2.需要几个点的坐标求表达式？
核心知识点一：
利用两点确定二次函数的表达式
例1: 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)
两点，求这个二次函数的表达式；
将点(1，1)和(2，3)的坐标分别代入表达式y＝x2＋bx＋c，得
1=1+b+c
3=4+2b+c 解得： c=1 b=-1
∴所求二次函数的表达式为 y＝x2－x＋1.
解：
探索新知
对于特殊条件的二次函数， y = ax2+bx， y = ax2+c:
1.特点：①表达式中含有2个未知系数；
②题目中有两个坐标点；
2.解法：
①代：将两个坐标点带入表达式中，得一个方程组；
②解：解方程组；
③写：写出表达式
探索新知
　例2: 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得
∴ y= - x2 - 6x.
{
{
a= -1,
b= -6.
总结：当没有c时图象经过原点
探索新知
∴
例3：已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点( 2, 3 )
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得
{
总结：没有b时（b=0）关于y轴对称
{
探索新知
核心知识点二：
顶点法求二次函数的表达式
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式
y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
例4： 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点
(0，3)求这条抛物线的表达式.
探索新知
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ，
∴这条抛物线的表达式为：y= (x-4)2-1.
探索新知
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
探索新知
核心知识点三：
交点法求二次函数的表达式
例5：选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），
试求出这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
交点法求函数表达式的关键是掌握函数的交点表达式y＝a(x-x1) (x-x2)(a≠0) 其中x1和x2是图象与x轴交点的横坐标
探索新知
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
探索新知
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
归纳总结
探索新知
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？
1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式。
2. 用一般式y=ax +bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式.
探索新知
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？
3.用交点式y=a(x-x1)(x-x2)时，抛物线与x轴交点的横坐标x1,x2,就可以确定这个二次函数的表达式。
探索新知
当堂检测
B
B
当堂检测
3.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的表达式为( )
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2+2x+3
C.y=-x2+2x-3
D.y=-x2-2x+3
D
当堂检测
C
y=-x2+x+2
当堂检测
6.已知抛物线y=ax2+bx-3(a,b是常数,a≠0)经过点A(-1,-2),点 B(1,-6).求抛物线的函数表达式.
当堂检测
当堂检测
8.已知二次函数图象的顶点坐标为(-2,2),且过点(-1,3).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)判断点P(1,9)是否在这个二次函数的图象上,并说明理由.
解:(1)设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+2,
将点(-1,3)代入,得a(-1+2)2+2=3,
解得a=1.
∴二次函数的表达式为y=(x+2)2+2=x2+4x+6.
(2)点P(1,9)不在这个二次函数的图象上.理由如下:
把x=1代入y=x2+4x+6,得
y=1+4+6=11≠9.
∴点P(1,9)不在这个二次函数的图象上.
用待定系数法求二次函数的解析式
“顶点式”法
已知任意一个点和顶点的坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k
“交点式”法
已知任意一个点和抛物线与x轴的两个交点（x1，0）（x2，0）的坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-x1)(x-x2)
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