北师大九下2.4.1二次函数的应用1
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第二章 二次函数
2.4.1二次函数的应用1
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.经历计算最大面积问题的探究，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量间的函数关系，并运用二次函数知识解决实际问题的最值，增强解决问题的能力.
情景导入
想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
当自变量的取值范围是全体实数时，
(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
情景导入
当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，
(1)若 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，
最大值与最小值同时存在，
如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得，
最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；
当a＜0时，最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；
情景导入
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多
思考:现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌
情景导入
核心知识点一：
几何图形面积的最大面积
例1：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
思考：△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？
探索新知
解: (1)∵AB=x,则BF=40-x.
∵BC∥AD,
∴△BCF∽△AEF.
即
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
探索新知
(2)设矩形的面积为ym ，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
解: (2)由面积公式易得：
即
所以，当x=20时，y的值最大，最大为300.
即当AB=20cm时，矩形最大为300cm .
探索新知
变式：在上面的问题中，把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
思考：类比原题的方法，能否利用相似表示AD？
A
C
D
40m
30m
B
O
E
F
探索新知
A
C
D
40m
30m
B
∟
∟
M
N
O
E
F
解：过点O作OM⊥EF交于AD与点N，由勾股定理易得EF=50cm，由等积法可得OM=24，
设AB=x，则MN=AB=x，易得ON=24-x，
由△AOD∽△FOE，得
即 ，
易得
所以当AB=12cm时，矩形最大为300cm .
探索新知
例2：某建筑物的窗户如下图,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
y
x
探索新知
x
y
x
解：
探索新知
设窗户的面积是Sm ，则
∴当 时，
因此当x约为1.07时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m .
探索新知
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8米，
宽是2米，抛物线可以用 表示.
(1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？
(2)如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运
卡车是否可以通过？
2
4
-2
-4
o
3
x
y
探索新知
2
4
-2
-4
o
3
x
y
解：(1)把y=4-2=2代入 得：
解得 ，则此时可通过货运卡车宽度为 米，
所以高4米，宽2米的卡车能通过该隧道.
(2)由(1)得当y=2时， ,
因为 ，所以能通过.
探索新知
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
探索新知
当堂检测
C
当堂检测
2.如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=
6 cm.点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点A出发,沿AC方向以 1 cm/s 的速度向点C运动,其中一个动点到达终点另一个动点也停止运动,则S四边形BCQP的最小值是( )
A.0 cm2 B.8 cm2
C.16 cm2 D.24 cm2
B
当堂检测
3.如图所示,四边形ABCD的两条对角线互相垂直,
AC+BD=16,则四边形ABCD的最大面积是( )
A.64 B.32
C.16 D.以上都不对
B
当堂检测
4.如图所示,在矩形ABCD中,AD=3,点E是AD边上的动点,连接CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG,过点F作FH⊥AD,垂足为H,连接AF.在整个变化过程中,△AEF的面积的最大值是 .
当堂检测
5.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10,点F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,则S△CDE的最大值为 .
当堂检测
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,点P,Q分别从A,B两点同时出发,点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度匀速运动,点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度匀速运动,设运动时间为x s,△PBQ的面积为y cm2.
(1)求y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围;
当堂检测
(2)求△PBQ的面积的最大值.
解:(2)∵y=-4x2+24x=-4(x-3)2+36,
∴当x=3时,y最大=36,
即△PBQ的面积的最大值是36 cm2.
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
感谢收看
第二章 二次函数
2.4.1二次函数的应用1
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.经历计算最大面积问题的探究，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量间的函数关系，并运用二次函数知识解决实际问题的最值，增强解决问题的能力.
情景导入
想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
当自变量的取值范围是全体实数时，
(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
情景导入
当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，
(1)若 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，
最大值与最小值同时存在，
如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得，
最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；
当a＜0时，最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；
情景导入
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多
思考:现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌
情景导入
核心知识点一：
几何图形面积的最大面积
例1：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
思考：△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？
探索新知
解: (1)∵AB=x,则BF=40-x.
∵BC∥AD,
∴△BCF∽△AEF.
即
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
探索新知
(2)设矩形的面积为ym ，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
解: (2)由面积公式易得：
即
所以，当x=20时，y的值最大，最大为300.
即当AB=20cm时，矩形最大为300cm .
探索新知
变式：在上面的问题中，把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
思考：类比原题的方法，能否利用相似表示AD？
A
C
D
40m
30m
B
O
E
F
探索新知
A
C
D
40m
30m
B
∟
∟
M
N
O
E
F
解：过点O作OM⊥EF交于AD与点N，由勾股定理易得EF=50cm，由等积法可得OM=24，
设AB=x，则MN=AB=x，易得ON=24-x，
由△AOD∽△FOE，得
即 ，
易得
所以当AB=12cm时，矩形最大为300cm .
探索新知
例2：某建筑物的窗户如下图,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
x
y
x
探索新知
x
y
x
解：
探索新知
设窗户的面积是Sm ，则
∴当 时，
因此当x约为1.07时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m .
探索新知
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8米，
宽是2米，抛物线可以用 表示.
(1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？
(2)如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运
卡车是否可以通过？
2
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o
3
x
y
探索新知
2
4
-2
-4
o
3
x
y
解：(1)把y=4-2=2代入 得：
解得 ，则此时可通过货运卡车宽度为 米，
所以高4米，宽2米的卡车能通过该隧道.
(2)由(1)得当y=2时， ,
因为 ，所以能通过.
探索新知
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
探索新知
当堂检测
C
当堂检测
2.如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=
6 cm.点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点A出发,沿AC方向以 1 cm/s 的速度向点C运动,其中一个动点到达终点另一个动点也停止运动,则S四边形BCQP的最小值是( )
A.0 cm2 B.8 cm2
C.16 cm2 D.24 cm2
B
当堂检测
3.如图所示,四边形ABCD的两条对角线互相垂直,
AC+BD=16,则四边形ABCD的最大面积是( )
A.64 B.32
C.16 D.以上都不对
B
当堂检测
4.如图所示,在矩形ABCD中,AD=3,点E是AD边上的动点,连接CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG,过点F作FH⊥AD,垂足为H,连接AF.在整个变化过程中,△AEF的面积的最大值是 .
当堂检测
5.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=10,点F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,则S△CDE的最大值为 .
当堂检测
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,点P,Q分别从A,B两点同时出发,点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度匀速运动,点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度匀速运动,设运动时间为x s,△PBQ的面积为y cm2.
(1)求y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围;
当堂检测
(2)求△PBQ的面积的最大值.
解:(2)∵y=-4x2+24x=-4(x-3)2+36,
∴当x=3时,y最大=36,
即△PBQ的面积的最大值是36 cm2.
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
感谢收看