北师大九下2.4.2二次函数的应用2
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第二章 二次函数
2.4.2二次函数的应用2
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是求最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用次二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值。
情景导入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
核心知识点一：
如何定价利润最大
服装厂生产某品牌的T恤衫成本
是每件10元.根据市场调查，以单价
13元批发给经销商，经销商愿意经销
5 000件，并且表示单价每降价0.1元，
愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
探索新知
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运
用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利
润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二
次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．
探索新知
设批发单价为x元(0≤ x≤13元),那么
销售量可表示为 : 件;
销售额可表示为: 元;
所获利润可表示为: 元;
5000+5000(13-x)=70000-5000x
x(70000-5000x)=70000x-5000x2
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)
＝-5000x2+120000x-700000
探索新知
当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.
y＝-5000x2+120000x-700000
=-5000(x- 12)2+20000.
∵-5000＜0
∴抛物线有最高点，函数有最大值．
12
20000
探索新知
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时， 每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租
金提高到多少元时，客房日租金的
总收入最高？
探索新知
分 析：相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数
若设每间客房的日租金提高x个10元（即10X元），则：
每天客房出租数会减少6x间，
客房日租金的总收入为y元，则：
探索新知
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会
减少6x间.设客房日租金总收入为 y元，
则 y = (160+10x) (120-6x)= -60 (x-2)2+ 19 440.
∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x< 20.
当x=2时，y最大= 19 440.
这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元).
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人
最高，最高收入为 19 440 元.
探索新知
归纳总结
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
用二次函数解决最值问题的一般步骤：
探索新知
议一议：某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子、现准备多种一些橙子树以提高果园产量、但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.若假设果园增种x棵橙子树，橙子总产量为y个.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上？
探索新知
解：（1）依题意可得：y= -5x2+100x+60000
1、列表
2、描点；
3、连线
探索新知
（2）由表格和图象观察可知：当6≤x≤14 时，可以使橙子总产量超过60400个.
通过绘制图形可以直观看到，果园的树木棵数并不是越多越好，产量的多少取决于科学的计算果树的棵数．
探索新知
归纳总结
上述问题的思考，我们可以发现在解决一些二次函数的实际问题时，绘制出图形对于问题的解决至关重要。所以，大家再利用二次函数的知识解决实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用。
探索新知
当堂检测
1.某滑雪运动员从山坡上滑下,其滑行距离s(单位:m)与滑行时间 t(单位:s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为3 s时,滑行距离为( )
A.30 m B.28.5 m
C.26.5 m D.29 m
B
当堂检测
1.某滑雪运动员从山坡上滑下,其滑行距离s(单位:m)与滑行时间 t(单位:s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为3 s时,滑行距离为( )
A.30 m B.28.5 m
C.26.5 m D.29 m
B
当堂检测
2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：
①小球在空中经过的路程是80 m；
②小球抛出后至3 s，速度越来越慢；
③小球抛出6 s时速度为0；
④小球的高度h＝30 m时，t＝1.8 s.
其中正确的是（ A ）
A. ①② B. ①④
C. ②③④ D. ①②③
A
当堂检测
3.如图所示,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出
时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,
则小球在飞行过程中能达到的最大高度为 .
20 m
当堂检测
4.如图所示的是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面
宽6 m,水面下降 m,水面宽8 m.
当堂检测
5.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线型的水幕上,通过光学原理折射出图像,水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的,如图所示,水柱的最高点为P,AB=2 m,BP=9 m,水嘴高AD=5 m,则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是 m.
5
当堂检测
6.小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线型,测得喷水头P距地面0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离 5 m 处达到最高,最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的函数表达式为y=a(x-h)2+k,其中 x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)抛物线的函数表达式为 ;
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,她与爸爸的水平距离为 .
2 m或6 m
当堂检测
7.如图所示,修建一条隧道,其截面为抛物线型,线段OE表示水平的路面,以点O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求抛物线的函数表达式;
当堂检测
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
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第二章 二次函数
2.4.2二次函数的应用2
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1.经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是求最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用次二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值。
情景导入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
核心知识点一：
如何定价利润最大
服装厂生产某品牌的T恤衫成本
是每件10元.根据市场调查，以单价
13元批发给经销商，经销商愿意经销
5 000件，并且表示单价每降价0.1元，
愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
探索新知
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运
用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利
润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二
次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．
探索新知
设批发单价为x元(0≤ x≤13元),那么
销售量可表示为 : 件;
销售额可表示为: 元;
所获利润可表示为: 元;
5000+5000(13-x)=70000-5000x
x(70000-5000x)=70000x-5000x2
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)
＝-5000x2+120000x-700000
探索新知
当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.
y＝-5000x2+120000x-700000
=-5000(x- 12)2+20000.
∵-5000＜0
∴抛物线有最高点，函数有最大值．
12
20000
探索新知
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时， 每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租
金提高到多少元时，客房日租金的
总收入最高？
探索新知
分 析：相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数
若设每间客房的日租金提高x个10元（即10X元），则：
每天客房出租数会减少6x间，
客房日租金的总收入为y元，则：
探索新知
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会
减少6x间.设客房日租金总收入为 y元，
则 y = (160+10x) (120-6x)= -60 (x-2)2+ 19 440.
∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x< 20.
当x=2时，y最大= 19 440.
这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元).
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人
最高，最高收入为 19 440 元.
探索新知
归纳总结
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润:运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
用二次函数解决最值问题的一般步骤：
探索新知
议一议：某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子、现准备多种一些橙子树以提高果园产量、但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.若假设果园增种x棵橙子树，橙子总产量为y个.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系.
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上？
探索新知
解：（1）依题意可得：y= -5x2+100x+60000
1、列表
2、描点；
3、连线
探索新知
（2）由表格和图象观察可知：当6≤x≤14 时，可以使橙子总产量超过60400个.
通过绘制图形可以直观看到，果园的树木棵数并不是越多越好，产量的多少取决于科学的计算果树的棵数．
探索新知
归纳总结
上述问题的思考，我们可以发现在解决一些二次函数的实际问题时，绘制出图形对于问题的解决至关重要。所以，大家再利用二次函数的知识解决实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用。
探索新知
当堂检测
1.某滑雪运动员从山坡上滑下,其滑行距离s(单位:m)与滑行时间 t(单位:s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为3 s时,滑行距离为( )
A.30 m B.28.5 m
C.26.5 m D.29 m
B
当堂检测
1.某滑雪运动员从山坡上滑下,其滑行距离s(单位:m)与滑行时间 t(单位:s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画,其图象如图所示,根据图象,当滑行时间为3 s时,滑行距离为( )
A.30 m B.28.5 m
C.26.5 m D.29 m
B
当堂检测
2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：
①小球在空中经过的路程是80 m；
②小球抛出后至3 s，速度越来越慢；
③小球抛出6 s时速度为0；
④小球的高度h＝30 m时，t＝1.8 s.
其中正确的是（ A ）
A. ①② B. ①④
C. ②③④ D. ①②③
A
当堂检测
3.如图所示,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出
时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,
则小球在飞行过程中能达到的最大高度为 .
20 m
当堂检测
4.如图所示的是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面
宽6 m,水面下降 m,水面宽8 m.
当堂检测
5.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线型的水幕上,通过光学原理折射出图像,水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的,如图所示,水柱的最高点为P,AB=2 m,BP=9 m,水嘴高AD=5 m,则水柱落地点C到水嘴所在墙的距离AC是 m.
5
当堂检测
6.小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线型,测得喷水头P距地面0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离 5 m 处达到最高,最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的函数表达式为y=a(x-h)2+k,其中 x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)抛物线的函数表达式为 ;
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,她与爸爸的水平距离为 .
2 m或6 m
当堂检测
7.如图所示,修建一条隧道,其截面为抛物线型,线段OE表示水平的路面,以点O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求抛物线的函数表达式;
当堂检测
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
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