第19章矩形、菱形与正方形单元测试A卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第19章矩形、菱形与正方形单元测试A卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 745.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-11 22:14:35 | ||
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文档简介
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第19章矩形、菱形与正方形单元测试A卷
华东师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等 D．正方形的对角线互相平分
2．如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
5．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为4cm的正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）cm2．
A．8 B．4 C．6 D．2
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4
8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积是1．
所有符合题意结论的序号是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是 厘米．
10．如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 ．
11．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝ ．
12．如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
三、解答题
13．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若AB＝2，OB＝3，求AD的长及四边形AEBO的面积．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为24，CE＝2，∠BAD＝120°，求AE的长．
15．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
16．如图，直线经过矩形ABCD的对角线BD的中点O，分别与矩形的两边相交于点E、F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥BD，则四边形BEDF是 形，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AD＝8，BD＝10，求△BDE的面积．
17．在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．
（1）求证：∠DAE＝∠ADE；
（2）求证：△AEB≌△DEC；
（3）当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
18．如图①正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB时，求∠BED的度数；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB．求AF的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B C B A D
1．【解答】解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；
B、矩形的对角线相等，错误；
C、菱形的四条边都相等，错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；
故选：D．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
故选：C．
3．【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意；
故选：B．
5．【解答】解：作CH⊥BD于点H，连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝OAAC，OB＝ODBD，
∴OC＝OB，
∵∠BCD＝90°，CD＝AB＝5，BC＝AD＝12，
∴BD13，
∴OC＝OB13，
∵BD CHBC CD＝S△BCD，
∴13CH12×5，
解得CH，
∵EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，S△COE+S△BOE＝S△BOC，
∴OC EFOB EGOB CH，
∴EFEG，
∴EF+EG，
故选：C．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OBM＝∠OAH＝45°，∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴∠AOH＝∠BOM，
在△AOH与△BOM中，
，
∴△AOH≌△BOM（ASA），
∴S△AOH＝S△BOM，
∴四边形OHBM的面积等于△AOB的面积，即两个正方形重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的，
∴两个正方形重叠部分的面积是，
故选：B．
7．【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴PMAP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP2.4，
∴AP最短时，AP＝2.4，
∴当PM最短时，PMAP＝1.2．
故选：A．
8．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OFBC＝1，
∴△OEF面积的最小值是1×1，
故②正确；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2，
则EF，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE．
∵OB，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBCS正方形ABCD2×2＝1，
故④正确；
故选：D．
二、填空题
9．【解答】解：如图所示：
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC＝6cm，S菱形ABCD＝24cm2，
∴BD＝8cm，AO＝3cm，BO＝4cm，
在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2，
即有AB2＝32+42，
解得：AB＝5cm，
∴菱形的周长＝4×5＝20cm．
故答案为：20．
10．【解答】解：如图，连接CE，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，
x2+42＝（8﹣x）2
解得x＝3，
∴DE的长是3．
故答案为：3．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．
方法2：∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故答案为：20°．
12．【解答】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的AE＝a，AH＝b，
则，，，
∵S1+S2+S3＝40，
∴（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝40，
a2+b2+2ab+a2+b2+a2+b2﹣2ab＝40，
3a2+3b2＝40，
，
∴．
故答案是：．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝DO，
∵OB＝3，
∴BD＝6，
由勾股定理得：AD4，
∵BO＝DO，
∴S△AOB＝S△AODS△BADAD×AB42＝2，
∵四边形AEBO是菱形，
∴AE＝AO＝BO＝BE＝3，
∴△AEB≌△BOA（SSS），
∴△AEB的面积＝△AOB的面积＝2，
∴四边形AEBO的面积是22＝4．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA，
∵O为BF的中点，
∴BO＝FO，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴BE＝FA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD＝BC，AF＝BE，
∴DF＝CE＝2，
∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴菱形ABEF的周长为：24﹣4＝20，
∴AB＝20÷4＝5，
∵∠BAD＝120°，
∴，
又 AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝5．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积DF×CECF×CD，
∴CE，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE，
∴BC，
∴EF．
16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴BO＝DO，
在△BOF与△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）四边形BEDF是菱形，理由：
∵OE＝OF，OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；
故答案为：菱；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AD＝8，BD＝10，
∴，
设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴△BDE的面积．
17．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵点E为DF中点，
∴AE＝EF＝DEDF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠EDA，
∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD，∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA，
∴∠BAE＝∠CDE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（3）解：∵△AEB≌△DEC，
∴EB＝EC，
∵EB＝BC，
∴EB＝BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵EB＝BC＝AB，
∴∠BAE（180°﹣30°）＝75°，
又∵AE＝EF，
∴∠AFD＝∠BAE＝75°．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，
∵AE＝AE，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE＝BE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
由（1）知：△DAE≌△BAE，
∴∠AED＝∠AEB（180°﹣45°）135°，
∴∠BED＝2∠AEB＝135°；
（3）如图②，过E作EM⊥BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
在四边形ADEF中，∠DAF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝∠EBF，
∴BE＝EF，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°，
设BM＝x，则MF＝BM＝x，EMx，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE∠BAD＝45°，
∴AM＝EMx，
∵AM+BM＝AB，
∴xx，
解得，x，
∴BF＝2x＝2，
∴AF＝AB﹣BF2．
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第19章矩形、菱形与正方形单元测试A卷
华东师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等 D．正方形的对角线互相平分
2．如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A＝60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBD B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．AB＝BC
5．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为4cm的正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形EFGO的一个顶点，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）cm2．
A．8 B．4 C．6 D．2
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4
8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积是1．
所有符合题意结论的序号是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是 厘米．
10．如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 ．
11．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝ ．
12．如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
三、解答题
13．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若AB＝2，OB＝3，求AD的长及四边形AEBO的面积．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为24，CE＝2，∠BAD＝120°，求AE的长．
15．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
16．如图，直线经过矩形ABCD的对角线BD的中点O，分别与矩形的两边相交于点E、F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥BD，则四边形BEDF是 形，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AD＝8，BD＝10，求△BDE的面积．
17．在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．
（1）求证：∠DAE＝∠ADE；
（2）求证：△AEB≌△DEC；
（3）当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
18．如图①正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB时，求∠BED的度数；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB．求AF的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B C B A D
1．【解答】解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；
B、矩形的对角线相等，错误；
C、菱形的四条边都相等，错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；
故选：D．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
故选：C．
3．【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意；
故选：B．
5．【解答】解：作CH⊥BD于点H，连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝OAAC，OB＝ODBD，
∴OC＝OB，
∵∠BCD＝90°，CD＝AB＝5，BC＝AD＝12，
∴BD13，
∴OC＝OB13，
∵BD CHBC CD＝S△BCD，
∴13CH12×5，
解得CH，
∵EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，S△COE+S△BOE＝S△BOC，
∴OC EFOB EGOB CH，
∴EFEG，
∴EF+EG，
故选：C．
6．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OBM＝∠OAH＝45°，∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴∠AOH＝∠BOM，
在△AOH与△BOM中，
，
∴△AOH≌△BOM（ASA），
∴S△AOH＝S△BOM，
∴四边形OHBM的面积等于△AOB的面积，即两个正方形重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的，
∴两个正方形重叠部分的面积是，
故选：B．
7．【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴PMAP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP2.4，
∴AP最短时，AP＝2.4，
∴当PM最短时，PMAP＝1.2．
故选：A．
8．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OFBC＝1，
∴△OEF面积的最小值是1×1，
故②正确；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2，
则EF，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE．
∵OB，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBCS正方形ABCD2×2＝1，
故④正确；
故选：D．
二、填空题
9．【解答】解：如图所示：
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC＝6cm，S菱形ABCD＝24cm2，
∴BD＝8cm，AO＝3cm，BO＝4cm，
在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2，
即有AB2＝32+42，
解得：AB＝5cm，
∴菱形的周长＝4×5＝20cm．
故答案为：20．
10．【解答】解：如图，连接CE，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，
x2+42＝（8﹣x）2
解得x＝3，
∴DE的长是3．
故答案为：3．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．
方法2：∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故答案为：20°．
12．【解答】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的AE＝a，AH＝b，
则，，，
∵S1+S2+S3＝40，
∴（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝40，
a2+b2+2ab+a2+b2+a2+b2﹣2ab＝40，
3a2+3b2＝40，
，
∴．
故答案是：．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝DO，
∵OB＝3，
∴BD＝6，
由勾股定理得：AD4，
∵BO＝DO，
∴S△AOB＝S△AODS△BADAD×AB42＝2，
∵四边形AEBO是菱形，
∴AE＝AO＝BO＝BE＝3，
∴△AEB≌△BOA（SSS），
∴△AEB的面积＝△AOB的面积＝2，
∴四边形AEBO的面积是22＝4．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA，
∵O为BF的中点，
∴BO＝FO，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴BE＝FA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD＝BC，AF＝BE，
∴DF＝CE＝2，
∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴菱形ABEF的周长为：24﹣4＝20，
∴AB＝20÷4＝5，
∵∠BAD＝120°，
∴，
又 AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝5．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积DF×CECF×CD，
∴CE，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE，
∴BC，
∴EF．
16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴BO＝DO，
在△BOF与△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）四边形BEDF是菱形，理由：
∵OE＝OF，OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；
故答案为：菱；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AD＝8，BD＝10，
∴，
设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴△BDE的面积．
17．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵点E为DF中点，
∴AE＝EF＝DEDF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠EDA，
∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD，∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA，
∴∠BAE＝∠CDE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（3）解：∵△AEB≌△DEC，
∴EB＝EC，
∵EB＝BC，
∴EB＝BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵EB＝BC＝AB，
∴∠BAE（180°﹣30°）＝75°，
又∵AE＝EF，
∴∠AFD＝∠BAE＝75°．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，
∵AE＝AE，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE＝BE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
由（1）知：△DAE≌△BAE，
∴∠AED＝∠AEB（180°﹣45°）135°，
∴∠BED＝2∠AEB＝135°；
（3）如图②，过E作EM⊥BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
在四边形ADEF中，∠DAF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝∠EBF，
∴BE＝EF，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°，
设BM＝x，则MF＝BM＝x，EMx，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE∠BAD＝45°，
∴AM＝EMx，
∵AM+BM＝AB，
∴xx，
解得，x，
∴BF＝2x＝2，
∴AF＝AB﹣BF2．
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