第十八章平行四边形 限时检测卷（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十八章平行四边形 　限时检测卷
时间：100分钟　分值：120分　得分：__________
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．在 ABCD中，∠A＝80°，则∠C的度数是(　　)
A．60° B．80° C．100° D．120°
2．平行四边形一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线平分一组对角
3．如图1，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，若DE＝2，则BC的长为(　　)
图1
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图2，边长为3的正方形OBCD的两边分别与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标是(　　)
图2
A．(3，－3) B．(－3，3) C．(3，3) D．(－3，－3)
5．如图3， ABCD的对角线AC，BD相交于点E.若AB＝5 cm，△ABE的周长比△CBE的周长小3 cm，则AD的长为(　　)
图3
A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm
6．如图4，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，若∠C＝56°，则∠BED的度数为(　　)
图4
A．112° B．118° C．119° D．120°
7．如图5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为(　　)
图5
A．2 B．3 C．2 D．2
8．如图6，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论中，不正确的是(　　)
图6
A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形
9．如图7，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，AE＝2BE，DE＝5，则菱形的边长为(　　)
图7
A．3 B．2 C．5 D．
10．如图8，E，F分别是正方形ABCD边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O.下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有(　　)
图8
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．如图9，在菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的度数为__________.
图9
12．如图10，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，其中O是AC的中点，添加一个条件：__________，使四边形ABCD是平行四边形．
图10
13．如图11，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长为__________．
图11
14．如图12，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为__________.
图12
15．如图13，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点(点O不与点B，D重合)，OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为__________．
图13
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(9分)如图14，在四边形ABCD中，AB∥CD，E和F为对角线AC上的两点，AE＝CF，∠ABE＝∠CDF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图14
17．(9分)如图15，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边AB，BC上的点，且BE＝CF.求证：OE⊥OF.
图15
18.(12分)如图16，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，且AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
图16
19．(12分)如图17，在矩形ABCD中，AD<2AB，E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF.
(1)求证：△EGF≌△EDF；
(2)若F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．
图17
20．(15分)如图18，在矩形ABCD中，AB＝2，若E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB边上的动点(顶点除外).
(1)如图18①，若E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB边的中点．
①试判断四边形EFGH的形状，并给出证明；
②当四边形EFGH是正方形时，求四边形EFGH的周长．
(2)如图18②，已知BC＝4，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，试判断四边形EFGH的周长是否会随着点G位置的变化而变化．若不会，请求出其周长；若会，请说明理由．
图18
21．(18分)综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形ABCD中，∠B＝60°，作∠PAQ＝∠B，AP，AQ分别交边BC，CD于点P，Q.
(1)【感知】如图19①，若P是边BC的中点，小南经过探索发现了线段AP，AQ之间的数量关系，请你写出这个关系式并证明．
(2)【探究】如图19②，小阳说：“P为边BC上任意一点时，(1)中的结论仍然成立．”你同意他的说法吗？请说明理由．
(3)【应用】小宛取出如图19③所示的菱形纸片ABCD，测得∠B＝60°，AB＝6，在边BC上取一点P，连接AP，在菱形内部作∠PAQ＝60°，AQ交CD于点Q，当AP＝2时，请直接写出线段DQ的长．
图19
第十八章　限时检测卷
1．B　2.A　3.D　4.C　5.A　6.B　7.A　8.D　9.A　10.C
11．40°　12.OB＝OD(答案不唯一)　13.4　14.6　15.1
16．证明：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠FCD.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD(AAS).∴AB＝CD.
又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
17．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD.
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF(SAS).∴∠BOE＝∠COF.
∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.∴∠COF＋∠BOF＝90°.
∴∠BOE＋∠BOF＝90°，即∠EOF＝90°.∴OE⊥OF.
18．(1)证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA.
∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC.
∴∠DCA＝∠DAC.∴DC＝AD＝AB.
又AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．
又AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：由(1)，得四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC.
∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC.
∵BD＝2，∴OB＝BD＝1.
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝＝2.∴OE＝OA＝2.
19．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°.
根据折叠的性质，得∠A＝∠BGE＝90°，EA＝EG.
∴∠EGF＝180°－∠BGE＝90°＝∠D.
∵E是AD的中点，∴EA＝ED.∴EG＝ED.
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL).
(2)解：由(1)知，△EGF≌△EDF.∴GF＝DF.
∵F是CD的中点，∴DF＝CF＝CD＝GF.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD.
根据折叠的性质，得AB＝BG.
∴BG＝CD.∴BF＝BG＋GF＝CD.
在Rt△BFC中，BF2＝BC2＋CF2，
即 ＝82＋.
解得CD＝4(负值舍去)．
20．解：(1)①四边形EFGH是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB边的中点，
∴AH＝BH＝CF＝DF，AG＝DG＝BE＝CE.
∴△GAH≌△EBH≌△ECF≌△GDF(SAS).
∴GH＝EH＝EF＝GF.∴四边形EFGH是菱形．
②∵四边形EFGH是正方形，∴∠EFG＝90°.
由①，得△ECF≌△GDF.
∴∠CFE＝∠DFG＝(180°－∠EFG)＝45°.
∵∠D＝90°，∴∠DGF＝180°－∠D－∠DFG＝45°＝∠DFG.
∴DG＝DF.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2.
又F是CD边的中点，∴DF＝CD＝1.∴DG＝1.
在Rt△DGF中，由勾股定理，
得GF＝＝＝.
∴四边形EFGH的周长为4GF＝4.
(2)四边形EFGH的周长不会随着点G位置的变化而变化．
如答图1，延长GH交CB的延长线于点N，延长GF交BC的延长线于点M，过点G作GK⊥BC于点K，易得GK＝AB＝2.
答图1
∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，
∴∠2＝∠5.
∵∠FCE＝90°，
∴∠FCM＝90°＝∠FCE.
又FC＝FC，
∴△FCE≌△FCM(ASA).
∴FE＝FM，CE＝CM.同理可得HE＝HN，BE＝BN.
∴MN＝BN＋BE＋CE＋CM＝2(BE＋CE)＝2BC＝8.
∵∠M＝90°－∠5＝90°－∠1，∠N＝90°－∠6＝90°－∠3，∠1＝∠3，∴∠M＝∠N.∴GM＝GN.
又GK⊥MN，∴KM＝KN＝MN＝4.
在Rt△GKM中，GM＝＝＝2.
∴四边形EFGH的周长为GF＋FE＋GH＋HE＝GF＋FM＋GH＋HN＝GM＋GN＝2GM＝4．
21．解：(1)AP＝AQ.证明：如答图2，连接AC.
答图2
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝60°，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形．
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，AB＝AC＝AD.
∵P是边BC的中点，
∴AP⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°.
∵∠PAQ＝∠B＝60°，
∴∠CAQ＝∠PAQ－∠CAP＝60°－30°＝30°.
∴∠DAQ＝∠DAC－∠CAQ＝60°－30°＝30°.
∴∠BAP＝∠DAQ.
在△ABP和△ADQ中，
∴△ABP≌△ADQ(ASA).∴AP＝AQ.
(2)同意．
理由：如答图3，连接AC.
答图3
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝60°，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形．
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACQ＝60°.
∴∠BAP＋∠PAC＝60°.
∵∠PAQ＝∠B＝60°，∴∠PAC＋∠CAQ＝60°.
∴∠BAP＝∠CAQ.
在△BAP和△CAQ中，
∴△BAP≌△CAQ(ASA).∴AP＝AQ.
(3)4或2.
【提示】如答图4，过点A作AE⊥BC于点E，连接AC.
答图4
∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝60°，AB＝6，
∴BC＝CD＝AB＝6.
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝AC.∴BE＝EC＝BC＝3.
∴AE＝＝＝3.
∵AP＝2，∴PE＝＝＝1.
当点P在点E的左侧时，PC＝EC＋PE＝3＋1＝4.
当点P在点E的右侧(图中P′处)时，P′C＝EC－P′E＝3－1＝2.
∴PC＝4或2.由(2)可知，△BAP≌△CAQ.∴BP＝CQ.
又BC＝CD，∴DQ＝PC＝4或2.