第十八章平行四边形 知识点分类练（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十八章　平行四边形
考点1　平行四边形的性质与判定
1．如图1，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，分别以点F，G为圆心，大于 FG的长为半径作弧，两弧交于点H，连接BH并延长，交AD于点E，连接CE.若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为__________．
图1 　　 　 图2　　　 图3
2．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，0)，(4，0)，(3，2)，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第__________象限．
3．如图2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为边AB上一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ的最小值为__________．
4．如图3，在 ABCD中，E是CD的中点，过点B作BF⊥AD于点F，连接EF.若AB＝5，BC＝4，DF＝1，则BE的长为__________．
5．如图4，在△ABC中，点D在边AB上，E是AC的中点，连接DE并延长到点F，使得CF∥AB，连接AF，CF，CD.
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若△ADC为等边三角形，AD＝6，求DF的长．
图4
6．如图5，在 ABCD中，AB＝5 cm，BC＝9 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿折线ABCDA匀速运动；同时动点Q从点A出发，以3 cm/s的速度沿折线ADCBA匀速运动．设运动时间为t s.
图5
(1)当点P在BC上运动时，BP＝__________cm(用含t的代数式表示).
(2)当t＝__________时，P，Q两点相遇．
(3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
备用图
考点2　三角形的中位线
7．如图6，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是BO，CO的中点，连接EF，DG.请判断DG与EF之间的位置关系和数量关系，并说明理由．
图6
8．如图7，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则线段EF的最大值为__________．
图7 图8
9．如图8，AD为△ABC外角的平分线，BD⊥AD于点D，E为BC的中点，DE＝4，AC＝2，则AB的长为__________．
考点3　矩形的性质与判定
10．如图9，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，且DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是__________．
图9　　 图10　　 图11 　 　图12
11．如图10，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形ABCD的周长是__________．
12．如图11，在矩形ABCD中，E为边CD的中点，F为边BC上一点，且∠FAE＝∠EAD.若BF＝8，FC＝2，则AF的长为__________．
13．如图12，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在射线OM，ON上，当点B在射线ON上运动时，点A随之在射线OM上运动，且矩形ABCD的形状、大小均保持不变，其中AB＝6，BC＝3，则在运动过程中，点D到点O的最大距离是__________．
14．如图13，将矩形ABCD折叠，使顶点C落在AB边上，折痕为EF.若AB＝6，BC＝9，AC′＝D′E.
(1)求证：△AC′G≌△D′EG；
(2)求BF的长；
(3)求EF的长．
图13
15．综合与实践
(1)推理证明：如图14①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若CD是斜边AB上的中线，则CD＝AB.请你用矩形的性质证明这个结论的正确性．
(2)迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图14②，在线段BD的两侧以BD为斜边分别构造Rt△ABD与Rt△CBD，其中∠BAD＝∠BCD＝90°，E，F分别是BD，AC的中点．请判断EF与AC的位置关系，并说明理由．
②如图14③，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别以AC，BD为斜边且在同侧构造Rt△ACE与Rt△BDE，其中∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．
图14
考点4　菱形的性质与判定
16．如图15，将两张等宽且上下边缘平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是(　　)
A．四边形ABCD的周长不变 B．AB＝BC
C．四边形ABCD的面积不变 D．AC＝BD
图15
　
17．中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一个中国结挂饰(图16①)，将这个中国结挂饰抽象成如图16②所示的菱形ABCD，连接对角线AC，BD，AC与BD相交于点O，测得AC＝16 cm，BD＝12 cm，过点O作EF⊥AB分别交AB，CD于点E，F，则EF的长为__________cm.
图16 　图17 　 图18
18．如图17，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为__________．
19．(2024广东)如图18，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为__________．
20．如图19，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接OE交CD于点F，连接AF，CE.
(1)求证：OE＝CD；
(2)连接AE，若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求 的值．
图19
考点5　正方形的性质与判定
21．如图20，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，A(－2，0)，B(3，0).现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上的点D′处，则点C的对应点C′的坐标为__________．
图20　　 图21　　 图22　　 图23
22．如图21，在正方形ABCD内有两点E，F，若AB＝5，AE＝FC＝4，BF＝DE＝3，则EF的长为__________．
23．如图22，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFG的边长分别为6，8，H为线段DF的中点，连接BH，则BH的长为__________．
24．如图23，在正方形ABCD中，E为边AB上一点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF，与边CD交于点G，与对角线BD交于点H，DI⊥EF交BC于点I.下列结论：①AE＝CF；②EF＝DF；③∠ADE＋∠EFB＝45°；④若BF＝BD＝，则BE＝2－；⑤连接EI，则EI＝AE＋CI.其中正确的是__________．(填序号)
25．如图24①，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AB，BC上，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O.
(1)探究线段CM与DN之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图24②，若E，F分别是DN与CM的中点，求EF的长；
(3)如图24③，延长CM至点P，连接BP，使∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长．
图24
第十八章　平行四边形
1．8　2.三　3.
4.　【提示】如答图1，延长FE交BC的延长线于点G.易得△DEF≌△CEG，△BFG是直角三角形．
答图1
5．(1)证明：∵E是AC的中点，
∴CE＝AE.
∵CF∥AB，∴∠CFE＝∠ADE.
在△CFE和△ADE中，
∴△CFE≌△ADE(AAS).∴DE＝FE.
又CE＝AE，∴四边形AFCD是平行四边形．
(2)解：∵△ADC为等边三角形，∴AD＝AC＝6.
由(1)知，CE＝AE.∴CE＝AE＝AC＝3，且DE⊥AC.
在Rt△ADE中，由勾股定理，
得DE＝＝＝3.
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴DF＝2DE＝6.∴DF的长是6.
6．解：(1)(2t－5).(2).
(3)存在．
①如答图2，当四边形APCQ为平行四边形时，PC＝AQ.
答图2
由题意，得PC＝(14－2t)cm，AQ＝3t cm.
∴14－2t＝3t.解得t＝.
②如答图3，当四边形AQCP为平行四边形时，AQ＝PC.
答图3
由题意，得AQ＝(28－3t)cm，PC＝(2t－14)cm.
∴28－3t＝2t－14.解得t＝.综上，t的值为 或 .
7．解：DG∥EF，且DG＝EF.理由如下：如答图4，连接AO.
答图4
∵CE是△ABC的中线，∴E是AB的中点．
又F是BO的中点，∴EF是△ABO的中位线．∴EF∥AO，EF＝AO.
同理，得DG∥AO，DG＝AO.∴DG∥EF，且DG＝EF.
8．2.5
9．6　【提示】如答图5，延长BD，CA交于点H.易得△ABH是等腰三角形，D是BH的中点，DE是△BCH的中位线．
答图5
10．16　11.25
12．12　【提示】如答图6，延长BC，AE交于点H.易得△ADE≌△HCE，△AFH为等腰三角形．
答图6
13．3＋3　【提示】如答图7，取AB的中点E，连接OD，OE，DE.易得OE，DE的长为定值，根据三角形的三边关系，得OD≤OE＋DE.
答图7
14．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°.
由折叠的性质，得∠D′＝∠D＝90°.
∴∠A＝∠D′.
在△AC′G和△D′EG中，
∴△AC′G≌△D′EG(AAS).
(2)解：由(1)，得△AC′G≌△D′EG.
∴AG＝D′G，C′G＝EG.
由折叠的性质，得D′E＝DE，C′D′＝CD，C′F＝CF.
∴AE＝AG＋GE＝D′G＋C′G＝C′D′＝CD＝6.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝9.
∴AC′＝D′E＝DE＝AD－AE＝3.∴BC′＝AB－AC′＝3.
在Rt△BC′F中，由勾股定理，得C′F2＝BF2＋BC′2，
即CF2＝(9－CF)2＋32.
∴CF＝5.∴BF＝9－CF＝4.
(3)解：如答图8，过点E作EH⊥BC于点H，则四边形CDEH是矩形．
答图8
∴CH＝DE＝3，EH＝CD＝6.
∴FH＝CF－CH＝5－3＝2.
在Rt△EFH中，由勾股定理，得
EF＝＝＝2.
15．(1)证明：如答图9，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE，BE.
答图9
∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝BD.
又CD＝DE，
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE是矩形．
∴AB＝CE.∴CD＝CE＝AB.
(2)①解：EF⊥AC.理由如下：
如答图10，连接AE，CE.
答图10
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，E为斜边BD的中点，
∴AE＝BD.
在Rt△CBD中，∠BCD＝90°，E为斜边BD的中点，
∴CE＝BD.∴AE＝CE.又F是AC的中点，∴EF⊥AC.
②证明：如答图11，连接EO.
答图11
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC，BD的中点．
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，O为斜边AC的中点，
∴EO＝AC.
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，O为斜边BD的中点，
∴EO＝BD.∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．
16．B　17.　18.2
19．10　【提示】如答图12，连接BD，CE.根据菱形的性质，易得S△BEC＝S△AED＝6.根据S△BEF＝4，可得FC＝BC.
答图12
20．(1)证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，AD＝CD.
∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝OA＝OC.
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形．
∴OE＝AD.∴OE＝CD.
(2)解：如答图13，连接AE.
答图13
由(1)可知，四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°.
∴四边形OCED是矩形．
∴CF＝DF.
在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝CD＝AD＝4，CF＝CD＝2，AO＝AC＝2.
∴AF⊥CD.
在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝＝＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝＝2.
在矩形OCED中，CE＝OD＝2.
在Rt△ACE中，AE＝＝＝2.
∴＝＝.
21．(5，)　22.
23．5　【提示】如答图14，连接BD，BF.根据正方形的性质，得△BDF是直角三角形．
答图14
24．①②③④⑤
25．解：(1)CM＝DN，且CM⊥DN.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°.
在△BCM和△CDN中，
∴△BCM≌△CDN(SAS).∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN.
∵∠BCM＋∠MCD＝∠BCD＝90°，∴∠CDN＋∠MCD＝90°.
∴∠COD＝90°，即CM⊥DN.
(2)如答图15，连接CE并延长交AD于点G，连接GM.
答图15
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，BC∥AD.
∴∠ENC＝∠EDG.
∵E是DN的中点，∴NE＝DE.
在△CNE和△GDE中，
∴△CNE≌△GDE(ASA).∴CE＝GE，GD＝CN＝1.
又F是CM的中点，∴EF为△CGM的中位线．
∴EF＝MG.
∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝4.
∴AG＝AD－GD＝3，AM＝AB－BM＝3.
在Rt△AGM中，由勾股定理，
得MG＝＝＝3.
∴EF＝MG＝.
(3)PM＝.
【提示】如答图16，过点B作BH⊥CM于点H.
答图16
在Rt△CBM中，由勾股定理，得CM＝＝＝.
∵S△BCM＝CM·BH＝BC·BM，
∴BH＝＝.
在Rt△BCH中，由勾股定理，得CH＝＝.
∵∠BPC＝45°，∠BHP＝90°，
∴△BHP是等腰直角三角形，PH＝BH＝.
∴PC＝PH＋CH＝.∴PM＝PC－CM＝.