第十六章二次根式 考点分类练 2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十六章　二次根式
考点1　二次根式的概念和性质
1．(2021广东)若|a－|＋＝0，则ab＝(　　)
A． B． C．4 D．9
2．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________．
3．若实数a，b满足(2a＋b)2＋＝0，则a＝__________，b＝__________．
4．实数a，b在数轴上的位置如图1所示，则化简－－的结果是__________.
图1
5．在解决数学问题的过程中，我们经常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答【知识迁移】中的问题．
【提出问题】若代数式＋的值是2，求a的取值范围．
【解决问题】解：原式＝|a－1|＋|a－3|.
当a＜1时，原式＝(1－a)＋(3－a)＝4－2a＝2，解得a＝1(舍去)；
当1≤a≤3时，原式＝(a－1)＋(3－a)＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝(a－1)＋(a－3)＝2a－4＝2，解得a＝3(舍去).
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3.
【知识迁移】请根据上面的解题思路解答下列问题：
(1)当2≤a≤5时，化简＋＝________；
(2)若等式＋＝4成立，则a的取值范围是________；
(3)若＋＝8，求a的值．
考点2　二次根式的运算
6．下列二次根式中，与(a>0，b>0)可以合并的是(　　)
A． B． C． D．
7．对于实数a，b，设min{a，b}表示a，b两个数中的较小数，例如：min{3，－5}＝－5.已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2× 的值为(　　)
A．2 B．4 C．2 D．8
8．计算· 的结果是________．
9．已知x＋＝3，则＋＝________．
10．已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21.若已知n为正整数，是大于1的整数，则n的最小值为________，最大值为________.
11．如图2所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中a，b，c三个实数的积为________．
图2
12．计算：(＋－)(－＋).
13．先化简，再求值：÷，其中a＝－1，b＝＋1.
14．已知x＝2－，y＝2＋，求下列代数式的值：
(1)x2－xy＋y2; (2)＋.
考点3　二次根式的应用
15．如图3，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32.
(1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
(2)求阴影部分的面积．
图3
16．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆长(单位：m)，即摆针的长度，g≈9.8 m/s.若一台座钟的摆针摆长为0.49 m.
(1)求该座钟摆针摆动的周期；(结果保留根号和π)
(2)若该座钟的摆针每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，在1 min内，该座钟大约发出多少次嘀嗒声？(结果保留整数．参考数据：≈2.24，π取3.)
考点4　与二次根式有关的阅读理解
17．定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab＋a＋b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
(1)若a＝，b＝1，求a，b的“如意数”c.
(2)若a＝m－4，b＝－m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0.
(3)已知a＝，且a，b的“如意数”c＝5＋4，求b的值．
18．阅读下述材料：
我们在化简二次根式时，经常用到分母有理化，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．例如－＝＝.
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如：比较－和－的大小．做法如下：
解：－＝，－＝.
∵＋＞＋，∴－＜－.
也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：求y＝－的最大值．做法如下：
解：根据题意，得x＋2≥0，x－2≥0.解得x≥2.y＝－＝，
当x＝2时，分母＋有最小值为2，所以y的最大值是2.
请根据上面的解题思路解答下列问题：
(1)比较3－4和2－的大小；
(2)求y＝＋－的最大值和最小值．
第十六章　二次根式
1．B　2.x≥0且x≠6　3.－4　8　4.－2b
5．解：(1)3.
(2)3≤a≤7.
(3)原方程可化为|a＋1|＋|a－5|＝8.
当a<－1时，原方程化为－(a＋1)＋(5－a)＝8，
解得a＝－2，符合题意；
当－1≤a≤5时，原方程化为(a＋1)＋(5－a)＝8，
此方程无解，故－1≤a≤5不符合题意；
当a>5时，原方程化为(a＋1)＋(a－5)＝8，
解得a＝6，符合题意．综上所述，a＝－2或a＝6.
6．A　7.B　8.－ab　9.　10.3　75　11.18
12．解：原式＝[＋(－)][－(－)]＝()2－(－)2＝3－(5＋10－10)＝10－12.
13．解：原式＝×＝×＝.
当a＝－1，b＝＋1时，
原式＝＝＝－．
14．解：∵x＝2－，y＝2＋，∴x－y＝2－－2－＝－2，
xy＝(2－)×(2＋)＝22－()2＝4－3＝1.
(1)原式＝(x－y)2＋xy＝(－2)2＋1＝12＋1＝13.
(2)原式＝＝＝＝12＋2＝14.
15．解：(1)正方形ABCD的边长为＝2，
正方形ECFG的边长为＝4.
(2)由(1)，得AB＝BC＝CD＝AD＝2，CF＝GF＝EG＝CE＝4.
∴BF＝BC＋CF＝6.
∴S△BFG＝GF·BF＝×4×6＝24.
又S△ABD＝AB·AD＝×2×2＝4，
∴S阴影＝S正方形ABCD＋S正方形ECFG－S△BFG－S△ABD＝8＋32－24－4＝12.
16．解：(1)将l＝0.49，g≈9.8代入T＝2π，
得T≈2π×＝ (s).
答：该座钟摆针摆动的周期约为 s .
(2)1 min＝60 s.
60÷＝≈＝44.8≈45(次).
答：在1 min内，该座钟大约发出45次嘀嗒声．
17．解：(1)当a＝，b＝1时，
c＝ab＋a＋b＝×1＋＋1＝2＋1.
(2)当a＝m－4，b＝－m时，
c＝(m－4)×(－m)＋(m－4)＋(－m)＝－m2＋4m－4＝－(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，∴c≤0.
(3)∵a＝＝＝2＋，
a，b的“如意数”c＝5＋4，
∴(2＋)×b＋(2＋)＋b＝5＋4.解得b＝.
18．解：(1)3－4＝＝，
2－＝＝ .
∵3＞2，4＞，∴3＋4＞2＋.
∴<.∴3－4＜2－.
(2)根据题意，得1－x≥0，1＋x≥0，x≥0.解得0≤x≤1.
y＝＋－＝＋，
当x＝0时，＋有最小值为1，则 有最大值为1，此时有最大值为1，所以y的最大值为1＋1＝2；
当x＝1时，＋有最大值为1＋，则 有最小值为－1，此时有最小值为0，所以y的最小值为0＋－1＝－1.