第十七章勾股定理 限时检测卷 （含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十七章勾股定理　限时检测卷
时间：100分钟　分值：120分　得分：__________
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．若一个直角三角形的两条直角边的长分别是5和12，则斜边的长为(　　)
A．13 B． C．7或17 D．13或
2．在平面直角坐标系xOy中，点P(1，)到原点O的距离是(　　)
A． B．2 C．3 D．4
3．如图1，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使OA＝5，过点A作直线l⊥OA，在直线l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是(　　)
图1
A． B． C．7 D．29
4．以下列各数为边长，能构造成直角三角形的是(　　)
A．0.1，0.2，0.3 B．，，2 C．6，7，8 D．9，40，41
5．如图2，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5 m．当一名学生站在C处时，感应门自动打开，此时这名学生到感应门的距离BC为1.2 m，头顶到感应器的距离AD为1.5 m，则这名学生的身高CD为(　　)
图2
A．0.9 m B．1.3 m C．1.5 m D．1.6 m
6．下列命题的逆命题是真命题的是(　　)
A．若a＝b，则|a|＝|b| B．全等三角形的周长相等
C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形
7．如图3，将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端点A和B，然后把AB的中点C垂直向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了(　　)
图3
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
8．如图4，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，A，B，C，D四个点中能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　)
图4
A．点A B．点B C．点C D．点D
9．如图5，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，点C落在点C′处，BC′交边AD于点E.若AD＝8，AB＝4，则DE的长为(　　)
图5
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝4，BC＝2时，阴影部分的面积为(　　)
图6
A．4 B．4π C．8π D．8
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．如图7，点A(3，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为__________．
图7
12．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后测得桌面的长为3 m，宽为1.6 m，对角线为3.4 m，则这个桌面__________．(填“合格”或“不合格”)
13．如图8，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝1，AD＝2，则四边形ABCD的面积为__________．
图8
14．如图9，一圆柱形玻璃杯的高为5 cm，底面周长为12 cm，在杯内壁底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁距杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从杯外壁A处到杯内壁B处的最短距离是__________cm.(杯壁厚度忽略不计)
图9
15．如图10，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为__________米．
图10
三、解答题(本大题共8小题，共75分)
16．(9分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)若c＝9，b＝6，求a的值；
(2)若a∶b＝3∶4，且c＝15，求a，b的值．
17．(9分)如图11，在等腰三角形ABC中，底边BC＝5，D是腰AB上一点，且BD＝3，CD＝4，求AD的长．
图11
18.(10分)如图12，张大叔修建了一个蔬菜大棚，大棚的横截面是直角三角形，已知棚宽a＝12米，棚高b＝5米，棚长d＝30米，现要在长方形棚顶(即图中阴影部分)覆盖塑料布．
(1)求长方形棚顶的面积；
(2)如果塑料布的价格为3元/平方米，那么张大叔购买塑料布需要花费多少元？
图12
19．(10分)图13①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图13②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板AB的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案：
图13
课题 测量篮板AB的长度
成员 组长：×××　组员：×××　　×××
工具 竹竿、皮尺、计算器等
测量示意图 如图，AB垂直地面于点C，线段AD，BE表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处
测量数据 竹竿的长度 5 m
CD的长度 3 m
CE的长度 4 m
根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板AB的长度．
20．(12分)如图14，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2.
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
图14
21．(12分)清代数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
(1)当k＝14时，写出这一组勾股数：__________．
(2)证明“罗士琳法则”的正确性．
22．(13分)如图15，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，P，Q分别是△ABC边AB，BC上的两个动点，点P从点A出发，沿AB方向运动，且速度为1 cm/s，同时点Q从点B出发，沿BC方向运动，且速度为2 cm/s.设运动的时间为t s.
(1)连接PQ，当t＝2时，求PQ的长；
(2)若点Q从点B出发，沿折线BCA运动，速度不变，则当t为何值时，点Q在边CA上，且△BCQ是等腰三角形？
图15
第十七章　限时检测卷
1．A　2.B　3.B　4.D　5.D　6.D　7.A　8.D　9.C　10.A
11．(0，4)　12.合格　13.6＋　14.10　15.2.5
16．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a＝＝＝3.
(2)设a＝3x，则b＝4x.
由勾股定理，得a2＋b2＝c2，即(3x)2＋(4x)2＝152.
解得x＝3(负值已舍)．
∴a＝9，b＝12.
17．解：设AB＝AC＝a，则AD＝a－3.
∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，∴BD2＋CD2＝BC2.
∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
∴(a－3)2＋42＝a2.解得a＝.
∴AD＝a－3＝－3＝.
18．解：(1)根据题意，由勾股定理，得棚顶的斜宽为＝＝13(米).
13×30＝390(平方米).
答：长方形棚顶的面积为390平方米．
(2)390×3＝1 170(元).
答：张大叔购买塑料布需要花费1 170元．
19．解：在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝＝＝4(m).
在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC＝＝＝3(m).
∴AB＝AC－BC＝4－3＝1(m).
答：学校篮板AB的长度为1 m.
20．(1)证明：如答图1，连接CE.
答图1
∵D是边BC的中点，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC.
∴CE＝BE.
∵BE2－AE2＝AC2，
∴CE2－AE2＝AC2，
即AC2＋AE2＝CE2.
∴∠A＝90°.
(2)解：∵D是边BC的中点，BD＝5，∴BC＝2BD＝10.
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝8.
∴CE＝BE＝AB－AE＝8－AE.
在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC2＋AE2＝CE2，
即62＋AE2＝(8－AE)2.
解得AE＝.∴AE的长为 .
21．(1)解：14　48　50.
(2)证明：k2＋＝k2＋＝k2＋k4－k2＋1＝k4＋k2＋1.
＝＝k4＋k2＋1.
∴k2＋＝.
当k是大于2的偶数时，－1，＋1是正整数．
∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数．
22．解：(1)当t＝2时，BQ＝2×2＝4(cm)，AP＝1×2＝2(cm).
∴BP＝AB－AP＝8－2＝6(cm).
在Rt△BPQ中，∠B＝90°，由勾股定理，
得PQ＝＝＝2(cm).
(2)分以下三种情况：
①如答图2，当CQ＝BQ，即∠C＝∠CBQ时，∵∠ABC＝90°，
答图2
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°.
∴∠A＝∠ABQ.∴AQ＝BQ.
∴CQ＝AQ.
∵∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，
∴AC＝＝＝10(cm).
∴CQ＝AQ＝AC＝5 cm.∴BC＋CQ＝11 cm.
∴t＝11÷2＝5.5.
②如答图3，当CQ＝BC时，BC＋CQ＝2BC＝12 cm.
答图3
∴t＝12÷2＝6.
③如答图4，当BC＝BQ时，过点B作BE⊥AC于点E.
答图4
∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，
∴BE＝＝＝4.8(cm).
∴CE＝＝＝3.6(cm).
∵BC＝BQ，BE⊥AC，∴CQ＝2CE＝7.2 cm.
∴BC＋CQ＝13.2 cm.∴t＝13.2÷2＝6.6.
综上所述，当t的值为5.5或6或6.6时，点Q在边CA上，且△BCQ是等腰三角形．