高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(四)
(时间：90分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合U＝R，集合M＝，N＝，则＝( )
A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
2．函数f(x)＝3的定义域为( )
A．(－∞，0) B．[0，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，2)
3．已知复数z满足z·i2 020＝1＋i2 019(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
4．命题“ x∈(0，＋∞)，x2＋2x≥1”的否定是( )
A． x∈(0，＋∞)，x2＋2x<1
B． x∈(0，＋∞)，x2＋2x≥1
C． x∈(0，＋∞)，x2＋2x<1
D． x∈(0，＋∞)，x2＋2x≤1
5．已知向量a＝(1，k)，b＝(k，4)，那么“k＝－2”是“a，b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
6．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是( )
A. B．
C． D．
7．甲、乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用1和2分别表示甲、乙的平均数，s，s分别表示甲、乙的方差，则( )
INCLUDEPICTURE "../新建文件夹%20(4)/KL3.TiF" \* MERGEFORMAT
A．1＝2，s
s
C．1<2，s＝s D．1>2，s＝s
8．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A． B．
C． D．
9．下列函数中周期为π且图象关于直线x＝对称的是( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
10．已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1) B．[0，2]
C．[－2，2) D．[－1，2)
11．对于函数f(x)，若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A}＝A，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A为函数f(x)的一个“可等域区间”，则下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝2x2－1
C．f(x)＝2x＋1 D．f(x)＝log2(2x－2)
12.已知正四面体ABCD，点M为棱AB上一个动点，点N为棱CD上靠近点C的三等分点，记直线MN与BC所成角为θ，则sin θ的最小值为( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．某学院欲从A，B两个专业共600名学生中，采用分层随机抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为__________．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则△ABC的面积为________．
15．关于x的不等式x2－ax＋a＋3≥0在区间[－2，0]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
16．已知正实数x，y满足x＋2y＝4，则的最大值为________．
17．已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，若f(x)在[0，2]上单调递减，且f(1＋m)＋f(m)＜0，则实数m的取值范围是____________．
18．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1CC1所成的角为α，则sin α＝________．
三、解答题：本大题共4个大题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
19．已知函数f(x)＝2sin x cos x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)求函数g(x)＝f(x)＋f的最大值．
20．(1)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：点A，B，C三点共线；
(2)已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且
||＝2||，求点P的坐标．
21.如图，已知四棱锥P ABCD，AD∥BC且AB⊥AD，AD＝6，AB＝4，BC＝4，△PAD的面积等于12，E是PD的中点．
(1)求四棱锥P ABCD体积的最大值；
(2)若PB＝4，tan ∠PAD＝.
①求证：AD⊥PC；
②求直线CE与平面PBC所成的角的正弦值．
22．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(x∈R)是偶函数，且过点(2，7)，g(x)＝x＋4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数F(x)＝f(2x)＋g(2x＋1)的值域；
(3)若f(x)≥mx＋m＋4对x∈[2，6]恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(四)
1．A
2．C 由x－2≥0得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)，故选C.
3．A 因为i4＝1，所以i2 020＝i4×505＝1，i2 019＝i4×504＋3＝－i，则z·i2 020＝1＋i2 019化为z＝1－i，所以z的虚部为－1.
4．A 命题“ x∈(0，＋∞)，x2＋2x≥1”的否定是 x∈(0，＋∞)，x2＋2x<1.故选A.
5．A 因为a＝(1，k)，b＝(k，4)，若a∥b，则1×4－k2＝0，所以k＝±2.若k＝－2，则1×4－(－2)2＝0成立，所以a∥b.所以“k＝－2”是“a，b共线”的充分不必要条件．故选A.
6．C 由题意得x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，则x1＋x2＋＝4a＋，因为a＞0，所以4a＋≥，当且仅当a＝时等号成立．所以x1＋x2＋的最小值是，故选C.
7．B 平均数是每个矩形的底边中点的横坐标乘以本组频率(对应矩形面积)再相加，因为两组数据采取相同分组且直方图都关于中间组的组中值成轴对称，故1＝2；由图观察可知，甲的数据更分散，所以甲方差大，即s>s，故选B.
8．C 由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机地抽取2个，共有6种结果，满足条件的事件是取出的两个数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是(1，3)，(2，4)，故所求的概率是＝.故选C.
9．B 选项A与D中函数的周期为4π，所以A，D错误；对于选项B：当x＝时，y＝2sin ＝2sin ＝2，y取到最大值2，所以直线x＝是函数的一条对称轴，故选B.
10．D 由题意知g(x)＝
因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x＞a时有一个解，由x＝2得a＜2.由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，则由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1，2)，故选D.
11．B 选项A中，区间[－1，0]，[0，1]，[－1，1]都可以是“可等域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与y＝x不可能有两个交点，故不存在“可等域区间”；选项B中，“可等域区间”为[－1，1].
12．A 不妨设正四面体ABCD 的棱长为3，则该四面体的高为，BN＝AN＝，
要求直线MN与BC所成的最小角，即为直线BC与平面ABN所成的角，
记点C到平面ABN的距离为h，由等体积法可知，VG ABN＝VA BCN，
即·S△ABN·h＝·S△BCN·，解得h＝，
所以直线BC与平面ABN所成角的正弦值为＝×＝，
所以sin θ的最小值为.故选A.
13．解析：据题意可知，抽样比为＝，则A专业抽取人数为200×＝40.
答案：40
14．解析：由余弦定理得cos A＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC的面积为bc sin A＝×3×2×＝.
答案：
15．解析：由题意得a≥＝(x－1)＋＋2，因为－2≤x≤0，
所以－3≤x－1≤－1，
所以(x－1)＋＋2＝
－＋2≤
－2＋2＝－2.
当且仅当x＝－1时取到等号．
所以a≥－2.
答案：[－2，＋∞)
16．解析：＝≤＝3，当且仅当x＝3，y＝时取等号，则的最大值为3.
答案：3
17．解析：因为定义域为[－2，2]的奇函数f(x)在[0，2]上单调递减，所以函数f(x)在[－2，2]上单调递减．
由f(1＋m)＋f(m)＜0得f(1＋m)＜－f(m)＝f(－m)，
所以有
所以－＜m≤1，即实数m的取值范围是.
答案：
18．解析：如图所示，过B作BF⊥AC于点F，过B1作B1E⊥A1C1于点E，连接EF，过D作DG⊥EF于点G，连接AG，
在正三棱柱中，有B1E⊥平面AA1C1C，BF⊥平面AA1C1C，故DG⊥平面AA1C1C，所以∠DAG＝α，可求得DG＝BF＝，AD＝＝，故sin α＝＝.
答案：
19．解：(1)由题意得f＝2sin ·cos ＝1.
(2)因为f(x)＝sin 2x，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
(3)因为g(x)＝sin 2x＋sin (2x＋)＝sin 2x＋cos 2x＝
sin .
所以当x＝kπ＋，k∈Z时，函数g(x)的最大值为.
20．解：(1)证明：由题意知＝－＝(4，8)，
＝－＝(6，12)，所以＝，即与共线．又因为与有公共点A，所以点A，B，C三点共线．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为||＝2||，
所以P在线段AB上时，＝2，
所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为；
当P在线段AB的延长线上时，＝－2，
所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为(－5，8)，
综上所述，点P的坐标为或(－5，8).
21．解：(1)记P点到AD的距离为h，由AD＝6及△PAD的面积等于12，得×6·h＝12，得h＝4，
当面PAD⊥面ABCD时，四棱锥P ABCD体积有最大值，
则Vmax＝××(6＋4)×4×4＝.
(2)①证明：记点P在AD上的射影为H，则PH⊥AD，
由tan ∠PAD＝，
可得AH＝4＝BC，
又由题意AD∥BC且AB⊥AD，得四边形ABCH为矩形，得CH⊥AD，
又PH⊥AD，且PH∩CH＝H，所以AD⊥面PCH，所以AD⊥PC.
②取PH的中点G，则GE∥HD，且GE＝HD＝，
在BC上取CF＝，则GE∥CF且GE＝CF，
所以四边形FCEG为平行四边形，得CE∥FG，
则直线CE与平面PBC所成角即为直线FG与平面PBC所成角，
由AD⊥面PCH，且AD∥BC，
得BC⊥面PCH，
作GM⊥PC于M，则GM⊥面PBC，连接MF，则∠GFM即为直线CE与平面PBC所成角，
在Rt△PCB中，由PB＝4，
得PC＝4，
又PD＝CD＝2，由平行四边形对角线定理得(2CE)2＋PD2＝2(PC2＋CD2)，得CE＝，
又PH＝CH＝4，PC＝4，
可得GM＝1，
在Rt△GMF中，得sin ∠GFM＝＝＝＝.
22．解：(1)由题意，对任意x∈R，
f(－x)＝f(x)，
所以ax2－bx＋3＝ax2＋bx＋3，
得2bx＝0，又因为x∈R，所以b＝0，得f(x)＝ax2＋3.
把点(2，7)代入得4a＋3＝7，
解得a＝1，
所以f(x)＝x2＋3.
(2)F(x)＝f(2x)＋g(2x＋1)＝(2x)2＋3＋2x＋1＋4＝(2x)2＋2·2x＋7.
设2x＝t，则t∈(0，＋∞)，y＝t2＋2t＋7＝(t＋1)2＋6>7，
所以函数F(x)的值域为(7，＋∞).
(3)依题意得当x∈[2，6]时，x2＋3≥mx＋m＋4恒成立，即x2－mx－m－1≥0对x∈[2，6]恒成立．
设p(x)＝x2－mx－m－1，则
或
或即或
或得m≤1.
综上可知，实数m的取值范围是(－∞，1].
21世纪教育网(www.21cnjy.com)高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(五)
(时间：90分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∩Q＝( )
A．(2，3) B．(2，3]
C．[2，3) D．[2，3]
2．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ex，则f(－1)＝( )
A． B．－
C．e D．－e
5．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，B＝75°，c＝8，则a＝( )
A．4 B．4
C．4 D．4
6．已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为s2，则( )
A．＝5，s2＝2 B．＝5，s2＞2
C．＝5，s2＜2 D．＞5，s2＜2
7．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④至少有1个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
8．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，λ∈R，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
9．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
10．若关于x的不等式2ax2－4x＜ax－2只有一个整数解，则实数a的取值范围是( )
A．＜a≤1 B．1＜a＜2
C．1≤a＜2 D．－1＜a＜1
11．已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为( )
A．3 B．
C．1 D．
12．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列说法中不正确的为( )
INCLUDEPICTURE "../新建文件夹%20(4)/22AB18.TIF" \* MERGEFORMAT
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．计算：2log23＋log43＝__________．
14．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__________．
15．已知0＜α＜，且cos α＝，则tan ＝__________．
16．如图所示，在三棱锥P ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．
INCLUDEPICTURE "../新建文件夹%20(4)/22AB88.TIF" \* MERGEFORMAT
17．函数f(x)＝2x＋(x＞1)的最小值为__________．
18．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(3)≥f(x－1)的解集为____________．
三、解答题：本大题共4个大题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
19．已知函数f(x)＝sin x－sin .
(1)求f的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
20.如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E.
(1)求证：AE⊥PB；
(2)若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积．
21．已知某排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第五局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两队进行排球比赛．
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局(第五局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x).
22．设常数a∈R，函数f(x)＝(a－x)|x|.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]对所有的x∈[－2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(五)
1．D
2．A －3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.
3．A 因为|x－2|＜1等价于－1＜x－2＜1，即1＜x＜3，由于(1，2)?(1，3)，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件，故选A.
4．D 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又当x＞0时，f(x)＝ex，所以f(－1)＝－f(1)＝－e.故选D.
5．B
6．C 原19个数据的平均数为5，方差为2，加入一个数5之后，这20个数的平均数为＝×(19×5＋5)＝5，方差s2＝[19×2＋(5－5)2]＝＜2.故选C.
7．A 对于①，至少有1个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件，对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件，对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件，
对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件，所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组，故选A.
8．B m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，故选B.
9．D 将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)＝sin ＝cos x．此函数为偶函数，周期为2π.由于f＝cos ＝cos ＝0，所以y＝f(x)的图象关于点对称，故选D.
10．C 由题意得2ax2－(4＋a)x＋2＝(2x－1)·(ax－2)＜0只有一个整数解．当a＝0时，不符合题意；当a≠0时，若(2x－1)(ax－2)＜0只有一个整数解，则a＞0，且1＜≤2，解得1≤a＜2.故选C.
11．C 在正三棱柱ABC A1B1C1中，因为AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，所以AD⊥平面B1DC1，
所以VA B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1，故选C.
12．C 在四面体ABCD中，因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PQ 平面ACD，MN 平面ACD，所以PQ∥平面ACD.因为平面ACB∩平面ACD＝AC，所以PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN，同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN，因为PN⊥PQ，所以AC⊥BD.由BD∥PN，所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°.由上面可知BD∥PN，PQ∥AC，＝，＝，而AN与DN不一定相等，PN＝MN，所以BD与AC不一定相等．综上可知，A，B，D都正确．故选C.
13．解析：2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.
答案：3
14．解析：由|a|＝|a＋2b|两边平方，整理得a·b＝－b2，
所以cos 〈a，b〉＝＝＝－.
答案：－
15．解析：因为0＜α＜，cos α＝，
所以sin α＝＝，
所以tanα＝＝，
所以tan ＝＝＝7.
答案：7
16．解析：设P在平面ABC上的射影为O，
因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB.
因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，
所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，
所以△ABC是直角三角形．
答案：直角
17．解析：因为x＞1，所以x－1＞0，
所以f(x)＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当2(x－1)＝即x＝＋1时，等号成立，故f(x)min＝2＋2.
答案：2＋2
18．解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
则f(3)≥f(x－1)等价于－3≤x－1≤3.
所以－2≤x≤4.
所以f(3)≥f(x－1)的解集为{x|－2≤x≤4}．
答案：{x|－2≤x≤4}
19．解：(1)f＝sin －sin (＋)＝1－＝.
(2)f(x)＝sin x－sin ＝
sin x－＝
sin x－＝
sin x－cos x＝sin .
函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
20．解：(1)证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE，又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，因为PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
(2)因为点C到平面PAB的距离为1且C为的中点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积为S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.
21．解：(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为＋×＝.
(2)根据比赛规则，x的取值只能为2或4，对应比分为16∶14，17∶15.
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率P(2)＝×＝；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为P(4)＝×××＋×××＝.
22．解：(1)当a＝1时，f(x)＝(1－x)|x|＝
当x≥0时，f(x)＝(1－x)x＝
－(x－)2＋，
所以f(x)在[0，]上单调递增，在(，＋∞)上单调递减；
当x<0时，f(x)＝(x－1)x＝
(x－)2－，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减；
综上可知，f(x)的单调递增区间为[0，]，单调递减区间为(－∞，0)，(，＋∞).
(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即(a＋1)·1＝－(a－1)·1，解得a＝0.
所以f(x)＝－x|x|，f[f(x)]＝x3|x|；
所以mx2＋m>f[f(x)]＝x3|x|，
即m>对所有的x∈[－2，2]恒成立．
因为x∈[－2，2]，
所以x2＋1∈[1，5].
所以≤＝＝x2＋1＋－2≤.
所以m>.
所以实数m的取值范围为(，＋∞).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(三)
(时间：90分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M＝{－1，0，1}，N为自然数集，则M∩N＝( )
A．{－1，0} B．{－1}
C．{0，1} D．{1}
2.＝( )
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
3．已知cos α＝－，且α是钝角，则tan α等于( )
A． B．
C．－ D．－
4．设＜x＜，则“x tan2x＜1”是“x tanx＜1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．某飞机在空中沿水平方向向前飞行，飞行至A处飞行员观察地面目标C测得俯角为30°，继续飞行800(单位：米)至B处观察目标C测得俯角为60°，已知A，B，C在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为( )
A．400米 B．400 米
C．800米 D．800 米
6．函数y＝＋x的大致图象是( )
INCLUDEPICTURE "../新建文件夹%20(4)/TOP38A.TIF" \* MERGEFORMAT
7．某地区对当地异地搬迁3 000户家庭的2020年所得年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，则年收入不超过6万的家庭大约为( )
INCLUDEPICTURE "../新建文件夹%20(4)/KL1.TiF" \* MERGEFORMAT
A．900户 B．600户
C．300户 D．150户
8．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )
A．1∶16 B．1∶9
C．13∶129 D．13∶43
9．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．－＜－ B．ab＜b2
C．－ab＜－a2 D．|a|＜|b|
10．某位同学参加歌唱比赛，有9位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3.又加入一个特邀嘉宾，他的打分为5，此时这10个分数的平均数为，方差为s2，则( )
A．＝5，s2>3 B．＝5，s2<3
C．>5，s2<3 D．>5，s2>3
11．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝，b＝，＝a＋2b，则·的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
12．已知四棱锥P ABCD，记AP与BC所成的角为θ1，AP与平面ABCD所成的角为θ2，二面角P AB C为θ3，则下面大小关系正确的是( )
A．θ1≤θ2 B．θ1≤θ3
C．θ2≤θ3 D．θ1≥θ3
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．计算：log2＋log218－log31＝________．
14．某中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为________．
15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x2－，则f(2)＝________．
16．已知等边△OAB的边长为1，点C满足＝＋，则 ||＝________．
17．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为__________．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为________．
三、解答题：本大题共4个大题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
19．已知函数f(x)＝a－b cos 2x(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求g(x)＝－4sin ＋b的图象的对称中心和对称轴方程．
20.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD＝NB＝1.证明：
(1)NC∥平面ADM；
(2)DN⊥平面ACM.
21．某小组共有A，B，C，D，E五名同学，他们的身高(单位：m)以及体重指标(单位：kg/m2)如下表所示：
类别 A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人，求选到2人身高都在1.78 m以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70 m 以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．
22．已知函数f(x)＝(x－t)·|x－1|(t∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若存在t∈(0，2)，对于任意x∈[－1，2]，不等式f(x)>x＋m都成立，求实数m的取值范围．
参考答案
高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(三)
1．C
2．C 由题意知，＝＝＝1－i，故选C.
3．C 因为cos α＝－，且α为钝角，所以sin α＝＝，
所以tanα＝＝－.
4．A 5.B
6．C 方法一：易得函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，排除A，B；
当x＝－1时，y＝－2，选项D中的图象不符合，排除D.
方法二：函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，依据绝对值的意义可得y＝易知选项C对应的图象正确．
7．A 由频率分布直方图可得，年收入不超过6万的家庭的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，可得年收入不超过6万的家庭大约为3 000×0.3＝900户．故选A.
8．D 由题意可设圆台上、下底面的半径分别为r，4r，截面半径为x，圆台的高为2h，则有＝，所以x＝r，所以＝＝＝.故选D.
9．A 因为－＝ ＜0，所以－＜－，A正确；因为ab－b2＝b(a－b)＞0，所以ab＞b2，B错误；因为ab－a2＝a(b－a)＜0，所以－ab＞－a2，C错误；a＜b＜0 |a|＞|b|，D错误，故选A.
10．B 由题意知＝×(5＋9×5)＝5，s2＝×(0＋9×3)＝2.7<3，故选B.
11．A 以O为原点，所在直线为x轴正方向， 所在直线为y轴正方向，建立空间直角坐标系(图略).
设A(m，0)，B(0，n)，则a＝(1，0)，
b＝(0，1)，＝a＋2b＝(1，2)，
＝(m－1，－2)，＝(－1，n－2)，
Rt△AOB的面积为1，即有mn＝2，则·＝1－m－2(n－2)＝5－(m＋2n)≤5－2＝5－2×2＝1，当且仅当m＝2n＝2时，取得最大值1.
12．C 取特殊四棱锥P ABCD，其中底面ABCD为正方形，OP⊥平面ABCD，M为AB中点，
易知，∠PAD＝θ1，∠PAO＝θ2，∠PMO＝θ3，
由最小角定理可得，θ2≤θ1，
且sin θ2＝，sin θ3＝，
由AP≥MP可知，sin θ2≤sin θ3，故θ2≤θ3，故选C.
13．解析：log2＋log218－log31＝
log2－0＝log216＝4.
答案：4
14．解析：数据从小到大排序如下：
246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16个数据，第8，9个数据为279，287，则其第50百分位数为＝283.
答案：283
15．解析：f(2)＝－f(－2)＝－[(－2)2＋]＝－4.
答案：－4
16．解析：在等边△OAB中，·＝，||＝||＝1，
所以||＝＝＝＝.
答案：
17．解析：第一次接通电话的概率为，第二次接通电话的概率为×＝，第三次接通电话的概率为＝，所以拨号不超过三次就接通电话的概率为＋＋＝.
答案：
18．解析：由正弦定理＝＝＝2R，
得＝＝
＝
，
即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B，
化简可得，sin (A＋B)＝3sin (B＋C)，
又A＋B＋C＝π，
所以sin C＝3sin A，
因此＝3.
答案：3
19．解：(1)因为b>0，易得f(x)max＝a＋b＝，
f(x)min＝a－b＝－，
解得a＝，b＝1.
(2)由(1)得，
g(x)＝－4sin ＋1，
由sin ＝0，
可得x－＝kπ，k∈Z，
即x＝2kπ＋，k∈Z，
所以函数g(x)图象的对称中心是，k∈Z.
由sin ＝±1，可得x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋，k∈Z，所以函数g(x)图象的对称轴方程为x＝2kπ＋，k∈Z.
20．证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD，所以BC∥平面AMD，又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，所以MD∥NB，所以NB∥平面AMD，
所以平面BNC∥平面AMD，故NC∥平面ADM.
(2)设AC∩BD＝O，连接MO，MO∩DN＝H.由(1)，得MD∥NB，由已知，得MD＝NB＝1，所以四边形MNBD为平行四边形，
因为MD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以MD⊥BD，
所以平行四边形MNBD为矩形，且MN＝BD＝，
由O为BD的中点，得OD＝.
所以＝＝，
所以Rt△MND∽Rt△DMO，从而∠DMH＝∠MNH，
因为∠DMH＋∠NMH＝90°，所以∠MNH＋∠NMH＝90°，从而∠MHN＝90°，即MO⊥DN，
因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.
又MD⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，
所以MD⊥AC.又MD，BD 平面BDMN，且MD∩BD＝D.
所以AC⊥平面MNBD，
又DN 平面MNBD，
所以AC⊥DN，
又MO∩AC＝O，MO，AC 平面ACM，所以DN⊥平面ACM.
21．解：(1)设x1，x2分别表示从身高低于1.80 m的同学中任选的2人，则数组(x1，x2)表示样本点，该试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共6个样本点．
由于每个人都被选到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．设A＝“选到的2人身高都在1.78 m以下”，则A＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)}，共3个样本点．因此选到的2人身高都在1.78 m以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，则该试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10个样本点．由于每个人被选到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．
设B＝“选到的2人身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)内”，则B＝{(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共3个样本点．因此选到的2人身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P＝.
22．解：(1)f(x)＝
当t＝1时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，当t>1时，f(x)的单调增区间为(－∞，1]和，单调减区间为，当t<1时，f(x)的单调增区间为和[1，＋∞)，单调减区间为.
(2)方法一：设g(x)＝f(x)－x＝
x∈[1，2]时，因为x＝∈(1，2)，
所以g(x)min＝g＝.
x∈[－1，1]时，g(x)min＝min{g(1)，g(－1)}＝min{－1，－1－2t}＝－1－2t.
由题意得因为存在t∈(0，2)成立，故所以m≤－1.
方法二：设h(t)＝f(x)－x＝－|x－1|·t＋x|x－1|－x(t∈(0，2))，
只需h(t)max>m对任意的x∈[－1，2]都成立．
则只需h(0)＝x|x－1|－x≥m，对x∈[－1，2]都成立．
再设φ(x)＝x|x－1|－x，x∈[－1，2]，
只需φ(x)min≥m，易求得m≤－1.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(一)
(时间：90分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2＝2}，B＝{1，，2}，则A∩B＝( )
A．{}
B．{2}
C．{－，1，，2}
D．{1，，2}
2．设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．已知命题p：“ x∈R，x＋|x|≥0”，则命题p的否定是( )
A． x∈R，x＋|x|≥0，且为真命题
B． x∈R，x＋|x|<0，且为真命题
C． x∈R，x＋|x|≥0，且为假命题
D． x∈R，x＋|x|<0，且为假命题
4．某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是( )
A． B．
C． D．
5．设函数f(x)＝sin x＋cos x，x∈R，则f(x)的最小正周期为( )
A． B．π
C．2π D．3π
6．在平面直角坐标系Oxy中，点A(1，3)，B(－2，k)，若向量⊥，则实数k＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( )
A．若m⊥n，m⊥α，n α，则n∥α
B．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m α
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
8．设a＝()－1.8，b＝()1.3，c＝0.2－0.3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
9．从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A＝“至少有1个红球”，事件B＝“至多有1个白球”，则( )
A．P(A)B．P(A)＝P(B)
C．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
D．P(A)＋P(B)＝1
10．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
INCLUDEPICTURE "../新建文件夹%20(4)/KL13a+1.TiF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "../新建文件夹%20(4)/KL13a+2.TiF" \* MERGEFORMAT
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是( )
A．m1>m2，s1>s2 B．m1>m2，s1C．m1s2
11．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1，2－1) D．(－2－1，2－1)
12．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足mA． B．2
C． D．5
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．若函数f(x)＝则f＝__________．
14．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________．
15．已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________．
16．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A∪B)＝__________．
17．在△ABC中，若b2＝ac，则cos (A－C)＋cos B＋cos 2B的值是________．
18．在三棱锥P ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝1，AC＝5，PA＝，则三棱锥P ABC的外接球的体积为 __________．
三、解答题：本大题共4个大题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
19．已知函数f(x)＝sin ＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的最大值及其相应x的取值集合；
(2)若<α<且f(α)＝，求cos 2α的值．
20.某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(kW·h)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62 kW·h，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少电？
21.如图，平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD翻折到△EBD的位置．
(1)当平面EBD⊥平面ABD时，求证：AB⊥DE；
(2)若点F为BE的中点，二面角E BD C的大小为60°，求直线DF与平面BCE所成角的正弦值．
22．已知函数f(x)＝x2＋2x|x－a|，其中a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式4≤f(x)≤16在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范围．
参考答案
高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(一)
1．A 因为x2＝2，所以x＝±，所以A＝{－，}，所以A∩B＝{}．故选A.
2．C 因为(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，所以2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
3．D 依题可知， x∈R，x＋|x|≥0，所以命题p的否定是 x∈R，x＋|x|<0，且为假命题，故选D.
4．B 由题意，该同学选择的两种颜色的基本情况有(白，黄)，(白，紫)，(黄，紫)，共3种情况，
其中满足要求的基本情况有1种，
故所求概率P＝.故选B.
5．C
6．A ＝(1，3)，＝(－3，k－3)，因为⊥，所以·＝0，即1×(－3)＋3(k－3)＝0，解得k＝4.故选A.
7．B 如图的长方体ABCD A1B1C1D1中，取直线A1D1为直线m，平面ABCD，B1BCC1分别为α，β，满足m∥α，α⊥β，但是m∥β，故B不正确，选B.
8．B 因为y＝在R上是减函数．
所以>0.2－0.3>0.20＝1.
即a>c>1.
b＝<＝1.
所以a>c>b，故选B.
9．B 记2个红球分别为a，b，4个白球分别为A，B，C，D，则从袋子中任意摸出2个球的所有情况为ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15种，
其中事件A＝“至少有1个红球”包括：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共9种，事件B＝“至多有1个白球”包括：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，共9种，
故P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P(A)＝P(B)，故选B.
10．C 由频率分布直方图得：
甲地区[40，60)的频率为：(0.015＋0.020)×10＝0.35，[60，70)的频率为0.025×10＝0.25，所以甲地区用户满意度评分的中位数m1＝60＋×10＝66，
甲地区的平均数s1＝45×0.015×10＋55×0.020×10＋65×0.025×10＋75×0.020×10＋85×0.010×10＋95×0.010×10＝67.
乙地区[50，70)的频率为(0.005＋0.020)×10＝0.25，[70，80)的频率为0.035×10＝0.35，
所以乙地区用户满意度评分的中位数m2＝70＋×10≈77.1，
乙地区的平均数s2＝55×0.005×10＋65×0.020×10＋75×0.035×10＋85×0.025×10＋95×0.015×10＝77.5.
所以m111．B 令3x＝t(t>0)，则f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2可化为y＝t2－(k＋1)t＋2.故t2－(k＋1)t＋2>0恒成立，
因为t>0，所以k＋112．C 根据已知函数f(x)＝|log2x|的图象知，013．解析：f＝f＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0.
答案：0
14．解析：＝(＋)＝
(－＋－)＝－＋，
所以y＝z＝，x＝－1，x＋y＋z＝0.
答案：0
15．解析：由α∈及tan α＝2得sin α＝2cos α<0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－.
答案：－
16．解析：由题意知P(B)＝1－P(C)＝0.4，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.4＝0.7.
答案：0.7
17．解析：因为b2＝ac，利用正弦定理可得sin2B＝sinA sin C.
所以cos (A－C)＋cos B＋cos 2B＝cos (A－C)－cos (A＋C)＋cos 2B＝2sin A sin C＋cos 2B＝2sin2B＋(1－2sin2B)＝1.
答案：1
18．解析：如图所示，因为PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以PA⊥AB，
同理可得PA⊥AC，
又因为AB⊥AC，所以该三棱锥是长方体的一个角，把三棱锥P ABC补成一个长方体，可得长方体的外接球和三棱锥P ABC的外接球为同一个球，
又由长方体的体对角线长为＝
＝6，
所以外接球的半径为R＝3，可得外接球的体积为V＝πR3＝π×33＝36π.
答案：36π
19．解：(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1＝
sin2x·cos －cos 2x·sin ＋cos 2x＝·sin 2x＋·cos 2x＝sin ，
所以当2x＋＝2kπ＋，
即x＝kπ＋时f(x)max＝1，其相应x的取值集合为.
(2)由题意有，f(α)＝sin (2α＋)＝，
由<α<，得<2α＋<，
所以cos ＝－.
因此cos 2α＝cos ＝
cos ·cos ＋sin (2α＋)·sin ＝×＋×＝.
20．解：(1)当0≤x≤100时，设函数关系为y＝kx.
将x＝100，y＝65代入，
得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x>100时，设函数关系式为y＝ax＋b.
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
得解得
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100 kW·h时，电价为0.65元/kW·h；超过100 kW·h时，超出的部分电价为0.80元/kW·h.
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3；
当y＝105时，
因为0.65×100＝65<105，故x>100，
所以105＝0.8x－15，x＝150.
即若该用户某月用电62 kW·h时，则该用户应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用电150 kW·h.
21．解：(1)证明：由题意可知AB⊥BD，
又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，
所以AB⊥平面EBD，因为DE 平面EBD，所以AB⊥DE.
(2)因为CD⊥BD，ED⊥BD，
所以二面角E BD C的平面角为∠CDE＝60°，因为DC＝DE，
△CDE为正三角形．
如图，连接CE，取CE的中点G，连接DG，则DG⊥CE，在△BCE中，BC＝BE，BG⊥CE，BG∩DG＝G，
所以CE⊥平面DBG，所以平面BCE⊥平面DBG，平面BCE∩平面DBG＝BG，作DH⊥BG，则DH⊥平面BCE，连接FH，
则∠DFH是直线DF与平面BCE所成的角．
在△DFH中，DF＝2，DH＝，
所以sin ∠DFH＝.
22．解：(1)f(x)＝
当a≥0时，f(x)在(－∞，a)和(a，＋∞)上均单调递增，因为f(a)＝a2，则f(x)在R上单调递增．当a＜0时，f(x)在(－∞，a)和上单调递增，在上单调递减．
(2)由题意只需f(x)min≥4，f(x)max≤16，
由(1)可知，f(x)在x∈[1，2]上恒单调递增，
则f(x)min＝f(1)＝1＋2|1－a|≥4，
解得a≤－或a≥.
当a≥时，f(x)在R上单调递增，
故f(x)max＝f(2)＝4a－4≤16，
解得≤a≤5；
当a≤－时，f(x)在[1，2]上单调递增，
故f(x)max＝f(2)＝12－4a≤16，
解得－1≤a≤－.
综上，－1≤a≤－或≤a≤5.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(二)
(时间：90分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合P＝{x|x2－5x－6<0}，Q＝{y|y＝2x，x≥0}，则P∩Q＝( )
A．(2，3) B．[－1，6]
C．[1，6) D．[－6，1]
2．在复平面内，复数z＝－＋i(i为虚数单位)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题p： x>0，总有(x＋1)2x>1，则命题p的否定为( )
A． x≤0，使得(x＋1)2x≤1
B． x>0，使得(x＋1)2x≤1
C． x>0，总有(x＋1)2x≤1
D． x≤0，总有(x＋1)2x≤1
4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有( )
A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15
C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝15
5．三个数logπ0.3，log3π，π－0.3的大小关系是( )
A．logπ0.3<π－0.3C．π－0.36．设a>0，且a≠1，则“a>1”是“loga<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P，则sin ＝( )
A． B．－
C． D．－
8．在空间中，设l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若l α，m不平行于l，则m不平行于α
B．若l α，m β，且α，β不平行，则l，m不平行
C．若l α，m不垂直于l，则m不垂直于α
D．若l α，m β，l不垂直于m，则α，β不垂直
9．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为( )
A．－ B．－
C．－ D．0
10．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，f(2)＝0，则函数y＝f(x)在区间(0，6)上的零点( )
A．有2个 B．有4个
C．有6个 D．至少有4个
11.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为( )
A． B．
C． D．
12．在一段线路中有4个自动控制的常用开关A，B，C，D，如图连接在一起，假定开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则这段线路能正常工作的概率为( )
INCLUDEPICTURE "../新建文件夹%20(4)/KL16.TiF" \* MERGEFORMAT
A．0.967 6 B．0.998 2
C．0.313 6 D．0.967 4
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．
13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).
类别 篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
14．设a，b为平面向量，若a＝(1，0)，b＝(3，4)，则a·b＝________．
15．已知tan α＝2，则的值为________．
16．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则＋＋的最小值是________．
17．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF与MN所成角的大小为__________．
18．已知函数f(x)＝，g(x)＝ax＋1，其中a>0.若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是____________．
三、解答题：本大题共4个大题，第19～21题各10分，第22题12分，共42分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos (B－C)－1＝6cos B cos C.
(1)求cos A；
(2)若a＝3，△ABC的面积为2，求b，c.
20．已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(－π<φ<0)的图象经过点.
(1)求φ的值以及函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(θ)＝，求cos 的值．
21.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面圆的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P ABC的体积．
22．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．
(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；
(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．
参考答案
高中学业水平合格性考试
模拟测试卷(二)
1．C 由已知可得P＝(－1，6)，Q＝[1，＋∞)，所以P∩Q＝[1，6)，故选C.
2．B 因为z＝－＋i对应的点为(－，1)，所以对应的点位于第二象限，故选B.
3．B 根据全称量词命题的否定形式知，p： x>0，总有(x＋1)·2x>1的否定为q： x>0，使得(x＋1)2x≤1，故选B.
4．D 把该组数据按从小到大排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，
故平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，
因为50×＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b＝＝15.故选D.
5．A 对数函数y＝logπx为增函数，所以logπ0.3对数函数y＝log3x为增函数，所以log3π>log33＝1；
指数函数y＝πx为增函数，所以0<π－0.3<π0＝1.
因此logπ0.3<π－0.36．A 因为loga<1 01，所以“a>1”是“loga<1”的充分不必要条件，故选A.
7．D 因为角α的终边过点P(－，－1)，
所以|OP|＝＝2，所以cos α＝－，
所以sin ＝－cos 2α＝1－2cos2α＝1－2×＝－.
8．C 对于A，m可能与α相交或m α或m∥α；对于B，l与m可能平行、相交或异面；对于C，若m⊥α，则m⊥l，与条件不符，所以m不垂直于α；对于D，α与β可能垂直．综上所述，故选C.
9．A 当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)＝x2＋3x＋2，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，所以f(x)＝(x2＋3x＋2)＝－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值，为－.
10．D 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且周期为3，f(2)＝0，所以f(－1)＝0，f(1)＝0，f(5)＝f(2)＝0，f(4)＝f(1)＝0，所以函数y＝f(x)在区间(0，6)上至少有4个零点．故选D.
11．A 因为＝，＝，则＝，＝2，因为＝＋，所以＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，由E，F，K三点共线可得，λ＋2λ＝1，解得λ＝，故选A.
12．A 这段线路能正常工作的对立事件是A，D同时断开且B，C中至少有一个断开，所以这段线路能正常工作的概率为：P＝1－(1－0.7)(1－0.7)(1－0.8×0.8)＝0.9676．故选A.
13．解析：由题意知，＝，解得a＝30.
答案：30
14．解析：由题意得a·b＝1×3＋0×4＝3.
答案：3
15．解析：＝
＝，
把tan α＝2代入得，原式＝.
答案：
16．解析：把x＋y＝1代入＋＋，得＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x＝，y＝时取等号，所以＋＋的最小值为6.
答案：6
17．解析：连接A1C1，C1B，A1B.
因为E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点．
所以MN∥A1C1，EF∥BC1，
所以∠A1C1B是异面直线EF与MN所成的角．
易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝.
答案：
18．解析：由题意得f(x)＝在平面直角坐标系内分别画出01时，函数f(x)，g(x)的图象，由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，有解得0
答案：(0，1)
19．解：(1)由3cos (B－C)－1＝6cos B·cos C，
得3(cos B cos C－sin B sin C)＝－1，
即cos (B＋C)＝－，
从而cos A＝－cos (B＋C)＝.
(2)由于0＜A＜π，cos A＝，所以sin A＝，
又S△ABC＝2，即bc sin A＝2，解得bc＝6.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2＝13，解方程组得或
20．解：(1)函数图象过点，
所以f＝cos ＝.
又因为－π<φ<0，
所以－<＋φ<，
所以＋φ＝－，即φ＝－，
所以f(x)＝cos .
由π＋2kπ≤2x－≤2π＋2kπ，k∈Z，
整理得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为f(θ)＝cos ＝，
所以cos ＝cos ＝
－cos ＝－.
21．解：(1)证明：由题设可知，PA＝PB＝PC，
由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.
又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.
从而PB⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC＝P，故PB⊥平面PAC，因为PB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.
由题设可得rl＝，l2－r2＝2.
解得r＝1，l＝.
从而AB＝，由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，
故PA＝PB＝PC＝.
所以三棱锥P ABC的体积为××PA×PB×PC＝××＝.
22．解：(1)证明：由f(x)＝＋b－，
得对称轴为直线x＝－.
由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，
所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．
当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，
得max{f(1)，－f(－1)}≥2，
即M(a，b)≥2.
当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，
得max{f(－1)，－f(1)}≥2，
即M(a，b)≥2.
综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.
(2)由M(a，b)≤2得
|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，
故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.
由|a|＋|b|＝
得|a|＋|b|≤3.
当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，
且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值为2，即M(2，－1)＝2.
所以|a|＋|b|的最大值为3.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)