山东省德州市夏津县万隆中学2016届九年级（下）月考数学试卷（4月份）（解析版）

2015-2016学年山东省德州市夏津县万隆中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）
　
一．选择题（每题3分）
1．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
3．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　）
A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b
4．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边 ( http: / / www.21cnjy.com )上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；
②b+c+1=0；
③3b+c+6=0；
④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．点M（2，﹣1）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）
A．（2，0） B．（2，1） C．（2，2） D．（2，﹣3）
8．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．75°
9．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )B=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
　
二．填空题（每题4分）
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是　　　　　　．
12．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=　　　　　　．
13．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　　　　　　．
14．如图，抛物线y=x2 ( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2014的坐标为（　　　　　　，　　　　　　）．
　
三．解答题（共6小题，76分）
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
16．如图，直角梯形纸片ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )D∥BC，∠A=90°，∠C=30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．
（1）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A、B、C三点．
（1）求出抛物线解析式和顶点坐标；
（2）当﹣2＜x＜2时，求函数值y的范围；
（3）根据图象回答，当x取何值时，y＞0？
18．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
19．如图，在矩形纸片ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
20．如图，在直角坐标系中有一直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
　
2015-2016学年山东省德州市夏津县万隆中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
　
一．选择题（每题3分）
1．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形及对称轴的定义求解．
【解答】解：第一个是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；
故选：C．
　
2．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
　
3．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（　　）
A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b
【考点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．
【分析】由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．
【解答】解：∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
A、sinA=，则csinA=a．故本选项正确；
B、cosB=，则cosBc=a．故本选项错误；
C、tanA=，则=b．故本选项错误；
D、tanB=，则atanB=b．故本选项错误．
故选A．
　
4．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上， ( http: / / www.21cnjy.com )沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
【分析】由四边形ABCD是 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF==．
故选C．
　
5．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
　
6．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；
②b+c+1=0；
③3b+c+6=0；
④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由函数y=x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1，
故②错误；
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故选B
　
7．点M（2，﹣1）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）
A．（2，0） B．（2，1） C．（2，2） D．（2，﹣3）
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】根据向上平移，横坐标不变，纵坐标相加进行解答．
【解答】解：∵点M（2，﹣1）向上平移2个单位长度，
∴﹣1+2=1，
∴平移后的点坐标是（2，1）．
故选：B．
　
8．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．75°
【考点】角的计算．
【分析】先画出图形，利用角的和差关系计算．
【解答】解：∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，
∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=60°﹣15°=45°，
故选：C．
　
9．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】平移的性质．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选：C．
　
10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，
∴AM=MC=BM，
∴∠A=∠MCA，
∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，
∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，
∴∠ACM=∠MCD，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°
∴∠A=30°．
故选：A．
　
二．填空题（每题4分）
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com )=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是　5　．
【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】作M关于BD的对称点Q，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=AC=3，BP=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5．
　
12．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=　55°　．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC=90°，
∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，
则∠A=∠A′=55°．
故答案为：55°．
　
13．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　2　．
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．
【分析】由在等边三角形ABC中，AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．
【解答】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵BC=3BD，
∴BD=BC=2，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2．
故答案为：2．
　
14．如图，抛物线y=x2在第一象限 ( http: / / www.21cnjy.com )内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2014的坐标为（　4027　，　4027　）．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x﹣an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．
【解答】解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，
抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，
得x2=（x﹣a1）2+a1，
即2a1x=a12+a1，
x=（a1+1）．
∵x为整数点
∴a1=1，
M1（1，1）；
M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，
抛物线y=x2与y2相交于A2，
x2=x2﹣2a2x+a22+a2，
∴2a2x=a22+a2，
x=（a2+1）．
∵x为整数点，
∴a2=3，
M2（3，3），
M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，
抛物线y=x2与y3相交于A3，
x2=x2﹣2a3x+a32+a3，
∴2a3x=a32+a3，
x=（a3+1）．
∵x为整数点
∴a3=5，
M3（5，5），
∴点M2014，两坐标为：2014×2﹣1=4027，
∴M2014，
故答案为：
　
三．解答题（共6小题，76分）
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=．
求（1）DE、CD的长；（2）tan∠DBC的值．
【考点】解直角三角形；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由DE⊥AB，AE=6，cosA=，可求出AD的长，根据勾股定理可求出DE的长，由角平分线的性质可得DC=DE=8；
（2）由AD=10，DC=8，得AC= ( http: / / www.21cnjy.com )AD+DC=18．由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形边长的比可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=．
【解答】解：（1）在Rt△ADE中，由AE=6，cosA==，得：AD=10，
由勾股定理得DE===8
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，角平分线性质得：DC=DE=8．
（2）方法一：由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18．
在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得： =，即=，BC=24，
得：tan∠DBC===
方法二：由（1）得AC=18，又cosA==，得AB=30，
由勾股定理得BC=24得：tan∠DBC=．
　
16．如图，直角梯形纸片ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．
（1）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
【考点】直角梯形；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
【分析】（1）利用等边对等角可以得到∠FBC=∠C=30°，再利用折叠的性质可以得到∠EBF=∠CBF=30°，从而可以求得所求角的度数．
（2）利用上题得到的结论可以求得线段BD，然后在直角三角形ABD中求得AB即可．
【解答】解：（1）∵BF=CF=8，
∴∠FBC=∠C=30°，
∵折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，
∴∠EBF=∠CBF=30°，
∴∠EBC=60°，
∴∠BDF=90°；
（2）∵∠EBC=60°
∴∠ADB=60°，
∵BF=CF=8．
∴BD=BF sin60°=4
∴在Rt△BAD中，
AB=BD×sin60°=6．
　
17．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A、B、C三点．
（1）求出抛物线解析式和顶点坐标；
（2）当﹣2＜x＜2时，求函数值y的范围；
（3）根据图象回答，当x取何值时，y＞0？
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．
【分析】（1）根据图象得A（﹣1，0） ( http: / / www.21cnjy.com )，B（0，﹣3），C（4，5），代入y=ax2+bx+c中，解方程组可求a、b、c的值，从而确定顶点坐标；
（2）根据对称轴（顶点）的位置，开口方向，确定当﹣2＜x＜2时，y的最大值和最小值；
（3）已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为x=1，可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合开口方向判断当y＞0时，x的取值范围．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5）代入y=ax2+bx+c中，得
，解得
∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3，即y=（x﹣1）2﹣4，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵对称轴x=1，开口向上，
∴当﹣2＜x＜2时，y有最小值为﹣4，
x=﹣2时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5，
∴﹣4≤y＜5；
（3）∵抛物线经过A（﹣1，0），对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
又抛物线开口向上，
∴当x＞3或x＜﹣1时，y＞0．
　
18．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（90﹣30）=﹣120x+12000，
综上所述：y=；
（2）当1≤x＜50时，
y=﹣2x2+180x+2000，
y=﹣2（x﹣45）2+6050．
∴a=﹣2＜0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）①当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，
解得：20≤x＜70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；
②当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，
解得：x≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在整个销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
　
19．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
【分析】（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论；
（2）由（1）可知GD=GB ( http: / / www.21cnjy.com )，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值；
（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知 ( http: / / www.21cnjy.com )EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tan∠ABG即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在△ABG与△C′DG中，
∵，
∴△ABG≌△C′DG（AAS）；
（2）解：
∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，
设AG=x，则GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，
∵AB2+AG2=BG2，
即62+x2=（8﹣x）2，
解得x=，
∴tan∠ABG===；
（3）解：
∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=AD=4，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=，
∴EH=HD×=4×=，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位线，
∴HF=AB=×6=3，
∴EF=EH+HF=+3=．
　
20．如图，在直角坐标系中有一直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；
（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设P ( http: / / www.21cnjy.com )M与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，
∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．
代入解析式为
，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴对称轴l=﹣=﹣1，
∴E点的坐标为（﹣1，0）．
如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．
∴，
∴MP=3EM．
∵P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在第二象限，
∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），
解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为P与C重合，所以舍去），
∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．
∴P（﹣2，3）．
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y=x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t， t+1），
∴NM=t+1．
∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2．
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD=PN CM+PN OM
=PN（CM+OM）
=PN OC
=×3（﹣t2﹣+2）
=﹣（t+）2+，
∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为．
　
2016年5月11日