第十章 数学活动 教案（表格式）人教版（2024）数学七年级下册

第十章 数学活动
教学设计
课标摘录 1.会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系. 2.能针对具体问题列出方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
教学目标 1.能把二元一次方程的解转化成坐标，在平面直角坐标系描出二元一次方程组的图象，并用图象求二元一次方程组的解. 2.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
教学重难点 重点:从图形角度理解二元一次方程组的解就是求两个二元一次方程的公共解 难点:体会数形结合思想，消元思想和数学建模思想的应用
教学策略 本节课主要采用启发式教学法,让学生参与教学过程，注重培养学生的建构习惯，提高学生的数学素质.采用“问题情境—探索新知—解读探究—应用与拓展”的教学模式，使学生经历二元一次方程转换成直线的探索与应用过程，从而更好地理解数形结合的思想，掌握必要的基础知识和基本技能.
教学过程
教学步骤 教学活动
综合应用 活动1　二元一次方程的“图象” (1)什么是有序实数对 它和平面直角坐标系的点有何关系 有序实数对与平面直角坐标系的点一一对应. 设计意图：复习旧知，知道有序实数对是一对规定了顺序的实数,有序实数与平面直角坐标系里坐标一一对应，为学习把二元一次方程的解转化成坐标做铺垫，让学生们很快进入有目的的探究状态. (2)已知二元一次方程x-y=0.如表所示，写出方程x-y=0的几组解. x…-2-1012…y…-2-1012…
追问 方程x-y=0有多少组解？ (3)在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程x-y=0的一个解用一个点表示出来吗？ 师生活动：学生独立思考，然后交流探讨，得出结论. 归纳总结：把二元一次方程的一个解规定顺序(x值在前，y值在后)，这个解就转化成一个坐标，对应着平面直角坐标系的一个点. 设计意图:通过探究二元一次方程的解到坐标的转化方法，为这节课的学习找到突破口.激发学生兴趣,让学生更加具体认识到解到坐标的转化和过程,体会到数形结合的思想. (4)把表格中二元一次方程x-y=0的解都在平面直角坐标系中用点表示. 再取二元一次方程x-y=0的几组解，在坐标系中描成点. 追问1 你能把二元一次方程x - y=0的无数个解分别用点在平面直角坐标系中表示出来吗 追问2 如果把二元一次方程无数个解都这样转化成点，这些点构成什么图形 追问3 如何画出这个图形？ 师生活动：学生交流探讨，(先自己确定出二元一次方程x-y=0一些解，再描出点)，学生观察、交流探讨，得出结论. 二元一次方程x - y=0方程的解描出的所有点构成一条直线. 追问4 在这条直线上任取一个点，这个点的坐标是方程x-y=0的一个解吗？ 追问5 你能说出二元一次方程x - y=0与这条直线有什么联系吗？ 二元一次方程x - y=0的解是直线上的点的坐标. 归纳总结： 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象. 设计意图：通过由点转化成直线，实现由局部到总体的转化，为二元一次方程转化成图象做铺垫.初步产生数转化成形的思想和方法,为下面图象法解二元一次方程组打下基础. (5)在平面直角坐标系中，画出二元一次方程x+2y=4的图象. 师生活动：学生动手操作，然后展示自己的成果，并陈述自己的作法.教师巡回指导. 解：方程2x+y=4的两组解为：x=0,y=4;x=2,y=0. 在平面直角坐标系中描出点（0，4），（2，0）. 画出过点（0，4），（2，0）的直线.如图. 设计意图：再次的作图，证实由局部到整体的思想.通过学生自己的动手操作、探讨交流，最终实现由数到形的突破. 追问 二元一次方程的图象是一个什么几何图形 (6)在同一个在坐标系中再画出二元一次方程x-y=-1的图象，根据这两个二元一次方程的图象，你能得出二元一次方程组的解吗？ 师生活动：学生画出二元一次方程x-y=-1的图象,然后分小组讨论.教师进行指导. 解：二元一次方程x-y=-1的图象如图所示. 二元一次方程组的解是 归纳总结： 二元一次方程组的解对应它们图象的交点坐标. 设计意图：增强学生的动手能力、分析能力，通过自己在同一直角坐标系画出二元一次方程组对应的两条直线，它们相交于一点，学生结合交点及其坐标的特性对比二元一次方程组的解的特性，认真分析，达到数形结合思想的突破. 【即时测评】 如图，在同一直角坐标系中作出二元一次方程组的图象，则图象的交点坐标是 (1,1) ,由图象可得二元一次方程组的解是 . 设计意图：培养学生的新知应用能力，进一步掌握图象法解二元一次方程组的思想和方法. 活动2 轮胎换位问题 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重.如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣;如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高.为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议. 资料显示:汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000 km时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000km时报废，如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，并求出轮胎报废时汽车的行驶里程. 问题1 轮胎在汽车前轮行驶1km的寿命，相当于在汽车后轮行驶多少千米？轮胎在汽车后轮行驶1km的寿命，相当于在汽车前轮行驶多少千米 轮胎在汽车前轮行驶1km的寿命，相当于在汽车后轮行驶km; 轮胎在汽车后轮行驶1km的寿命，相当于在汽车前轮行驶km. 问题2 本题的未知量有哪些？应该怎样设未知数？ 未知量有换胎前行驶里程，换胎后行驶里程，轮胎报废时汽车的行驶里程. 设换胎前行驶里程为xkm,换胎后行驶里程为ykm. 问题3 设汽车换胎前行驶里程为xkm,换胎后行驶里程为ykm. 你能说出汽车原前轮轮胎和原后轮轮胎是怎样行驶的吗？ 原前轮轮胎：先在前轮位置行驶 x km，再在后轮位置行驶 y km(相当于在前轮位置行驶 y km),达到前轮轮胎总寿命60000km后报废； 原后轮轮胎：先在后轮位置行驶 x km，再在前轮位置行驶 y km(相当于在后轮位置行驶 y km),达到后轮轮胎总寿命80000km后报废. 问题4 题目的相等关系有哪些？请列出方程组求解. 相等关系： (1)前轮轮胎换胎前寿命+换胎后寿命=前轮轮胎总寿命60000km； (2)后轮轮胎换胎前寿命+换胎后寿命=后轮轮胎总寿命80000km. 根据题意，得解得 所以应在汽车行驶里程达到km时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶里程为km. 意图说明 进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想，以及掌握用列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.学生再次体会数学与现实生活的紧密联系，培养应用意识与建模思想，在这过程中获得学习数学的成功体验.
当堂达标 （要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.） 1. 下列直线是二元一次方程2x-y=2的图象的是（　C　） A． B． C． D． 2.已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，二元一次方程x-y=-5的图象与二元一次方程x+2y=-2的图象的交点坐标为 （-4，1） . 3.用画图象的方法求二元一次方程组的解. 解：画出3x+2y=5与x+y=1的图象如图所示. 观察图象，得两个图象的交点坐标为(3，－2)． 故二元一次方程组的解是 4.某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A，B两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元．而店庆期间，购买50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？ 解：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元．根据题意，得 解得 打折前购买50件A商品和50件B商品共需16×50＋4×50＝1 000(元)． ∴打折后少花(1 000－960)＝40(元)． 答：打折后少花40元． 设计意图：通过对应的练习，让学生更能深刻体会本节课的内容，进一步渗透数形结合与模型化的思想.
课堂小结 (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 请同学们说一说. 设计意图:让学生总结方法,交流感悟出规律,从知识层面上升到思想方法层面，提高学生的语言表达能力和总结归纳的能力.
板书设计
教学反思 通过数学活动调动学生的学习兴趣，并结合教学活动给予学生充分自主探究、合作学习、展示交流的空间，取得了一定的教学效果.学生只有经历将实际问题抽象成数学问题，利用数学知识解决实际问题的这一数学建模过程，才能不断提高应用数学知识解决问题的能力，体会到数学是刻画现实世界的模型，从而提高学习的热情，完成学习任务.
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