17.1勾股定理 培优练习（含答案） 人教版2024—2025学年八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.1勾股定理 培优练习（含答案） 人教版2024—2025学年八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 288.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-10 20:24:49 | ||
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文档简介
17.1勾股定理培优练习人教版2024—2025学年八年级下册
一、知识点梳理：
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
（1）在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形.
变式：
（2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．
（3）利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点．
考点一、勾股数
例1、下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．4，5，6 D．6，8，10
变式1、下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
变式2、如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点P表示的实数为 ．
考点二、勾股定理中的面积问题
例2、如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 ．
变式1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝16．则S3＝（ ）
A．20 B．12
C．2 D．2
变式2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 ．
考点三、勾股定理中的赵爽弦图
例3、中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（a+b）2的值是 ．
变式1、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的边长是5，小正方形的边长是2，直角三角形的两直角边长分别是a，b（b＞a），则（a+b）2的值为（ ）
A．16 B．23 C．35.5 D．46
变式2、如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 ．
变式3、如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝ ．
考点四、勾股定理中的折叠问题
例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（4，0），B（4，2），C（0，2），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则点D的纵坐标为（ ）
B．
C． D．4
变式1、如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．
变式2、如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D′处，CD′交AB于点F，求重叠部分△AFC的面积．
变式3、如图所示，在 ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把 ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分(阴影部分)的面积．
变式4、如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长．
变式5、有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF；再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF的H上，折痕交AE于点G,求EG的长。
变式6、如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
考点五、勾股定理中在生活中的应用
例5、如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．
（1）求OB的长度；
（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米．
变式1、拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图．有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）求∠ACB度数；
（2）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（3）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
变式2、如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
变式3、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
考点六、勾股定理中的最短路径问题
例6、如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm C．cm D．2cm
变式2、如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（ ）
a B．（1+）a
C．3a D．a
变式3、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25
C．10+5 D．35
考点七、勾股定理中的综合应用
例7、如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE．
（1）求证：BE2﹣AE2＝AC2；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△ACE的周长．
变式1、一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）
A．5 B．5或
C． D．以上都不对
变式2、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是斜边BC的中点，DE⊥DF，
求证：EF2=BE2+CF2
变式3、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积。
一、知识点梳理：
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
（1）在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形.
变式：
（2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．
（3）利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点．
考点一、勾股数
例1、下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．4，5，6 D．6，8，10
变式1、下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
变式2、如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点P表示的实数为 ．
考点二、勾股定理中的面积问题
例2、如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 ．
变式1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝16．则S3＝（ ）
A．20 B．12
C．2 D．2
变式2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 ．
考点三、勾股定理中的赵爽弦图
例3、中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（a+b）2的值是 ．
变式1、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的边长是5，小正方形的边长是2，直角三角形的两直角边长分别是a，b（b＞a），则（a+b）2的值为（ ）
A．16 B．23 C．35.5 D．46
变式2、如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 ．
变式3、如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则＝ ．
考点四、勾股定理中的折叠问题
例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（4，0），B（4，2），C（0，2），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则点D的纵坐标为（ ）
B．
C． D．4
变式1、如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．
变式2、如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D′处，CD′交AB于点F，求重叠部分△AFC的面积．
变式3、如图所示，在 ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把 ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分(阴影部分)的面积．
变式4、如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长．
变式5、有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF；再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF的H上，折痕交AE于点G,求EG的长。
变式6、如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
考点五、勾股定理中在生活中的应用
例5、如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．
（1）求OB的长度；
（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米．
变式1、拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图．有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）求∠ACB度数；
（2）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（3）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
变式2、如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
变式3、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
考点六、勾股定理中的最短路径问题
例6、如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm C．cm D．2cm
变式2、如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（ ）
a B．（1+）a
C．3a D．a
变式3、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5 B．25
C．10+5 D．35
考点七、勾股定理中的综合应用
例7、如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE．
（1）求证：BE2﹣AE2＝AC2；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△ACE的周长．
变式1、一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）
A．5 B．5或
C． D．以上都不对
变式2、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是斜边BC的中点，DE⊥DF，
求证：EF2=BE2+CF2
变式3、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积。