2024-2025学年云南省保山市腾冲市九年级（上）期末数学试卷(含详解)

2024-2025学年云南省保山市腾冲市九年级（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）腾冲气象台发布的天气预报显示，明天腾冲某地下雨的可能性是70%，则“明天腾冲某地下雨”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
3．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝DC B． C．∠ADB＝∠ACB D．∠DAB＝∠CBA
5．（2分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
6．（2分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　）
A．当P＝440W时，I＝2A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
7．（2分）下列说法：
（1）三点确定一个圆
（2）垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧
（3）三角形的外心到三条边的距离相等
（4）圆的切线垂直于经过切点的半径
正确的个数是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
8．（2分）将抛物线y＝3x2﹣2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣3）2+4 B．y＝3（x+3）2﹣4
C．y＝3（x+3）2 D．y＝3（x﹣3）2﹣4
9．（2分）对于反比例函数y，下列说法错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
10．（2分）已知△ABC的顶点A的坐标为（0，﹣2），若以原点O为位似中心画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，则点A1的坐标为（　　）
A．（0，﹣4）或（0，4） B．（0，﹣4）
C．（4，4） D．（4，4）或（4，﹣4）
11．（2分）已知：不在同一直线上的三点A，B，C
求作：⊙O，使它经过点A，B，C
作法：如图，
（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线DE；
（2）连接BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O；
（3）以O为圆心，OB长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（　　）
A．连接AC，则点O是△ABC的内心
B．
C．连接OA，OC，则OA，OC不是⊙O的半径
D．若连接AC，则点O在线段AC的垂直平分线上
12．（2分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝cx+a与二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
14．（2分）抛物线y＝﹣x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣3
15．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB＝65°，则∠CAE的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）点（﹣2025，1）关于原点对称的点的坐标为　 　．
17．（2分）如图，已知A为反比例函数y（k＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为 　 　．
18．（2分）若A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2+a的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 　 　（用“＜”表示）．
19．（2分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，ODOC，若AB＝16cm，则⊙O的半径为 　 　cm．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（6分）4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年“共建书香社会 共享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践中心举行，活动旨在全社会大力营造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是6500本，2024年图书借阅总量是9360本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率；
（2）如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？
21．（7分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是C（秋分）的概率是 　 　；
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是B（寒露）的概率．
22．（7分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
23．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）．
（1）作出将△ABC向左平移5个单位，向上平移1个单位后得到的图形△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）作出将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的图形△AB3C3，并求出线段AC在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
24．（7分）如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠BAE＝∠EDA．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AE＝3，DE＝6，求菱形ABCD的边长．
25．（7分）中秋节时，某水果超市进行软籽石榴优惠促销活动，经调查，发现石榴日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如图所示的关系，石榴的进价为5元/千克，石榴的售价不低于进价且不高于15元/千克．
（1）求日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式；
（2）求当销售单价为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
26．（8分）如图，点A，B，D，E在以AB为直径的⊙O上，AE、BD的延长线交于点C，且∠C＝∠B，过点D作DF⊥AC交AC于点F，DE＝DC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当点E在AC上什么位置时，？求出此时的值．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为（，0），试判断△DCB的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年云南省保山市腾冲市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C A D C C B B C A D
题号 12 13 14 15
答案 C B D B
一、单选题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
2．（2分）腾冲气象台发布的天气预报显示，明天腾冲某地下雨的可能性是70%，则“明天腾冲某地下雨”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
【解答】解：由题意可得：明天下雨的可能性较大，但也可能不会下雨．
故选：C．
3．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×5＜0，
∴原方程没有实数根．
故选：A．
4．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝DC B． C．∠ADB＝∠ACB D．∠DAB＝∠CBA
【解答】解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴，AD＝DC，故A、B正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，故C正确；
∵无法确定∠DAB＝∠CBA，故D错误，符合题意．
故选：D．
5．（2分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
6．（2分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（　　）
A．当P＝440W时，I＝2A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【解答】解：由图1可知，当P＝440W时，I＝2A，故选项A说法正确，不符合题意；
由图2可知，Q随I的增大而增大，故选项B说法正确，不符合题意；
由图2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故选项C说法错误，符合题意；
由图1可知I随P的增大而增大，由图2可知Q随I的增大而增大，所以P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
7．（2分）下列说法：
（1）三点确定一个圆
（2）垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧
（3）三角形的外心到三条边的距离相等
（4）圆的切线垂直于经过切点的半径
正确的个数是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以（1）错误；
垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，所以（2）正确；
三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以（3）错误；
圆的切线垂直于经过切点的半径，所以（4）正确．
故选：B．
8．（2分）将抛物线y＝3x2﹣2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣3）2+4 B．y＝3（x+3）2﹣4
C．y＝3（x+3）2 D．y＝3（x﹣3）2﹣4
【解答】解：将抛物线y＝3x2﹣2向左平移3个单位长度得到y＝3（x+3）2﹣2，
再向下平移2个单位长度得到y＝3（x+3）2﹣4；
故选：B．
9．（2分）对于反比例函数y，下列说法错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵反比例函数y，
∴当x＝1时，y5，故选项A不符合题意；
k＝﹣5，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＜0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
10．（2分）已知△ABC的顶点A的坐标为（0，﹣2），若以原点O为位似中心画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，则点A1的坐标为（　　）
A．（0，﹣4）或（0，4） B．（0，﹣4）
C．（4，4） D．（4，4）或（4，﹣4）
【解答】解：已知△ABC的顶点A的坐标为（0，﹣2），以原点O为位似中心，△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，
∴点A1的坐标为（0×2，﹣2×2），即（0，﹣4）或（﹣2×0，﹣2×（﹣2）），即（0，4），
即点A1的坐标为（0，﹣4）或（0，4），
故选：A．
11．（2分）已知：不在同一直线上的三点A，B，C
求作：⊙O，使它经过点A，B，C
作法：如图，
（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线DE；
（2）连接BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O；
（3）以O为圆心，OB长为半径作⊙O．
⊙O就是所求作的圆．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（　　）
A．连接AC，则点O是△ABC的内心
B．
C．连接OA，OC，则OA，OC不是⊙O的半径
D．若连接AC，则点O在线段AC的垂直平分线上
【解答】解：连接AC．
由作图可知，点O是△ABC的外心，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
故选：D．
12．（2分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝cx+a与二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+x+c，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知a＜0，c＞0，由直线y＝cx+a可知，图象过二，三，四象限c＜0，a＜0，故此选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2+bx+c，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知a＜0，c＜0，由直线y＝cx+a可知，图象过一，二，三象限，c＞0，a＞0，故此选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2+bx+c，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知a＞0，c＜0，由直线y＝cx+a可知，图象过一，二，四象限，c＜0，a＞0，故此选项符合题意；
D、由抛物线y＝ax2+bx+c，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知a＞0，c＞0，由直线y＝cx+a可知，图象过一，三，四象限，c＞0，a＜0，故此选项不符合题意；
故选：C．
13．（2分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【解答】解：扇形的弧长4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．
故选：B．
14．（2分）抛物线y＝﹣x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣3
【解答】解：解法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线的另外一个交点为（﹣3，0），
∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3．
故选：D．
解法二：由图象可设一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2，
则x1x2＝﹣3，
解得：x2＝﹣3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3．
故选：D．
解法三：将（1，0）代入抛物线解析式中得﹣1+b+3＝0，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3．
故选：D．
15．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB＝65°，则∠CAE的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠CAB＝∠DCA＝65°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，
∴AC＝AD，∠DAE＝∠CAB＝65°，
∵∠ADC＝∠ACD＝65°，
∴∠DAC＝50°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝15°，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）点（﹣2025，1）关于原点对称的点的坐标为　（2025，﹣1）．　．
【解答】解：关于原点对称的点的坐标为（2025，﹣1），
故答案为：（2025，﹣1）．
17．（2分）如图，已知A为反比例函数y（k＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为 　﹣6　．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB|k|＝3，
而k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
18．（2分）若A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝3（x+1）2+a的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 　y2＜y3＜y1　（用“＜”表示）．
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝3（x+1）2+a，3＞0，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵﹣1﹣（﹣2）＝1＜1﹣（﹣1）＝2＜（﹣1）﹣（﹣4）＝3，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
19．（2分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，ODOC，若AB＝16cm，则⊙O的半径为 　10　cm．
【解答】解：如图所示，延长DC交⊙O于点E，连接OA，则OA＝OE，
∵将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，
∴CD＝CE，
∵，
∴设OD＝x，则OC＝3x，CD＝CE＝2x，
∴OE＝OA＝5x，
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，AB＝16cm，
∴，
在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，
∴（5x）2＝（3x）2+82，
解得，x1＝2，x2＝﹣2（负值舍去），
∴OA＝5x＝5×2＝10（cm），
故答案为：10．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（6分）4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年“共建书香社会 共享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践中心举行，活动旨在全社会大力营造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是6500本，2024年图书借阅总量是9360本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率；
（2）如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？
【解答】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为x，
根据题意得：6500（1+x）2＝9360，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
答：该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率为20%；
（2）9360×（1+20%）
＝9360×1.2
＝11232（本），
答：预计2025年图书借阅总量是11232本．
21．（7分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是C（秋分）的概率是 　　；
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是B（寒露）的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
小李从中随机抽取一张邮票，抽中是C（秋分）的概率是，
故答案为：；
（2）由题意可得，树状图如下：
由上可得，共有16种等可能性，其中小李两次抽取的邮票中至少有一张是B（寒露）的可能性有7种，
∴两次抽取邮票中至少有一张是B的概率为．
22．（7分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4 2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
23．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）．
（1）作出将△ABC向左平移5个单位，向上平移1个单位后得到的图形△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）作出将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的图形△AB3C3，并求出线段AC在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△A2B2C2即为所求；
（3）△AB3C3即为所求；
线段AC在旋转过程中扫过的面积为：．
24．（7分）如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠BAE＝∠EDA．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AE＝3，DE＝6，求菱形ABCD的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAE＝∠EDA，
∴△ABE∽△DEA；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AE＝3，DE＝6，
∴AB＝AD，
∵△ABE∽△DEA，
∴，
∴AB AD＝AE DE＝AB2，
∴AB2＝18，
∵AB为边长，
∴（负值舍去）．
25．（7分）中秋节时，某水果超市进行软籽石榴优惠促销活动，经调查，发现石榴日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如图所示的关系，石榴的进价为5元/千克，石榴的售价不低于进价且不高于15元/千克．
（1）求日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式；
（2）求当销售单价为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
把（5，100），（15，50）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+125；
（2）设总利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣5）y
＝（x﹣5）（﹣5x+125）
＝﹣5x2+150x﹣625
＝﹣5（x﹣15）2+500，
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝15时，w最大＝500元，
∴当销售单价为15时，日销售利润最大，最大利润为500元．
26．（8分）如图，点A，B，D，E在以AB为直径的⊙O上，AE、BD的延长线交于点C，且∠C＝∠B，过点D作DF⊥AC交AC于点F，DE＝DC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当点E在AC上什么位置时，？求出此时的值．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠ODF＝∠CFD，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵DE＝DC，
∴△DEC为等腰三角形，
∵DF⊥AC，
∴F为CE的中点，
∴，
若，则AE＝EC，此时E为AC中点，
设CF＝k，则EF＝k，AE＝2k，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝4k，
∴OA＝OB＝OD＝2k，
由（1）得：OD∥AC，
又∵OD＝AE＝2k，
∴四边形OAED是平行四边形，
∴DE＝AO＝2k，
∴CD＝2k，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠B＝60°，
∴△BOD为等边三角形，
∴BD＝2k，BC＝4k，
∴．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为（，0），试判断△DCB的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，3），
∴OC＝3，
在Rt△COB中，OC＝3，BC＝5，∠BOC＝90°，
∴OB4，
∴点B的坐标是（4，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把C（0，3）代入得a （﹣1） （﹣4）＝3，解得a，
∴抛物线解析式为y（x﹣1）（x﹣4），即yx2x+3；
（2）△DCB是直角三角形，
理由：∵BC＝5，
∴BC2＝52＝25，
在Rt△COD中，DC2＝CO2+DO2＝32+（）2，
∵BD2＝[4﹣（）]2，
∴BC2+DC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是yx2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x．
设点P坐标为（，m）．
∵点C（0，3），点B（4，0），
∴BP2＝（4）2+m2m2．
PC2＝（）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m．
BC2＝25．
①当∠PCB＝90°时，BP2＝BC2+PC2．
∴m2＝25+m2﹣6m．
解得：m．
故点P（，）；
②当∠PBC＝90°时，PC2＝PB2+BC2．
∴m2﹣6mm2+25，
解得：m＝﹣2．
故点P（，﹣2）；
③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．
∴25＝m2﹣6mm2．
解得：m1，m2．
∴P（，）或P4（，）．
综上所述，存在，点P的坐标为（，）或（，﹣2）或（，）或（，）．
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