6.1 平行四边形及其性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握平行四边形及其有关概念 几何直观
2.掌握平行四边形的性质 运算能力、推理能力
3.能综合运用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并能进行有关证明 应用意识、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.平行四边形的定义 (1)文字叙述:两组对边分别 的四边形. 记作: 读作:平行四边形ABCD (2)符号语言:∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 1.在四边形ABCD中,若AB∥CD,AD BC,则四边形ABCD为平行四边形.
2.性质 (1)边:对边平行且相等. (2)角:对角相等,邻角互补. 2.如图,在 ABCD中,一定正确的是 ( ) A.AD=CD B.AC=BD C.AB=CD D.CD=BC
3.有关计算 (1)周长: ;(2)面积: . 3.在 ABCD中,周长为10,AB=4,BC= .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P5例1·2024吉林中考)如图,在 ABCD中,点O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E.求证:AE=BC.
【举一反三】
(2024·湖北中考) ABCD中,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,连接BE,DF.求证BE=DF.
【重点2】利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P8习题6.1T1补充)如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.
(1)若AB=4,AD=6,求CE的长;
(2)若∠F=62°,求∠BAE和∠D的度数.
【举一反三】
如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,若AB=3,AD=4,则EF的长是 ( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、运算能力)已知在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=130°,则∠D的度数是 ( )
A.50° B.65° C.115° D.130°
2.(4分·应用意识、运算能力)
在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是 ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是 .
3.(4分·几何直观、应用意识)
如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别为(0,0),(5,0),(3,2),则顶点C的坐标是 .
4.(8分·应用意识、模型意识)如图,点E是 ABCD的边CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2,求CF的长.
(2)若∠BAF=90°,试添加一个条件,并写出∠F的度数.6.1 平行四边形及其性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握平行四边形及其有关概念 几何直观
2.掌握平行四边形的性质 运算能力、推理能力
3.能综合运用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并能进行有关证明 应用意识、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.平行四边形的定义 (1)文字叙述:两组对边分别 平行 的四边形. 记作: ABCD 读作:平行四边形ABCD (2)符号语言:∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 1.在四边形ABCD中,若AB∥CD,AD ∥ BC,则四边形ABCD为平行四边形.
2.性质 (1)边:对边平行且相等. (2)角:对角相等,邻角互补. 2.如图,在 ABCD中,一定正确的是 (C) A.AD=CD B.AC=BD C.AB=CD D.CD=BC
3.有关计算 (1)周长: 邻边和×2 ;(2)面积: 底×高 . 3.在 ABCD中,周长为10,AB=4,BC= 1 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】利用平行四边形的性质进行证明(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P5例1·2024吉林中考)如图,在 ABCD中,点O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E.求证:AE=BC.
【自主解答】∵点O是AB的中点,
∴AO=OB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠E=∠BCO,
又∠AOE=∠BOC,
∴△AOE≌△BOC(AAS),
∴AE=BC.
【举一反三】
(2024·湖北中考) ABCD中,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,连接BE,DF.求证BE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△BAE和△DCF中,,
∴△BAE≌△DCF(SAS),∴BE=DF.
【重点2】利用平行四边形的性质进行计算(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P8习题6.1T1补充)如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.
(1)若AB=4,AD=6,求CE的长;
(2)若∠F=62°,求∠BAE和∠D的度数.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,AD=BC=6,
∴∠FAD=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAF,
∴∠BEA=∠BAE,∴BA=BE.
∵AB=4,∴BE=4,∴CE=BC-BE=2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,∠B=∠D,
∴∠BAE=∠F.
∵∠F=62°,∴∠BEA=∠BAE=62°,
∴∠B=56°,∴∠D=56°.
【举一反三】
如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,若AB=3,AD=4,则EF的长是 (B)
A.1 B.2 C.2.5 D.3
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、运算能力)已知在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=130°,则∠D的度数是 (C)
A.50° B.65° C.115° D.130°
2.(4分·应用意识、运算能力)
在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是 ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是 26° .
3.(4分·几何直观、应用意识)
如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别为(0,0),(5,0),(3,2),则顶点C的坐标是 (8,2) .
4.(8分·应用意识、模型意识)如图,点E是 ABCD的边CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2,求CF的长.
(2)若∠BAF=90°,试添加一个条件,并写出∠F的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CF,
∴∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE,
∵点E是CD的中点,
∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴CF=AD=2;
(2)∵∠BAF=90°,
添加一个条件:当∠B=60°时,∠F=90°-60°=30°(答案不唯一).6.1 平行四边形及其性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握平行四边形对角线的性质 运算能力、推理能力
2.熟练应用平行四边形对角线的性质 模型观念、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
平行四边形对角线的性质 (1)文字叙述:对角线 . (2)符号语言:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC,OB=OD. 下列说法正确的是 ( ) A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等 C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】平行四边形的性质——对角线(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P7例2·2023·南京中考)如图,在 ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.求证:BE=DF.
【举一反三】
1. (2023·成都中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2. (2024·温州期中)如图, ABCD的周长为16,对角线AC,BD交于点O,且△ABO的周长比△BCO的周长多2,则AB= ( )
A.3 B.5 C.7 D.9
【技法点拨】
平行四边形对角线性质的拓展
1.由任意一条对角线分割成的两个三角形全等;
2.由两条对角线分割成的四个小三角形:
(1)面积都相等;
(2)相对的两个三角形全等;
(3)相邻两个三角形的周长之差为平行四边形两邻边的差;
3.过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积.
【重点2】平行四边形性质的综合运用(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,求 ABCD的周长.
【举一反三】
1.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD上一点,将△DEC沿CE翻折得到△FEC,点F在AC上,且满足AF=EF,若∠D=48°,则∠ACE的度数为 .
2.如图,在 ABCD中,过AC中点O的直线分别交CB,AD的延长线于点E,F.
(1)求证:BE=DF;
(2)连接FC,若EF⊥AC,DF=2,△FDC的周长为16,求 ABCD的周长.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、模型观念)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论错误的是 ( )
A.AB=CD且AB∥CD B.OB=OD
C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC
2.(4分·应用意识、运算能力)如图,过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF,分别交AD,BC于点E,F,当AE=ED时,△AOE的面积为4,则四边形EFCD的面积是 ( )
A.8 B.12 C.16 D.32
3.(8分·运算能力、模型意识)在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB长2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的长.6.1 平行四边形及其性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握平行四边形对角线的性质 运算能力、推理能力
2.熟练应用平行四边形对角线的性质 模型观念、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
平行四边形对角线的性质 (1)文字叙述:对角线 互相平分 . (2)符号语言:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC,OB=OD. 下列说法正确的是 (D) A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等 C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】平行四边形的性质——对角线(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P7例2·2023·南京中考)如图,在 ABCD中,点M,N分别在边BC,AD上,且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.求证:BE=DF.
【自主解答】连接AC交BD于O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,BO=DO.
∵AM∥CN,∴∠EAC=∠FCA,
在△AEO与△CFO中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,
∴BO-OE=OD-OF,∴BE=DF.
【举一反三】
1. (2023·成都中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 (B)
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2. (2024·温州期中)如图, ABCD的周长为16,对角线AC,BD交于点O,且△ABO的周长比△BCO的周长多2,则AB= (B)
A.3 B.5 C.7 D.9
【技法点拨】
平行四边形对角线性质的拓展
1.由任意一条对角线分割成的两个三角形全等;
2.由两条对角线分割成的四个小三角形:
(1)面积都相等;
(2)相对的两个三角形全等;
(3)相邻两个三角形的周长之差为平行四边形两邻边的差;
3.过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积.
【重点2】平行四边形性质的综合运用(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,求 ABCD的周长.
【自主解答】∵∠B=80°,四边形ABCD为平行四边形,∴∠D=80°.由折叠可知∠ACB=∠ACE,又AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠DAC,∴△AFC为等腰三角形.∴AF=FC=a.
设∠ECD=x,则∠ACE=2x,∴∠DAC=2x,在△ADC中,由三角形内角和定理可知,2x+2x+x+80°=180°,解得x=20°.
由三角形外角定理可得∠DFC=4x=80°,
故△DFC为等腰三角形,∴DC=FC=a,
∴AD=AF+FD=a+b,故 ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b.
【举一反三】
1.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD上一点,将△DEC沿CE翻折得到△FEC,点F在AC上,且满足AF=EF,若∠D=48°,则∠ACE的度数为 54° .
2.如图,在 ABCD中,过AC中点O的直线分别交CB,AD的延长线于点E,F.
(1)求证:BE=DF;
(2)连接FC,若EF⊥AC,DF=2,△FDC的周长为16,求 ABCD的周长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AO=CO,AD=BC,
∴∠OAF=∠OCE,∠E=∠F,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(AAS),∴AF=CE,
∴AF-AD=CE-BC,∴BE=DF;
(2)连接CF,
∵EF⊥AC,AO=CO,∴EF垂直平分AC,∴AF=CF,
∵△FDC的周长为16,
∴DF+CF+CD=16,即2+AD+2+CD=16,
∴AD+CD=12,
∴ ABCD的周长为2(AD+CD)=24.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、模型观念)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论错误的是 (C)
A.AB=CD且AB∥CD B.OB=OD
C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC
2.(4分·应用意识、运算能力)如图,过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF,分别交AD,BC于点E,F,当AE=ED时,△AOE的面积为4,则四边形EFCD的面积是 (C)
A.8 B.12 C.16 D.32
3.(8分·运算能力、模型意识)在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB长2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的长.
【解析】设AB=x cm,则AO=(x-3)cm,BO=(x+2)cm,∵BO是AO的2倍,
∴x+2=2(x-3),解得x=8,∴AO=5 cm,BO=10 cm,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO=10 cm,BD=2BO=20 cm.
