6.2 平行四边形的判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会证明平行四边形的判定定理1,2 几何直观、推理能力
2.理解平行四边形的判定定理1,2,并学会简单运用 应用意识、模型观念
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.判定定理1 (1)文字叙述:一组对边 的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,下列添加的条件正确的是 ( ) A.AD=BC B.∠B=∠C C.∠A=∠D D.AB=CD
2.判定定理2 (1)文字叙述:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AD=BC, , ∴四边形ABCD是平行四边形. 2.在四边形ABCD中,AB=4,BC=5,当CD= ,DA= 时,四边形ABCD是平行四边形.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P12例1拓展)如图,E,F是 ABCD对角线AC上的两点,AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接DE,BF,求证:四边形DEBF是平行四边形.
【举一反三】
(2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形.
【技法点拨】
平行四边形判定的方法
1.定义法:两组对边分别平行(无需证明).
2.判定1:两组对边分别相等(利用三角形全等证明).
【重点2】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例2】(教材溯源·P15习题6.2T2·2023·广安中考)
如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【举一反三】
1.(2024·深圳质检)四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,当CD= 时,这个四边形是平行四边形.
2.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、模型观念)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD=BC
B.AB=BC,AD=CD
C.AD∥BC,AD=BC
D.AD=BC,AO=CO
2.(4分·推理能力、运算能力)如图,将两条宽度相同的纸条重叠在一起,使∠BAD=60°,则∠BCD等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
3.(4分·推理能力、运算能力)如图,四边形ABCD中,对角线BD⊥AD,BD⊥BC,AD=11-x,BC=x-5,则当x= 时,四边形ABCD是平行四边形.
4.(8分·几何直观、模型观念)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE且AB=DE,AF=DC,求证:四边形BCEF是平行四边形.6.2 平行四边形的判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何直观、推理能力
2.理解平行四边形的判定定理3,并学会简单运用 应用意识、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
平行四边形的判定定理3 (1)文字叙述:对角线 互相平分 的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AO=OC,BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 在四边形ABCD中,已知OA=OC,再添加一个条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是 (C) A.AB=CD B.AD=BC C.OB=OD D.∠BAD+∠ADC=180°
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】对角线互相平分的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材溯源·P14例2·2023·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,∴EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形;
(2)∵BE=EF,∴S△ABE=S△AEF=2,
∵四边形AECF是平行四边形,
∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO,
∴S△CFO=1.
【举一反三】
已知,如图所示,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点.
求证:四边形AFBE是平行四边形.
【解析】因为AC∥BD,所以∠C=∠D.
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(AAS),
∴CO=DO.
∵E,F分别是OC,OD的中点,
∴OF=OD,OE=OC,∴EO=FO,
又∵AO=BO,
∴四边形AFBE是平行四边形.
【技法点拨】
用对角线互相平分判定平行四边形的几种情况
1.当出现线段的中点时;
2.当出现两条线段互相平分时;
3.当要证的平行四边形与已知的平行四边形有一条公共对角线,而另一条对角线在一条直线上时.
【重点2】平行四边形判定定理的综合应用(几何直观、模型观念)
【典例2】如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点.
(1)若AB=CD,只添加一个条件: ,使四边形ABCD为平行四边形;
(2)在(1)的条件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求证:四边形BEDF是平行四边形.
【自主解答】(1)只添加一个条件:AB∥CD(答案不唯一),
∵AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形;
答案:AB∥CD(答案不唯一)
(2)如图所示,连接BF,DE,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF,∠BEA=∠DFC=90°,
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△BAE和△DCF中,
,
∴△BAE≌△DCF(AAS),
∴BE=DF,
又∵BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
【举一反三】
如图所示,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)
关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四边形ABCD中, , ,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【解析】已知:①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以.
方法一:已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,③∠A=∠C,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠C,∴∠C+∠B=180°.
∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
方法二:
已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,④∠B+∠C=180°,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形;
方法三:
已知:在四边形ABCD中,②AB=CD,④∠B+∠C=180°,求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,又∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
方法四:
已知:在四边形ABCD中,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,又∵∠A=∠C,
∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)如图,已知AB∥CD,增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是 (C)
A.∠1=∠2 B.AD=BC
C.OA=OC D.AD=AB
2.(4分·几何直观、模型观念)
在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=
∠BCD,能判定四边形ABCD为平行四边形的有 ①②④⑤ (填序号).
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE,CF,则四边形AECF (填“是”或“不是”)平行四边形.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE,
在△AOF和△COE中,,
∴△AOF≌△COE(ASA);
(2)四边形AECF是平行四边形,理由如下:
由(1)得:△AOF≌△COE,
∴FO=EO,又∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
答案:是6.2 平行四边形的判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会证明平行四边形的判定定理1,2 几何直观、推理能力
2.理解平行四边形的判定定理1,2,并学会简单运用 应用意识、模型观念
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.判定定理1 (1)文字叙述:一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形,下列添加的条件正确的是 (D) A.AD=BC B.∠B=∠C C.∠A=∠D D.AB=CD
2.判定定理2 (1)文字叙述:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AD=BC,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 2.在四边形ABCD中,AB=4,BC=5,当CD= 4 ,DA= 5 时,四边形ABCD是平行四边形.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P12例1拓展)如图,E,F是 ABCD对角线AC上的两点,AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接DE,BF,求证:四边形DEBF是平行四边形.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)连接DE,BF,如图所示:
由(1)得:△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,
同理:DE=BF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
【举一反三】
(2023·宁夏中考)如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形.
【证明】∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°.
又∵∠EDC=∠CBE,∴∠CBE+∠C=180°,
∴EB∥DC,∴四边形BCDE是平行四边形.
【技法点拨】
平行四边形判定的方法
1.定义法:两组对边分别平行(无需证明).
2.判定1:两组对边分别相等(利用三角形全等证明).
【重点2】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例2】(教材溯源·P15习题6.2T2·2023·广安中考)
如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【自主解答】∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF.
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【举一反三】
1.(2024·深圳质检)四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3,当CD= 3 时,这个四边形是平行四边形.
2.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形.
【证明】(1)∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,
∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SSS);
(2)由(1)得:△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE,又∵AB=DE,
∴四边形ABED是平行四边形.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、模型观念)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(C)
A.AB∥DC,AD=BC
B.AB=BC,AD=CD
C.AD∥BC,AD=BC
D.AD=BC,AO=CO
2.(4分·推理能力、运算能力)如图,将两条宽度相同的纸条重叠在一起,使∠BAD=60°,则∠BCD等于 (C)
A.30° B.45° C.60° D.120°
3.(4分·推理能力、运算能力)如图,四边形ABCD中,对角线BD⊥AD,BD⊥BC,AD=11-x,BC=x-5,则当x= 8 时,四边形ABCD是平行四边形.
4.(8分·几何直观、模型观念)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB∥DE且AB=DE,AF=DC,求证:四边形BCEF是平行四边形.
【解析】∵AB∥DE,
∴∠BAF=∠EDC,
在△AFB和△DCE中,,
∴△AFB≌△DCE(SAS),
∴FB=CE,∠AFB=∠DCE,
∴∠BFC=∠ECF,
∴FB∥CE,又∵FB=CE,
∴四边形BCEF是平行四边形.6.2 平行四边形的判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 几何直观、推理能力
2.理解平行四边形的判定定理3,并学会简单运用 应用意识、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
平行四边形的判定定理3 (1)文字叙述:对角线 的四边形是平行四边形. (2)符号语言:∵AO=OC,BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 在四边形ABCD中,已知OA=OC,再添加一个条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A.AB=CD B.AD=BC C.OB=OD D.∠BAD+∠ADC=180°
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】对角线互相平分的四边形是平行四边形(几何直观、模型观念)
【典例1】(教材溯源·P14例2·2023·杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
【举一反三】
已知,如图所示,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点.
求证:四边形AFBE是平行四边形.
【技法点拨】
用对角线互相平分判定平行四边形的几种情况
1.当出现线段的中点时;
2.当出现两条线段互相平分时;
3.当要证的平行四边形与已知的平行四边形有一条公共对角线,而另一条对角线在一条直线上时.
【重点2】平行四边形判定定理的综合应用(几何直观、模型观念)
【典例2】如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点.
(1)若AB=CD,只添加一个条件: ,使四边形ABCD为平行四边形;
(2)在(1)的条件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求证:四边形BEDF是平行四边形.
【举一反三】
如图所示,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)
关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四边形ABCD中, , ,
求证:四边形ABCD是平行四边形.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)如图,已知AB∥CD,增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是 ( )
A.∠1=∠2 B.AD=BC
C.OA=OC D.AD=AB
2.(4分·几何直观、模型观念)
在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=
∠BCD,能判定四边形ABCD为平行四边形的有 (填序号).
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE,CF,则四边形AECF (填“是”或“不是”)平行四边形.
