第5课时 正方形的性质与判定
课时学习目标 素养目标达成
1.理解正方形的概念,明确正方形和菱形以及矩形的区别和联系 抽象能力
2.探索并证明正方形的性质和判定,会用其解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.正方形的性质 (1)四个角都是 直角 ; (2)四条边都 相等 ; (3)对角线 相等 且 互相垂直平分 ,每一条对角线平分一组对角; (4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性质是 (A) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 (2)如图,在正方形ABCD中, ①若对角线的长为2,则其面积为 4 . ②若点E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBA的度数是 67.5° .
2.正方形的判定 2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,这个条件可以是 AB=AD(答案不唯一) (写出一个条件即可).
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1正方形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P26例2拓展·2023·黄石中考)如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P.
(1)求证:△ABN≌△DAM;
(2)求∠APM的大小.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°,
∵BM=CN,
∴BC-CN=AB-BM,即BN=AM,
在△ABN和△DAM中,
∴△ABN≌△DAM(SAS);
(2)由(1)知△ABN≌△DAM,
∴∠MAP=∠ADM,
∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°,
∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°.
【举一反三】
1.如图,四边形ABCD是正方形,点E在AD上,连接BE,过点A作BE的垂线交CD于点F,点G为垂足,下列选项中的结论,不正确的是 (C)
A.AE=DF B.∠DFA=∠AEB
C.AG=GF D.S△ABG=S四边形EGFD
2.(2024·北京期中)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为点E,F,连接AP,EF,若AP=2,则EF= 2 .
【技法点拨】
正方形性质应用的分析方法
已知条件 分析思路
已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°
已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴
重点2正方形的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P28T11拓展)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,点D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若四边形ABCD的面积为72,BF=4,求菱形AECF的面积.
【自主解答】(1)∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O,
∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF,
∵DE=BF,∴OE+DE=OF+BF,
∴BO=DO.又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,
∵∠ADO=45°,∴∠DAO=∠ADO=45°,
∴AO=DO,∴AC=BD,
∴菱形ABCD是正方形;
(2)∵正方形ABCD的面积为72,
∴AC·BD=72,
∴×4BO2=72,
∴BO=DO=CO=AO=6,∴AC=12,
∵BF=4,∴OF=2,
∵四边形AECF是菱形,
∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF,
∴S菱形AECF=AC·EF=24.
【举一反三】
1.下列说法正确的是 (A)
A.对角线相等的菱形是正方形
B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.各边都相等的四边形是正方形
2.(2024·鼓楼区校级二模)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接DF.
(1)求证:AB=AF;
(2)当△ABC满足 时,四边形ACDF为正方形.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠AFG=∠GCD,
∵点G是AD的中点,∴AG=DG,
在△AGF和△DGC中,,
∴△AGF≌△DGC(AAS),
∴AF=CD,∴AB=AF;
(2)当AB=AC,∠BAC=90°时,四边形ACDF是正方形.
由(1)知,AF=CD,
又∵AB∥CD,∴AF∥CD,
∴四边形ACDF是平行四边形,
由(1)知,AB=AF,
∵AB=AC,∴AF=AC,
∴四边形ACDF是菱形,
∵∠BAC=90°,∴∠CAF=90°,
∴四边形ACDF是正方形.
答案:AB=AC,∠BAC=90°6.3 特殊的平行四边形
第1课时 矩形的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论 推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是 的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是 . ③对角线:对角线 . 1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB= . (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD= .
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 . 2.(2023·郴州中考)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD= .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1矩形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P20T1改编·2024陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
举一反三
如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=BC.
求证:△ABE≌△DCF.
技法点拨
矩形性质的三点应用
(1)证明线段平行、相等或倍分关系.
(2)证明角相等或求角的度数.
(3)解决与全等有关的问题.
重点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力)
【典例2】已知:如图,∠ABC=∠ADC=90°,点O是线段AC的中点.
(1)求证:OB=OD;
(2)若∠CAD=60°,OB=6,求△AOD的周长.
举一反三
1.如图,点C为线段AB的中点,∠AMB=∠ANB=90°,则△CMN是 三角形.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为 .
技法点拨
直角三角形斜边上中线的性质及其拓展
(1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC.
(2)拓展:①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、运算能力)将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上,∠EGF=90°,∠FEG=30°,∠1=130°,则∠BFG的度数为 ( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
2.(4分·推理能力、运算能力)如图,在四边形AECD中,∠EAD=90°,AD∥EC,F为DE的中点,∠DEC=25°,则∠FAD的大小是 .
3.(8分·几何直观、推理能力)(2024·无锡中考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,DE.求证:
(1)△ABE≌△DCE;
(2)∠EAD=∠EDA.第3课时 菱形的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.理解菱形的概念,明确菱形和平行四边形的区别和联系 抽象能力
2.探索并证明菱形的性质,会用菱形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
3掌握菱形的面积公式,会求菱形的面积 几何直观、模型观念
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.菱形的定义与性质: (1)定义:有一组 邻边相等 的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形所有的性质. ②边: 四条边 都相等. ③对角线互相 垂直 ,并且每一条对角线 平分 一组对角. ④是轴对称图形,有两条对称轴,它的对角线所在的直线是它的对称轴. 1.如图,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一条对角线,则∠BDC的度数是 40° . (2)若∠A=120°,AB=3,则BD= 3 ;AC= 3 .
2.菱形面积: S菱形=底×高=两条对角线乘积的 一半 2.一个对角线长分别为6 cm和8 cm的菱形,这个菱形的面积为 24 cm2 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 菱形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P28习题6.3T6·2023·嘉兴中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,
又∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△AEB和△AFD中,,
∴△ABE ≌△ADF(AAS),
∴AE=AF.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠B=60°,
∴∠BAD=120°.
又∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°.
由(1)知△ABE ≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
∵AE=AF,
∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°.
举一反三
(2024·菏泽质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连接AE,AF,CE.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADF=∠CBE,
在△ADF和△CBE中,
,
∴△ADF≌△CBE(SAS);
(2)∵AD∥BC,∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABE=∠CBE=30°,AB=BC,
∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE,
∵△AEF为等边三角形,
∴∠AEF=60°,AE=EF=AF,
∴∠BAE=60°-∠ABE=30°,
∴∠BAE=∠ABE,
∴BE=AE,
同理AF=DF,∴BE=EF=DF,
∵BD=6,∴AE=BE=BD=2,
∴CE=AE=2.
技法点拨
菱形的边和对角线的应用
1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等.
2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题.
重点2菱形性质的实际应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P28习题6.3T10拓展)蜜蜂采蜜时,如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”,告诉同伴蜜源的方向.如图所示,两个全等菱形的边长为1 cm,一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,飞行2 020 cm后停下,则这只蜜蜂停在 E 点.
举一反三
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离.若A,E间的距离调节到90 cm,菱形的边长AB=30 cm,则∠DCB的度数是(C)
A.80° B.100° C.120° D.140°
技法点拨
利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)下列性质中菱形不一定具有的性质是 (C)
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.(4分·运算能力)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若菱形ABCD的面积是12,则△AOB的面积为 (A)
A.3 B.6 C.24 D.48
3.(4分·推理能力)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE=BA,那么∠AEB的度数是 70° .
4.(8分·推理能力)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.
求证:∠BAE=∠DAF.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=AD,
在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF(SAS),∴∠BAE=∠DAF.第2课时 矩形的判定
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
矩形的判定方法: 1.定义:有一个角是 的平行四边形. 2.三个角都是 的四边形. 3.对角线 的平行四边形. 要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个初拟的方案中,可行的是 ( ) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 矩形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P22补充例题拓展)
如图,在 ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F.
(1)求证:DE=BF;
(2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形.
举一反三
(2024·长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.
求证:四边形ABCD是矩形.
重点2 矩形性质和判定的综合应用
(几何直观、推理能力)
【典例2】如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,DE,AF与DE交于点O.
(1)求证:四边形AEFD为矩形;
(2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长.
举一反三
如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)DE⊥AC垂足为点E,交BC于点F,若∠ADF∶∠FDC=2∶1,则∠BDF的度数是多少
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)下列各图中,是矩形的是 ( )
2.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为 .
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在 ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.第5课时 正方形的性质与判定
课时学习目标 素养目标达成
1.理解正方形的概念,明确正方形和菱形以及矩形的区别和联系 抽象能力
2.探索并证明正方形的性质和判定,会用其解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.正方形的性质 (1)四个角都是 ; (2)四条边都 ; (3)对角线 且 ,每一条对角线平分一组对角; (4)是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线及对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性质是 ( ) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 (2)如图,在正方形ABCD中, ①若对角线的长为2,则其面积为 . ②若点E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBA的度数是 .
2.正方形的判定 2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,这个条件可以是 (写出一个条件即可).
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1正方形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P26例2拓展·2023·黄石中考)如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P.
(1)求证:△ABN≌△DAM;
(2)求∠APM的大小.
【举一反三】
1.如图,四边形ABCD是正方形,点E在AD上,连接BE,过点A作BE的垂线交CD于点F,点G为垂足,下列选项中的结论,不正确的是 ( )
A.AE=DF B.∠DFA=∠AEB
C.AG=GF D.S△ABG=S四边形EGFD
2.(2024·北京期中)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为点E,F,连接AP,EF,若AP=2,则EF= .
【技法点拨】
正方形性质应用的分析方法
已知条件 分析思路
已知只有正方形时 从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°
已知中出现正方形的“对角线”时 从正方形的对角线性质入手分析: ①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角. ②对角线所在的直线是正方形的对称轴
重点2正方形的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P28T11拓展)如图,四边形AECF是菱形,对角线AC,EF交于点O,点D,B是对角线EF所在直线上两点,且DE=BF,连接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若四边形ABCD的面积为72,BF=4,求菱形AECF的面积.
【举一反三】
1.下列说法正确的是 ( )
A.对角线相等的菱形是正方形
B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.各边都相等的四边形是正方形
2.(2024·鼓楼区校级二模)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接DF.
(1)求证:AB=AF;
(2)当△ABC满足 时,四边形ACDF为正方形. 第4课时 菱形的判定
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明菱形的判定定理,会用判定定理解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
菱形的判定方法: (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形. (2)边: 四条边 都相等的四边形. (3)对角线互相 垂直 的平行四边形. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件: AD∥BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等) ,使四边形ABCD成为菱形.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1菱形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P28T9)(2023·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF ≌△DOE;
(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
【自主解答】(1)如图所示,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵O是BD的中点,
∴BO=DO,
在△BOF与△DOE中,,
∴△BOF ≌△DOE(AAS);
(2)∵△BOF ≌△DOE,
∴ED=BF,
又∵ED∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形,
∵EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形.
【举一反三】
(2024·菏泽模拟)如图,在 ABCD中,点E是CD的中点,连接AE并延长交直线BC于点F.
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(2)连接AC,DF,请添加一个条件,使得四边形ACFD是菱形.(不需要写理由)
【解析】(1)∵点E是CD的中点,
∴DE=CE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,
在△ADE与△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(AAS);
(2)添加CA=CF(答案不唯一).
【技法点拨】
菱形的常用判定方法的选择
已有条件 需要条件
平行四边形 邻边相等
对角线互相垂直
每条对角线平分一组对角
一般四边形 四条边都相等
对角线互相垂直平分
对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角
重点2菱形性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P28T7·2023随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.
【自主解答】(1)∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OC=AC,OD=BD,
∴OC=OD,∴平行四边形OCED是菱形;
(2)矩形ABCD的面积为BC·DC=3×2=6,
∴△OCD的面积为×6=,
∴菱形OCED的面积为2×=3.
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为AD的中点.过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:四边形ADBF为菱形;
(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40,求AC的长.
【解析】(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,
∵E为AD的中点,∴AE=DE,
∴△AFE ≌△DCE(AAS),∴EF=EC,
∵D为BC的中点,∴AD∥FB,
∵AF∥BC,∴四边形AFBD是平行四边形,
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BD=BC,
∴四边形ADBF是菱形;
(2)∵四边形ADBF是菱形,∴S菱形ADBF=2S△ABD,
∵点D是BC的中点,
∴S△ABC=2S△ABD,∴S菱形ADBF=S△ABC=40,
∴AB·AC=40,∴×8·AC=40,
∴AC=10,∴AC的长为10.
【技法点拨】
计算菱形面积的两种方法
(1)如果已知菱形两条对角线长分别为a,b,选择S=ab.
(2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°,45°,60°)时,选择S=底边×高.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)
如图,要使 ABCD成为菱形,需要添加的条件可以是(B)
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.∠BAC=90° D.AC=BD
2.(4分·推理能力)依据所标识的数据,下列平行四边形一定为菱形的是 (C)
3.(4分·推理能力)
如图,在等腰三角形ABC中,CB=CA,将其沿AB折叠使点C与点D重合,延长AB至点F,DB至点E,∠EBF=55°,则∠C的度数是 70° .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·湘西中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN.
(1)求证:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形.
【解析】(1)连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,
∵BM∥DN,∴∠MBO=∠NDO,
又∠BOM=∠DON,∴△BOM ≌△DON,
∴BM=DN,∴四边形BMDN为平行四边形,
∴BN∥DM,∴∠DMN=∠BNM;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,
∴∠BCA=∠DAC,
∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA,
∴AB=BC,∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴MN⊥BD,
∴平行四边形BMDN是菱形.第2课时 矩形的判定
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
矩形的判定方法: 1.定义:有一个角是 直角 的平行四边形. 2.三个角都是 直角 的四边形. 3.对角线 相等 的平行四边形. 要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个初拟的方案中,可行的是 (D) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 矩形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P22补充例题拓展)
如图,在 ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F.
(1)求证:DE=BF;
(2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ADB=∠CBD,
∵DE平分∠ADB,BF平分∠CBD,
∴∠EDB=∠ADB,∠DBF=∠CBD,
∴∠EDB=∠DBF,∴DE∥BF,
又∵AB∥CD,∴四边形DEBF是平行四边形.∴DE=BF.
(2)∵AD=BD,DE平分∠ADB,
∴DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
又∵四边形DEBF是平行四边形,
∴四边形DEBF是矩形.
举一反三
(2024·长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.
求证:四边形ABCD是矩形.
【证明】∵O是边AB的中点,∴OA=OB,
在△AOD和△BOC中,,
∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB,
∵∠A=∠B=90°,∴DA∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵∠A=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
重点2 矩形性质和判定的综合应用
(几何直观、推理能力)
【典例2】如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,DE,AF与DE交于点O.
(1)求证:四边形AEFD为矩形;
(2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长.
【自主解答】(1)∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AD=BC=EF,又∵AD∥EF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,
∴四边形AEFD为矩形;
(2)由(1)知,四边形AEFD为矩形,
∴DF=AE,AF=DE=2OE=4,
∵AB=3,AF=4,BF=5,
∴AB2+AF2=BF2,
∴△BAF为直角三角形,∠BAF=90°,
∴S△ABF=AB·AF=BF·AE,
∴AB·AF=BF·AE,
即3×4=5AE,∴AE=,
∴DF=AE=.
举一反三
如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)DE⊥AC垂足为点E,交BC于点F,若∠ADF∶∠FDC=2∶1,则∠BDF的度数是多少
【解析】(1)∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形;
(2)由(1)得∠ADC=90°,四边形ABCD是矩形,
∵∠ADF∶∠FDC=2∶1,
∴∠FDC=30°,
∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°-30°=60°,
∵AO=CO,BO=DO,AC=BD,
∴OC=OD,
∴∠ODC=∠DCO=60°,
∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=30°.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、几何直观)下列各图中,是矩形的是 (D)
2.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为 3 .
3.(8分·推理能力、几何直观)如图,在 ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,
∵E为BC的中点,∴EB=EC,
∴△ABE≌△FCE(AAS),
∴AB=CF.
∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形,
∵BC=AF,∴平行四边形ABFC是矩形.第3课时 菱形的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.理解菱形的概念,明确菱形和平行四边形的区别和联系 抽象能力
2.探索并证明菱形的性质,会用菱形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
3掌握菱形的面积公式,会求菱形的面积 几何直观、模型观念
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.菱形的定义与性质: (1)定义:有一组 的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形所有的性质. ②边: 都相等. ③对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角. ④是轴对称图形,有两条对称轴,它的对角线所在的直线是它的对称轴. 1.如图,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一条对角线,则∠BDC的度数是 . (2)若∠A=120°,AB=3,则BD= ;AC= .
2.菱形面积: S菱形=底×高=两条对角线乘积的 2.一个对角线长分别为6 cm和8 cm的菱形,这个菱形的面积为 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 菱形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P28习题6.3T6·2023·嘉兴中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
举一反三
(2024·菏泽质检)如图,在菱形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,DF=BE,连接AE,AF,CE.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)若BD=6,∠BAD=120°,且△AEF是等边三角形,求CE的长.
技法点拨
菱形的边和对角线的应用
1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等.
2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题.
重点2菱形性质的实际应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P28习题6.3T10拓展)蜜蜂采蜜时,如果蜜源很远它就会跳起“8字舞”,告诉同伴蜜源的方向.如图所示,两个全等菱形的边长为1 cm,一只蜜蜂由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,飞行2 020 cm后停下,则这只蜜蜂停在 点.
举一反三
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离.若A,E间的距离调节到90 cm,菱形的边长AB=30 cm,则∠DCB的度数是( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
技法点拨
利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)下列性质中菱形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.(4分·运算能力)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若菱形ABCD的面积是12,则△AOB的面积为 ( )
A.3 B.6 C.24 D.48
3.(4分·推理能力)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE=BA,那么∠AEB的度数是 .
4.(8分·推理能力)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF.
求证:∠BAE=∠DAF.第4课时 菱形的判定
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明菱形的判定定理,会用判定定理解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
菱形的判定方法: (1)定义:有一组 的平行四边形. (2)边: 都相等的四边形. (3)对角线互相 的平行四边形. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件: ,使四边形ABCD成为菱形.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1菱形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P28T9)(2023·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF ≌△DOE;
(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
【举一反三】
(2024·菏泽模拟)如图,在 ABCD中,点E是CD的中点,连接AE并延长交直线BC于点F.
(1)求证:△ADE≌△FCE;
(2)连接AC,DF,请添加一个条件,使得四边形ACFD是菱形.(不需要写理由)
【技法点拨】
菱形的常用判定方法的选择
已有条件 需要条件
平行四边形 邻边相等
对角线互相垂直
每条对角线平分一组对角
一般四边形 四条边都相等
对角线互相垂直平分
对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角
重点2菱形性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P28T7·2023随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为AD的中点.过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:四边形ADBF为菱形;
(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40,求AC的长.
【技法点拨】
计算菱形面积的两种方法
(1)如果已知菱形两条对角线长分别为a,b,选择S=ab.
(2)已知菱形一边长(或周长)和一内角度数(30°,45°,60°)时,选择S=底边×高.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)
如图,要使 ABCD成为菱形,需要添加的条件可以是( )
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.∠BAC=90° D.AC=BD
2.(4分·推理能力)依据所标识的数据,下列平行四边形一定为菱形的是 ( )
3.(4分·推理能力)
如图,在等腰三角形ABC中,CB=CA,将其沿AB折叠使点C与点D重合,延长AB至点F,DB至点E,∠EBF=55°,则∠C的度数是 .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·湘西中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN.
(1)求证:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形.6.3 特殊的平行四边形
第1课时 矩形的性质
课时学习目标 素养目标达成
1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题 推理能力、几何直观、模型观念
2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论 推理能力、模型观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是 直角 的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是 直角 . ③对角线:对角线 相等 . 1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB= 140° . (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD= 6 .
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 . 2.(2023·郴州中考)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD= 5 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1矩形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P20T1改编·2024陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
【自主解答】∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°,
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF.
即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,,
∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.
举一反三
如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=BC.
求证:△ABE≌△DCF.
【证明】∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=∠DCF=90°,
∴∠ABE=∠DCF=90°,∵EF=BC,
∴BC-EC=EF-EC,∴BE=CF,
在△ABE和△DCF中,,
∴△ABE≌△DCF(SAS).
技法点拨
矩形性质的三点应用
(1)证明线段平行、相等或倍分关系.
(2)证明角相等或求角的度数.
(3)解决与全等有关的问题.
重点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力)
【典例2】已知:如图,∠ABC=∠ADC=90°,点O是线段AC的中点.
(1)求证:OB=OD;
(2)若∠CAD=60°,OB=6,求△AOD的周长.
【自主解答】(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,点O是AC的中点,∴OB=AC,OD=AC,∴OB=OD;
(2)∵OB=6,OD=OB,
∴OD=6,
∵∠ADC=90°,点O为AC的中点,
∴OA=OD,
∵∠CAD=60°,
∴OA=AD=OD=6,
∴△AOD的周长是OA+AD+OD=6+6+6=18.
举一反三
1.如图,点C为线段AB的中点,∠AMB=∠ANB=90°,则△CMN是 等腰 三角形.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为 75° .
技法点拨
直角三角形斜边上中线的性质及其拓展
(1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC.
(2)拓展:①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力、运算能力)将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上,∠EGF=90°,∠FEG=30°,∠1=130°,则∠BFG的度数为 (C)
A.130° B.120° C.110° D.100°
2.(4分·推理能力、运算能力)如图,在四边形AECD中,∠EAD=90°,AD∥EC,F为DE的中点,∠DEC=25°,则∠FAD的大小是 25° .
3.(8分·几何直观、推理能力)(2024·无锡中考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,DE.求证:
(1)△ABE≌△DCE;
(2)∠EAD=∠EDA.
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°,
∵E是BC的中点,∴BE=CE,
在△ABE和△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE(SAS)
(2)∵△ABE≌△DCE,
∴AE=DE,
∴∠EAD=∠EDA.
