8.1 不等式的基本性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
能利用作差的方法比较两个实数的大小 抽象能力、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
比较两个数量的大小 1.用 作差 法比较两个数量的大小. 2.对于任意两个实数a,b, 如果a-b是正数,那么 a>b ; 如果a-b等于零,那么 a=b ; 如果a-b是负数,那么 a
x2-1.(填“>”“<”或“=”)
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1比较实数的大小(抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P84例1变式)比较下列两实数的大小.
(1)与;
(2)-2与1-.
【自主解答】(1)∵-==,
又∵-2<0.
∴<0,
∴<.
(2)∵-2-(1-)=-3+,
又∵4<5<9,
∴2<<3,
∴-3+<0,
∴-2-(1-)<0,
∴-2<1-.
【举一反三】
1.(2024·聊城模拟)下列各数中,比-3小的数是 (A)
A.-4 B.-1 C.- D.1
2.(2024·潍坊期末)比较大小: < 3, < 1.(填“>”或“<”)
重点2比较代数式的值的大小(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P85例2拓展)(1)①如果a-b<0,那么a b;②如果a-b=0,那么a b;③如果a-b>0,那么a b;(填“>”“<”或“=”)
(2)用(1)的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小 如果能,请写出比较过程.
【自主解答】(1)①如果a-b<0,那么a②如果a-b=0,那么a=b;
③如果a-b>0,那么a>b;
答案:①< ②= ③>
(2)∵(3x2-3x+7)-(4x2-3x+7)
=-x2≤0,
∴3x2-3x+7≤4x2-3x+7.
【举一反三】
对于任意两个数a,b的大小比较,有下面的方法:当a-b>0时,一定有a>b;当a-b=0时,一定有a=b;当a-b<0时,一定有a请根据以上材料完成下面的题目:
(1)已知:A=2x2y+8y,B=8xy,且A>B,试判断y的符号;
(2)已知:a,b,c为三角形的三边,比较a2+c2-b2和2ac的大小.
【解析】(1)∵A=2x2y+8y,B=8xy,
∴A-B=2x2y+8y-8xy=2y(x2-4x+4)=2y(x-2)2,
∵A>B,∴A-B>0,
即2y(x-2)2>0,
∵(x-2)2≥0,∴y>0;
(2)∵a,b,c为三角形的三边,
∴ac,
∴a2+c2-b2-2ac=(a-c)2-b2=(a-c-b)(a-c+b)<0,∴a2+c2-b2<2ac.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、运算能力)在实数,π,0,-2中,最小的数是 (D)
A. B.π C.0 D.-2
2.(4分·推理能力)(2024·山西中考)比较大小: > 2(填“>”“<”或“=”).
3.(4分·推理能力)比较大小:- < -.
4.(8分·推理能力、运算能力)当a=-1,时,分别比较a2+4a-5与a2+a+7的值的大小.
【解析】(a2+4a-5)-(a2+a+7)
=3a-12.
当a=-1时,3a-12=-3-12=-15<0,
∴a2+4a-5当a=时,3a-12=3-12=3(-4),
∵-4<0,
∴3(-4)<0,
∴a2+4a-5第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解不等式的意义,发展学生的符号意识 抽象能力、模型观念
2.经历不等式基本性质的探索过程,能运用不等式的基本性质对不等式进行简单变形 应用意识、推理能力
3.能利用不等式的基本性质,用有理数估计一个无理数的大致范围 推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.不等式:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子. 1.(1)下列式子是不等式的为 ( ) A.4 B.x2+x C.4x>7 D.x=3 (2)x与5的和不大于-1,用不等式表示为( ) A.x+5≥-1 B.x+5<-1 C.x+5≠-1 D.x+5≤-1
2.不等式的基本性质 名称基本性质符号表示性质1不等式的两边都加(或减)同一个 ,不等号的方向 若a>b, 则a±c>b±c性质2不等式的两边都乘(或除以)同一个 ,不等号的方向 若a>b,c>0, 则ac>bc,>性质3不等式的两边都乘(或除以)同一个 ,不等号的方向 若a>b,c<0, 则ac2.(1)如果a>b,那么下列结论一定正确的是 ( ) A.a+cb C.ac>bc D.a2>b2 (2)已知4>3,则下列结论:①4a>3a;②4+a>3+a;③4-a>3-a,正确的是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ (3)已知不等式-3x≤-6,两边同时除以“-3”得 . (4)如果a”).
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1不等式的概念(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P86“交流与发现”拓展)
下列关系式:①-3<0,
②2x+3y≥0,③x=1,
④x2-2xy+y2,
⑤x+1>3,不等式有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三】
1.用不等号填空.
(1)-1 0;
(2)-(-2) -|-3|;
(3)|a| 0;
(4)-b2 0.
2.判断下列各式哪些是等式,哪些是不等式.
(1)4<5;(2)x2+1>0;(3)x<2x-5;
(4)x=2x+3;(5)3a2+a;(6)a2+2a≥4a-2.
【技法点拨】
判断一个式子是否为不等式
关键看是否含不等号.含不等号的式子一定是不等式;不含不等号的式子一定不是不等式.
重点2不等式的基本性质(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P89练习T1·2023德阳中考)如果a>b,那么下列运算正确的是 ( )
A.a-3C.3a<3b D.<
【举一反三】
1.(2024·广州中考)若aA.a+3>b+3 B.a-2>b-2
C.-a<-b D.2a<2b
2.若xA.a>3 B.a<3
C.a≥3 D.a≤3
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、模型观念)下列是不等式的是 ( )
A.-x>1 B.x=3 C.x-1 D.2x
2.(3分·运算能力、模型观念)已知a-1>0,则下列结论正确的是( )
A.-1<-aC.-a<-13.(3分·应用意识、模型观念)如图所示的交通标志为一条公路某路段上汽车的最高时速不得超过100 km,若某汽车的时速为a km,且该汽车没有超速,则下列不等式正确的是 ( )
A.a>100 B.a≥100
C.a<100 D.a≤100
4.(3分·运算能力、模型观念)由3a<4b,两边同时 ,可变形为a5.(8分·推理能力、运算能力)阅读下面的解题过程,再解题.
已知a>b,试比较-2 024a+1与-2 024b+1的大小.
解:因为a>b①,
所以-2 024a>-2 024b②,
所以-2 024a+1>-2 024b+1③.
问:(1)上述解题过程中,从第 步开始出现错误;
(2)错误的原因是 .
(3)请写出正确的解题过程.8.1 不等式的基本性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解不等式的意义,发展学生的符号意识 抽象能力、模型观念
2.经历不等式基本性质的探索过程,能运用不等式的基本性质对不等式进行简单变形 应用意识、推理能力
3.能利用不等式的基本性质,用有理数估计一个无理数的大致范围 推理能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.不等式:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子. 1.(1)下列式子是不等式的为 (C) A.4 B.x2+x C.4x>7 D.x=3 (2)x与5的和不大于-1,用不等式表示为(D) A.x+5≥-1 B.x+5<-1 C.x+5≠-1 D.x+5≤-1
2.不等式的基本性质 名称基本性质符号表示性质1不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变若a>b, 则a±c>b±c性质2不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变若a>b,c>0, 则ac>bc,>性质3不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变若a>b,c<0, 则ac2.(1)如果a>b,那么下列结论一定正确的是 (B) A.a+cb C.ac>bc D.a2>b2 (2)已知4>3,则下列结论:①4a>3a;②4+a>3+a;③4-a>3-a,正确的是 (C) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ (3)已知不等式-3x≤-6,两边同时除以“-3”得 x≥2 . (4)如果a”).
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1不等式的概念(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P86“交流与发现”拓展)
下列关系式:①-3<0,
②2x+3y≥0,③x=1,
④x2-2xy+y2,
⑤x+1>3,不等式有 (B)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三】
1.用不等号填空.
(1)-1 < 0;
(2)-(-2) > -|-3|;
(3)|a| ≥ 0;
(4)-b2 ≤ 0.
2.判断下列各式哪些是等式,哪些是不等式.
(1)4<5;(2)x2+1>0;(3)x<2x-5;
(4)x=2x+3;(5)3a2+a;(6)a2+2a≥4a-2.
【解析】(1)4<5是不等式.
(2)x2+1>0是不等式.
(3)x<2x-5是不等式.
(4)x=2x+3是方程,是等式.
(5)3a2+a是代数式,既不是不等式,也不是等式.
(6)a2+2a≥4a-2是不等式.
故(1)(2)(3)(6)是不等式,(4)是等式.
【技法点拨】
判断一个式子是否为不等式
关键看是否含不等号.含不等号的式子一定是不等式;不含不等号的式子一定不是不等式.
重点2不等式的基本性质(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P89练习T1·2023德阳中考)如果a>b,那么下列运算正确的是 (D)
A.a-3C.3a<3b D.<
【举一反三】
1.(2024·广州中考)若aA.a+3>b+3 B.a-2>b-2
C.-a<-b D.2a<2b
2.若xA.a>3 B.a<3
C.a≥3 D.a≤3
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、模型观念)下列是不等式的是 (A)
A.-x>1 B.x=3 C.x-1 D.2x
2.(3分·运算能力、模型观念)已知a-1>0,则下列结论正确的是(B)
A.-1<-aC.-a<-13.(3分·应用意识、模型观念)如图所示的交通标志为一条公路某路段上汽车的最高时速不得超过100 km,若某汽车的时速为a km,且该汽车没有超速,则下列不等式正确的是 (D)
A.a>100 B.a≥100
C.a<100 D.a≤100
4.(3分·运算能力、模型观念)由3a<4b,两边同时 除以12 ,可变形为a5.(8分·推理能力、运算能力)阅读下面的解题过程,再解题.
已知a>b,试比较-2 024a+1与-2 024b+1的大小.
解:因为a>b①,
所以-2 024a>-2 024b②,
所以-2 024a+1>-2 024b+1③.
问:(1)上述解题过程中,从第 步开始出现错误;
(2)错误的原因是 .
(3)请写出正确的解题过程.
【解析】(1)上述解题过程中,从第②步开始出现错误;
答案:②
(2)错误地运用了不等式的基本性质3,即不等式两边都乘同一个负数,不等号的方向没有改变;
答案:不等式两边都乘同一个负数,不等号的方向没有改变
(3)∵a>b,
∴-2 024a<-2 024b,
∴-2 024a+1<-2 024b+1.8.1 不等式的基本性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
能利用作差的方法比较两个实数的大小 抽象能力、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
比较两个数量的大小 1.用 法比较两个数量的大小. 2.对于任意两个实数a,b, 如果a-b是正数,那么 ; 如果a-b等于零,那么 ; 如果a-b是负数,那么 . 反之也成立. 1.下列各数中,大于3的数是 ( ) A.2 B. C. D. 2.下列各数中,最大的是 ( ) A.-2 B.- C.-3 D.-1 3.x为实数,则x2+5 x2-1.(填“>”“<”或“=”)
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1比较实数的大小(抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P84例1变式)比较下列两实数的大小.
(1)与;
(2)-2与1-.
【举一反三】
1.(2024·聊城模拟)下列各数中,比-3小的数是 ( )
A.-4 B.-1 C.- D.1
2.(2024·潍坊期末)比较大小: 3, 1.(填“>”或“<”)
重点2比较代数式的值的大小(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P85例2拓展)(1)①如果a-b<0,那么a b;②如果a-b=0,那么a b;③如果a-b>0,那么a b;(填“>”“<”或“=”)
(2)用(1)的方法你能否比较3x2-3x+7与4x2-3x+7的大小 如果能,请写出比较过程.
【举一反三】
对于任意两个数a,b的大小比较,有下面的方法:当a-b>0时,一定有a>b;当a-b=0时,一定有a=b;当a-b<0时,一定有a请根据以上材料完成下面的题目:
(1)已知:A=2x2y+8y,B=8xy,且A>B,试判断y的符号;
(2)已知:a,b,c为三角形的三边,比较a2+c2-b2和2ac的大小.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·推理能力、运算能力)在实数,π,0,-2中,最小的数是 ( )
A. B.π C.0 D.-2
2.(4分·推理能力)(2024·山西中考)比较大小: 2(填“>”“<”或“=”).
3.(4分·推理能力)比较大小:- -.
4.(8分·推理能力、运算能力)当a=-1,时,分别比较a2+4a-5与a2+a+7的值的大小.