7.2 勾股定理
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索勾股定理的过程,发展学生的推理能力 几何直观、推理能力
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题 运算能力、模型观念、应用意识
3.尝试用多种方法验证勾股定理,体验解决问题策略的多样性、发展推理能力 几何直观、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
勾股定理 文字语言直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 图示符号语言因为△ABC是直角三角形且∠C=90°,所以AC2+BC2= AB2 或 a2+b2 =c2 前提条件勾股定理只适用于直角三角形
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”): (1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5. (√) (2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10. (×) (3)若a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2. (×) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为 (B) A.15 B.13 C.12 D.10
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 勾股定理(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P47习题7.2T8变式)
如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是 (A)
A.144 B.194 C.12 D.13
举一反三
1.(2024·保定质检)如图,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为6,10,7,则正方形D的面积为 (D)
A.11 B.16 C.17 D.23
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2= (C)
A.4 B.9 C.18 D.36
重点2 勾股定理的拼图验证(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P45挑战自我变式)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b,AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.
【自主解答】因为S梯形BCFG=S△AFG+S△AFC+S△ACB=ab+c2+ab=ab+c2,
S梯形BCFG=·(FG+BC)·BG
=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2,
所以ab+c2=a2+ab+b2,
整理得a2+b2=c2.
举一反三
1.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为 (D)
A.24 B.36 C.40 D.44
2.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明.
【解析】S△ABC=BC·AC=ab,S△ACD=AC·DE=b2,S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=ab+b2,
因为∠ACB=90°,所以∠BAC+∠ABC=90°,
在△ABC和△DAE中,
所以△ABC≌△DAE,所以∠ABC=∠DAE,
所以∠BAC+∠DAE=90°,即∠BAD=90°,
因为∠ACB=∠DEA=90°,
所以DE⊥AC,AC⊥BC,
因为DF⊥BF,所以四边形CEDF是矩形,
所以DF=CE=AC-AE=b-a,
所以S△ABD=AB·AD=c2,
S△BCD=BC·DF=×a×(b-a)=ab-a2,
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=c2+ab-a2,
所以ab+b2=c2+ab-a2,所以a2+b2=c2.
技法点拨
“双求法”证明勾股定理
双求法:用两种不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一个图形的面积,通过化简即可完成勾股定理的证明.
名称 图例 双求法
赵爽 弦图 c2=4×ab +(b-a)2
毕达哥 拉斯拼 图 (a+b)2 =4×ab +c2
重点3 勾股定理的简单应用(运算能力、模型观念、应用意识)
【典例3】(教材溯源·P47习题7.2T5强化·2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 50 km.
举一反三
1.(2024·宿州质检)如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上,固定两端A和B,然后把中点P垂直向上拉升3 cm至点C,则橡皮筋被拉长了 (C)
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
2.(2024·沈阳质检)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东60°方向航行,“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西30°方向航行,2小时后,“远航”号、“海天”号分别位于M,N处,则此时“远航”号与“海天”号的距离为 40 n mile.
技法点拨
利用勾股定理解决实际问题的“四步法”
1.分析题意,从实际问题中抽象出几何图形.
2.找到要求的线段所在的直角三角形(或作辅助线构造).
3.利用勾股定理计算相关线段的长.
4.解决实际问题.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形,则第三边的长的平方为 (D)
A.9 B.41
C.9或31 D.9或41
2.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)如图,分别以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有 4 个.
3.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米.
(1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂;
(2)求点B到AC的距离.
【解析】(1)设AB=x米,
因为AB+AC=16米,
所以AC=(16-x)米,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=8米,
由勾股定理得:AC2=AB2+BC2,
即(16-x)2=x2+82,解得x=6.
答:旗杆在离底部6米的位置断裂.
(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D,
则=AC·BD=AB·BC,
所以AC·BD=AB·BC,
由(1)可知,AC=16-6=10(米),
所以BD===4.8(米).
答:点B到AC的距离为4.8米.7.2 勾股定理
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索勾股定理的过程,发展学生的推理能力 几何直观、推理能力
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题 运算能力、模型观念、应用意识
3.尝试用多种方法验证勾股定理,体验解决问题策略的多样性、发展推理能力 几何直观、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
勾股定理 文字语言直角三角形两直角边的 等于斜边的 图示符号语言因为△ABC是直角三角形且∠C=90°,所以AC2+BC2= 或 =c2 前提条件勾股定理只适用于直角三角形
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”): (1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5. ( ) (2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10. ( ) (3)若a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2. ( ) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为 ( ) A.15 B.13 C.12 D.10
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 勾股定理(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P47习题7.2T8变式)
如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是 ( )
A.144 B.194 C.12 D.13
举一反三
1.(2024·保定质检)如图,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C的面积依次为6,10,7,则正方形D的面积为 ( )
A.11 B.16 C.17 D.23
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的面积为S2,则S1+S2= ( )
A.4 B.9 C.18 D.36
重点2 勾股定理的拼图验证(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P45挑战自我变式)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b,AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.
举一反三
1.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.44
2.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明.
技法点拨
“双求法”证明勾股定理
双求法:用两种不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一个图形的面积,通过化简即可完成勾股定理的证明.
名称 图例 双求法
赵爽 弦图 c2=4×ab +(b-a)2
毕达哥 拉斯拼 图 (a+b)2 =4×ab +c2
重点3 勾股定理的简单应用(运算能力、模型观念、应用意识)
【典例3】(教材溯源·P47习题7.2T5强化·2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.
举一反三
1.(2024·宿州质检)如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上,固定两端A和B,然后把中点P垂直向上拉升3 cm至点C,则橡皮筋被拉长了 ( )
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
2.(2024·沈阳质检)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东60°方向航行,“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西30°方向航行,2小时后,“远航”号、“海天”号分别位于M,N处,则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile.
技法点拨
利用勾股定理解决实际问题的“四步法”
1.分析题意,从实际问题中抽象出几何图形.
2.找到要求的线段所在的直角三角形(或作辅助线构造).
3.利用勾股定理计算相关线段的长.
4.解决实际问题.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形,则第三边的长的平方为 ( )
A.9 B.41
C.9或31 D.9或41
2.(4分·运算能力、几何直观、推理能力)如图,分别以直角三角形的三边a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形有 个.
3.(8分·模型观念、运算能力、应用意识)如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米.
(1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂;
(2)求点B到AC的距离.
