7.4 勾股定理的逆定理
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明勾股定理的逆定理;边长满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形,进一步发展学生的推理能力 几何直观、运算能力、推理能力
2.能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形 模型观念、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.直角三角形的判定(勾股定理的逆定理) 文字 描述如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形图示几何 语言因为AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形且∠C=90°
1.下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是 (D) A.AB2+BC2=AC2 B.AB2-BC2=AC2 C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
2.勾股数 定义满足a2+b2=c2的三个正整数注意 条件①勾股数的三个数均是正整数; ②两个较小数的平方和等于最大数的平方
2.下列给出的四组数中,是勾股数的一组是 (D) A.1,2,3 B.1,2,2 C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 直角三角形的判定
【典例1】在△ABC中,已知AB=12 cm,AC=9 cm,BC=15 cm,则△ABC的面积等于 54 cm2 .
举一反三
1.如图,在长度为1的正方形组成3×4的网格图中有a,b,c,d四条线段,下列能构成一个直角三角形三边的线段是 (A)
A.a,b,c B.b,c,d
C.a,b,d D.a,c,d
2.一个三角形三边分别满足下列条件,判断这个三角形是否是直角三角形.
(1)(a+b)2-c2=2ab;
(2)n2+1,n2-1,2n(n>1).
【解析】(1)∵(a+b)2-c2=2ab,即a2+b2+2ab-c2=2ab,
∴a2+b2=c2,
∴这个三角形是直角三角形;
(2)∵(n2+1)2=n4+1+2n2,
(n2-1)2+(2n)2=n4+1+2n2,
∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,∴三边长分别为n2+1,n2-1,2n(n>1)构成直角三角形.
重点2 勾股定理的逆定理的应用(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P58例2拓展)
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,点D是线段AB上一点,BD=6,连接CD,CD=8.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)求△ABC的周长.
【自主解答】(1)在△BDC中,BC=10,BD=6,CD=8,因为BD2+CD2=62+82=102=BC2,所以△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,所以CD⊥AB;
(2)因为CD⊥AB,所以△ADC是直角三角形,所以AD2+CD2=AC2,即AD2+82=(AD+6)2,解得AD=,所以AC=6+=,
所以△ABC的周长是++10=.
举一反三
“三农”问题是关系国计民生的根本性问题,实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图,某村有一块三角形空地ABC,现计划将这块三角形空地进行新的规划,点D是BC边上的一点,过点D作垂直于AC的小路DE.经测量,AB=13米,AD=12米,AC=15米,BD=5米.
(1)求DC的长;
(2)求小路DE的长.
【解析】(1)因为AB=13米,AD=12米,BD=5米,所以AB2=BD2+AD2,
所以∠ADB=90°,
所以∠ADB=∠ADC=90°,
因为AC=15米,所以CD=9米;
(2)因为DE⊥AC,所以=AD·CD=AC·DE,
所以DE===(米),
故小路DE的长为米.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列各数是勾股数的是 (C)
A.1,2,3 B.2,3,4
C.3,4,5 D.4,5,6
2.(3分·推理能力、运算能力)在△ABC中,若BC=3,AC=4,AB=5,则 (C)
A.∠A=90° B.∠B=90°
C.∠C=90° D.△ABC是锐角三角形
3.(3分·几何直观、运算能力)如图所示的网格是正方形网格,则∠ABC= 45 °(点A,B,C是网格线交点).
4.(3分·推理能力、模型观念)如图,△ABC中,AC=9,BC=12,AB=15,AD为△ABC的角平分线,则CD= 4.5 .
5.(8分·推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,AD为BC边上的中线,且AD=12,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求DE的长.
【解析】(1)因为AD为BC边上的中线,
所以BD=CD=5,
因为AD2+BD2=144+25=169=132=AB2,
所以∠ADB=90°,即AD⊥BC;
(2)因为AD⊥BC,AD为BC边上的中线,
所以AC=AB=13,
所以S△ACD=AD·CD=AC·DE,
即12×5=13DE,解得DE=.7.4 勾股定理的逆定理
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明勾股定理的逆定理;边长满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形,进一步发展学生的推理能力 几何直观、运算能力、推理能力
2.能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形 模型观念、应用意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.直角三角形的判定(勾股定理的逆定理) 文字 描述如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形图示几何 语言因为AC2+BC2= , 所以△ABC是 三角形且∠ =90°
1.下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是 ( ) A.AB2+BC2=AC2 B.AB2-BC2=AC2 C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
2.勾股数 定义满足a2+b2=c2的三个 数注意 条件①勾股数的三个数均是 数; ②两个较小数的平方和等于 的平方
2.下列给出的四组数中,是勾股数的一组是 ( ) A.1,2,3 B.1,2,2 C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1 直角三角形的判定
【典例1】在△ABC中,已知AB=12 cm,AC=9 cm,BC=15 cm,则△ABC的面积等于 .
举一反三
1.如图,在长度为1的正方形组成3×4的网格图中有a,b,c,d四条线段,下列能构成一个直角三角形三边的线段是 ( )
A.a,b,c B.b,c,d
C.a,b,d D.a,c,d
2.一个三角形三边分别满足下列条件,判断这个三角形是否是直角三角形.
(1)(a+b)2-c2=2ab;
(2)n2+1,n2-1,2n(n>1).
重点2 勾股定理的逆定理的应用(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P58例2拓展)
如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,点D是线段AB上一点,BD=6,连接CD,CD=8.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)求△ABC的周长.
举一反三
“三农”问题是关系国计民生的根本性问题,实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图,某村有一块三角形空地ABC,现计划将这块三角形空地进行新的规划,点D是BC边上的一点,过点D作垂直于AC的小路DE.经测量,AB=13米,AD=12米,AC=15米,BD=5米.
(1)求DC的长;
(2)求小路DE的长.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列各数是勾股数的是 ( )
A.1,2,3 B.2,3,4
C.3,4,5 D.4,5,6
2.(3分·推理能力、运算能力)在△ABC中,若BC=3,AC=4,AB=5,则 ( )
A.∠A=90° B.∠B=90°
C.∠C=90° D.△ABC是锐角三角形
3.(3分·几何直观、运算能力)如图所示的网格是正方形网格,则∠ABC= °(点A,B,C是网格线交点).
4.(3分·推理能力、模型观念)如图,△ABC中,AC=9,BC=12,AB=15,AD为△ABC的角平分线,则CD= .
5.(8分·推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,AD为BC边上的中线,且AD=12,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求DE的长.
