7.8 实数 第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解实数的概念和意义,能按要求对实数进行分类 抽象能力、运算能力
2.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用,掌握实数和数轴上的点是一一对应的 推理能力、运算能力、几何直观
3.会求实数的相反数、绝对值和倒数 运算能力、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
实数的定义、分类及性质 定义 数和无理数统称实数 分类 按定义分 数 无理数按正负性分正实数 实数a的性质相反数 绝对值 倒数(a≠0) 与数轴上的点一一对应
(1)的相反数是 ( ) A. B.- C.± D.- (2)实数-6的倒数是 ( ) A.- B. C.-6 D.6 (3)-3的绝对值是 . (4)在实数:,0,,1.010 010 001,4.21,π,中,整数有 个.
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1实数的分类(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P71例1拓展)把下列各数填入相应的括号内:,,0.,-3.14,,1.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
(1)无理数:{ …};
(2)负实数:{ …};
(3)整数:{ …};
(4)分数:{ …}.
举一反三
1.下列实数中,是有理数的是 ( )
A. B. C. D.π
2.(2024·枣庄台儿庄质检)在,0,,3.141 59,(π-1)2,,0.202 202 220 222 20…(它的位数无限且相邻两个“0”之间“2”的个数依次加1个)这7个数中,无理数有
个.
重点2实数的比较及其相反数和绝对值(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P72例3拓展)已知实数a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为,求代数式(a+b+cd)x+-的值.
举一反三
1.(2024·清水县校级月考)-π的相反数是 ;-π的绝对值是 .
2.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的平方等于4,p是数轴上到原点的距离为1的数,求p-cd+的值.
技法点拨
实数的性质的应用
相反数 因为a,b互为相反数, 所以a+b=0或a=-b
绝对值 当a≥0时,=a; 当a<0时,=-a
倒数 a,b互为倒数 a·b=1
重点3 在数轴上确定表示无理数的点(几何直观、推理能力)
【典例3】在数轴上作出表示的点.
【自主解答】(1)设数轴上表示2的点为B,过B作数轴的垂线,截取BC=2.
(2)以O为圆心,OC长为半径画弧交数轴正半轴于点A,则点A就是求作的点.
举一反三
(2024·成都质检)如图,在数轴上点D表示的实数为 .
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(3分·运算能力)的相反数为 ( )
A.-3 B.3 C.- D.-9
2.(3分·几何直观、运算能力)如图所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为 ( )
A. B.- C.- D.
3.(5分·推理能力)把下列各数分别填入相应的集合里.
0,-(-11),,-4,15%,,0.,│-2│
非负整数集合:{ …};
正分数集合:{ │ │ …};
无理数集合:{ …}.
4.(5分·推理能力、运算能力)已知a是绝对值最小的整数,b是最大的负整数,c和d互为相反数,e表示的数是.求式子-|-b-e|+|c+d|×2 025的值.第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.知道有序数对与坐标平面上的点一一对应,进一步体会可以用坐标刻画一个简单的图形 几何直观、运算能力
2.了解在实数范围内,有理数的加法、乘、除、乘方的运算法则、运算律和运算性质仍能适用.能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值 运算能力、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.所有有序实数对与直角坐标系中所有点一一对应,即每一个有序实数对都可以用直角坐标系中唯一的 点来表示;反之,直角坐标系中的每一个点都表示一个唯一的 . 2.有理数的运算法则、运算律和运算性质在 范围内仍能适用.在进行实数运算时,如果参与运算的数中有无理数,并且需要对结果求近似值,可以只按问题所要求的精确度用 近似地代替无理数,然后再进行计算. 1.一个长方形在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别是(-1,-1),(-1,),(3,-1),则第四个顶点的坐标是( ) A.(,) B.(3,3) C.(3,) D.(,3) 2.计算-1的结果是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 有序实数对与直角坐标系
【典例1】如图,已知A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3),
(1)求点C到x轴的距离;
(2)求△ABC的面积;
(3)点P在y轴上,当△ABP的面积为6时,请直接写出点P的坐标.
举一反三
(2024·聊城期末)如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A坐标为(a,0),点C的坐标为(0,b),且a,b满足+|b-6|=0,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动.
(1)求点B的坐标.
(2)当点P移动4秒时,请求出点P的坐标.
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时,求点P移动的时间.
重点2 实数的运算
【典例2】(1)计算:-12 024+(-2)3×-×│-│.
(2)用计算器计算:3-4+3-.(结果精确到0.01)
举一反三
1.计算:(1)(-1)2 025+-+|-2|.
(2)-(-1)2 024-+|1-|.
2.用计算器计算(结果精确到百分位):
(1)+-π;
(2)4×-×5×.
技法点拨
实数的运算
运算 顺序 先乘方或开方,再乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力、运算能力)下列计算正确的是 ( )
A.=±4 B.(-2)3=-6
C.|2-|=-2 D.-+(-)2=0
2.(3分·运算能力)用计算器求得+的结果(保留4个有效数字)是 ( )
A.3.174 2 B.3.174
C.3.175 D.3.174 3
3.(3分·推理能力、运算能力)如图,平面直角坐标系中A(-4,0),C(1,0),若AB=AC,且点B在y轴正半轴上,则点B的坐标为 ( )
A.(0,3) B.(3,0) C.(2,0) D.(0,2)
4.(5分·推理能力、运算能力)计算:++-|-2|.
5.(6分·运算能力)计算.(结果保留小数点后两位)
(1)+2.33-π;
(2)++0.129.7.8 实数 第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解实数的概念和意义,能按要求对实数进行分类 抽象能力、运算能力
2.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用,掌握实数和数轴上的点是一一对应的 推理能力、运算能力、几何直观
3.会求实数的相反数、绝对值和倒数 运算能力、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
实数的定义、分类及性质 定义 有理数和无理数统称实数 分类 按定义分 有理 数 无理数按正负性分正实数 0 负实数 实数a的性质相反数 -a 绝对值 |a| 倒数(a≠0) 实数 与数轴上的点一一对应
(1)的相反数是 (B) A. B.- C.± D.- (2)实数-6的倒数是 (A) A.- B. C.-6 D.6 (3)-3的绝对值是 3- . (4)在实数:,0,,1.010 010 001,4.21,π,中,整数有 2 个.
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1实数的分类(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P71例1拓展)把下列各数填入相应的括号内:,,0.,-3.14,,1.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
(1)无理数:{ 1.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1), …};
(2)负实数:{ ,-3.14 …};
(3)整数:{ …};
(4)分数:{ ,0.,-3.14 …}.
举一反三
1.下列实数中,是有理数的是 (B)
A. B. C. D.π
2.(2024·枣庄台儿庄质检)在,0,,3.141 59,(π-1)2,,0.202 202 220 222 20…(它的位数无限且相邻两个“0”之间“2”的个数依次加1个)这7个数中,无理数有
3 个.
重点2实数的比较及其相反数和绝对值(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P72例3拓展)已知实数a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为,求代数式(a+b+cd)x+-的值.
【自主解答】因为a,b互为相反数,所以a+b=0,因为c,d互为倒数,所以cd=1,
因为=7,x的绝对值为.所以x=±7,当x=7时,原式=(0+1)×7+-=7-1=6;当x=-7时,原式=(0+1)×(-7)+-=-7-1=-8,所以所求代数式的值为6或-8.
举一反三
1.(2024·清水县校级月考)-π的相反数是 π- ;-π的绝对值是 π- .
2.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的平方等于4,p是数轴上到原点的距离为1的数,求p-cd+的值.
【解析】由题意得a+b=0,cd=1,m2=4,p=±1,
所以原式=p-cd+=p-1,
当p=1时,原式=1-1=0,
当p=-1时,原式=-1-1=-2.
技法点拨
实数的性质的应用
相反数 因为a,b互为相反数, 所以a+b=0或a=-b
绝对值 当a≥0时,=a; 当a<0时,=-a
倒数 a,b互为倒数 a·b=1
重点3 在数轴上确定表示无理数的点(几何直观、推理能力)
【典例3】在数轴上作出表示的点.
【自主解答】(1)设数轴上表示2的点为B,过B作数轴的垂线,截取BC=2.
(2)以O为圆心,OC长为半径画弧交数轴正半轴于点A,则点A就是求作的点.
举一反三
(2024·成都质检)如图,在数轴上点D表示的实数为 1- .
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(3分·运算能力)的相反数为 (A)
A.-3 B.3 C.- D.-9
2.(3分·几何直观、运算能力)如图所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为 (B)
A. B.- C.- D.
3.(5分·推理能力)把下列各数分别填入相应的集合里.
0,-(-11),,-4,15%,,0.,│-2│
非负整数集合:{ 0,-(-11) …};
正分数集合:{ ,15%,0., │-2│ …};
无理数集合:{ …}.
4.(5分·推理能力、运算能力)已知a是绝对值最小的整数,b是最大的负整数,c和d互为相反数,e表示的数是.求式子-|-b-e|+|c+d|×2 025的值.
【解析】因为a是绝对值最小的整数,b是最大的负整数,c和d互为相反数,所以a=0,b=-1,c+d=0,
原式=0-|1-|+0×2 025=1-.第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.知道有序数对与坐标平面上的点一一对应,进一步体会可以用坐标刻画一个简单的图形 几何直观、运算能力
2.了解在实数范围内,有理数的加法、乘、除、乘方的运算法则、运算律和运算性质仍能适用.能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值 运算能力、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.所有有序实数对与直角坐标系中所有点一一对应,即每一个有序实数对都可以用直角坐标系中唯一的 一个 点来表示;反之,直角坐标系中的每一个点都表示一个唯一的 有序实数对 . 2.有理数的运算法则、运算律和运算性质在 实数 范围内仍能适用.在进行实数运算时,如果参与运算的数中有无理数,并且需要对结果求近似值,可以只按问题所要求的精确度用 有限小数 近似地代替无理数,然后再进行计算. 1.一个长方形在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别是(-1,-1),(-1,),(3,-1),则第四个顶点的坐标是(C) A.(,) B.(3,3) C.(3,) D.(,3) 2.计算-1的结果是 (A) A.2 B.3 C.4 D.5
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 有序实数对与直角坐标系
【典例1】如图,已知A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3),
(1)求点C到x轴的距离;
(2)求△ABC的面积;
(3)点P在y轴上,当△ABP的面积为6时,请直接写出点P的坐标.
【自主解答】(1)∵C(-1,-3),
∴|-3|=3,
∴点C到x轴的距离为3;
(2)∵A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3)
∴AB=4-(-2)=6,点C到边AB的距离为:3-(-3)=6,
∴△ABC的面积为:6×6÷2=18.
(3)设点P的坐标为(0,y),
∵△ABP的面积为6,A(-2,3),B(4,3),
∴×6×|y-3|=6,
∴|y-3|=2,
∴y=1或y=5,
∴P点的坐标为(0,1)或(0,5).
举一反三
(2024·聊城期末)如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A坐标为(a,0),点C的坐标为(0,b),且a,b满足+|b-6|=0,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动.
(1)求点B的坐标.
(2)当点P移动4秒时,请求出点P的坐标.
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时,求点P移动的时间.
【解析】(1)∵a,b满足+|b-6|=0,
∴a-4=0,b-6=0,
解得a=4,b=6,
∴点B的坐标是(4,6);
(2)∵点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动,
∴点P的路程:2×4=8,
∵OA=4,OC=6,
∴当点P移动4秒时,在线段AB上,AP=8-4=4,
即当点P移动4秒时,点P的坐标是(4,4);
(3)由题意可得,在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,存在两种情况,
第一种情况,当点P在OC上时,
点P移动的时间是:[2×(4+6)-5]÷2=7.5(秒),
第二种情况,当点P在BA上时.
点P移动的时间是:(5+4)÷2=4.5(秒),
故在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,点P移动的时间是4.5秒或7.5秒.
重点2 实数的运算
【典例2】(1)计算:-12 024+(-2)3×-×│-│.
(2)用计算器计算:3-4+3-.(结果精确到0.01)
【自主解答】(1)-12 024+(-2)3×-×│-│
=-1+(-8)×-(-3)×│-│
=-1+(-1)-(-3)×
=-1.
(2)原式≈3×1.414-4×1.732+3×2.236-3.142÷2
≈2.45.
举一反三
1.计算:(1)(-1)2 025+-+|-2|.
(2)-(-1)2 024-+|1-|.
【解析】(1)(-1)2 025+-+|-2|
=-1+6-2+-2
=+1.
(2)-(-1)2 024-+|1-|
=3-1-3+-1
=-2.
2.用计算器计算(结果精确到百分位):
(1)+-π;
(2)4×-×5×.
【解析】(1)+-π
≈1.732+0.429-3.142
=-0.981
≈-0.98;
(2)4×-×5×
≈4×1.732-0.333×5×1.260
=6.928-2.097 9
=4.830 1
≈4.83.
技法点拨
实数的运算
运算 顺序 先乘方或开方,再乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力、运算能力)下列计算正确的是 (D)
A.=±4 B.(-2)3=-6
C.|2-|=-2 D.-+(-)2=0
2.(3分·运算能力)用计算器求得+的结果(保留4个有效数字)是 (B)
A.3.174 2 B.3.174
C.3.175 D.3.174 3
3.(3分·推理能力、运算能力)如图,平面直角坐标系中A(-4,0),C(1,0),若AB=AC,且点B在y轴正半轴上,则点B的坐标为 (A)
A.(0,3) B.(3,0) C.(2,0) D.(0,2)
4.(5分·推理能力、运算能力)计算:++-|-2|.
【解析】原式=5+(-4)+2-(2-)
=1+.
5.(6分·运算能力)计算.(结果保留小数点后两位)
(1)+2.33-π;
(2)++0.129.
【解析】(1)原式≈3.317+2.33-3.142=2.505≈2.51;
(2)原式≈7.071-7.101+0.129=0.099≈0.10.
