第7章 实数 单元复习课
体系自我构建 串线连珠 心绘蓝图
目标维度评价 锲而不舍 行而不辍
维度1基础知识的应用
1.(2024·自贡中考)在0,-2,-,π四个数中,最大的数是 (C)
A.-2 B.0 C.π D.-
2.(2024·临夏州中考)下列各数中,是无理数的是 (A)
A. B.
C. D.0.131 33
3.(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是 (C)
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
4.(2024·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是 (B)
A.- B.-
C.2-2 D.2-
5.(2024·广安中考)3-= 0 .
维度2 基础技能(方法)、基本思想的应用
6.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是 (D)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
7.(2023·济宁中考)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 (C)
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
8.(2024·连云港中考)计算:|-2|+(π-1)0-.
【解析】原式=2+1-4=3-4=-1.
9.(2024·湖北中考)计算:(-1)×3++22-2 0240.
【解析】原式=-3+3+4-1=3.
10.(2024·临夏州中考)计算:|-|-()-1+2 0250.
【解析】原式=|-2|-3+1
=2-3+1
=2+1-3
=0.
11.(2024·滨州中考)计算:2-1+(-2)×(-)-.
【解析】2-1+(-2)×(-)-
=+1-
=0.
12.问题背景:在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形BC边上的高.
杰杰同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处).借用网格等知识就能计算出这个三角形BC边上的高.
(1)请在正方形网格中画出格点△ABC;
(2)求出这个三角形BC边上的高.
【解析】(1)如图所示:
(2)四边形DECF的面积是:3×3=9,
△ABD的面积是:×1×2=1,
△AFC的面积是:×2×3=3,
△BEC的面积是:×1×3=,
则△ABC的面积是:9-1-3-=.
设BC边上的高是h,则·h=,
解得:h=.
13.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度向左运动.设点P的运动时间为t.连接AP.
(1)当t=4.5秒时,求AP的长度;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
【解析】(1)由题意得:BP=2t,
∴当t=4.5秒时,BP=2×4.5=9,
∵BC=12,
∴PC=BC-BP=12-9=3,
由勾股定理得:AP===,则AP的长度为;
(2)在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,
∴AB===13,
当BP=AB=13时,t=13÷2=6.5;
当AP=AB时,BP=2BC=24,则t=24÷2=12;
当PA=PB=2t时,
在Rt△APC中,AP2=PC2+AC2,即(2t)2=(12-2t)2+52
解得:t=,
综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t=6.5或12或.
14.已知△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,在△ADE中,若AD=AE,且∠DAE=∠BAC,求证:CD=BE;
(2)如图2,在△ADE中,若∠DAE=∠BAC=60°,且CD垂直平分AE,AD=3,CD=4,求BD的长;
(3)如图3,在△ADE中,当BD垂直平分AE于H,且∠BAC=2∠ADB时,试探究CD2,BD2,AH2之间的数量关系,并证明.
【解析】(1)如图1,∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE,
即∠DAC=∠BAE.
在△ACD与△ABE中,
,
∴△ACD≌△ABE(SAS),
∴CD=BE;
(2)连接BE,∵CD垂直平分AE
∴AD=DE,∵∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,
∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°,AD=AE,
由(1)可知△ABE≌△ACD,∴BE=CD=4,∠BEA=∠CDA=30°,
∴BE⊥DE,DE=AD=3,∴BD=5;
(3)如图3,过B作BF⊥BD,且BF=AE,连接DF,
则四边形ABFE是平行四边形,
∴AB=EF,
设∠AEF=x,∠AED=y,
则∠FED=x+y,∠BAE=180°-x,∠EAD=∠AED=y,∠BAC=2∠ADB=180°-2y,
∠CAD=360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-(180°-2y)-(180°-x)-y=x+y,
∴∠FED=∠CAD,
在△ACD和△EFD中,
,∴△ACD≌△EFD(SAS),
∴CD=DF,
而BD2+BF2=DF2,
∴CD2=BD2+4AH2.
维度3实际生活生产中的运用
15.将一支铅笔放在圆柱形的笔筒中,笔筒的内部底面直径是9 cm,内壁高为12 cm.若铅笔的长为20 cm,则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 5 cm.
16.(2024·聊城质检)如图,某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离长为125 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为60 m,BM的长为75 m.
(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.
【解析】(1)在Rt△MNB中,
BN===45(m),
∴AN=AB-BN=125-45=80(m),
在Rt△AMN中,
AM===100(m),
∴供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长=100+75=175(m);
(2)∵AB=125 m,AM=100 m,BM=75 m,
∴AB2=BM2+AM2,
∴△ABM是直角三角形,
∴BM⊥AC,
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM=75 m.
感悟思想体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 利用勾股定理列方程求线段长.
分类思想 根据点的位置分类讨论,利用勾股定理解决线段长度问题;正数的平方根有两个,它们互为相反数.
转化思想 将最短路径问题转化为两点之间线段最短的问题来解决.
数形结合 思想 结合图形的面积利用勾股定理求出线段的长度;利用数轴表示无理数,体会实数和数轴上的点是一一对应的.
概述知识脉络 为教师备课、授课提供丰富教学资源
本章在学习了一元一次方程、二元一次方程组的基础上,学生已初步经历了建立方程模型,解决一些简单的实际问题的“数学化”过程,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,开始研究简单的不等关系.本章首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念.然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用;最后研究一元一次不等式组的解、解集和一元一次不等式组的解法.
课标内容要求 为教师备课、授课提供丰富教学资源
认知水平 课标内容 素养目标
理解 结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质 推理能力
掌握 能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集 模型观念 几何直观 运算能力
运用 能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题 抽象能力 模型观念 应用意识
素养能力培养 为教师备课、授课提供丰富教学资源
本章的学习内容进一步发展推理能力、几何直观、运算能力、模型观念、应用意识等数学核心素养;在学习过程中,要关注与已知知识的联系,提高学生的思维能力,以基础知识为载体发展运算能力,并且注重归纳、类比、转化、数形结合等数学思想在学习中的渗透.第7章 实数 单元复习课
体系自我构建 串线连珠 心绘蓝图
目标维度评价 锲而不舍 行而不辍
维度1基础知识的应用
1.(2024·自贡中考)在0,-2,-,π四个数中,最大的数是 ( )
A.-2 B.0 C.π D.-
2.(2024·临夏州中考)下列各数中,是无理数的是 ( )
A. B.
C. D.0.131 33
3.(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是 ( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
4.(2024·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是 ( )
A.- B.-
C.2-2 D.2-
5.(2024·广安中考)3-= .
维度2 基础技能(方法)、基本思想的应用
6.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
7.(2023·济宁中考)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 ( )
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
8.(2024·连云港中考)计算:|-2|+(π-1)0-.
9.(2024·湖北中考)计算:(-1)×3++22-2 0240.
10.(2024·临夏州中考)计算:|-|-()-1+2 0250.
11.(2024·滨州中考)计算:2-1+(-2)×(-)-.
12.问题背景:在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形BC边上的高.
杰杰同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处).借用网格等知识就能计算出这个三角形BC边上的高.
(1)请在正方形网格中画出格点△ABC;
(2)求出这个三角形BC边上的高.
13.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度向左运动.设点P的运动时间为t.连接AP.
(1)当t=4.5秒时,求AP的长度;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
14.已知△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,在△ADE中,若AD=AE,且∠DAE=∠BAC,求证:CD=BE;
(2)如图2,在△ADE中,若∠DAE=∠BAC=60°,且CD垂直平分AE,AD=3,CD=4,求BD的长;
(3)如图3,在△ADE中,当BD垂直平分AE于H,且∠BAC=2∠ADB时,试探究CD2,BD2,AH2之间的数量关系,并证明.
维度3实际生活生产中的运用
15.将一支铅笔放在圆柱形的笔筒中,笔筒的内部底面直径是9 cm,内壁高为12 cm.若铅笔的长为20 cm,则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm.
16.(2024·聊城质检)如图,某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离长为125 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为60 m,BM的长为75 m.
(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.
感悟思想体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 利用勾股定理列方程求线段长.
分类思想 根据点的位置分类讨论,利用勾股定理解决线段长度问题;正数的平方根有两个,它们互为相反数.
转化思想 将最短路径问题转化为两点之间线段最短的问题来解决.
数形结合 思想 结合图形的面积利用勾股定理求出线段的长度;利用数轴表示无理数,体会实数和数轴上的点是一一对应的.
概述知识脉络 为教师备课、授课提供丰富教学资源
本章在学习了一元一次方程、二元一次方程组的基础上,学生已初步经历了建立方程模型,解决一些简单的实际问题的“数学化”过程,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,开始研究简单的不等关系.本章首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念.然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用;最后研究一元一次不等式组的解、解集和一元一次不等式组的解法.
课标内容要求 为教师备课、授课提供丰富教学资源
认知水平 课标内容 素养目标
理解 结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质 推理能力
掌握 能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集 模型观念 几何直观 运算能力
运用 能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题 抽象能力 模型观念 应用意识
素养能力培养 为教师备课、授课提供丰富教学资源
本章的学习内容进一步发展推理能力、几何直观、运算能力、模型观念、应用意识等数学核心素养;在学习过程中,要关注与已知知识的联系,提高学生的思维能力,以基础知识为载体发展运算能力,并且注重归纳、类比、转化、数形结合等数学思想在学习中的渗透.
