9.1 二次根式和它的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解二次根式的概念,会确定二次根式有意义的条件 模型观念、推理能力
2.理解公式()2=a(a≥0),并能计算二次根式的平方 模型观念、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.二次根式 (1)定义:形如 的式子叫做二次根式,其中 叫做被开方式. (2)二次根式有意义:二次根式的被开方式 . 1.(1)下列各式中,,,,,,二次根式的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
2.二次根式的性质 ()2= (a≥0). 2.计算:(1)= . (2)= . (3)= .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 二次根式有意义(模型观念)
【典例1】(教材再开发·P113练习T2改编)
(1)下列x的取值中,可以使有意义的是( )
A.13 B.10 C.7 D.4
(2)要使代数式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x≠3
C.x>3 D.x≥0且x≠3
【举一反三】
1.若x=3能使下列二次根式有意义,则这个二次根式可以是( )
A. B. C. D.
2.下列式子中无意义的是( )
A.- B. C.- D.
3.若-有意义,则a的值为 .
【技法点拨】
二次根式有无意义的条件
项目 条件 字母表示
二次根式有意义 被开方式为非负式 有意义 a≥0
二次根式无意义 被开方式为负式 无意义 a<0
重点2 ()2=a(a≥0)(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P113练习T3改编)(-)2的相反数是 .
【举一反三】
1.在平面直角坐标系中,已知点P(x,y),且x=(-)2,y=,则点P的坐标为 .
2.在实数范围内分解因式:
(1)4x2-20;
(2)x2-2x+3.
【技法点拨】
(a≥0)的性质
符号 语言 ()2=a(a≥0)
应用 (1)正用:()2=5,()2=m2+1 (2)逆用:若a≥0,则a=()2,如2=()2,=()2
提示 逆用可以在实数范围内分解因式:如a2-5=a2-()2=(a+)(a-)
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列各式中,是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
2.(3分·模型观念、推理能力)若有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
3.(4分·模型观念、推理能力)若代数式有意义,则x的取值范围是 .
4.(4分·推理能力)若+(y+3)2=0,则x-y的值为 .
5.(6分·推理能力)已知+=b+3,
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根.9.1 二次根式和它的性质
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解商的算术平方根的性质,会运用性质化简二次根式 模型观念、运算能力
2.理解最简二次根式,会识别最简二次根式 模型观念
3.能把二次根式转化为最简二次根式 模型观念、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.商的算术平方根 = (a≥0,b>0). 1.(1)下列运算中,错误的有( ) ①=1;②=4;③-=-5; ④=+=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)化简:= ,= . (3)当x=3,y=5时,化简x的结果是 .
2.最简二次根式 被开方式中都不含 ,并且也都不含有 的二次根式. 2.(1)下列各式中,最简二次根式是( ) A. B. C. D. (2)二次根式,,,,中,最简二次根式有 个.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1商的算术平方根(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P119T6改编)
化简的结果是( )
A. B.6 C. D.6
【举一反三】
1.若=m,=n,则可以表示为( )
A. B. C. D.
2.化简:(1);(2);(3);(4).
重点2最简二次根式(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P118练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
【举一反三】
1.已知最简二次根式与的被开方数相同,则a+b= .
2.下列各式中,哪些是最简二次根式 把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
(1); (2); (3);
(4); (5); (6).
【技法点拨】
被开方式含分母的二次根式的两种化简情况
1.根号内的分母是平方数、式,直接利用商的算术平方根的性质,分子、分母直接开方;
2.根号内的分母不是平方数、式,则被开方数、式中的分子、分母同乘一个适当的不为零的数、式,使分母成为一个平方数、式,再分子、分母分别开方.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)在二次根式4,,,,中,最简二次根式有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.(3分·运算能力)化简(a,b,c均为正数)的结果为( )
A. B. C. D.
3.(4分·推理能力)比较下列两个数的大小:5 6.(填“>”或“<”)
4.(4分·运算能力)把下列二次根式化为最简二次根式:
(1); (2);
(3)(a≥0,b≥0); (4)(a>0).
5.(6分·运算能力)已知x>0,y>0,xy=9,求x+y的值.9.1 二次根式和它的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握二次根式的性质=a(a≥0),会化简二次根式 模型观念、运算能力
2.理解积的算术平方根的性质,会运用性质化简二次根式 模型观念、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.二次根式的性质 = a (a≥0). 1.(1)已知二次根式的值为3,那么x的值是(D) A.3 B.9 C.-3 D.3或-3 (2)化简:= 0.1 ;= 2 ; (a≥0)= 3a ;= 3 .
2.积的算术平方根 =·(a≥0,b≥0). 2.化简: (1)= 30 ;(2)= 10 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 =a(a≥0)(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P115例4拓展)若=x-2,则x的值可以是(D)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【举一反三】
1.下列各组数中,互为相反数的是(B)
A.3和 B.-|-|和-(-)
C.和()2 D.-2和
2.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则化简-的结果是 b .
【技法点拨】
的性质
符号语言 =|a|=
文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
应用 正用:=|4-π|=4-π 逆用:3==
重点2 积的算术平方根(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P115练习T2改编)化简:
(1)= 14 .
(2)= x2 .
(3)= 7 .
【举一反三】
1.使等式=·成立的条件是 x≥1 .
2.化简下列二次根式:
(1)2(a>0,b>0,c>0);
(2)(m>0,n>0);
(3);
(4)(a>0).
【解析】(1)原式=2
=2·=4ab;
(2)原式==3m;
(3)原式==8×9=72;
(4)原式=
=·
=4a.
【技法点拨】
运用积的算术平方根进行化简的“3点注意”
1.被开方式一定是非负式;
2.被开方式是乘积的形式,有开得尽方的因式,取它们的算术平方根,移到根号外面;被开方式不是乘积的形式,但含有开得尽方的因式,应化成乘积的形式,然后化简;
3.积的算术平方根适用于被开方式中有多个因数的情况.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)下列二次根式中,能化简为2的是(C)
A. B. C. D.
2.(3分·模型观念、推理能力)若=-a,则实数a表示的数一定是(C)
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
3.(4分·推理能力)阅读下面的推理过程:
已知m≠n. ∵(m-n)2=(n-m)2,① ∴=,② ∴m-n=n-m,③ ∴m=n.④
其中开始出错的推理步骤是(C)
A.① B.② C.③ D.④
4.(4分·运算能力)化简(x>0,y>0)的结果为 5x .
5.(6分·运算能力)安全问题,时刻警醒.高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”,即便是常见小物件,一旦高空落下,也威力惊人,而且用时很短,常常避让不及.查阅相关资料后,小南同学得到高空坠物下落的时间t(单位:s)和高度h(单位:m)近似满足公式t=(不考虑风速的影响,g≈10 N/kg).
(1)求从45 m高空抛物到落地的时间;
(2)已知高空抛物动能(单位:J)=10(单位:N/kg)×物体质量(单位:kg)×高度(单位:m),某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过4 s落在地上,根据以上信息,小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人,请通过计算说明小南的判断是否正确.(注:伤害无防护人体只需要65 J的动能)
【解析】(1)当h=45时,t====3,
∴从45 m高空抛物到落地的时间为3 s;
(2)正确.理由如下:当t=4时,==4,
∴=16,2h=160,h=80,
∴高空抛物动能=10×0.2×80=160 J>65 J,
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.9.1 二次根式和它的性质
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解商的算术平方根的性质,会运用性质化简二次根式 模型观念、运算能力
2.理解最简二次根式,会识别最简二次根式 模型观念
3.能把二次根式转化为最简二次根式 模型观念、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.商的算术平方根 = (a≥0,b>0). 1.(1)下列运算中,错误的有(A) ①=1;②=4;③-=-5; ④=+=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)化简:= ,= . (3)当x=3,y=5时,化简x的结果是 .
2.最简二次根式 被开方式中都不含 分母 ,并且也都不含有 能开得尽方的因式 的二次根式. 2.(1)下列各式中,最简二次根式是(C) A. B. C. D. (2)二次根式,,,,中,最简二次根式有 2 个.
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1商的算术平方根(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P119T6改编)
化简的结果是(A)
A. B.6 C. D.6
【举一反三】
1.若=m,=n,则可以表示为(A)
A. B. C. D.
2.化简:(1);(2);(3);(4).
【解析】(1)原式===;
(2)=;
(3)==;
(4)===.
重点2最简二次根式(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P118练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是(A)
A. B.
C. D.
【举一反三】
1.已知最简二次根式与的被开方数相同,则a+b= 8 .
2.下列各式中,哪些是最简二次根式 把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
(1); (2); (3);
(4); (5); (6).
【解析】(1)是最简二次根式;
(2)不是最简二次根式,=4;
(3)不是最简二次根式,=8a;
(4)不是最简二次根式,=;
(5)是最简二次根式;
(6)不是最简二次根式,= (a+b).
【技法点拨】
被开方式含分母的二次根式的两种化简情况
1.根号内的分母是平方数、式,直接利用商的算术平方根的性质,分子、分母直接开方;
2.根号内的分母不是平方数、式,则被开方数、式中的分子、分母同乘一个适当的不为零的数、式,使分母成为一个平方数、式,再分子、分母分别开方.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)在二次根式4,,,,中,最简二次根式有(C)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.(3分·运算能力)化简(a,b,c均为正数)的结果为(A)
A. B. C. D.
3.(4分·推理能力)比较下列两个数的大小:5 < 6.(填“>”或“<”)
4.(4分·运算能力)把下列二次根式化为最简二次根式:
(1); (2);
(3)(a≥0,b≥0); (4)(a>0).
【解析】(1)=2;
(2)=;
(3)=3ab2;
(4)==.
5.(6分·运算能力)已知x>0,y>0,xy=9,求x+y的值.
【解析】因为x>0,y>0,所以x+y=x·+y·=+=2,当xy=9时,原式=2×3=6.9.1 二次根式和它的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握二次根式的性质=a(a≥0),会化简二次根式 模型观念、运算能力
2.理解积的算术平方根的性质,会运用性质化简二次根式 模型观念、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.二次根式的性质 = (a≥0). 1.(1)已知二次根式的值为3,那么x的值是( ) A.3 B.9 C.-3 D.3或-3 (2)化简:= ;= ; (a≥0)= ;= .
2.积的算术平方根 =·(a≥0,b≥0). 2.化简: (1)= ;(2)= .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 =a(a≥0)(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P115例4拓展)若=x-2,则x的值可以是( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【举一反三】
1.下列各组数中,互为相反数的是( )
A.3和 B.-|-|和-(-)
C.和()2 D.-2和
2.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,则化简-的结果是 .
【技法点拨】
的性质
符号语言 =|a|=
文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
应用 正用:=|4-π|=4-π 逆用:3==
重点2 积的算术平方根(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P115练习T2改编)化简:
(1)= .
(2)= .
(3)= .
【举一反三】
1.使等式=·成立的条件是 .
2.化简下列二次根式:
(1)2(a>0,b>0,c>0);
(2)(m>0,n>0);
(3);
(4)(a>0).
【技法点拨】
运用积的算术平方根进行化简的“3点注意”
1.被开方式一定是非负式;
2.被开方式是乘积的形式,有开得尽方的因式,取它们的算术平方根,移到根号外面;被开方式不是乘积的形式,但含有开得尽方的因式,应化成乘积的形式,然后化简;
3.积的算术平方根适用于被开方式中有多个因数的情况.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)下列二次根式中,能化简为2的是( )
A. B. C. D.
2.(3分·模型观念、推理能力)若=-a,则实数a表示的数一定是( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
3.(4分·推理能力)阅读下面的推理过程:
已知m≠n. ∵(m-n)2=(n-m)2,① ∴=,② ∴m-n=n-m,③ ∴m=n.④
其中开始出错的推理步骤是( )
A.① B.② C.③ D.④
4.(4分·运算能力)化简(x>0,y>0)的结果为 .
5.(6分·运算能力)安全问题,时刻警醒.高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”,即便是常见小物件,一旦高空落下,也威力惊人,而且用时很短,常常避让不及.查阅相关资料后,小南同学得到高空坠物下落的时间t(单位:s)和高度h(单位:m)近似满足公式t=(不考虑风速的影响,g≈10 N/kg).
(1)求从45 m高空抛物到落地的时间;
(2)已知高空抛物动能(单位:J)=10(单位:N/kg)×物体质量(单位:kg)×高度(单位:m),某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过4 s落在地上,根据以上信息,小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人,请通过计算说明小南的判断是否正确.(注:伤害无防护人体只需要65 J的动能)9.1 二次根式和它的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解二次根式的概念,会确定二次根式有意义的条件 模型观念、推理能力
2.理解公式()2=a(a≥0),并能计算二次根式的平方 模型观念、运算能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.二次根式 (1)定义:形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式,其中 a 叫做被开方式. (2)二次根式有意义:二次根式的被开方式 大于等于0 . 1.(1)下列各式中,,,,,,二次根式的个数是(B) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≤ .
2.二次根式的性质 ()2= a (a≥0). 2.计算:(1)= 12 . (2)= 80 . (3)= 3.6 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 二次根式有意义(模型观念)
【典例1】(教材再开发·P113练习T2改编)
(1)下列x的取值中,可以使有意义的是(D)
A.13 B.10 C.7 D.4
(2)要使代数式有意义,则x的取值范围是(D)
A.x≥0 B.x≠3
C.x>3 D.x≥0且x≠3
【举一反三】
1.若x=3能使下列二次根式有意义,则这个二次根式可以是(B)
A. B. C. D.
2.下列式子中无意义的是(D)
A.- B. C.- D.
3.若-有意义,则a的值为 3 .
【技法点拨】
二次根式有无意义的条件
项目 条件 字母表示
二次根式有意义 被开方式为非负式 有意义 a≥0
二次根式无意义 被开方式为负式 无意义 a<0
重点2 ()2=a(a≥0)(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P113练习T3改编)(-)2的相反数是 -3 .
【举一反三】
1.在平面直角坐标系中,已知点P(x,y),且x=(-)2,y=,则点P的坐标为 (2,3) .
2.在实数范围内分解因式:
(1)4x2-20;
(2)x2-2x+3.
【解析】(1)原式=4(x2-5)
=4(x+)(x-);
(2)原式=x2-2x+()2
=(x-)2.
【技法点拨】
(a≥0)的性质
符号 语言 ()2=a(a≥0)
应用 (1)正用:()2=5,()2=m2+1 (2)逆用:若a≥0,则a=()2,如2=()2,=()2
提示 逆用可以在实数范围内分解因式:如a2-5=a2-()2=(a+)(a-)
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列各式中,是二次根式的是(D)
A. B.
C. D.
2.(3分·模型观念、推理能力)若有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是(A)
3.(4分·模型观念、推理能力)若代数式有意义,则x的取值范围是 x>-3 .
4.(4分·推理能力)若+(y+3)2=0,则x-y的值为 7 .
5.(6分·推理能力)已知+=b+3,
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根.
【解析】(1)∵,有意义,
∴,解得a=5;
(2)由(1)知,b+3=0,
解得b=-3,则a2-b2=52-(-3)2=16,
则a2-b2的平方根是±4.
