10.2 一次函数和它的图象
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能够判断两个变量是否构成一次函数关系,结合具体情境理解一次函数的概念 抽象能力、模型观念
2.能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的表达式 抽象能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
一次函数的概念 一般地,形如 (k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,其中k叫做比例系数. 特别地,当 时,y=kx(k≠0)是正比例函数. 1.下列函数中,y是x的一次函数的是 ( ) A.y=2x2-3 B.y=-3x C.y=3 D.y2=x 2.若y=mx|m+1|-2是关于x的一次函数,则m的值为 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】一次函数的概念(模型观念、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P141练习T2拓展)已知函数y=(m-2)x3-|m|+m+7.
(1)当m为何值时,y是x的一次函数
(2)若函数是一次函数,则x为何值时,y的值为3
【举一反三】
1.下列式子中,表示y是x的正比例函数的是 ( )
A.y=-0.1x B.y=3x+1
C.y=2x2 D.y2=4x
2.下列函数中,哪些是一次函数 若是一次函数,写出系数k和常数项b的值.
(1)y=+1; (2)y=-5x+12;
(3)y=4(7-x); (4)y=16x;
(5)S=x(6-x).
【技法点拨】
判断一次函数的三点注意
(1)关于自变量的代数式必须为整式.
(2)自变量的最高次数是一次,一次项系数不等于0.
(3)正比例函数也是一次函数.
【重点2】根据实际问题列一次函数表达式(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P143习题10.2T1 强化)某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部分每千米收费6元.
(1)写出应收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付车费多少元
(3)小波付车费16元,那么出租车行驶了多少千米
【举一反三】
1.某种储蓄的月利率为0.15%,现存入1 000元,则本息和(本金与利息的和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式是 .
2.某人购进一批香蕉,到集贸市场零售.已知卖出的香蕉数量x与销售额y的关系如表所示:
数量x(千克) 1 2 3 4 5
销售额y(元) 4+0.1 8+0.2 12+0.3 16+0.4 20+0.5
求y与x的函数关系式,并指出y是不是x的一次函数.
【技法点拨】
利用一次函数解决实际问题的一般步骤
(1)根据题意,找出等量关系.
(2)列出函数表达式,并明确自变量的取值范围.
(3)利用一次函数解决问题.
特别提醒
自变量的取值范围一定要符合实际问题的意义.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力)下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1,其中是一次函数的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(4分·推理能力)若函数y=(m-1)+3是一次函数,则m的值为 ( )
A.-1 B.1
C.0 D.-1或1
3.(4分·抽象能力)已知函数y=3x-6,当x=0时,y= ;当y=0时,x= .
4.(4分·推理能力、应用意识)一个长为120米,宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地,设长增加x米,宽增加y米,则y与x的函数关系式是 ,自变量的取值范围是 ,且y是x的 函数. 10.2 一次函数和它的图象
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握一次函数的图象 推理能力、抽象能力
2.能用“两点法”画一次函数的图象 几何直观
3.根据一次函数的图象,写出函数表达式 几何直观、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.一次函数的图象 一般的,一次函数y=kx+b的图象是一条 ,所以也称为 .正比例函数是过 的一条直线. 1.一次函数y=-x+2的图象大致是 ( )
2.待定系数法 确定函数表达式时,通过先设出表达式中的未知系数,再根据所给条件,利用解方程或方程组确定这些未知系数,这种方法叫做待定系数法. 2. (1)已知一次函数的图象经过点(1.5,0)与(0,-3),则一次函数的表达式是 . (2)一次函数的图象如图所示,则一次函数的表达式是 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】一次函数的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P143练习T1拓展)
已知一次函数y=x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,请解答下列问题:
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出一次函数y=x-4的图象;
(3)点(6,-4) 该函数图象上;(填“在”或“不在”)
(4)求原点到此函数图象的距离.
【举一反三】
1.函数y=-2x+1(x≤3)的图象是 ( )
A.一条射线 B.一条直线
C.一条线段 D.一条曲线
2.在同一坐标系中,画出函数y=-2x与y=x+1的图象.
【重点2】待定系数法求一次函数表达式(抽象能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P142例3改编)已知,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过M(-1,1),N(1,3)两点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)试判断点P(5,8)是否在该函数图象上,并说明理由.
【举一反三】
1.如图,若直线y=kx+b与x轴交于点A(-2,0),与y轴正半轴交于点B,且△OAB的面积为6,则该直线的表达式为 ( )
A.y=x+6 B.y=3x+6
C.y=x+3 D.y=x+3
2.如图,直线l与y轴的交点坐标为(0,5),过点(m,n+3),(m+2,n),直线l对应的函数表达式为 .
【技法点拨】
求一次函数表达式的四个步骤
1.设:设函数表达式为y=kx+b.
2.代:将已知点的坐标或x,y的值代入表达式,得到方程组.
3.解:解方程组得到k,b的值.
4.写:将k,b的值代入所设表达式,写出表达式.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·模型观念、抽象能力)下列选项中,一次函数y=2x-3的图象大致是 ( )
2.(4分·模型观念、推理能力)已知正比例函数的图象如图所示,则这个函数的表达式为 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=-3x D.y=-
3.(4分·推理能力)一次函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,则AB长为 ( )
A. B.2 C.2 D.4
4.(4分·推理能力、应用意识)摄氏温度与华氏温度是两大国际主流的计量温度的单位.摄氏温度与华氏温度部分对应值如表所示:
摄氏温度/℃ 0 10 20 30 40 …
华氏温度/℉ 32 50 68 86 104 …
若摄氏温度为m(℃),华氏温度为n(℉),则把摄氏温度转换为华氏温度的关系式为 . 10.2 一次函数和它的图象
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能够判断两个变量是否构成一次函数关系,结合具体情境理解一次函数的概念 抽象能力、模型观念
2.能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的表达式 抽象能力、应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
一次函数的概念 一般地,形如 y=kx+b (k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,其中k叫做比例系数. 特别地,当 b=0 时,y=kx(k≠0)是正比例函数. 1.下列函数中,y是x的一次函数的是 (B) A.y=2x2-3 B.y=-3x C.y=3 D.y2=x 2.若y=mx|m+1|-2是关于x的一次函数,则m的值为 -2 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】一次函数的概念(模型观念、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P141练习T2拓展)已知函数y=(m-2)x3-|m|+m+7.
(1)当m为何值时,y是x的一次函数
(2)若函数是一次函数,则x为何值时,y的值为3
【自主解答】(1)由y=(m-2)x3-|m|+m+7是一次函数,
得,解得m=-2.
故当m=-2时,y=(m-2)x3-|m|+m+7是一次函数;
(2)当y=3时,3=-4x+5,解得x=,
故当x=时,y的值为3.
【举一反三】
1.下列式子中,表示y是x的正比例函数的是 (A)
A.y=-0.1x B.y=3x+1
C.y=2x2 D.y2=4x
2.下列函数中,哪些是一次函数 若是一次函数,写出系数k和常数项b的值.
(1)y=+1; (2)y=-5x+12;
(3)y=4(7-x); (4)y=16x;
(5)S=x(6-x).
【解析】(1)y=+1,不是一次函数;
(2)y=-5x+12,是一次函数,k=-5,b=12;
(3)y=4(7-x)=-4x+28,是一次函数,k=-4,b=28;
(4)y=16x,是一次函数,k=16,b=0;
(5)S=x(6-x)=-x2+6x,不是一次函数.
【技法点拨】
判断一次函数的三点注意
(1)关于自变量的代数式必须为整式.
(2)自变量的最高次数是一次,一次项系数不等于0.
(3)正比例函数也是一次函数.
【重点2】根据实际问题列一次函数表达式(抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P143习题10.2T1 强化)某市出租车车费标准如下:3 km以内(含3 km)收费8元;超过3 km的部分每千米收费6元.
(1)写出应收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租车行驶4 km,应付车费多少元
(3)小波付车费16元,那么出租车行驶了多少千米
【自主解答】(1)当x≥3时,y=8+6(x-3)=6x-10;
(2)当x=4时,y=6×4-10=14,
∴小亮乘出租车行驶4 km,应付车费14元;
(3)令y=16,则6x-10=16,∴x=,
∴小波付车费16元,出租车行驶了千米.
【举一反三】
1.某种储蓄的月利率为0.15%,现存入1 000元,则本息和(本金与利息的和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式是 y=1.5x+1 000 .
2.某人购进一批香蕉,到集贸市场零售.已知卖出的香蕉数量x与销售额y的关系如表所示:
数量x(千克) 1 2 3 4 5
销售额y(元) 4+0.1 8+0.2 12+0.3 16+0.4 20+0.5
求y与x的函数关系式,并指出y是不是x的一次函数.
【解析】∵当x=1时,y=4+0.1,当x=2时,y=2(4+0.1),当x=3时,y=3(4+0.1),
∴y=(4+0.1)x=4.1x,
故y是x的一次函数.
【技法点拨】
利用一次函数解决实际问题的一般步骤
(1)根据题意,找出等量关系.
(2)列出函数表达式,并明确自变量的取值范围.
(3)利用一次函数解决问题.
特别提醒
自变量的取值范围一定要符合实际问题的意义.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力)下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1,其中是一次函数的个数为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(4分·推理能力)若函数y=(m-1)+3是一次函数,则m的值为 (A)
A.-1 B.1
C.0 D.-1或1
3.(4分·抽象能力)已知函数y=3x-6,当x=0时,y= -6 ;当y=0时,x= 2 .
4.(4分·推理能力、应用意识)一个长为120米,宽为100米的矩形场地要扩建成一个正方形场地,设长增加x米,宽增加y米,则y与x的函数关系式是 y=x+20 ,自变量的取值范围是 x≥0 ,且y是x的 一次 函数.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 三十二”10.2 一次函数和它的图象
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握一次函数的图象 推理能力、抽象能力
2.能用“两点法”画一次函数的图象 几何直观
3.根据一次函数的图象,写出函数表达式 几何直观、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.一次函数的图象 一般的,一次函数y=kx+b的图象是一条 直线 ,所以也称为 直线y=kx+b .正比例函数是过 原点 的一条直线. 1.一次函数y=-x+2的图象大致是 (C)
2.待定系数法 确定函数表达式时,通过先设出表达式中的未知系数,再根据所给条件,利用解方程或方程组确定这些未知系数,这种方法叫做待定系数法. 2. (1)已知一次函数的图象经过点(1.5,0)与(0,-3),则一次函数的表达式是 y=2x-3 . (2)一次函数的图象如图所示,则一次函数的表达式是 y=2x-2 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】一次函数的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P143练习T1拓展)
已知一次函数y=x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,请解答下列问题:
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出一次函数y=x-4的图象;
(3)点(6,-4) 该函数图象上;(填“在”或“不在”)
(4)求原点到此函数图象的距离.
【解析】(1)令y=0,则x=3,
令x=0,则y=-4,
所以点A的坐标为(3,0),
点B的坐标为(0,-4);
答案:(3,0) (0,-4)
(2)如图:
(3)当x=6时,y=×6=8≠-4,
∴点(6,-4)不在该函数图象上;
答案:不在
(4)设原点到此函数图象的距离为h,
AB===5,
S△AOB=×OA×OB=×3×4=6,
S△AOB=×AB×h=×5×h=h,
∵6=h,∴h=2.4.
【举一反三】
1.函数y=-2x+1(x≤3)的图象是 (A)
A.一条射线 B.一条直线
C.一条线段 D.一条曲线
2.在同一坐标系中,画出函数y=-2x与y=x+1的图象.
【解析】根据正比例函数的性质,y=-2x过(0,0);再任取函数图象上一点(1,-2)即可.
易得y=x+1与坐标轴的交点(0,1),(-2,0).
【重点2】待定系数法求一次函数表达式(抽象能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P142例3改编)已知,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过M(-1,1),N(1,3)两点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)试判断点P(5,8)是否在该函数图象上,并说明理由.
【解析】(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过M(-1,1),N(1,3)两点,
∴把M(-1,1),N(1,3)代入y=kx+b得:,解得:,∴y=x+2;
(2)点P(5,8)不在该函数图象上.
理由如下:
∵当x=5时,y=5+2=7.
∴P(5,8)不在该函数图象上.
【举一反三】
1.如图,若直线y=kx+b与x轴交于点A(-2,0),与y轴正半轴交于点B,且△OAB的面积为6,则该直线的表达式为 (B)
A.y=x+6 B.y=3x+6
C.y=x+3 D.y=x+3
2.如图,直线l与y轴的交点坐标为(0,5),过点(m,n+3),(m+2,n),直线l对应的函数表达式为 y=-x+5 .
【技法点拨】
求一次函数表达式的四个步骤
1.设:设函数表达式为y=kx+b.
2.代:将已知点的坐标或x,y的值代入表达式,得到方程组.
3.解:解方程组得到k,b的值.
4.写:将k,b的值代入所设表达式,写出表达式.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·模型观念、抽象能力)下列选项中,一次函数y=2x-3的图象大致是 (B)
2.(4分·模型观念、推理能力)已知正比例函数的图象如图所示,则这个函数的表达式为 (B)
A.y=x B.y=-x
C.y=-3x D.y=-
3.(4分·推理能力)一次函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,则AB长为 (C)
A. B.2 C.2 D.4
4.(4分·推理能力、应用意识)摄氏温度与华氏温度是两大国际主流的计量温度的单位.摄氏温度与华氏温度部分对应值如表所示:
摄氏温度/℃ 0 10 20 30 40 …
华氏温度/℉ 32 50 68 86 104 …
若摄氏温度为m(℃),华氏温度为n(℉),则把摄氏温度转换为华氏温度的关系式为 n=1.8m+32 .
训练升级,请使用 “课时过程性评价 三十三”
