10.4 一次函数与二元一次方程
课时学习目标 素养目标达成
1.能理解一次函数与二元一次方程、二元一次方程组之间的关系,能根据方程、方程组的解求出点的坐标 几何直观、推理能力、抽象能力
2.会用图象法求二元一次方程组的解 应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.二元一次方程与一次函数的关系 每个二元一次方程→一个一次函数;方程的解→函数图象上点的坐标. 1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2和直线y=ax+b(a≠0)相交于点P.根据图象可知,方程x+2=ax+b的解是x= .
2.二元一次方程组与一次函数的关系 每个二元一次方程组→两个一次函数;方程组的解→两个函数图象的 坐标. 2.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+1和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,方程组的解是 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】一次函数与二元一次方程(几何直观、抽象能力、推理能力)
【典例1】若以关于x,y的二元一次方程x-2y+b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=x+b-1上,则常数b的值为 ( )
A.0 B.-1 C.2 D.1
【举一反三】
1.已知和都是方程y=ax+b的解,则一次函数y=ax+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 .
2.已知二元一次方程2x-y=2.
(1)请任意写出此方程的三组解;
(2)若为此方程的一组解,我们规定(x0,y0)为某一点的坐标,请根据你在(1)中写出的三组解,对应写出三个点的坐标,并将这三个点描在平面直角坐标系中;
(3)观察这三个点的位置,你发现了什么
【重点2】一次函数与二元一次方程组(几何直观、抽象能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P150习题10.4T2拓展)如图,直线l1的表达式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,点B,直线l1,l2交于点C.
(1)求点D的坐标;
(2)求直线l2的表达式;
(3)求△ADC的面积;
(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标.
【举一反三】
(2024·榆林期末)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b),与x轴分别交于A,B两点.
(1)求直线l2的表达式,并结合图象直接写出关于x,y的方程组的解;
(2)求△ABP的面积;
(3)若垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,线段CD的长为2,求a的值.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力)若方程2x-6=0的解是一个一次函数的函数值为2时,对应的自变量的值,则这个一次函数可以是 ( )
A.y=2x-4 B.y=-2x+4
C.y=2x-6 D.y=-2x+6
2.(4分·推理能力)已知关于x,y的方程组的解是,则直线y=x-b与直线y=-2x+3的交点坐标是 .
3.(8分·推理能力、抽象能力)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(2,b).
(1)求b的值;
(2)直接写出关于x,y的方程组的值;
(3)若l1交x轴于点A,l2交x轴于点B,且S△PAB=9,求直线l2对应的函数表达式.10.4 一次函数与二元一次方程
课时学习目标 素养目标达成
1.能理解一次函数与二元一次方程、二元一次方程组之间的关系,能根据方程、方程组的解求出点的坐标 几何直观、推理能力、抽象能力
2.会用图象法求二元一次方程组的解 应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.二元一次方程与一次函数的关系 每个二元一次方程→一个一次函数;方程的解→函数图象上点的坐标. 1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2和直线y=ax+b(a≠0)相交于点P.根据图象可知,方程x+2=ax+b的解是x= 5 .
2.二元一次方程组与一次函数的关系 每个二元一次方程组→两个一次函数;方程组的解→两个函数图象的 交点 坐标. 2.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+1和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,方程组的解是 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】一次函数与二元一次方程(几何直观、抽象能力、推理能力)
【典例1】若以关于x,y的二元一次方程x-2y+b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=x+b-1上,则常数b的值为 (C)
A.0 B.-1 C.2 D.1
【举一反三】
1.已知和都是方程y=ax+b的解,则一次函数y=ax+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 .
2.已知二元一次方程2x-y=2.
(1)请任意写出此方程的三组解;
(2)若为此方程的一组解,我们规定(x0,y0)为某一点的坐标,请根据你在(1)中写出的三组解,对应写出三个点的坐标,并将这三个点描在平面直角坐标系中;
(3)观察这三个点的位置,你发现了什么
【解析】(1),,(答案不唯一).
(2)(0,-2);(1,0);(2,2)(答案不唯一).
(3)这三个点在一条直线上.
【重点2】一次函数与二元一次方程组(几何直观、抽象能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P150习题10.4T2拓展)如图,直线l1的表达式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,点B,直线l1,l2交于点C.
(1)求点D的坐标;
(2)求直线l2的表达式;
(3)求△ADC的面积;
(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标.
【自主解答】(1)令y=0,则x=1,
∴D(1,0);
(2)设直线l2的表达式为y=kx+b,
把A(4,0),B(3,-)代入得,
解得,
所以直线l2的表达式为y=x-6;
(3)解方程组,得,
则C(2,-3);
由(1)得D(1,0),
所以S△ADC=×(4-1)×3=;
(4)因为△ADP与△ADC的面积相等,所以点P与点C到AD的距离相等,
所以P点的纵坐标为3,
当y=3时,x-6=3,解得x=6,
所以点P坐标为(6,3).
【举一反三】
(2024·榆林期末)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b),与x轴分别交于A,B两点.
(1)求直线l2的表达式,并结合图象直接写出关于x,y的方程组的解;
(2)求△ABP的面积;
(3)若垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,线段CD的长为2,求a的值.
【解析】(1)把点P(1,b)代入y=2x+1,
得b=2+1=3,∴P(1,3).
把点P坐标代入y=mx+4,得 m+4=3,
∴m=-1,∴直线l2 的表达式为 y=-x+4,
∴关于x,y的方程组的解为;
(2)∵l1:y=2x+1,l2:y=-x+4,
∴点A(-,0),B(4,0),
AB=4-(-)=,h=3,
∴S△ABP=AB·h=××3=;
(3)直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1),
与直线l2的交点D为(a,-a+4),
∵CD=2,
∴|2a+1-(-a+4)|=2,
即|3a-3|=2,
∴3a-3=2或3a-3=-2,
∴a=或a=.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·推理能力)若方程2x-6=0的解是一个一次函数的函数值为2时,对应的自变量的值,则这个一次函数可以是 (A)
A.y=2x-4 B.y=-2x+4
C.y=2x-6 D.y=-2x+6
2.(4分·推理能力)已知关于x,y的方程组的解是,则直线y=x-b与直线y=-2x+3的交点坐标是 (2,-1) .
3.(8分·推理能力、抽象能力)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(2,b).
(1)求b的值;
(2)直接写出关于x,y的方程组的值;
(3)若l1交x轴于点A,l2交x轴于点B,且S△PAB=9,求直线l2对应的函数表达式.
【解析】(1)根据题意可知:点P(2,b)在直线y=x+1上,
则2+1=b,
解得b=3;
(2)∵b=3,
∴交点坐标是(2,3),
∴方程组的解是;
(3)直线l1中,当y=0时,x=-1,
故点A坐标为(-1,0),
设点B坐标为(t,0),
故×3×(t+1)=9,
解得:t=5,
故点B坐标为(5,0),
将点B,点P坐标代入可得:
,
解得m=-1,n=5,
故直线l2对应函数表达式为:y=-x+5.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 三十五”
