10.6 一次函数的应用
课时学习目标 素养目标达成
1.识别实际问题中两个变量的一次函数关系,能列一次函数关系式解决问题 模型观念、推理能力
2.能用一次函数解决简单的实际问题 应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
一次函数关系识别 1.两个变量对应数值的差之比是一个常数k,那么这两个变量之间是一次函数关系. 可以表示为=k,则y是x的一次函数. 2.表示两个变量的图象是一条直线,则图象表示的函数是一次函数关系. 某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准,该市用户每月应交水费y(元)是关于用水量x(立方米)的函数,其图象如图所示.已知小王家这个月交了水费60元,则小王家这个月的用水量为 19.5 立方米.
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】利用一次函数的关系式计算求值(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P157T2拓展)秤是我国传统的计重工具,它的应用方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的质量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时,秤钩所挂物重为y(斤),则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.
x(厘米) 1 2 4 7 11 12
y(斤) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
(1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点的方法,观察判断哪一对是错误的.
(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时,秤钩所挂物重是多少
【自主解答】(1)描点如图所示,观察图象可知:x=7,y=2.75这对数据错误.
(2)设y=kx+b,把x=1,y=0.75,x=2,
y=1代入可得解得,
∴y=0.25x+0.5,
当x=18时,y=5,
答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时,秤钩所挂物重是5斤.
【举一反三】
某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为 (A)
A.20 kg B.25 kg C.28 kg D.30 kg
【重点2】最值问题(模型观念、空间观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P156T1改编)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大 最大利润是多少
【自主解答】(1)设每台A型电脑销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,
根据题意得,
解得.
答:每台A型电脑销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元;
(2)①由(1)得,y=100x+150(100-x),
即y=-50x+15 000;
②根据题意得,100-x≤2x,
解得x≥33,
∵y=-50x+15 000,
∴y随x的增大而减小,
∵x为正整数,∴当x=34时,y取最大值,则100-x=66,此时最大利润是y=-50×34+
15 000=13 300.
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大,最大利润是13 300元.
【举一反三】
某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召,计划生产A,B两种型号的冰箱一共100台.经预算,两种冰箱全部售出后,可获得利润不低于4.75万元,不高于4.8万元,两种型号的冰箱生产成本和售价如表:
型号 A型 B型
生产成本(元/台) 2 200 2 600
售价(元/台) 2 800 3 000
(1)冰箱厂有哪几种生产方案
(2)该冰箱厂按哪种方案生产,才能使投入成本最少
【解析】(1)设生产A型冰箱x台,则生产B型冰箱为(100-x)台,由题意得:47 500≤
(2 800-2 200)x+(3 000-2 600)×(100-x)≤48 000,解得37.5≤x≤40,
∵x是正整数,∴x可以取38,39或40.
有以下三种生产方案:
型号 方案一 方案二 方案三
A型 38 39 40
B型 62 61 60
(2)设投入成本为y元,由题意有:y=2 200x+2 600(100-x)=-400x+260 000,
∵-400<0,∴y随x的增大而减小,
∴当x=40时,y有最小值.
即生产A型冰箱40台,B型冰箱60台,该厂投入成本最少.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)“五一”期间,王老师一家自驾游去了离家180千米的某地,如图是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.当他们离目的地还有15千米时,汽车一共行驶的时间是 小时. (A)
A. B. C. D.2
2.(3分·模型观念、推理能力)在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中,如表记录了实验中温度和时间变化的数据.
时间/分钟 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的,则18分钟时的温度是 (B)
A.62℃ B.64℃ C.66℃ D.68℃
3.(7分·几何直观、推理能力)某网络公司推出了一系列上网包月业务,其中的一项业务是“10M40元包200小时”,其中每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示.
(1)当x≥200时,求y与x之间的函数表达式;
(2)若小刚家10月份上网180小时,则他家应付多少元上网费
(3)若小明家10月份上网费用为52元,则他家该月的上网时间是多少小时
【解析】(1)设当x≥200时,y与x之间的函数表达式为y=kx+b,
∵图象经过(200,40),(220,70),
∴,解得,
∴函数表达式为y=x-260;
(2)根据题中图象可得,小刚家10月份上网180小时应付费40元;
(3)把y=52代入y=x-260中得x=208,
答:他家该月的上网时间是208小时.
4.(7分·模型观念、推理能力)“绿水青山就是金山银山”,某村为了绿化荒山,计划在植树节当天种植柏树和杉树.经调查,购买2棵柏树和3棵杉树共需850元;购买3棵柏树和2棵杉树共需900元.
(1)求柏树和杉树的单价各是多少元;
(2)本次绿化荒山,需购买柏树和杉树共80棵,且柏树的棵数不少于杉树的3倍,要使此次购树费用最少,柏树和杉树各需购买多少棵
【解析】(1)设柏树的单价是x元,杉树的单价是y元,
根据题意得,解得,
答:柏树的单价是200元,杉树的单价是150元;
(2)设购买柏树a棵,则购买杉树(80-a)棵,购树总费用为w元,
根据题意:a≥3(80-a),解得a≥60,
w=200a+150(80-a)=50a+12 000,
∵50>0,∴w随a的增大而增大,
又∵a为整数,∴当a=60时,w最小=15 000,
此时80-a=20,即购买柏树60棵、杉树20棵时,总费用最小为15 000元.
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课时学习目标 素养目标达成
1.识别实际问题中两个变量的一次函数关系,能列一次函数关系式解决问题 模型观念、推理能力
2.能用一次函数解决简单的实际问题 应用意识
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
一次函数关系识别 1.两个变量对应数值的差之比是一个常数k,那么这两个变量之间是一次函数关系. 可以表示为=k,则y是x的一次函数. 2.表示两个变量的图象是一条直线,则图象表示的函数是一次函数关系. 某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准,该市用户每月应交水费y(元)是关于用水量x(立方米)的函数,其图象如图所示.已知小王家这个月交了水费60元,则小王家这个月的用水量为 立方米.
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】利用一次函数的关系式计算求值(模型观念、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P157T2拓展)秤是我国传统的计重工具,它的应用方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的质量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时,秤钩所挂物重为y(斤),则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.
x(厘米) 1 2 4 7 11 12
y(斤) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
(1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点的方法,观察判断哪一对是错误的.
(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时,秤钩所挂物重是多少
【举一反三】
某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为 ( )
A.20 kg B.25 kg C.28 kg D.30 kg
【重点2】最值问题(模型观念、空间观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P156T1改编)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大 最大利润是多少
【举一反三】
某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召,计划生产A,B两种型号的冰箱一共100台.经预算,两种冰箱全部售出后,可获得利润不低于4.75万元,不高于4.8万元,两种型号的冰箱生产成本和售价如表:
型号 A型 B型
生产成本(元/台) 2 200 2 600
售价(元/台) 2 800 3 000
(1)冰箱厂有哪几种生产方案
(2)该冰箱厂按哪种方案生产,才能使投入成本最少
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)“五一”期间,王老师一家自驾游去了离家180千米的某地,如图是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.当他们离目的地还有15千米时,汽车一共行驶的时间是 小时. ( )
A. B. C. D.2
2.(3分·模型观念、推理能力)在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中,如表记录了实验中温度和时间变化的数据.
时间/分钟 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的,则18分钟时的温度是 ( )
A.62℃ B.64℃ C.66℃ D.68℃
3.(7分·几何直观、推理能力)某网络公司推出了一系列上网包月业务,其中的一项业务是“10M40元包200小时”,其中每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示.
(1)当x≥200时,求y与x之间的函数表达式;
(2)若小刚家10月份上网180小时,则他家应付多少元上网费
(3)若小明家10月份上网费用为52元,则他家该月的上网时间是多少小时
4.(7分·模型观念、推理能力)“绿水青山就是金山银山”,某村为了绿化荒山,计划在植树节当天种植柏树和杉树.经调查,购买2棵柏树和3棵杉树共需850元;购买3棵柏树和2棵杉树共需900元.
(1)求柏树和杉树的单价各是多少元;
(2)本次绿化荒山,需购买柏树和杉树共80棵,且柏树的棵数不少于杉树的3倍,要使此次购树费用最少,柏树和杉树各需购买多少棵
