11.1 图形的平移
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.运用平移的性质解决有关的几何问题 几何直观、推理能力
2.在平面直角坐标系中,掌握一个点、多边形沿坐标轴方向平移前后对应顶点坐标之间的关系 几何直观、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
设(x,y)是原图形上的一点,经过平移,其坐标变化规律如下: 平移 方向平移 距离对应点 的坐标规律沿x轴 平移向右 平移a个 单位 长度 (a>0) 左右平移, 横坐标右 加左减,纵 坐标不变向左 平移 沿y轴 平移向上 平移 上下平移, 纵坐标上 加下减,横 坐标不变向下 平移
在平面直角坐标系中,将点P(1,2)向上平移3个单位长度后得到点P1的坐标为 ;将点P(1,2)向右平移4个单位长度后得到点P2的坐标为 ;将点P(1,2)先向右平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到点P3,则点P3的坐标为 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1运用平移的性质解决几何问题(推理能力)
【典例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2 cm,CD⊥AB,垂足为D,现将△ACD沿着AB方向平移1 cm得到△GEF,且此时BF=CD,则CD的长度为 cm.
【举一反三】
1.如图,直线AB∥CD,EG平分∠AEF,EH⊥EG,且平移EH恰好到GF,则下列结论:
①EH平分∠BEF;②EG=HF;③FH平分∠EFD;④∠GFH=90°.
其中正确的结论个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图所示,直线m∥n,点A,D在直线m上,点B,C在直线n上,且AB∥CD,
∠ABC=60°,DP平分∠ADC交直线n于点P,连接AP.
(1)求∠ADC的度数;
(2)若∠APD=75°时,求∠BAP的度数;
(3)将三角形PCD向右平移,当AP最小时,求此时∠APD的度数.
重点2坐标系内图形沿坐标轴平移变换(几何直观)
【典例2】如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,已知△ABC的顶点A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1),将△ABC先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1.
(1)画出△A1B1C1;
(2)点P(a,b)在△ABC内,则点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 ;
(3)S△ABC= .
【举一反三】
1.(2023·金华中考)如图,两盏灯笼的位置A,B的坐标分别是(-3,3),(1,2),将点B向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点B',则关于点A,B'的位置描述正确的是( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点O对称
D.关于直线y=x对称
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,3),将线段AB平移后得线段CD,若点A的对应点C的坐标为(1,-2),则点B的对应点D的坐标为 .
【技法点拨】
已知原图形上一点(x,y),当图形先沿x轴平移,再沿y轴平移后,其对应点的坐标变化如表:
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度,向上平移b个单位长度 (x+a,y+b)
向右平移a个单位长度,向下平移b个单位长度 (x+a,y-b)
向左平移a个单位长度,向上平移b个单位长度 (x-a,y+b)
向左平移a个单位长度,向下平移b个单位长度 (x-a,y-b)
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位长度后,得到的点的坐标是( )
A.(3,1) B.(-1,1)
C.(1,3) D.(1,-1)
2.(3分·模型观念、推理能力)如图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,连接AD,若∠B=40°,AB=BC,则∠DAC的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
3.(3分·几何直观、推理能力)如图,在正方形网格中有两个三角形,把其中一个三角形先横向平移m格,再纵向平移n格,就能与另一个三角形拼合成一个四边形,那么m+n的值为 .
4.(3分·推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=12,把△ABC沿射线AB方向平移至△DEF后,平移距离为4,GC=4,则图中阴影部分的面积为 .
5.(8分·运算能力、空间观念)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,点A'的坐标是(-2,2).现将△ABC平移,使点A与点A'重合,点B,C的对应点分别是点B',C'.
(1)请画出平移后的△A'B'C',则点B'的坐标为 ;
(2)点P是△ABC内的一点,当△ABC平移到△A'B'C'后,若点P的对应点P'的坐标为(a,b),则点P的坐标为 . 11.1 图形的平移
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.运用平移的性质解决有关的几何问题 几何直观、推理能力
2.在平面直角坐标系中,掌握一个点、多边形沿坐标轴方向平移前后对应顶点坐标之间的关系 几何直观、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
设(x,y)是原图形上的一点,经过平移,其坐标变化规律如下: 平移 方向平移 距离对应点 的坐标规律沿x轴 平移向右 平移a个 单位 长度 (a>0)(x+a,y)左右平移, 横坐标右 加左减,纵 坐标不变向左 平移(x-a,y)沿y轴 平移向上 平移(x,y+a)上下平移, 纵坐标上 加下减,横 坐标不变向下 平移(x,y-a)
在平面直角坐标系中,将点P(1,2)向上平移3个单位长度后得到点P1的坐标为 (1,5) ;将点P(1,2)向右平移4个单位长度后得到点P2的坐标为 (5,2) ;将点P(1,2)先向右平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到点P3,则点P3的坐标为 (5,5) .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1运用平移的性质解决几何问题(推理能力)
【典例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2 cm,CD⊥AB,垂足为D,现将△ACD沿着AB方向平移1 cm得到△GEF,且此时BF=CD,则CD的长度为 cm.
【举一反三】
1.如图,直线AB∥CD,EG平分∠AEF,EH⊥EG,且平移EH恰好到GF,则下列结论:
①EH平分∠BEF;②EG=HF;③FH平分∠EFD;④∠GFH=90°.
其中正确的结论个数是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图所示,直线m∥n,点A,D在直线m上,点B,C在直线n上,且AB∥CD,
∠ABC=60°,DP平分∠ADC交直线n于点P,连接AP.
(1)求∠ADC的度数;
(2)若∠APD=75°时,求∠BAP的度数;
(3)将三角形PCD向右平移,当AP最小时,求此时∠APD的度数.
【解析】(1)∵m∥n,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠ABC=60°;
(2)∵DP平分∠ADC,
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=30°,
∵m∥n,
∴∠ADP=∠DPC=30°,
∵∠APD=75°,
∴∠APC=∠APD+∠DPC=75°+30°=105°=∠ABC+∠BAP,
∴∠BAP=105°-60°=45°;
(3)当AP⊥BC时,AP最小,
∴∠APC=90°,
由(2)可得∠DPC=30°,
∴∠APD=90°-30°=60°.
重点2坐标系内图形沿坐标轴平移变换(几何直观)
【典例2】如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,已知△ABC的顶点A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1),将△ABC先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1.
(1)画出△A1B1C1;
(2)点P(a,b)在△ABC内,则点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 ;
(3)S△ABC= .
【自主解答】(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)由题意得,△ABC先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1,
∴点P(a,b)平移后的坐标为P1(a+3,b-2).
答案:(a+3,b-2)
(3)由题意得,A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1),
∴BG=5,BE=5,
∴S四边形BEFG=5×5=25.
∵AE=3,∴S△ABE=×5×3=.
∵AF=2,CF=3,
∴S△ACF=×2×3=3.
∵CG=2,
∴S△BCG=×2×5=5.
∴S△ABC=S四边形BEFG-S△ABE-S△ACF-S△BCG=25--3-5=.
答案:
【举一反三】
1.(2023·金华中考)如图,两盏灯笼的位置A,B的坐标分别是(-3,3),(1,2),将点B向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点B',则关于点A,B'的位置描述正确的是(B)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点O对称
D.关于直线y=x对称
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,3),将线段AB平移后得线段CD,若点A的对应点C的坐标为(1,-2),则点B的对应点D的坐标为 (3,1) .
【技法点拨】
已知原图形上一点(x,y),当图形先沿x轴平移,再沿y轴平移后,其对应点的坐标变化如表:
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度,向上平移b个单位长度 (x+a,y+b)
向右平移a个单位长度,向下平移b个单位长度 (x+a,y-b)
向左平移a个单位长度,向上平移b个单位长度 (x-a,y+b)
向左平移a个单位长度,向下平移b个单位长度 (x-a,y-b)
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位长度后,得到的点的坐标是(A)
A.(3,1) B.(-1,1)
C.(1,3) D.(1,-1)
2.(3分·模型观念、推理能力)如图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,连接AD,若∠B=40°,AB=BC,则∠DAC的度数是(D)
A.40° B.50° C.60° D.70°
3.(3分·几何直观、推理能力)如图,在正方形网格中有两个三角形,把其中一个三角形先横向平移m格,再纵向平移n格,就能与另一个三角形拼合成一个四边形,那么m+n的值为 6或8 .
4.(3分·推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=12,把△ABC沿射线AB方向平移至△DEF后,平移距离为4,GC=4,则图中阴影部分的面积为 40 .
5.(8分·运算能力、空间观念)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,点A'的坐标是(-2,2).现将△ABC平移,使点A与点A'重合,点B,C的对应点分别是点B',C'.
(1)请画出平移后的△A'B'C',则点B'的坐标为 ;
(2)点P是△ABC内的一点,当△ABC平移到△A'B'C'后,若点P的对应点P'的坐标为(a,b),则点P的坐标为 .
【解析】(1)∵点A'的坐标是(-2,2),点A的坐标是(3,4),
∴平移方向是先向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度,
∵点B的坐标是(1,3),
点C的坐标是(4,1),
∴点B'的坐标是(-4,1),
点C'的坐标是(-1,-1),
∴平移后的△A'B'C'如图所示:
答案:(-4,1)
(2)由(1)得,平移方向是先向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度,
∵点P的对应点P'的坐标为(a,b),
∴点P的坐标为(a+5,b+2).
答案:(a+5,b+2)11.1 图形的平移
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过具体实例认识平面图形的平移,探索它的基本性质,会进行简单的平移画图 抽象能力、几何直观
2.经历有关平移的观察、操作、分析及抽象概括等过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念 空间观念
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1. 平移定义在平面内,将一个图形沿某个 方向 移动一定的 距离 的图形运动 两要素 方向 与 距离 性质(1)平移不改变物体的形状与大小,平移只改变物体的 位置 . (2)平移前后对应点所连的线段的位置关系是 平行 (或在一条直线上),大小关系是 相等 . (3)对应线段 平行 (或在一条直线上)且相等;对应角 相等
1.(1)下列现象不属于平移的是(A) A.足球在操场上沿直线滚动 B.平移推拉大铁门 C.一个铁球从高处自由落下 D.汽车沿平直公路由A地到B地 (2)如图,将△ABC沿OM方向平移一定的距离得到△A'B'C',则下列结论不正确的是(C) A.AA'∥BB' B.AA'=BB' C.∠ACB=∠A'B'C' D.BC=B'C'
2.平移作图的一般步骤 (1)确定平移的 方向 ,平移的 距离 ; (2)找出图形的 关键点 ; (3)依次找出各关键点的 对应点 ,并标上相应的 字母 ; (4)顺次连接各 对应点 . 2.下列平移作图不正确的是(C)
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 图形的平移及性质的应用(抽象能力)
【典例1】如图,将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,已知AB=6,HD=2,CF=3,则图中阴影部分的面积为(B)
A.12 B.15 C.18 D.24
【举一反三】
1.如图,将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC,若△DEF的周长为20 cm,则四边形ABFD的周长为(A)
A.26 cm B.25 cm
C.23 cm D.20 cm
2.如图,△ABC沿直线l向右平移4 cm,得到△FDE,且BC=6 cm,∠ABC=45°.
(1)求BE的长.
(2)求∠FDB的度数.
【解析】(1)由平移知,BD=CE=4 cm.∵BC=6 cm,∴BE=BC+CE=6+4=10 cm.
(2)由平移知,∠FDE=∠ABC=45°,
∴∠FDB=180°-∠FDE=135°.
【技法点拨】
平移性质理解的两个角度
(1)位置:对应线段平行或在同一条直线上;对应点的连线平行或在同一条直线上;
(2)数量:对应线段相等;对应角相等;对应点的连线相等.
重点2 平移作图(几何直观)
【典例2】(教材再开发·P66例1强化)如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C',图中标出了点B的对应点B',利用网格点和直尺,完成下列各题:
(1)补全△A'B'C';
(2)连接AA',BB',则这两条线段之间的关系是 ;
(3)在BB'上找到一点Q,使得△BCQ与△ABC的面积相等;
(4)如果B(-1,5),C(-1,1),请建立合适的平面直角坐标系并写出A'点的坐标.
【解析】(1)如图所示,△A'B'C'即为所求;
(2)连接AA',BB',则这两条线段之间的关系是平行且相等.
答案:平行且相等
(3)如图所示,作AQ∥BC,交BB'于Q点,点Q即为所求;
(4)如图,A'(-11,-2).
【举一反三】
1.(2024·烟台期末)如图,△ABC平移到△DEF的位置,则下列说法:①AB∥DE,AD=CF=BE;②∠ACB=∠DEF;③平移的方向是点C到点F的方向;④平移距离为线段BD的长.其中说法正确的有(B)
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
2.平移△ABC,使点A移动到点A',画出平移后的△A'B'C'(不写作法,保留作图痕迹).
【解析】如图,△A'B'C'为所作.
【技法点拨】
平移作图的四个步骤11.1 图形的平移
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过具体实例认识平面图形的平移,探索它的基本性质,会进行简单的平移画图 抽象能力、几何直观
2.经历有关平移的观察、操作、分析及抽象概括等过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念 空间观念
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1. 平移定义在平面内,将一个图形沿某个 移动一定的 的图形运动 两要素 与 性质(1)平移不改变物体的 与 ,平移只改变物体的 . (2)平移前后对应点所连的线段的位置关系是 (或在一条直线上),大小关系是 . (3)对应线段 (或在一条直线上)且相等;对应角
1.(1)下列现象不属于平移的是( ) A.足球在操场上沿直线滚动 B.平移推拉大铁门 C.一个铁球从高处自由落下 D.汽车沿平直公路由A地到B地 (2)如图,将△ABC沿OM方向平移一定的距离得到△A'B'C',则下列结论不正确的是( ) A.AA'∥BB' B.AA'=BB' C.∠ACB=∠A'B'C' D.BC=B'C'
2.平移作图的一般步骤 (1)确定平移的 ,平移的 ; (2)找出图形的 ; (3)依次找出各关键点的 ,并标上相应的 ; (4)顺次连接各 . 2.下列平移作图不正确的是( )
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1 图形的平移及性质的应用(抽象能力)
【典例1】如图,将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,已知AB=6,HD=2,CF=3,则图中阴影部分的面积为( )
A.12 B.15 C.18 D.24
【举一反三】
1.如图,将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC,若△DEF的周长为20 cm,则四边形ABFD的周长为( )
A.26 cm B.25 cm
C.23 cm D.20 cm
2.如图,△ABC沿直线l向右平移4 cm,得到△FDE,且BC=6 cm,∠ABC=45°.
(1)求BE的长.
(2)求∠FDB的度数.
【技法点拨】
平移性质理解的两个角度
(1)位置:对应线段平行或在同一条直线上;对应点的连线平行或在同一条直线上;
(2)数量:对应线段相等;对应角相等;对应点的连线相等.
重点2 平移作图(几何直观)
【典例2】(教材再开发·P66例1强化)如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C',图中标出了点B的对应点B',利用网格点和直尺,完成下列各题:
(1)补全△A'B'C';
(2)连接AA',BB',则这两条线段之间的关系是 ;
(3)在BB'上找到一点Q,使得△BCQ与△ABC的面积相等;
(4)如果B(-1,5),C(-1,1),请建立合适的平面直角坐标系并写出A'点的坐标.
【举一反三】
1.(2024·烟台期末)如图,△ABC平移到△DEF的位置,则下列说法:①AB∥DE,AD=CF=BE;②∠ACB=∠DEF;③平移的方向是点C到点F的方向;④平移距离为线段BD的长.其中说法正确的有( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
2.平移△ABC,使点A移动到点A',画出平移后的△A'B'C'(不写作法,保留作图痕迹).
【技法点拨】
平移作图的四个步骤
