11.2 图形的旋转
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.进一步巩固旋转的基本性质 模型观念、抽象能力
2.运用旋转的有关概念和基本性质分析和解决几何问题 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
几何图形的位置、大小或形状发生变化时.可能存在某些不变的量和不变的数量关系或位置关系.例如图形在旋转时,对应点到旋转中心的距离 ,两组对应点分别与旋转中心所成的角 ,在轴对称、平移等变化中也有不变量.有些数学问题往往需要找出变化中的不变量或不变关系,或者从不变量入手加以解决. 1.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后,得到矩形AB'C'D'.若CD=8,AD=6,连接CC',则CC'的长是( ) A.20 B.100 C.10 D.10 2.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为24,DE=2,则AE的长为 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点 运用旋转的性质解决几何问题(几何直观、推理能力)
【典例】(教材再开发·P180例3改编)在正方形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,且EO⊥FO,连接EF.
(1)如图1,若AC=4,BE=1,求线段EF的长;
(2)如图2,将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O'处,∠EO'F绕点O'旋转,O'E交BC的延长线上一点E,射线O'F交CD的延长线上一点F,连接EF,求证:CF-CE=O'C.
【举一反三】
1.如图,边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG,连接CF,则CF的长是( )
A.4 B.4 C.4 D.4-4
2.如图,正方形ABCD中,将边AB绕点A逆时针旋转,得到AE,连接EC,ED.当点E落在BC的垂直平分线上时,∠CED的度数为 .
3.如图,在正方形ABCD中,点M在CD边上,且△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF,连接EF.
(1)求证:∠FAB=∠MAE;
(2)若AB=5,DM=2,求线段EF的长.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为( )
A.6 B.6 C.9 D.9
2.(4分·推理能力)如图,将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG,若AE经过点C,CD与EF相交于H,∠B=α,∠CHE=β,则β=( )
A.45°-α B.90°-α
C.90°-2α D.180°-3α
3.(4分·几何直观、推理能力)如图, ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到 AB'C'D'(点B与点B'是对应点,点C与点C'是对应点,点D与点D'是对应点),此时,点B'恰好落在BC边上,则∠C= .
4.(8分·抽象能力、推理能力)如图,矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形FECG,连接DG交EF于点H,连接AF交DG于点M.求证:AM=FM.11.2 图形的旋转
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.进一步巩固旋转的基本性质 模型观念、抽象能力
2.运用旋转的有关概念和基本性质分析和解决几何问题 几何直观、推理能力
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
几何图形的位置、大小或形状发生变化时.可能存在某些不变的量和不变的数量关系或位置关系.例如图形在旋转时,对应点到旋转中心的距离 不变 ,两组对应点分别与旋转中心所成的角 不变 ,在轴对称、平移等变化中也有不变量.有些数学问题往往需要找出变化中的不变量或不变关系,或者从不变量入手加以解决. 1.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后,得到矩形AB'C'D'.若CD=8,AD=6,连接CC',则CC'的长是(D) A.20 B.100 C.10 D.10 2.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为24,DE=2,则AE的长为 2 .
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点 运用旋转的性质解决几何问题(几何直观、推理能力)
【典例】(教材再开发·P180例3改编)在正方形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,且EO⊥FO,连接EF.
(1)如图1,若AC=4,BE=1,求线段EF的长;
(2)如图2,将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O'处,∠EO'F绕点O'旋转,O'E交BC的延长线上一点E,射线O'F交CD的延长线上一点F,连接EF,求证:CF-CE=O'C.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=CD,∠ABC=90°=∠COB=∠COD,∠OCB=∠ODC=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴AB===4,∵EO⊥FO,
∴∠EOF=90°,即∠COE+∠COF=90°,
∵∠DOF+∠COF=90°,∴∠COE=∠DOF,
在△COE和△DOF中,,
∴△COE≌△DOF(ASA),∴CE=DF,
∵BE=1,∴CE=BC-BE=4-1=3,
∴DF=CE=3,CF=CD-DF=4-3=1,
在Rt△CEF中,EF===;
(2)如图,过点O'作O'G⊥AC交CF于点G,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BD,∠OCD=∠ODC=45°,
∴O'G⊥AC,∠OCE=∠OCD+∠FCE=45°+90°=135°,
∵EO'⊥FO',
∴∠EO'F=90°,
∠FO'G+∠EO'G=90°,
∵∠CO'E+∠EO'G=90°,
∴∠FO'G=∠CO'E,
∵O'G∥BD,
∴∠O'GC=∠ODC=45°,
∴△O'GC为等腰直角三角形,
CG=O'C,
∠O'GF=180°-∠O'GC=180°-45°=135°,
∴O'G=O'C,∠O'GF=∠O'CE=135°,
在△O'GF和△O'CE中,
,
∴△O'GF≌△O'CE(ASA),
∴GF=CE,
∴CF-CE=CF-GF=CG=O'C.
【举一反三】
1.如图,边长为4的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG,连接CF,则CF的长是(C)
A.4 B.4 C.4 D.4-4
2.如图,正方形ABCD中,将边AB绕点A逆时针旋转,得到AE,连接EC,ED.当点E落在BC的垂直平分线上时,∠CED的度数为 75°或15° .
3.如图,在正方形ABCD中,点M在CD边上,且△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF,连接EF.
(1)求证:∠FAB=∠MAE;
(2)若AB=5,DM=2,求线段EF的长.
【解析】(1)∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,
∴∠MAE=∠DAM.
∵△ABF由△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到,
∴∠FAB=∠DAM,
∴∠FAB=∠MAE.
(2)如图,连接BM,
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,
∴AD=AE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∴AB=AE.
∵∠FAB=∠MAE,
∴∠FAB+∠BAE=∠MAE+∠BAE,
即∠FAE=∠MAB.
∵△ABF由△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到,
∴AM=AF.
在△AEF和△ABM中,
,
∴△AEF≌△ABM(SAS),
∴EF=BM.
∵AB=5,DM=2,
∴CD=AB=5,
∴CM=CD-DM=5-2=3.
在Rt△BCM中,
BM==,
∴EF=BM=.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为(D)
A.6 B.6 C.9 D.9
2.(4分·推理能力)如图,将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形AEFG,若AE经过点C,CD与EF相交于H,∠B=α,∠CHE=β,则β=(B)
A.45°-α B.90°-α
C.90°-2α D.180°-3α
3.(4分·几何直观、推理能力)如图, ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到 AB'C'D'(点B与点B'是对应点,点C与点C'是对应点,点D与点D'是对应点),此时,点B'恰好落在BC边上,则∠C= 105° .
4.(8分·抽象能力、推理能力)如图,矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形FECG,连接DG交EF于点H,连接AF交DG于点M.求证:AM=FM.
【证明】由旋转性质可得CD=CG,AD=FG,∠DCG=90°,∴∠DGC=45°.
∴∠DGF=45°.
∵∠EFG=90°,∴HF=FG=AD.
∵四边形ABCD与四边形FECG为矩形,
∴AD∥EF.∴∠DAM=∠HFM.
又∠DMA=∠HMF,
∴△ADM≌△FHM(AAS).
∴AM=FM.11.2 图形的旋转
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过具体实例认识平面图形的旋转,探索其基本性质,会进行简单的旋转作图 抽象能力、几何直观
2.经历有关旋转的观察、操作、分析及抽象、概括的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念 空间观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
旋转的概念及性质 定义在平面内,把一个图形绕一个 定点 按某个方向转动一个 角度 的图形运动 旋转中心——定点 O 旋转角——∠α或 ∠AOA'或∠COC' 对应点——A和 A' ,B和 B' ,C和 C' 性质1.对应点到旋转中心的距离 相等 ; 2.两组对应点与旋转中心的连线所成的角都 相等 ; 3.对应线段相等,对应角相等
1.下列运动中,属于旋转运动的是(D) A.小明向北走了4米 B.一物体从高空坠下 C.电梯从1楼到12楼 D.小明在荡秋千 2.将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是(A) 3.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE,则下列作图正确的是(D)
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 旋转的概念及性质(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P177例2改编)如图所示,已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE.
(1)图中哪一个点是旋转中心
(2)按什么方向旋转了多少度
(3)∠ECF的度数是多少
(4)如果CF=3 cm,求CE的长.
【自主解答】(1)△DCF绕点C逆时针旋转得到△BCE,所以旋转中心为点C;
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴CB=CD,∠BCD=90°,∴△DCF绕点C逆时针旋转90°得到△BCE;
(3)∠ECF和∠DCB都表示旋转角,即∠ECF=∠DCB=90°;
(4)CF和CE是对应边,即CE=3 cm.
【举一反三】
1.(2023·天津中考)如图,把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E,且点E在BC的延长线上,连接BD,则下列结论一定正确的是(A)
A.∠CAE=∠BED B.AB=AE
C.∠ACE=∠ADE D.CE=BD
2.(2023·通辽中考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=24°,则旋转角α的度数为(C)
A.24° B.28° C.48° D.66°
【技法点拨】
图形旋转问题的三个特征
1.只要图形旋转必有等腰三角形;
2.只要旋转90°,必有等腰直角三角形;
3.只要旋转60°,必有等边三角形.
重点2旋转作图(几何直观、空间观念)
【典例2】(教材再开发·P179练习T1改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,2),B(0,3),C(1,0).
(1)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1,写出点A1,B1,C1的坐标,并在图中作出△A1B1C1;
(2)求△A1B1C1的面积.
【解析】(1)点A1(2,-2),B1(3,0),C1(0,-1).
如图,△A1B1C1即为所求.
(2)=2×3-×2×1-×1×2-×1×3=6-1-1-=.
【举一反三】
1.(2023·金华中考)在直角坐标系中,点(4,5)绕原点O逆时针方向旋转90°,得到的点的坐标为 (-5,4) .
2.在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系,已知格点△ABC(顶点为网格线的交点).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△C1A2B2,画出△C1A2B2;
(3)若点A的坐标是(-1,2),则点A2的坐标是 .
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△C1A2B2即为所求.
(3)由图可得,点A2的坐标是(3,-2).
答案:(3,-2)
【技法点拨】
旋转作图11.2 图形的旋转
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过具体实例认识平面图形的旋转,探索其基本性质,会进行简单的旋转作图 抽象能力、几何直观
2.经历有关旋转的观察、操作、分析及抽象、概括的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念 空间观念
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
旋转的概念及性质 定义在平面内,把一个图形绕一个 按某个方向转动一个 的图形运动 旋转中心——定点 旋转角——∠α或 对应点——A和 ,B和 ,C和 性质1.对应点到旋转中心的距离 ; 2.两组对应点与旋转中心的连线所成的角都 ; 3.对应线段相等,对应角相等
1.下列运动中,属于旋转运动的是( ) A.小明向北走了4米 B.一物体从高空坠下 C.电梯从1楼到12楼 D.小明在荡秋千 2.将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是( ) 3.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE,则下列作图正确的是( )
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1 旋转的概念及性质(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P177例2改编)如图所示,已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE.
(1)图中哪一个点是旋转中心
(2)按什么方向旋转了多少度
(3)∠ECF的度数是多少
(4)如果CF=3 cm,求CE的长.
【举一反三】
1.(2023·天津中考)如图,把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E,且点E在BC的延长线上,连接BD,则下列结论一定正确的是( )
A.∠CAE=∠BED B.AB=AE
C.∠ACE=∠ADE D.CE=BD
2.(2023·通辽中考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=24°,则旋转角α的度数为( )
A.24° B.28° C.48° D.66°
【技法点拨】
图形旋转问题的三个特征
1.只要图形旋转必有等腰三角形;
2.只要旋转90°,必有等腰直角三角形;
3.只要旋转60°,必有等边三角形.
重点2旋转作图(几何直观、空间观念)
【典例2】(教材再开发·P179练习T1改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,2),B(0,3),C(1,0).
(1)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1,写出点A1,B1,C1的坐标,并在图中作出△A1B1C1;
(2)求△A1B1C1的面积.
【举一反三】
1.(2023·金华中考)在直角坐标系中,点(4,5)绕原点O逆时针方向旋转90°,得到的点的坐标为 .
2.在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系,已知格点△ABC(顶点为网格线的交点).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△C1A2B2,画出△C1A2B2;
(3)若点A的坐标是(-1,2),则点A2的坐标是 .
【技法点拨】
旋转作图
