11.3 图形的中心对称
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.认识中心对称图形的概念,掌握它的性质和判定 模型观念、抽象能力
2.掌握平行四边形是中心对称图形,并应用解决问题 推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
中心对称图形:在平面内,一个图形经过 中心对称 能与原来的图形重合. 在“正三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形”中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 正三角形 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1中心对称图形(模型观念、抽象能力、推理能力)
【典例1】我国民间,流传着许多含有吉祥意义的文字图案,表示对幸福生活的向往,良辰佳节的祝贺.比如下列图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”,其中是中心对称图形的是(D)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【举一反三】
1.下面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
2.图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成,若要在①,②,③,④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形,使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形,则这个正方形应该添加在(B)
A.区域①处 B.区域②处
C.区域③处 D.区域④处
【技法点拨】
判定中心对称图形的3个方法
1.定义判定法.一个图形绕点旋转180°与原图形重合,就是中心对称图形;
2.图形中的对应点的连线都经过同一个点,并且被这个点平分,则这个图形就是中心对称图形;
3.偶数正多边形是中心对称图形.
重点2 中心对称图形性质的应用(模型观念、空间观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P190T11改编)如图,平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A坐标为(6,0),C点坐标为(2,2),若直线y=mx+2平分平行四边形OABC的面积,求m的值.
【自主解答】连接CA,OB交于点G,
则点G的坐标为(4,1),
∵直线y=mx+2平分 OABC的面积,
∴直线y=mx+2经过点G,
则1=4m+2,解得m=-.
【举一反三】
1.为更好地开展劳动教育课程,学校计划将一块 OABC空地(如图)修建一条笔直的小路(小路宽度忽略不计).有两个要求:①经过BC边上一点P;②分成面积相等的两部分.则小路除了经过点P外,还经过(B)
A.点A
B.OB的中点
C.OA的中点
D.AB边上的H点,且AH=CP
2.如图,在平行四边形ABCD中作GH∥AD,EF∥AB交AD,GH于E,F,现用一条直线将平行四边形GHBC与DEFG分成面积相等的两部分,并说明理由.
【解析】如图所示,直线l将平行四边形GHBC与DEFG分成面积相等的两部分.找到平行四边形GHBC与平行四边形DEFG的对称中心,并且把对称中心连接即为所求的直线.
因为平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积相等.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)随着我国航天领域的快速发展,从“天宫一号”发射升空,到天和核心舱归位,我国正式迈入了“空间站时代”.下面是有关我国航天领域的图标,其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
2.(5分·几何直观、推理能力)如图,是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形,如果去掉其中一个正方形,使得剩下的图形是一个中心对称图形,那么不同的去法有 2 种.
3.(6分·推理能力、应用意识)如图,在平行四边形中挖去一个矩形,请用无刻度的直尺,准确作出一条直线将剩下图形的面积平分.(保留作图痕迹)
【解析】如图所示:
4.(6分·抽象能力、推理能力)如图,五个边长都为2 cm的正方形按如图所示摆放,点A,B,C,D分别是四个正方形的对角线的交点,求图中四块阴影面积的总和.
【解析】由正方形的性质得,一个阴影部分的面积等于正方形面积的,
所以,四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积,
∵五个正方形的边长都为2 cm,
∴四块阴影面积的总和=22=4(cm2).11.3 图形的中心对称
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.认识中心对称图形的概念,掌握它的性质和判定 模型观念、抽象能力
2.掌握平行四边形是中心对称图形,并应用解决问题 推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
中心对称图形:在平面内,一个图形经过 能与原来的图形重合. 在“正三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形”中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1中心对称图形(模型观念、抽象能力、推理能力)
【典例1】我国民间,流传着许多含有吉祥意义的文字图案,表示对幸福生活的向往,良辰佳节的祝贺.比如下列图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”,其中是中心对称图形的是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【举一反三】
1.下面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成,若要在①,②,③,④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形,使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形,则这个正方形应该添加在( )
A.区域①处 B.区域②处
C.区域③处 D.区域④处
【技法点拨】
判定中心对称图形的3个方法
1.定义判定法.一个图形绕点旋转180°与原图形重合,就是中心对称图形;
2.图形中的对应点的连线都经过同一个点,并且被这个点平分,则这个图形就是中心对称图形;
3.偶数正多边形是中心对称图形.
重点2 中心对称图形性质的应用(模型观念、空间观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P190T11改编)如图,平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A坐标为(6,0),C点坐标为(2,2),若直线y=mx+2平分平行四边形OABC的面积,求m的值.
【举一反三】
1.为更好地开展劳动教育课程,学校计划将一块 OABC空地(如图)修建一条笔直的小路(小路宽度忽略不计).有两个要求:①经过BC边上一点P;②分成面积相等的两部分.则小路除了经过点P外,还经过( )
A.点A
B.OB的中点
C.OA的中点
D.AB边上的H点,且AH=CP
2.如图,在平行四边形ABCD中作GH∥AD,EF∥AB交AD,GH于E,F,现用一条直线将平行四边形GHBC与DEFG分成面积相等的两部分,并说明理由.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念、抽象能力)随着我国航天领域的快速发展,从“天宫一号”发射升空,到天和核心舱归位,我国正式迈入了“空间站时代”.下面是有关我国航天领域的图标,其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.(5分·几何直观、推理能力)如图,是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形,如果去掉其中一个正方形,使得剩下的图形是一个中心对称图形,那么不同的去法有 种.
3.(6分·推理能力、应用意识)如图,在平行四边形中挖去一个矩形,请用无刻度的直尺,准确作出一条直线将剩下图形的面积平分.(保留作图痕迹)
4.(6分·抽象能力、推理能力)如图,五个边长都为2 cm的正方形按如图所示摆放,点A,B,C,D分别是四个正方形的对角线的交点,求图中四块阴影面积的总和.11.3 图形的中心对称
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.认识中心对称的概念,掌握它的性质和判定 模型观念、抽象能力
2.画成中心对称的图形 推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.(1)中心对称:在平面内将一个图形绕某一定点旋转180°的变化.这个定点叫做对称中心. (2)关于定点成中心对称:一个图形经过中心对称能与另一个图形重合. 1.如图,已知△ABC与△DEF成中心对称,则对称中心可能是(D) A.点C B.点E C.线段BC的中点 D.线段BE的中点
2.成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过 对称中心 ,且被对称中心 平分 . 2.如图,△ABC与△DEF关于O点成中心对称.则线段BC与EF的关系是 平行且相等 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1中心对称(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P185T1改编)如图,△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称,某同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C',请你帮该同学找到对称中心O,且补全△A'B'C'.
【自主解答】如图所示,BB',CC'的交点即为O,△A'B'C'即为所求.
【举一反三】
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有(C)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,DF=CF,连接AF交BC的延长线于E点,请证明△ADF与△ECF关于点F成中心对称.
【证明】∵AD∥BC,∴∠DAF=∠CEF,
又∵∠AFD=∠EFC,DF=CF,
∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,
∴△ADF与△ECF关于点F成中心对称.
【技法点拨】
确定对称中心的两种方法
1.连接一对对应点,该线段的中点即为对称中心;
2.连接两对对应点,交点即为对称中心.
重点2 中心对称的性质(抽象能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P192T6改编)如图,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A成中心对称.
(1)四边形BDEG是菱形吗 请说明理由.
(2)若矩形ABCD面积为8,求四边形BDEG的面积.
【解析】(1)四边形BDEG是菱形.
∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A成中心对称,
∴AB=AE,AD=AG,BE⊥DG,
∴根据勾股定理得:BD2=DE2=EG2=GB2=AB2+AD2,
∴四边形BDEG是菱形.
(2)因为矩形ABCD面积为8,
则S△ABD=S矩形ABCD=4,
∴根据菱形性质:
四边形BDEG的面积为S四边形BDEG=4S△ABD=16.
【举一反三】
1.如图,BO是等腰三角形ABC的底边的中线,AC=2,BO=,△PQC与△BOC关于点C成中心对称,连接AP,则AP的长是(D)
A.4 B.4 C.3 D.2
2.如图,△AGB与△CGD关于点G成中心对称,若点E,F分别在GA,GC上,且AF=CE.
求证:BF=DE.
【解析】因为△AGB与△CGD关于点G成中心对称,
所以△AGB≌△CGD,
所以AG=CG,BG=DG,
因为AF=CE,
则AF-EF=CE-EF,
所以AE=CF,
因为AG=CG,
所以AG-AE=CG-CF,
即EG=FG,
因为∠BGF=∠DGE,BG=DG,
所以△BGF≌△DGE(SAS),
则BF=DE.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)如图,△ABC与△DEF关于某点成中心对称,则其对称中心是(C)
A.点P B.点Q C.点M D.点N
2.(4分·推理能力)如图,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=2,
∠CAB=90°,则AE的长为(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(4分·推理能力)已知点A(a,1)和点B(3,b)关于点(5,0)成中心对称,则a+b的值为 6 .
4.(8分·抽象能力、推理能力)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是CD上一点,点D与点C关于点E成中心对称,连接AE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)E是线段CD的 ,点A与点F关于点 成中心对称;
(2)若AB=AD+BC,求证:△ABF是等腰三角形.
【解析】(1)∵点D与点C关于点E成中心对称,
∴E是线段CD的中点,DE=EC,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠DCF,
在△ADE与△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(ASA),
∴AE=FE,AD=CF,
∴点A与点F关于点E成中心对称.
答案:中点 E
(2)∵AB=AD+BC,
∴AB=BF,
∴△ABF是等腰三角形.11.3 图形的中心对称
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.认识中心对称的概念,掌握它的性质和判定 模型观念、抽象能力
2.画成中心对称的图形 推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.(1)中心对称:在平面内将一个图形绕某一定点旋转180°的变化.这个定点叫做对称中心. (2)关于定点成中心对称:一个图形经过中心对称能与另一个图形重合. 1.如图,已知△ABC与△DEF成中心对称,则对称中心可能是( ) A.点C B.点E C.线段BC的中点 D.线段BE的中点
2.成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过 ,且被对称中心 . 2.如图,△ABC与△DEF关于O点成中心对称.则线段BC与EF的关系是 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1中心对称(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P185T1改编)如图,△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心对称,某同学不小心把墨水泼在纸上,只能看到△ABC和线段BC的对应线段B'C',请你帮该同学找到对称中心O,且补全△A'B'C'.
【举一反三】
1.下列四组图形中,左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,DF=CF,连接AF交BC的延长线于E点,请证明△ADF与△ECF关于点F成中心对称.
【技法点拨】
确定对称中心的两种方法
1.连接一对对应点,该线段的中点即为对称中心;
2.连接两对对应点,交点即为对称中心.
重点2 中心对称的性质(抽象能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P192T6改编)如图,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A成中心对称.
(1)四边形BDEG是菱形吗 请说明理由.
(2)若矩形ABCD面积为8,求四边形BDEG的面积.
【举一反三】
1.如图,BO是等腰三角形ABC的底边的中线,AC=2,BO=,△PQC与△BOC关于点C成中心对称,连接AP,则AP的长是( )
A.4 B.4 C.3 D.2
2.如图,△AGB与△CGD关于点G成中心对称,若点E,F分别在GA,GC上,且AF=CE.
求证:BF=DE.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)如图,△ABC与△DEF关于某点成中心对称,则其对称中心是( )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
2.(4分·推理能力)如图,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=2,
∠CAB=90°,则AE的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(4分·推理能力)已知点A(a,1)和点B(3,b)关于点(5,0)成中心对称,则a+b的值为 .
4.(8分·抽象能力、推理能力)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是CD上一点,点D与点C关于点E成中心对称,连接AE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)E是线段CD的 ,点A与点F关于点 成中心对称;
(2)若AB=AD+BC,求证:△ABF是等腰三角形.
