1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第2课时
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A. m B.4 m C.4 m D.8 m
2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长是( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则AB的长度是( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm
4.(2024·永州冷水滩区期中)等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.不能确定
知识点2 直角三角形性质的应用
5.(2024·湘西州花垣县期中)如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( )
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
6.如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为( )
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm
7.(2024·长沙模拟)如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图,当它关闭时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,挡板边缘AC=BD=70 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当挡板收起后,可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A.(70+10) cm B.80 cm
C.(70+10) cm D.90 cm
8.(教材再开发·P5例3变式)如图所示,为了躲避海盗,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险
9.在△ABC中,AB=AC=10,∠A=30°,则△ABC的面积为 .
10.(2024·邵阳隆回县期末)如图,树AB垂直于地面,为测树高,小华在C处测得∠ACB=15°,然后他沿CB方向走了30米,到达D处,测得∠ADB=30°,则树的高度AB= .
11.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PD=4,则PC的长为 .
12.(2024·邵阳期末)已知:如图,△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线交于点D,过点D的AC的平行线分别交AB于E,交BC于F.
(1)求证:EF=AE+CF;
(2)若∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,求△BEF的周长.
13.(2024·邵东质检)如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC边的中点,PD⊥AC.求证:CD=3AD.第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1课时
知识点1 直角三角形的性质
1.(2024·株洲茶陵县期末)在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为(C)
A.40° B.45° C.50° D.60°
2.(2024·怀化新晃县期中)在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=(B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
3. (2023·岳阳中考)已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF=40°,则∠EGF的度数是(C)
A.40° B.45° C.50° D.60°
知识点2 直角三角形的判定
4.(2024·十堰茅箭区质检)在下列条件中:
①∠A=90°-∠B;②∠A=∠B=2∠C;③∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2;④∠A+∠B=∠C能确定△ABC为直角三角形的条件有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2024·邵东质检)在△ABC中,∠A=55°,∠B=35°,那么这个三角形是 直角 三角形.
知识点3 直角三角形的斜边中线的性质
6.(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD=(B)
A.3.5 cm B.3 cm
C.4.5 cm D.6 cm
7.(2024·邵阳新邵县期中)在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=1,则AB= 2 .
8. (教材再开发·P4练习T2改编)如图,AB∥CD,∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点,E为AC的中点,若EH+AC=18.则AC= 12 .
9.(2024·娄底质检)如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点.
(1)求证:DE=CE;
(2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC.
【解析】(1)∵在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点,
∴DE=AB,CE=AB,
∴DE=CE;
(2)在Rt△ADB和Rt△ABC中,
∵∠ADB=90°,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DBA=40°,
∴∠DAB=90°-∠DBA=50°,∠ABC=90°-∠CAB=60°,
∵E是AB的中点,
∴DE=AB=AE,CE=AB=BE,
∴∠ADE=∠DAB=50°,∠ECB=∠ABC=60°,
∴∠DEA=180°-∠DAB-∠ADE=180°-50°-50°=80°,∠CEB=180°-∠ECB-∠CBA
=180°-60°-60°=60°,
∴∠DEC=180°-∠DEA-∠CEB=180°-80°-60°=40°.
10.(2024·长沙岳麓区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,连接AD,∠CAD∶∠DAB=2∶5,∠ADC的度数为(C)
A.55° B.65° C.75° D.85°
11.(2023·岳阳岳阳楼区期中)如图,BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是 13 .
12.在下列条件:①∠A+∠B+∠C=180°;②∠A∶∠B∶∠C=4∶5∶9;③∠A=∠B
=∠C;④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC为直角三角形的条件有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
13.(2023·长沙天心区质检)如图,△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,DC=BF,点E是CF的中点.
(1)求证:DE⊥CF;
(2)求证:∠B=2∠BCF.
【证明】(1)连接DF,
∵AD是边BC上的高,∴∠ADB=90°,
∵点F是AB的中点,∴DF=AB=BF,
∵DC=BF,∴DC=DF,
∵点E是CF的中点.∴DE⊥CF;
(2)∵DC=DF,∴∠DFC=∠DCF,
∴∠FDB=∠DFC+∠DCF=2∠DFC,
∵DF=BF,∴∠FDB=∠B,
∴∠B=2∠BCF.
14.(2023·长沙开福区质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AM,AN分别为BC边上的高和中线,且AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm.
(1)求AM的长;
(2)求△ACN和△ABN的周长之差;
(3)若E为AB边的三等分点,连接CE,与AN交于F点,记△AEF的面积为S1,△CFN的面积为S2,求S1-S2的值.
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm,AM为BC边上的高,
∴S△ABC=BC·AM=AB·AC,
∴AM===(cm),
即AM的长度为 cm.
(2)∵AN为BC边上的中线,
∴BN=CN,
∴△ACN的周长-△ABN的周长=AC+CN+AN-(BN+AN+AB)=AC-AB=12-5=7(cm),
即△ACN和△ABN的周长之差为7 cm.
(3)∵点E是AB边的三等分点,
∴有以下两种情况:
①当BE=AB时,如图1所示:
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5 cm,AC=12 cm,
∴S△ABC=AB·AC=×5×12=30(cm2),
∵AN为BC边上的中线,
∴S△ABN=S△ABC=15 cm2,
∴S△AEF+S四边形BEFN=15(cm2),即S1+S四边形BEFN=15(cm2),
∵BE=AB,
∴S△CBE=S△ABC=10(cm2),
∴S△CFN+S四边形BEFN=10(cm2),即S2+S四边形BEFN=10(cm2),
∴S1-S2=5;
②当AE=AB时,如图2所示:
同理得:S1+S四边形BEFN=15(cm2),
∵AE=AB,∴BE=AB,
∴S△CBE=S△ABC=20(cm2),即S2+S四边形BEFN=20(cm2),
∴S1-S2=-5.
综上所述:S1-S2的值为±5.第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1课时
知识点1 直角三角形的性质
1.(2024·株洲茶陵县期末)在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
2.(2024·怀化新晃县期中)在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
3. (2023·岳阳中考)已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF=40°,则∠EGF的度数是( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
知识点2 直角三角形的判定
4.(2024·十堰茅箭区质检)在下列条件中:
①∠A=90°-∠B;②∠A=∠B=2∠C;③∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2;④∠A+∠B=∠C能确定△ABC为直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2024·邵东质检)在△ABC中,∠A=55°,∠B=35°,那么这个三角形是 三角形.
知识点3 直角三角形的斜边中线的性质
6.(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD=( )
A.3.5 cm B.3 cm
C.4.5 cm D.6 cm
7.(2024·邵阳新邵县期中)在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=1,则AB= .
8. (教材再开发·P4练习T2改编)如图,AB∥CD,∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点,E为AC的中点,若EH+AC=18.则AC= .
9.(2024·娄底质检)如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点.
(1)求证:DE=CE;
(2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC.
10.(2024·长沙岳麓区期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,连接AD,∠CAD∶∠DAB=2∶5,∠ADC的度数为( )
A.55° B.65° C.75° D.85°
11.(2023·岳阳岳阳楼区期中)如图,BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是 .
12.在下列条件:①∠A+∠B+∠C=180°;②∠A∶∠B∶∠C=4∶5∶9;③∠A=∠B
=∠C;④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC为直角三角形的条件有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
13.(2023·长沙天心区质检)如图,△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,DC=BF,点E是CF的中点.
(1)求证:DE⊥CF;
(2)求证:∠B=2∠BCF.
14.(2023·长沙开福区质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AM,AN分别为BC边上的高和中线,且AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm.
(1)求AM的长;
(2)求△ACN和△ABN的周长之差;
(3)若E为AB边的三等分点,连接CE,与AN交于F点,记△AEF的面积为S1,△CFN的面积为S2,求S1-S2的值.1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第2课时
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(B)
A. m B.4 m C.4 m D.8 m
2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长是(D)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则AB的长度是(D)
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm
4.(2024·永州冷水滩区期中)等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是(C)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.不能确定
知识点2 直角三角形性质的应用
5.(2024·湘西州花垣县期中)如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为(B)
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
6.如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为(C)
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm
7.(2024·长沙模拟)如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图,当它关闭时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,挡板边缘AC=BD=70 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当挡板收起后,可以通过闸机的物体的最大宽度为(B)
A.(70+10) cm B.80 cm
C.(70+10) cm D.90 cm
8.(教材再开发·P5例3变式)如图所示,为了躲避海盗,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险
【解析】过点P作PC⊥AB于点C.
∵∠PAB=90°-75°=15°,∠PBC=90°-60°=30°,
又∵∠PBC=∠PAB+∠APB,
∴∠PAB=∠APB=15°,
∴BP=AB=20×2=40(海里),
在Rt△PBC中,PC=PB=40×=20<22.
若轮船仍向前航行有触礁的危险.
9.在△ABC中,AB=AC=10,∠A=30°,则△ABC的面积为 25 .
10.(2024·邵阳隆回县期末)如图,树AB垂直于地面,为测树高,小华在C处测得∠ACB=15°,然后他沿CB方向走了30米,到达D处,测得∠ADB=30°,则树的高度AB= 15米 .
11.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PD=4,则PC的长为 8 .
12.(2024·邵阳期末)已知:如图,△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线交于点D,过点D的AC的平行线分别交AB于E,交BC于F.
(1)求证:EF=AE+CF;
(2)若∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,求△BEF的周长.
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠DAC,
∵ED∥AC,∴∠DAC=∠EDA,
∴∠EAD=∠EDA,∴EA=ED,
同理,FD=FC,
∴ED+DF=EA+FC,
即EF=AE+CF;
(2)∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴BA=2BC=6,
∴△BEF的周长为BE+ED+DF+BF=BE+EA+BF+FC=BA+BC=9.
13.(2024·邵东质检)如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC边的中点,PD⊥AC.求证:CD=3AD.
【证明】如图,连接AP,
∵AB=AC,P为BC边的中点,
∴AP⊥BC,
∵∠BAC=120°,
∴∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=30°,
∵PD⊥AC,
∴∠CPD+∠C=90°,
又∵∠APD+∠CPD=90°,
∴∠APD=∠C=30°,
∴AP=2AD,AC=2AP,
∴AC=4AD,
∴CD=AC-AD=4AD-AD=3AD,
即CD=3AD.
