1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第2课时
知识点1 勾股数
1.(2024·娄底质检)在下列四组数中,属于勾股数的是(B)
A.1,2,3
B.9,12,15
C.1,,
D.4,5,6
2.(2024·郴州汝城县期中)若一组勾股数的其中两个为5和12,则第三个勾股数是(A)
A.13 B.
C.13或 D.不确定
3.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是 17 .
知识点2 直角三角形的判定及应用
4.下列各组数中,能构成直角三角形的是(B)
A.4,5,7
B.1,1,
C.6,8,11
D.5,12,23
5.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a-3)2+|b-4|+=0,则这个三角形的形状是(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
6.已知三角形的三边长为1,2,,则它的最小角为 30 度.
7.一个三角形的三边长分别为5,12,13,则这个三角形最长边上的中线为 .
8. (2024·长沙期末)如图,在△ABC中,已知AB=AC,D是AB边上的一点,CD=3,BC=,BD=1.
(1)求证:△BCD是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)∵CD=3,BC=,BD=1,
∴CD2+BD2=32+12=10=BC2,
∴△BCD是直角三角形;
(2)由(1)知,△BCD是直角三角形,
∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°,
设AC=x,则AD=x-1,
∵CD2+AD2=AC2,
∴(x-1)2+32=x2,
解得x=5,
∴AB=AC=5,
∴△ABC的面积是==.
9.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口(如图),向北偏东40°方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的方向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30),问另一艘轮船的航行的方向是(A)
A.北偏西50° B.南偏西50°
C.南偏东40° D.北偏西40°
10.(2024·永州新田县质检)如果正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a,b,c叫做勾股数,某同学将自己探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x+y的值为(C)
A.47 B.62 C.79 D.98
11.(2024·浏阳期中)如图所示的网格是正方形网格,则∠DAB+∠DBA= 45 °.(点D,A,B是网格线交点,每个小正方形的边长为1)
12.(2024·衡阳衡南县期末)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为 36 .
13.(2024·岳阳期中)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5 m,12 m,13 m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积为_________m2;
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m(如图),你能帮助他们求出面积吗
【解析】(1)∵52+122=132,
∴三边长分别为5 m,12 m,13 m的三角形构成直角三角形,其中的直角边是5 m,
12 m,
∴此三角形的面积为×5×12=30(m2).
答案:30
(2)过点A作AH⊥BC于点H,设BH=x,则CH=14-x,
在Rt△BHA中,AH2=AB2-BH2=152-x2,
在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2=132-(14-x)2,
∴152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9,
∴AH==12,
∴△ABC的面积为BC·AH=×14×12=84(m2).
答:八(2)班劳动试验基地的面积是84 m2.
14.(2024·邵东模拟)定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.
【解析】(1)是.
理由:∵AM2+BN2=22+(2)2=16,MN2=42=16,
∴AM2+NB2=MN2,
∴AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形.
故点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设BN=x,则MN=12-AM-BN=7-x,
①当MN为最长线段时,依题意MN2=AM2+BN2,
即(7-x)2=x2+25,解得x=;
②当BN为最长线段时,依题意BN2=AM2+MN2.
即x2=25+(7-x)2,解得x=.
综上所述BN的长为或.1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时
知识点1 勾股定理
1.(2023·长沙岳麓区模拟)如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是( )
A.144 B.194 C.12 D.13
2.在△ABC中,∠C=90°,如果AB=10,BC∶AC=3∶4,则BC=( )
A.6 B.8
C.10 D.以上都不对
3.(2024·邵阳新宁县质检)Rt△ABC中,∠B=90°,AB=10,BC=6,则AC= .
4.(2024·益阳安化县期末)在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2= .
知识点2 勾股定理的应用
5.由于台风的影响,一棵树在离地面6 m处折断,树顶落在离树干底部8 m处,则这棵树在折断前(不包括树根)的长度是( )
A.8 m B.10 m
C.16 m D.18 m
6.(2024·巴中中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=( )
A.8 B.10 C.12 D.13
7.(2024·邵阳隆回县期中)如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”(如图中的实线).其实他们仅仅少走了 m,却踩伤了花草.
8.(2024·怀化新晃县期中)在一棵树的10米高的B处有两只猴子.一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处.距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等.则这棵树高多少米
9.(2023·永州冷水滩区期中)一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为( )
A.5 B. C.7或 D.5或
10.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2,且∠AOB
=30°,则OC的长度为( )
A.2 B.2 C.4 D.2
11.(2024·邵东质检)如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形茶杯中,设筷子露在杯子外面的长为a cm(茶杯装满水),则a的取值范围是 .
12.(2024·长沙浏阳市期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE=6,若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值为 .
13.(2024·湘潭模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.若AD=10 cm,则BD= cm.
14. (2024·怀化洪江县期中)如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上,这时AO为2.4 m.
(1)求OB的长度;
(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8 m到达点C,那么梯子顶端A下移多少米
15.我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形.例如:某三角形三边长分别是5,6和8,因为62+82=4×52=100,所以这个三角形是常态三角形.
(1)若△ABC三边长分别是3,2和4,则此三角形_______常态三角形(填“是”或“不是”);
(2)若Rt△ABC是常态三角形,求此三角形的三边长之比(请写出求解过程并将三边比按从小到大排列);
(3)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AD=DB=DC,若△BCD是常态三角形,求△ABC的面积.1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时
知识点1 勾股定理
1.(2023·长沙岳麓区模拟)如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是(A)
A.144 B.194 C.12 D.13
2.在△ABC中,∠C=90°,如果AB=10,BC∶AC=3∶4,则BC=(A)
A.6 B.8
C.10 D.以上都不对
3.(2024·邵阳新宁县质检)Rt△ABC中,∠B=90°,AB=10,BC=6,则AC= 2 .
4.(2024·益阳安化县期末)在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2= 8 .
知识点2 勾股定理的应用
5.由于台风的影响,一棵树在离地面6 m处折断,树顶落在离树干底部8 m处,则这棵树在折断前(不包括树根)的长度是(C)
A.8 m B.10 m
C.16 m D.18 m
6.(2024·巴中中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=(C)
A.8 B.10 C.12 D.13
7.(2024·邵阳隆回县期中)如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”(如图中的实线).其实他们仅仅少走了 4 m,却踩伤了花草.
8.(2024·怀化新晃县期中)在一棵树的10米高的B处有两只猴子.一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处.距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距离相等.则这棵树高多少米
【解析】设树的高度为x米,因两只猴子所经过的距离相等都为30米.
由勾股定理得:x2+202=[30-(x-10)]2,解得x=15.
故这棵树高15米.
9.(2023·永州冷水滩区期中)一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为(D)
A.5 B. C.7或 D.5或
10.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2,且∠AOB
=30°,则OC的长度为(D)
A.2 B.2 C.4 D.2
11.(2024·邵东质检)如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形茶杯中,设筷子露在杯子外面的长为a cm(茶杯装满水),则a的取值范围是 11≤a≤12 .
12.(2024·长沙浏阳市期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE=6,若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值为 2 .
13.(2024·湘潭模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.若AD=10 cm,则BD= 10 cm.
14. (2024·怀化洪江县期中)如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上,这时AO为2.4 m.
(1)求OB的长度;
(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8 m到达点C,那么梯子顶端A下移多少米
【解析】(1)在Rt△AOB中,OB===0.7(m);
(2)设梯子的A端下移到D,如图,
∵OC=0.7+0.8=1.5(m),
∴在Rt△OCD中,
OD===2(m),
∴AD=OA-OD=2.4-2=0.4(m),
∴梯子顶端A下移0.4 m.
15.我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形.例如:某三角形三边长分别是5,6和8,因为62+82=4×52=100,所以这个三角形是常态三角形.
(1)若△ABC三边长分别是3,2和4,则此三角形_______常态三角形(填“是”或“不是”);
(2)若Rt△ABC是常态三角形,求此三角形的三边长之比(请写出求解过程并将三边比按从小到大排列);
(3)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AD=DB=DC,若△BCD是常态三角形,求△ABC的面积.
【解析】(1)∵(2)2+42=4×32=36,
∴△ABC是常态三角形;
答案:是
(2)∵Rt△ABC是常态三角形,
∴设两直角边长为a,b,斜边长为c,
则a2+b2=c2,a2+c2=4b2,
∴2a2=3b2,
∴a∶b=∶,
设a=x,b=x,
则c=x,
∴此三角形的三边比为∶∶;
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,
AD=BD=CD,
∵△BCD是常态三角形,
当CD2+BD2=4×42时,
解得BD=CD=4,
则AB=8,
∴AC==4,
∴△ABC的面积为×4×4=8,
当CD2+BC2=4×BD2时,
解得BD=CD=,
则AB=,
∴AC=,
∴△ABC的面积为×4×=.
综上所述,△ABC的面积为8或.1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第2课时
知识点1 勾股数
1.(2024·娄底质检)在下列四组数中,属于勾股数的是( )
A.1,2,3
B.9,12,15
C.1,,
D.4,5,6
2.(2024·郴州汝城县期中)若一组勾股数的其中两个为5和12,则第三个勾股数是( )
A.13 B.
C.13或 D.不确定
3.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是 .
知识点2 直角三角形的判定及应用
4.下列各组数中,能构成直角三角形的是( )
A.4,5,7
B.1,1,
C.6,8,11
D.5,12,23
5.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a-3)2+|b-4|+=0,则这个三角形的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
6.已知三角形的三边长为1,2,,则它的最小角为 度.
7.一个三角形的三边长分别为5,12,13,则这个三角形最长边上的中线为 .
8. (2024·长沙期末)如图,在△ABC中,已知AB=AC,D是AB边上的一点,CD=3,BC=,BD=1.
(1)求证:△BCD是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
9.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口(如图),向北偏东40°方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的方向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30),问另一艘轮船的航行的方向是( )
A.北偏西50° B.南偏西50°
C.南偏东40° D.北偏西40°
10.(2024·永州新田县质检)如果正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a,b,c叫做勾股数,某同学将自己探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x+y的值为( )
A.47 B.62 C.79 D.98
11.(2024·浏阳期中)如图所示的网格是正方形网格,则∠DAB+∠DBA= °.(点D,A,B是网格线交点,每个小正方形的边长为1)
12.(2024·衡阳衡南县期末)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为 .
13.(2024·岳阳期中)为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5 m,12 m,13 m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积为_________m2;
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m(如图),你能帮助他们求出面积吗
14.(2024·邵东模拟)定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.
