1.3 直角三角形全等的判定
知识点1 用“HL”证明两个直角三角形全等
1.(2024·汨罗质检)如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( )
A.AAS B.SAS C.ASA D.HL
2.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若要用“斜边直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件: .
3.(2024·株洲期末)如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)△OBC是何种三角形 证明你的结论.
知识点2 判定两直角三角形全等方法的综合
4.下列说法错误的是( )
A.一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等
B.两直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D.一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等
5.(2024·娄底期中)如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O.如果AB=AC,那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件: (写出一个条件即可),使Rt△ABC与Rt△ABD全等.
7.已知:如图,AD∥BC,∠A=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若DE=10,试求△CDE的面积.
8.(2024·邵阳质检)如图,AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌△CDA.
(1)若以“SAS”为依据,
需添加条件 ;
(2)若以“HL”为依据,
需添加条件 .
9.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC= °.
10.(2024·衡阳期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.
11.(2024·兰州质检)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数;
(2)求证:AB=CE+BF;
(3)试判断EF与AC的位置关系.
12.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系,并加以证明.1.3 直角三角形全等的判定
知识点1 用“HL”证明两个直角三角形全等
1.(2024·汨罗质检)如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是(D)
A.AAS B.SAS C.ASA D.HL
2.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若要用“斜边直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件: BC=EF(答案不唯一) .
3.(2024·株洲期末)如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)△OBC是何种三角形 证明你的结论.
【解析】(1)在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△DCB中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL);
(2)△OBC是等腰三角形,
证明:由(1)得Rt△ABC≌Rt△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,∴OB=OC,
∴△OBC是等腰三角形.
知识点2 判定两直角三角形全等方法的综合
4.下列说法错误的是(C)
A.一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等
B.两直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D.一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等
5.(2024·娄底期中)如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O.如果AB=AC,那么图中全等的直角三角形的对数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件: AC=AD(答案不唯一) (写出一个条件即可),使Rt△ABC与Rt△ABD全等.
7.已知:如图,AD∥BC,∠A=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若DE=10,试求△CDE的面积.
【解析】(1)∵AD∥BC,∠A=90°,∠1=∠2,
∴∠A=∠B=90°,DE=CE.
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
(2)由△ADE≌△BEC得∠AED=∠BCE,
∴∠AED+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°,
∴∠DEC=90°,
∴△CDE的面积为×10×10=50.
8.(2024·邵阳质检)如图,AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌△CDA.
(1)若以“SAS”为依据,
需添加条件 AB=CD ;
(2)若以“HL”为依据,
需添加条件 AD=BC .
9.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC= 90 °.
10.(2024·衡阳期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 5或10 时,△ABC和△PQA全等.
11.(2024·兰州质检)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数;
(2)求证:AB=CE+BF;
(3)试判断EF与AC的位置关系.
【解析】(1)∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠CBF=90°,∠BCA=∠BAC=45°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
∵∠CAE=30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,
∴∠EAB=15°,
∴∠EAB=∠FCB,
∴∠FCB=15°,
∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°.
(2)∵Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴AB=BC,BE=BF.
∵BC=BE+CE,
∴AB=CE+BF.
(3)EF⊥AC.
延长FE交AC于点H,如图,
∵Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴EB=FB,∠FEB=∠CEH=45°,
由(1)知∠BCA=45°,
∴∠CHE=90°,
∴EF⊥AC.
12.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系,并加以证明.
【解析】(1) ① ∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
∵∠ADC=∠CEB=90°,AC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE,
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE,
又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴CE=AD,CD=BE,
∴DE=CE-CD=AD-BE.
(3)当MN旋转到题图3的位置时,AD,DE,BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等).
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE,
又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CD-CE=BE-AD.
